(Đại số 10 - Chương III) Bài giảng: Hàm số bậc hai

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §3 Hàm số bậc hai  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com 1 Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 2 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận 3 được giải đáp. 4 Đ3 hàm số bậc hai bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn định nghĩa Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax 2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a 0. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0): Tp xỏc nh D = R. bảng biến thiên: Với a > 0 Với a < 0 x - - a2 b + x - - a2 b + y + - a4 + y - - a4 - Vậy, ta có kết luận: Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (; b 2a ), đồng biến trên khoảng ( b 2a ; +) và có giá trị nhỏ nhất y min = f( b 2a ) = 4a khi x = b 2a . Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-; b 2a ), nghịch biến trên khoảng ( b 2a ; +) và có giá trị lớn nhất y max = f( b 2a ) = 4a khi x = b 2a . Đồ thị hàm số bậc hai: Đồ thị của hàm số là một Parabol (P) có đỉnh b I ; 2a 4a ữ , nhận đờng thẳng x = a2 b làm trục đối xứng và: Hớng bề lõm lên trên nếu a > 0. Hớng bề lõm xuống dới nếu a < 0. Để vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0) chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax 2 mà thực hiện nh sau: Xác định đỉnh I của parabol. Xác định trục đối xứng và hớng bề lõm của parabol. Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng giả sử có hai điểm là A, B). 5 Nối AIB để đợc một góc rồi thực hiện vẽ đờng cong parabol lợn theo đờng góc này. Ta có các trờng hợp: Với a > 0 thì: Với a < 0 thì: Nhận xét chung: Nếu > 0 thì parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Nếu = 0 thì parabol tiếp xúc với trục hoành. Nếu < 0 thì parabol không cắt trục hoành Thí dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x 2 4x + 2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đợc đồ thị hàm số y = x 2 2. c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phơng trình: x 2 4x + 2 = m và x 2 2 = m. đều có cùng số nghiệm. Giải a. Ta lần lợt tính a2 b = 2 và a4 = 2. Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(2; 2), nhận đờng thẳng x = 2 làm trục đối xứng và h- ớng bề lõm lên trên. Bảng biến thiên: x 2 + y + CĐ 2 + Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0; 2), B(4; 2). 6 y x I O (P) -b/2a A B -b/a -/4a y x I O (P) -b/2a A B -b/a y I (P) A B x O -b/2a -b/a -/4a y x I O (P) -b/2a A B -b/a -/4a y x I O (P) -b/2a A B -b/a y x I O (P) -b/2a A B -b/a -/4a y x S O y=x 2 4x+2y=x 2 2 2 2 b. Giả sử: y = x 2 2 = f(x + a) x 2 2 = (x + a) 2 4(x + a) + 2 = x 2 + (2a 4)x + a 2 4a + 2. Suy ra: += = = 2a4a2 4a20 11 2 a = 2. Vậy, ta đợc y = x 2 2 = f(x + 2). Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái 2 đơn vị. c. Vì số nghiệm của mỗi phơng trình đúng bằng số giao điểm của đờng thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x 2 4x + 2 và y = x 2 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm. Thí dụ 2: Cho hàm số : y = 2 1 x 2 + x + 2 3 . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Hãy viết hàm số thành dạng y = a(x p) 2 + q. Từ đó, cho biết đồ thị của nó có thể đợc suy ra từ đồ thị hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục toạ độ và mô tả cụ thể các phép tịnh tiến đó. Giải a. Ta lần lợt có a2 b = 1 và a4 = 2. Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 2), nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hớng bề lõm xuống dới. Bảng biến thiên: x 1 + y CĐ 2 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0; 2 3 ), B(2; 2 3 ). b. Ta có: y = 2 1 x 2 + x + 2 3 = 2 1 (x 2 2x + 1) + 2 = 2 1 (x 1) 2 + 2. 7 y x S O 1 B A 3/2 2 Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra từ đồ thị (P 0 ) của hàm số y = 2 1 x 2 bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến: 1. Tịnh tiến (P 0 ) sang phải 1 đơn vị, ta nhận đợc đồ thị hàm số y = 2 1 (x 1) 2 gọi là (P 1 ). 2. Tịnh tiến (P 1 ) lên trên 2 đơn vị, ta nhận đợc đồ thị hàm số y = 2 1 x 2 + x + 2 3 . bài tập lần 1 Bài tập 1. Cho hai hàm số (P 1 ) và (P 2 ), biết: (P 1 ): y = x 2 + 2x + 3 và (P 2 ): y = 2 1 x 2 4x + 3. a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hai hàm số (P 1 ) và (P 2 ) trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Tìm giá trị của m để đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ. Bài tập 2. Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của các hàm số: 2 2x 1 nếu x 0 a. y . x 4x 1 nếu x 0 + = + + < 2 2 x 2 nếu x 1 b. y . 2x 2x 3 nếu x 1 < = Bài tập 3. Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) đi qua ba điểm: a. A(1, 1), B(1, 9), C(0, 3). b. A(2; 3), B(0; 1), C(2; 7). Bài tập 4. Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có đỉnh S(1, 5) và đi qua điểm A(1, 1). Bài tập 5. Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có giá trị cực tiểu bằng 1 và đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3). bài giảng nâng cao Vấn đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai Phơng pháp chung Dựa trên lý thuyết trong phần tóm tắt lý thuyết. Ví dụ 1: Cho hai hàm số (P 1 ) và (P 2 ), biết: (P 1 ): y = x 2 + 2x + 3 và (P 2 ): y = 2 1 x 2 4x + 3. a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hai hàm số (P 1 ) và (P 2 ) trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Tìm giá trị của m để đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ. Giải 8 a. Ta có bảng sau: Khảo sát (P 1 ): y = x 2 + 2x + 3 Khảo sát (P 2 ): y = 2 1 x 2 4x + 3 a2 b = 1 và a4 = 4. Bảng biến thiên: a2 b = 4 và a4 = 5. Bảng biến thiên: x 1 + x 4 + y CĐ 4 y + -5 CT + Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P 1 ) và (P 2 ) là nghiệm phơng trình: x 2 + 2x + 3 = 2 1 x 2 4x + 3 3x 2 12x = 0 3x(x 4) = 0 = = 4x 0x . Khi đó, toạ độ các giao điểm là: E(0; 3) và F(4; 5). b. Từ đồ thị của (P 1 ) và (P 2 ), đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị 5 m 4. Vậy, với 5 m 4 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của hàm số : + = + + < 2 2x 1 nếu x 0 y . x 4x 1 nếu x 0 Giải Ta thực hiện: * Vẽ đờng thẳng y = 2x + 1 rồi lấy với phần x 0. * Vẽ Parabol y = x 2 + 4x + 1 rồi lấy với phần x < 0. Điểm chung M(0; 1). Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên: x 2 0 + y CT -3 1 + Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |x 1|(x + 3). Giải Viết lại hàm số dới dạng: 9 y x S 1 O (P 1 ) 4 -5 3 S 2 (P 2 ) y= x 2 2x + 3 x 1 4 y O A S 1 3 y=x 1(x + 3) B y = (x 1)(x 3) nếu x 1 (1 x)(x 3) nếu x 1 + + < = 2 2 x 2x 3 nếu x 1 x 2x 3 nếu x 1 + + < . Bảng biến thiên: x 1 1 + y CT 4 0 + Đồ thị: ta lấy các điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0). Ví dụ 4: Cho hàm số: (P m ): y = (1 + m)x 2 2(m 1)x + m 3. a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tơng ứng là (P 0 )). Bằng đồ thị tìm x để y 0, y 0. b. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua đỉnh của (P 0 ) và giao điểm của (P 0 ) với Oy. c. Xác định m để (P m ) là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (P m ) khi m thay đổi. d. Chứng tỏ rằng (P m ) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó. Giải a. Với m = 0 ta đợc: (P 0 ): y = x 2 + 2x 3 a. Ta lần lợt tính: a2 b = 1 và a4 = 4. Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hớng bề lõm lên trên. Bảng biến thiên: x - -1 + y + CT -4 + Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A(1; 0), B(-3; 0), C(0; -3). Từ đồ thị suy ra: y 0 1x 3x . y 0 3 x 1. b. Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A 2 + B 2 > 0. (1) Vì S(1, 4) và C(0, 3) thuộc (d), ta đợc: 10 y x S O (P 0 ) -1 -4 -3 (d) A B C -3 1 . thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §3 Hàm số bậc hai  Các em học sinh đừng bỏ qua mục. x I O (P) -b/2a A B -b/a y I (P) A B x O -b/2a -b/a -/ 4a y x I O (P) -b/2a A B -b/a -/ 4a y x I O (P) -b/2a A B -b/a y x I O (P) -b/2a A B -b/a -/ 4a y x