(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Hệ thức lượng trong tam giác

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ §3 Hệ thức lượng trong tam giác  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận 2 được giải đáp. 3 Đ3 hệ thức lợng trong tam giác Một tam giác hoàn toàn đợc xác định nếu biết ba cạnh, hoặc hai cạch và một góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề. Nh vậy, giữa các yếu tố của tam giác có những mối liên hệ nào đó, mà ta sẽ gọi chúng là hệ thức lợng trong tam giác. Trong bài học này các em học sinh sẽ đợc làm quen với một vài hệ thức đó và phải biết vận dụng chúng để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế. bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Định lí côsin trong tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: a 2 = b 2 + c 2 2bccosA. b 2 = a 2 + c 2 2accosB. c 2 = a 2 + b 2 2abcosC. Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ã Thí dụ 1: Cho ABC, biết a = 6 , b = 2, c = 3 + 1. Tính các góc A, B, C và đ- ờng cao h a của tam giác. Giải Trong ABC, ta có: cosA = bc2 acb 222 + = 2 1 A = 60 0 . cosB = ac2 bca 222 + = 2 2 B = 45 0 . Mặt khác trong ABC, ta có: A + B + C = 180 0 C = 180 0 A B = 105 0 . Ta có: S = 2 1 h a .a = 2 1 b.c.sinA h a = a Asin.bc = 2 13 + . 2. Định lí sin trong tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: Asin a = Bsin b = Csin c = 2R. trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC. Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ã 4 Thí dụ 2: Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA = 5 3 . Tính đờng cao h a và bán kính đ- ờng tròn ngoại tiếp R của tam giác. Giải Ta có: S = 2 1 h a .a = 2 1 bc.sinA h a = a Asin.c.b . (1) trong đó b, c đã biết và: sin 2 A = 1 cos 2 A = 25 16 sinA = 5 4 , (2) a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA = 49 = 25 2.7.5. 5 3 = 32 a = 4 2 . (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: h a = 2 27 . Ta có: R = Asin2 a = 5 4 .2 24 = 2 25 . 3. Tổng bình phơng hai cạnh và độ dài đờng trung tuyến của tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng trung tuyến tơng ứng là m a , m b , m c , ta có: b 2 + c 2 = 2 2 a m + 2 a 2 , c 2 + a 2 = 2 2 b m + 2 b 2 , a 2 + b 2 = 2 2 c m + 2 c 2 . Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ã Thí dụ 3: Cho ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi trung điểm của AC là M. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABM. Giải áp dụng định lý hàm số sin trong ABM, ta có: R ABM = Asin2 BM . (1) Trong ABC, ta có: AB 2 + AC 2 = 2AM 2 + 2 BC 2 5 A B CM BM 2 = 2 1 ( AB 2 + BC 2 2 AC 2 ) = 2 1 (25 + 49 18) = 28. BM = 2 7 . (2) cosA = AC.AB2 BCACAB 222 + = 5 1 sinA = 25 1 1 = 5 62 . (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: R ABM = 12 425 . 4. diện tích tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là h a , h b , h c , ta có: S = 2 1 ah a = 2 1 bh b = 2 1 ch c . S = 2 1 bcsinA = 2 1 acsinB = 2 1 absinC S = R4 abc S = pr = )cp)(bp)(ap(p . với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp). Thí dụ 4: Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 . Tính BC. Giải Ta có: S = 2 1 AB.AC.sinA 3 3 = 2 1 .3.4.sinA sinA = 2 3 = = 0 0 120A 60A . Với A = 60 0 , ta đợc: BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB.AC.cosA = 13 BC = 13 . Với A = 120 0 , ta đợc: BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB.AC.cosA = 37 BC = 37 . bài tập lần 1 Bài tập 1: Cho ABC vuông tại A, tgC = 3 2 và đờng cao AH = 6. Tính độ dài các đoạn HB, HC, AB, AC. 6 Bài tập 2: Cho ABC, có AB = 22 ba + , BC = 22 cb + , AC = 22 ca + với a, b, c là ba độ dài cho trớc. Chứng minh rằng ABC nhọn. Bài tập 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 60 0 . Chứng minh rằng: b(b 2 a 2 ) = c(a 2 c 2 ). Bài tập 4: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: MA 2 + MB 2 = 2 a5 2 . Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao. bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết I. Định lí côsin trong tam giác Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: a 2 = b 2 + c 2 2bccosA. b 2 = a 2 + c 2 2accosB. c 2 = a 2 + b 2 2abcosC. Hệ quả: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: 2 2 2 b c a cosA 2bc + = , 2 2 2 a c b cosB 2ac + = , 2 2 2 a b c cosC 2ab + = II. Định lí sin trong tam giác Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ta có: a b c 2R sin A sin B sin C = = = . III. Tổng bình phơng hai cạnh và độ dài đờng trung tuyến của tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng trung tuyến tơng ứng là m a , m b , m c , ta có: b 2 + c 2 = 2 2 a m + 2 a 2 , c 2 + a 2 = 2 2 b m + 2 b 2 , a 2 + b 2 = 2 2 c m + 2 c 2 . 7 IV. diện tích tam giác Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là h a , h b , h c , ta có: S = 1 2 ah a = 1 2 bh b = 1 2 ch c . S = 1 2 bcsinA = 1 2 acsinB = 1 2 absinC. S = abc 4R . S = pr = p(p a)(p b)(p c) . với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp). B. phơng pháp giải toán Bài toán 1: Giải tam giác. Phơng pháp thực hiện Sử dụng các hệ thức trong tam giác. Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, tgC = 3 2 và đờng cao AH = 6. Tính độ dài các đoạn HB, HC, AB, AC. Giải Hai AHB và CHA đồng dạng, do đó: HC AH = AC AB = tgC = 3 2 HC = 2 3 AH = 9 . AH BH = AC AB = tgC = 3 2 BH = 3 2 AH = 4. Trong ABC, ta có: AB 2 = BH.BC AB = BC.BH = )94(4 + = 2 13 . AC 2 = CH.BC AC = BC.CH = )94(9 + = 3 13 . Bài toán 2: Chứng minh tính chất của tam giác. Ví dụ 2: Cho ABC, có AB = 22 ba + , BC = 22 cb + , AC = 22 ca + với a, b, c là ba độ dài cho trớc. Chứng minh rằng ABC nhọn. Giải Ta có: AB 2 + AC 2 BC 2 = (a 2 + b 2 ) + (a 2 + c 2 ) (b 2 + c 2 ) = 2a 2 > 0 góc A nhọn. Tơng tự góc B, C nhọn. Bài toán 3: Chứng minh các hệ thức trong tam giác. 8 A B C H Ví dụ 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 60 0 . Chứng minh rằng: b(b 2 a 2 ) = c(a 2 c 2 ). Giải Ta có: a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA = b 2 + c 2 bc a 2 (b + c) = (b + c)(b 2 + c 2 bc) a 2 b + a 2 c = b 3 + c 3 b 3 a 2 b = a 2 c c 3 b(b 2 a 2 ) = c(a 2 c 2 ), đpcm. Bài toán 4: Tập hợp điểm Ví dụ 4: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: MA 2 + MB 2 = 2 a5 2 . (1) Giải Gọi I là trung điểm AB, ta có: MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2 AB 2 = 2MI 2 + 2 a 2 . (2) Thay (2) vào (1), ta đợc: 2MI 2 + 2 a 2 = 2 a5 2 MI 2 = a 2 MI = a. Vậy, tập hợp điểm M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = a. bài tập lần 2 Bài tập 1. Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Tính: a. Diện tích S của tam giác. b. Các đờng cao h a , h b , h c . c. Các bán kính R, r. Bài tập 2. Cho ABC cân tại A. Đờng cao BH = a, CBA = . a. Tính các cạnh và đờng cao còn lại. b. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Bài tập 3. Cho ABC, biết AB + AC = 13, AB > AC, A = 60 0 và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác bằng 3 . Tính độ dài các cạnh của ABC. Bài tập 4. Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm AC. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC. Bài tập 5. Cho ABC, các trung tuyến AA 1 = 3, BB 1 = 6 và hợp với nhau một góc 60 0 . Tính độ dài các cạnh của ABC. Bài tập 6. Cho ABC, biết AB = 2, BC = 3, CA = 4, đờng cao AD. Tính độ dài đoạn CD. 9 A I B M Bài tập 7. Cho hai đờng tròn (I 1 ), (I 2 ) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A. Nửa đờng thẳng vuông góc với I 1 I 2 cắt (I 1 ), (I 2 ) theo thứ tự tại B, C. Tính bán kính đ- ờng tròn ngoại tiếp ABC. Bài tập 8. Cho ABC, có AB = 3, AC = 6, CAB = 60 0 . Tính bán kính đờng tròn cắt cả 3 cạnh của ABC và chắn trên mỗi cạnh 1 dây có độ dài bằng 2. Bài tập 9. Cho ABC, biết BC = 6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC. Tính chu ABC, biết EF = 2. Bài tập 10.Trong các tam giác có chu vi không đổi hãy tìm tam giác có chu vi đờng tròn nội tiếp lớn nhất. Bài tập 11.Cho ABC có diện tích 12. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm M, N sao cho: AB AM = 2 1 , AC AN = 3 1 . và BN cắt CM tại D. a. Tính diện tích các tam giác BMC, ABN và AMN theo S 0 . b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và BCD; ABD và BCD. c. Suy ra diện tích của tam giác BCD theo S 0 . Bài tập 12.Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy lần lợt các điểm M, N, P sao cho MB AM = NC BN = PA CP = k, với k > 0, k cho trớc. a. Biết S ABC = S 0 . Tính S MNP theo S 0 và k. b. ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho MNP có diện tích nhỏ nhất. Bài tập 13.Cho ABC có a 4 = b 4 + c 4 . Chứng minh ABC nhọn. Bài tập 14.Cho ABC nhọn, đờng cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE. a. Tính số đo góc EBC . b. Giả sử AH là đờng cao lớn nhất của ABC. Xác định dạng của ABC để B = 60 0 . Bài tập 15.Cho ABC, biết: BA Bsin.BAsin.A + + + CB Csin.CBsin.B + + + AC Asin.ACsin.C + + = = sinA + sinB + sinC. Chứng minh rằng ABC đều. Bài tập 16.Cho ABC, biết S = 4 1 (a + b c)(a b + c). chứng minh rằng ABC là vuông. Bài tập 17.Cho ABC, diện tích bằng S, các đờng cao h a , h b , h c . Chứng minh rằng ABC đều khi và chỉ khi: 10 . mắc − Đăng kí Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ §3 Hệ thức lượng trong tam giác  Các em học sinh đừng. giữa các yếu tố của tam giác có những mối liên hệ nào đó, mà ta sẽ gọi chúng là hệ thức lợng trong tam giác. Trong bài học này các em học sinh sẽ đợc làm