Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §6 Ba đường Cônic Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Đ6 ba đờng côníc bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn I. Đờng chuẩn của đờng Côníc Định nghĩa: Đờng chuẩn của Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm F i (i = 1,2) là đờng thẳng ( i ) (i = 1,2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm về cùng một phía với F i đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn e a với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực). a. Với Elíp (E): (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ với a > b, ta có: ứng với F 1 ( c, 0) là đờng chuẩn ( 1 ): x = e a . ứng với F 2 (c, 0) là đờng chuẩn ( 2 ): x = e a . b. Với Hyperbol (H): (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = , ta có: ứng với F 1 ( c, 0) là đờng chuẩn ( 1 ): x = e a . ứng với F 2 (c, 0) là đờng chuẩn ( 2 ): x = e a . Nhắc lại: Với Parabol (P): y 2 = 2px có đờng chuẩn x = 2 p . Đờng chuẩn của cả ba đờng Conic đều có tình chất chung sau đây: Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đờng Conic là khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm và đến đờng chuẩn tơng ứng bằng tâm sai e của đờng Conic đó. 2 O y x F 1 F 2 A 1 A 2 a a B 1 B 2 b b a/e a/e ( 2 ) ( 1 ) y x O A 1 F 1 F 2 A 2 a/e ( 1 ) a/e ( 2 ) Định nghĩa 2: Đờng Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đờng thẳng cố định không đi qua điểm cố định ấy, bằng một hằng số dơng e. Hằng số dơng e chính là tâm sai của đờng Côníc (C). Nếu e < 1 : (C) là Elíp. Nếu e = 1 : (C) là Parabol. Nếu e > 1 : (C) là Hyperbol. II. tiếp tuyến của ba đờng côníc Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng Côníc (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): Ax + By + C = 0, với A 2 + B 2 > 0. Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (C) là: Phơng trình của (C) Điều kiện cần và đủ (d) tiếp xúc với (C) Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 Hyperbol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = A 2 a 2 B 2 b 2 = C 2 Parabol (P): y 2 = 2px B 2 p = 2AC Nhận xét: 1. Mặc dù trong lời giải trên vai trò x, y là bình đẳng, nhng sự bình đẳng này không đợc xem xét một cách đầy đủ trong suốt quá trình giải. Vì vậy, theo hớng trên ta nhận đợc một lời giải đúng nhng không đẹp. Để khắc phục tình trạng trên, chúng ta sử dụng phơng pháp sau: Viết lại hệ (I) dới dạng: 2 2 x y 1 a b x y aA bB C 0 a b + = ữ ữ + + = ữ ữ Đặt X = x a , Y = y b , ta đợc: 2 2 X Y 1 (T) aAX bBY C 0 ( ) + = + + = Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất đờng thẳng () tiếp xúc với đờng tròn (T) d(O, ) = 1 2 2 2 2 | C | a A b B+ = 1 C 2 = A 2 a 2 + B 2 b 2 , đpcm. 3 2. Nh vậy ta có đợc một lời giải hoàn toán mới. Trong lời giải trên, sự bình đẳng của x, y đợc duy trì trong suốt quá trình giải. Việc đặt ẩn mới X = a x , Y = b y đã chuyển bài toán xét tiếp tuyến của Elíp về xét tiếp tuyến của đờng tròn. ý tởng này thực chất đợc xuất phát từ tính chất của phép co f trục Ox tỉ số k = b a , cụ thể: " Nếu đờng thẳng (d): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ thì đ- ờng thẳng (d 1 ): Ax + B( a b y) + C = 0 là tiếp tuyến của đờng tròn (C): x 2 + y 2 = a 2 . " Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng Côníc (C) phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc (C) tơng ứng với các dạng của phơng trình (C) nh sau: Phơng trình của (C) Phơng trình tiếp tuyến với (C ) tại M(x 0 , y 0 ) (C) Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ (d): 1 b yy a xx 2 0 2 0 =+ Hyperbol (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = (d): 1 b yy a xx 2 0 2 0 = Parabol (P): y 2 = 2px (d): yy 0 = p(x + x 0 ) Chú ý: Đối với Elíp (E) dựa trên kết quả trên cùng với phép co f trục Ox tỉ số k = b a chúng ta có thể giải đợc bài toán: " Cho Elíp (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ , (0 < b < a) có các đỉnh trên trục lớn là A 1 , A 2 và các đỉnh trên trục nhỏ là B 1 , B 2 . Điểm M đi động trên (E) và không trùng với các đỉnh của (E). Chứng minh rằng trục đẳng phơng của hai đờng tròn ngoại tiếp các MA 1 A 2 và MB 1 B 2 tiếp xúc với (E). " phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1. Chứng minh đờng cong (C) là một đờng côníc. phơng pháp chung Để chứng minh đờng cong (C): f(x, y, m) = 0 là phơng trình một Côníc, ta lựa chọn một trong hai cách:: Cách 1: Thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Biến đổi f(x, y, m) = 0 về dạng: 4 ),M(d FM = e. trong đó F là điểm cố định, M(x, y) và () là đờng thẳng. Bớc 2: Khẳng định đợc rằng f(x, y, m) = 0 chính là phơng trình của một Cônic và bằng cách biện luận theo giá trị của e ta đợc dạng của Cônic đó. Cách 2: Thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Biến đổi f(x, y, m) = 0 về dạng: A(x ) 2 + B(y ) 2 = C. Bớc 2: Biện luận theo A, B, C ta đợc dạng của đờng cong. Ví dụ 1: Biện luận theo m hình dạng của đờng (C) có phơng trình: (C): (m 1)x 2 + my 2 = m 2 m. Giải Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình của (C) về dạng: m[(x 1) 2 + y 2 ] = (x m) 2 2 2 (x 1) y | x m | + = 1 m . Vậy với điểm F(1, 0) và đờng thẳng (): x = m, ta có nhận xét: Với m < 0, thì (C) là tập . Với m = 0, thì (C): x 2 = 0 (C): x = 0 là phơng trình trục Oy. Với m 0 1 1 m > < m > 1 thì (C) là phơng trình của Elíp. Với m 0 1 1 m > > 0 < m < 1 thì (C) là phơng trình của Hypebol. Với m 0 1 1 m > = m = 1 thì (C) là phơng trình của Parabol điểm (có dạng y 2 = 0). Cách 2: Ta xét dựa trên các tính chất đại số: a. Với m 2 m = 0 m = 0 m = 1 Với m = 0, ta đợc: 5 (C): x 2 = 0 (C): x = 0 là phơng trình trục Oy. Với m = 1, ta đợc: (C): y 2 = 0 (C): y = 0 là phơng trình trục Ox. b. Với m 2 m 0 m 0 m 1 (C): 1m y m x 2 2 + = 1. Với > > 01m 0m m > 1 thì (C) là phơng trình của Elíp. Với m(m 1) < 0 0 < m < 1 thì (C) là phơng trình của Hypebol. Bài tập đề nghị Bài 1. Chứng tỏ rằng phơng trình: m 2 x 2 + (m 2 9)y 2 + 18my 9m 2 = 0, với m > 0 là phơng trình của một Cônic. Biện luận theo m hình dạng của Cônic đó. Bài 2. Chứng tỏ rằng phơng trình: Ax 2 + By 2 + F = 0, với A.F < 0. a. Là phơng trình của một đờng tròn có tâm O(0, 0) nếu A = B. b. Là phơng trình của một Elíp có đỉnh O(0, 0) nếu AB và A.B > 0. Tìm toạ độ các tiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Elíp. c. Là phơng trình của một Hyperbol có đỉnh O(0, 0) nếu A B và A.B < 0. Tìm toạ độ các tiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Hyperbol. Bài 3. Chứng tỏ rằng phơng trình: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, với A.B > 0 a. Là phơng trình của một Elíp nếu A. )E C4 D A4 C ( 22 + > 0. Tìm toạ độ các tiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Elíp. b. Là phơng trình của một Hyperbol nếu A. )E C4 D A4 C ( 22 + < 0. Tìm toạ độ các tiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Hyperbol. c. Là một điểm nếu E C4 D A4 C 22 + = 0. Bài 4. Chứng tỏ rằng phơng trình: 6 Ax 2 + Bx + Cy + D = 0, với A 0 a. Là phơng trình của một Parabol nếu C 0. b. Là phơng trình của một đờng thẳng nếu C = 0 và B 2 4AD = 0. c. Là phơng trình của hai đờng thẳng nếu C = 0 và B 2 4AD > 0. d. Là tập rỗng nếu C = 0 và B 2 4AD < 0. Bài toán 2. Lập phơng trình của một côníc. phơng pháp chung Nếu biết tâm sai e, một tiêu điểm F i , và đờng chuẩn ( i ) ứng với tiêu điểm đó thì ta sử dụng tính chất: M(x, y) (E) ),M(d MF i i = e, i = 1, 2. Ví dụ 1: Lập phơng trình của Côníc (C) có tâm sai e = 2 1 , một tiêu điểm là F( 3, 1) và đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (): y + 2 = 0. Giải Với M(x, y) (E) ta có: ),M(d MF = e |2y| )1y()3x( 22 + ++ = 2 1 4[(x + 3) 2 + (y 1) 2 ] = (y + 2) 2 4x 2 + 3y 2 + 24x 12y + 36 = 0 1 3 8 )2y( 2 )3x( 2 2 = + + . Đó chính làphơng trình của Elíp (E). Ví dụ 2: Lập phơng trình của Hypebol, biết tiêu điểm F(2, 3), đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phơng trình 3x y + 3 = 0 và tâm sai e = 5 . Giải Với M(x, y) (H) ta có: ),M(d MF = e 10 |3yx3| )3y()2x( 22 + ++ = 5 7x 2 y 2 6xy + 26x 18y 17 = 0. Đó chính làphơng trình của Hypebol (H). Ví dụ 3: Lập phơng trình của Parabol, biết tiêu điểm F(0, 2), đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phơng trình 3x 4y 12 = 0. Giải Với M(x, y) (P) ta có: ),M(d MF = 1 MF 2 = d 2 (M, ()) x 2 + (y 2) 2 = 25 )12y4x3( 2 16x 2 + 9y 2 + 24xy + 72x 196y 44 = 0. 7 Đó chính là phơng trình của Parabol (P). Bài tập đề nghị Bài 5. Lập phơng trình chính tắc của Parabol (P) biết tiêu điểm là O và đờng chuẩn (d): x y 2 = 0 Bài 6. Lập phơng trình chính tắc từ đó suy ra phơng trình tham số của Elíp (E), biết: a. Tâm O, tiêu điểm đều ở trên Ox, đi qua điểm M( 3 , 1) và khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 6. b. Tâm sai e = 3 2 , một tiêu điểm F(2, 1) và phơng trình đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (): 3x 4y 12 = 0. Bài 7. Lập phơng trình chính tắc của Hypebol biết tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(1, 1) và phơng trình đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (): x y 2 = 0. Bài toán 3. Sử dụng đờng chuẩn của các đờng côníc giải toán. phơng pháp chung Sử dụng kết quả trong định nghĩa. Ví dụ 1: Cho Elíp (E) có phơng trình: (E): 4x 2 + 16y 2 = 64. a. Xác định các tiêu điểm F 1 , F 2 , tâm sai và vẽ Elíp. b. M là một điểm bất kỳ trên Elíp. Chứng tỏ rằng tỷ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm phải F 2 và tới đờng thẳng x = 3 8 có giá trị không đổi. c. Cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 + 4x 3 4 = 0. Xét đờng tròn (C 1 ) di động nhng luôn đi qua tiêu điểm phải F 2 và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (C). Chứng tỏ rằng các tâm N của đờng tròn (C 1 ) nằm trên một Hypebol cố định. Viết phơng trình Hypebol . Giải a. Chuyển phơng trình Elip về dạng chính tắc, ta đợc (E): 1 4 y 16 x 22 =+ suy ra a = 4, b = 2 và c = 2 3 . Từ đó: - Tiểu điểm F 1 ( 12 , 0), F 2 ( 12 , 0) - Tâm sai e = 2 3 4 12 = . Để vẽ Elíp (E) ta sử dụng hình chữ nhật cơ sở có tâm O kích thớc là 8, 4. b. Ta biết rằng ứng với tiêu điểm F 2 ( 12 , 0) là đờng chuẩn ( 2 ): x = 3 8 , do đó: 8 B 1 A 1 A 2 B 2 OF 1 F 2 y x 2 4 4 2 H M I 1 I ))(,M(d MF 2 2 e = 2 3 không đổi. c. Chuyển phơng trình đờng tròn (C) về dạng chính tắc : (C): (x + 2 3 ) 2 + y 2 = 16. Vậy (C) có tâm I( 2 3 , 0) và bán kính R = 4. Xét đờng tròn (C 1 ) có tâm I 1 (x 1 , y 1 ), bán kính R 1 , có dạng: (C 1 ): (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = 2 1 R . Điểm F 2 (C 1 ) suy ra ( 12 x 1 ) 2 + 2 1 y = 2 1 R (1) (C 1 ) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (C) khi và chỉ khi: R + R 1 = II 1 R 1 = 2 1 2 1 y)x32( ++ 4. (2) Thay (2) vào (1), ta đợc: ( 12 x 1 ) 2 + 2 1 y = ( 2 1 2 1 y)x32( ++ 4) 2 1 8 y 4 x 2 1 2 1 = . Vậy, tâm đờng tròn (C 1 ) thuộc Hypebol (H): 1 8 y 4 x 22 = . Bài tập đề nghị Bài 8. Cho Hypebol (H) có phơng trình: (H): 1 b y a x 2 2 2 2 = . a. Tính độ dài phần đờng tiệm cận chắn bởi hai đờng chuẩn. b. Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiệm cận. c. Chứng minh rằng chân đờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đờng tiệm cận nằm trên đờng chuẩn. Bài 9. Tính góc (0 < 90 0 ) giữa các đờng tiệm cận của Hyperbol, biết khoảng cách giữa các tiêu điểm gấp 2 khoảng cách giữa các đờng chuẩn. Bài toán 4. Lập phơng trình tiếp tuyến của côníc (C). phơng pháp chung Để lập phơng trình tiếp tuyến (d) của Côníc (C), ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử đợc đờng thẳng (d) có phơng trình: (d): Ax + By + C = 0. Bớc 2: Xác định điều kiện tiếp xúc của (d) và (C). Bớc 3: Kết luận về tiếp tuyến (d). Chú ý: Điều kiện K thờng gặp: 9 1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trớc, khi đó: a. Nếu M(x 0 , y 0 ) (C), ta có ngay phơng trình tiếp tuyến bằng phơng pháp phân đôi toạ độ. b. Nếu M(x 0 , y 0 ) (C), ta giả sử: (d): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 (d): Ax + By Ax 0 By 0 = 0 2. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Ax + By + D = 0. 3. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Bx Ay + D = 0. 4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó: (d): y = kx + m (d): kx y + m = 0. 5. Tiếp tuyến có tạo với đờng thẳng () một góc , khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức: cos = |b|.|a| |b.a| , với a , b theo thứ tự là vtcp của (d), (). tg = 21 21 kk1 kk + , với k 1 , k 2 theo thứ tự là hsg của (d), () Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phơng pháp phân đôi toạ độ để giải. Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Giả sử điểm M(x 0 , y 0 ) là tiếp điểm, khi đó: Phơng trình tiếp tuyến có dạng: (d): f(x, x 0 , y, y 0 ) = 0. (1) Điểm M (C) nên: f(x 0 , y 0 ) = 0 (2) Bớc 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phơng trình theo x 0 , y 0 (3) Bớc 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta đợc toạ độ tiếp điểm M(x 0 , y 0 ), từ đó thay vào (1) ta đợc phơng trình tiếp tuyến cần xác định. Chú ý: 1. Trong những trờng hợp riêng cách 2 tỏ ra hiệu quả hơn. 2. Đối với Elíp ta còn có thể sử dụng phơng pháp họ tiếp tuyến, nh sau: Với Elíp (E) có phơng trình: (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ . Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình Elíp (E) về dạng tham số: (E): = = tcosby tsinax , t [0, 2). 10 . mắc − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §6 Ba đường Cônic Các em học sinh đừng bỏ. pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô
