Đặc biệt: Nếu d1 d 2 thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1, d2 ta làm như sau: + Viết phương trình mpP chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng[r]
(1)Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT-GDTX năm 2012 Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ Tọa độ không gian u ( x; y; z ) u x.i y j z.k M ( x; y; z ) OM xi yj zk OM ( x; y; z ) Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') thì: + a b ( x x '; y y '; z z ') + ka (kx; ky; kz) + a.b x.x ' y y ' z.z ' + | a | x y z a.b x.x ' y y ' z.z ' + cos(a , b ) | a | | b | x y z x '2 y '2 z '2 + a b a.b x x ' + a b y y' z z ' Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì: + AB ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 ) + | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 ) x A kxB x M 1 k y kyB + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, k thì : yM A 1 k z A kz B z M 1 k x A xB xM y yB + Nếu M là trung điểm AB thì: yM A z A zB zM Tích có hướng hai vectơ Lop12.net (2) * Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') thì tích có hướng hai vectơ đó là véc tơ: y z z x x y [a , b ] ; ; y ' z ' z ' x ' x' y' * Kết quả: + Vectơ [a , b ] vuông góc với a và b + Hai vectơ a và b cùng phương thì [a , b ] = + Ba vectơ a , b và c đồng phẳng thì [a , b ].c = + |[a , b ]|=|a|.|b |.sin(a , b ) + SABC |[ AB, AC ] | + VABCD |[ AB, AC ] AD | + VABCD A ' B ' C ' D ' |[ AB, AD] AA ' | 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng *) Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0) Nếu mp () có phương trình : Ax + By + Cz + D = thì ta có 1vtpt ( ) là: n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng qua điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là x y z ( Phương trình đoạn chắn) a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà nó qua và véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (1) và (2) : ° ( ) cắt ( ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A B C D ° ( ) ( ) A2 B2 C2 D2 ° ( ) / / ( ) ° ( ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 3) Phương trình đường thẳng + Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ x x0 at phương u (a; b; c) là: y y0 bt (t ) z z ct + Phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ phương u (a; b; c) là: Lop12.net (3) x x0 y y0 z z0 a b c ’ +Vị trí tương đối đường thẳng d , d : Ta thực hai bước Tìm quan hệ vtcp u d , ud / Tìm điểm chung d , d’ x + at = x'0 + a't' y + bt = y'0 + b't' (I) z + ct = z' + c't' cách xét hệ: Hệ (I) Quan hệ Vị trí d u d ' , ud , d’ / Vô số nghiệm Vô nghiệm Có nghiệm Vô nghiệm Cùng phương Không cùng phương d d' d / /d ' d cắt d’ d , d’ chéo 4) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng Tùy theo dang đường thẳng và mặt phẳng đã cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối Cụ thể có ba cách xét chính đó là: + Xét hệ phương trình tương giao + Quan hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phương và vectơ nối hai điểm đường thẳng + Quan hệ thuộc 5) Góc và khoảng cách + Gọi góc hai đường thẳng d1, d2 là nên ta có: u d1 u d2 cos | cos(ud1 , ud2 ) | = u d1 u d2 + Gọi góc hai mặt phẳng (P), (Q) là nên ta có: cos | cos(n( P ) , n(Q ) ) | + Gọi góc hai mặt phẳng (P) và đường thẳng d là nên ta có: sin | cos(ud , n( P ) ) | + Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = | Ax + By0 + Cz + D | d ( M / ( P)) là: A + B2 + C + Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua A và có vectơ |[u , AM ] | phương u là: d ( M / ) | u | + Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 và d2 là: Lop12.net (4) |[u d1 , u d2 ].M 1M | d (d1 / d ) |[u d1 , u d2 ] | 6) Mặt cầu: + Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là: (x – a )2 + (y – b )2 + (z – c)2 = R2 + Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = là phương trình mặt cầu và A2 + B2 + C2 – D > Khi đó tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) và bán kính R A2 B C D + Nếu d(I/(P)) = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu + Nếu d(I/(P)) > R thì mp(P) không cắt mặt cầu + Nếu d(I/(P)) < R thì mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu I trên mặt phẳng (P) và bán kính r R d với d = d(I/(P)) II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Các bài toán các phép toán véc tơ Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng tam giác A,B,C là ba đỉnh tam giác AB, AC không cùng phương Tìm D cho ABCD là hình bình hành ABCD là hình bình hành AB DC Chứng minh ABCD là tứ diện, tính thể tích tứ diện, tính độ dài đường cao tứ diện, xác định các tính chất đặc biệt tứ diện + Viết phương trình (BCD) + Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cm A ( BCD) + Tính diện tích tam giác ABC + Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) đó chính là độ dài đường cao tứ diện hạ từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( Hoặc: chứng minh AB, AC AD ) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) các trường hợp sau: Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = Mặt phẳng (P) qua ba điểm không thẳng hàng A,B, C + Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n( P ) [ AB, AC ] + Điểm mặt phẳng qua là A ( B, C) Mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước: + n( P ) ud + Điểm mặt phẳng qua là M Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước: + n( P ) n(Q ) + Điểm mặt phẳng qua là M Mặt phẳng (P)đi qua điểm M và đường thẳng d cho trước + n( P ) [ MM ,u d ] ( M d ) Lop12.net (5) + Điểm mặt phẳng qua là M Mặt phẳng (P) qua điểm hai đường thẳng cắt d1, d2: + n( P ) [u d1 ,u d2 ] + Điểm mặt phẳng qua là M1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 giao điểm hai đường thẳng đó) Mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d và d' + n( P ) ud ,MM ' + Điểm mặt phẳng qua là điểm M thuộc d hay M' thuộc d' Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 (d1 và d2 chéo nhau) + n( P ) [u d1 ,u d2 ] + Điểm mặt phẳng qua là M1 thuộc d1 Mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước: + n( P ) [ud1 , n(Q ) ] + Điểm mặt phẳng qua là M1 thuộc d 10 Mặt phẳng (P) qua M và song song với d1 và d2 chéo + n( P ) [u d1 ,u d2 ] + Điểm mặt phẳng qua là M 11 Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước: + n( P ) [n( R ) , n(Q ) ] + Điểm mặt phẳng qua là M 12 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và cách điểm A cho trước khoảng cho trước + n( P ) n(Q ) PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D 13 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) + n( P ) n(Q ) PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D 14 Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo d, d’ và tiếp xúc với mặt cầu (S) + n( P ) u d , u d ' PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng d các trường hợp sau: a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ phương u (a; b; c) : x x0 at (t R) + Phương trình tham số: y y0 bt z z ct + Phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0 a b c a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) và vuông góc với mp(P): Lop12.net (6) Ax + By + Cz + D = + ud n( P ) =(A;B;C) x x0 y y0 z z0 A B C b) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) và song song đường thẳng d’ có vectơ phương ud ' (a; b; c) + ud ud ' (a; b; c) x x0 y y0 z z0 + Phương trình đường thẳng d: a b c 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mp(P) và mp(Q) Cách 1: + ud [n ( P ) , n (Q ) ] + Phương trình đường thẳng d: + Điểm mà đường thẳng d qua có tọa độ là nghiệm hệ phương trình tạo phương trình hai mặt phẳng (P) và (Q) Cách 2: Lấy hai điểm A, B là điểm chung hai mặt phẳng (P) và (Q), suy giao tuyến hai mặt phẳng đó chính là đường thẳng AB Cách 3: Gọi M là điểm chung hai mặt phẳng (P) và (Q) Giả sử M có hoành độ x = t, ta tìm y và z theo t ,từ đó ta có phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) 3.Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu đường thẳng d trên mp(P): Cách 1: + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mp(P) + Khi đó đường thẳng d’ là giao tuyến mp(P) và mp(Q) Cách 2: + Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d + Tìm điểm A’ và B’ là hình chiếu điểm A và B ttrên mp(P) Khi đó: đường thẳng A’B’ chính là hình chiếu đường thẳng d trên (P) Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 ud u d1 d d1 Vì ud [u d1 , u d2 ] d d ud u d2 Từ đó ta viết phương trình đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mp(P) và mp(Q) Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) và mp(Q) nên ud n ( P ) ud [n ( P ) , n (Q ) ] ud n (Q ) Từ đó ta viết phương trình đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng d1, d2 Lop12.net (7) Cách 1: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M và đường thẳng d1 + Viết phương trình mp(Q) qua điểm M và đường thẳng d2 Khi đó: Nếu ud , ud1 và ud , ud2 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q) Cách 2: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M và đường thẳng d1 + Tìm giao điểm I đường thẳng d2 và mp(P) + Viết phương trình đường thẳng MI Nếu vectơ phương hai đường thẳng MI và d1 không cùng phương thì đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d1, và vuông góc với đường thẳng d2 Cách 1: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M và đường thẳng d1 + Viết phương trình mp(Q) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2 Khi đó: Nếu véc tơ phương đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q) Cách 2: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2 + Tìm giao điểm I đường thẳng d1 và mp(P) Khi đó: đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d1 và cắt hai đường thẳng d2, d3 Cách 1: + Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 và chứa đ.thẳngd2 + Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 và chứa đt d3 Gọi giao tuyến (P) và (Q) là d Nếu ud , ud2 không cùng phương và ud , ud3 không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm Cách 2: + Viết phương trình mp(P) chứa d2 và song song d1 + Tìm giao điểm I đường thẳng d3 và mp(P) + Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I và song song với đt d1 Nếu ud , ud2 không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm Cách 3: d d A + Giả sử ta viết tọa độ tổng quát điểm A, B theo t và t’ d d B + Vì d song song d1 AB cùng phương với u d1 AB ku d1 Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’ Giải hệ ta tìm t và t’ suy tọa độ A và B Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm Lop12.net (8) Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 Cách 1: d d1 A + Giả sử ta viết tọa độ tổng quát A, B theo t và t’ d d B AB u d d1 d AB.u d + Vì Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và d d AB u d2 AB.u d2 t’.Giải hệ ta tìm t và t’ , suy tọa độ A và B Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm Cách 2: + Vì đường thẳng d vuông gócvới đường thẳng d1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ ud [u d1 , u d2 ] phương là: + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và có véc tơ pháp tuyến là: n( P ) ud ,ud1 + Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d2 và có véc tơ pháp tuyến là: n(Q ) ud , ud2 Suy ra: giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng d cần tìm Đặc biệt: Nếu d1 d thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung d1, d2 ta làm sau: + Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng d2 + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 và vuông góc với đường thẳng d1 Khi đó: giao tuyến (P) và (Q) chính là đường thẳng d cần tìm 10 Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm I đường thẳng d’ và mặt phẳng (P), nằm (P) và vuông góc với d’ + Tìm toạ độ điểm I + u d n( P ) , u d ' Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu điểm M trên mặt phẳng , đường thẳng a H là hình chiếu M trên mp() Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc () H = d () b H là hình chiếu M trên đường thẳng d H thuộc đt d Toạ độ tổng quát H theo tham số t Tính MH Ta có MH ud MH ud t ? tọa độ H Dạng : Điểm đối xứng M’ M qua mặt phẳng, đường thẳng a Điểm M/ đối xứng với M qua mp() Tìm hình chiếu H M trên mp() Lop12.net (9) xM / xH xM M/ đối xứng với M qua () H là trung điểm MM/ yM / yH yM zM / z H zM b Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: Tìm hình chiếu H M trên d xM / xH xM M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm MM/ yM / yH yM zM / z H zM Dạng 6: Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : + Viết phương trình mp( ) chứa A và + Tìm giao điểm H và ( ) + Tính d(A, ) = AH b) Khoảng cách đường thẳng và ( ) với / /( ) : + Lấy M trên + d (, ( )) d ( M , ( )) c) Khoảng cách đường thẳng chéo , ’ : + Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ’ và // + Lấy M trên + d (, ' ) d ( M , ( )) Chú ý: Với bài toán a) và c) HS ban KHTN đã có công thức tính Dạng 7: Một số bài toán hình học không gian giải phương pháp toạ độ Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0) Gọi M là trung điểm CC’ a Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Giải: * Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0), z C’(a; a; b) A' D' Vì M là trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2) C' Khi đó: B' b A ' B (a;0; b) a A ' D ' (0;a; b) y A D a MB (0; a; b/2) C B A ' B (a;0; b/2) Do đó: vectơ phương x mp(A’BD)là: n1 [ AB, AD]=(ab;ab;a ) Và : vectơ phương mp(MBD) là: n2 [ MB, MD]=(ab/2; ab/2; a ) Lop12.net (10) * Để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với ta phải có: a 2b2 a 2b2 n1 n2 n1.n2 a a 2b2 a 2 a a 1 1 b b a Vậy: tỉ số thì hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Bài 3: (Đề thi Đại học khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD CMR : AM BP Tính thể tích VCMNP Giải: * Do SAD và ( SAD) ( ABCD) nên gọi H là trung điểm AD SH AD SH ( ABCD) Khi đó, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho : O = H = (0 ; ; 0), N = (a ; ; 0), D = (0 ; a/2 ; 0), a S = (0 ; ; ) A B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0), a a a A(0; -a/2; 0), M( ; ; ) B 4 a a a a AM ( ; ; ), BD( ;a;0) x 4 a2 a2 AM BD AM BD 4 Vậy AM BP * Ta có : VCMNP SCNP MK 1 a a a2 a Mà : SCNP CN CP , MK SH 2 2 a a a VCMNP (đvtt) 96 z S M D y H P K N C III BÀI TẬP MINH HỌA Bài : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông A Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đường thẳng AM, với AM là trung tuyến tam giác ABC c) Viết phương trình tổng quát mp(P) qua đỉnh tam giác ABC 10 Lop12.net (11) d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC) Bài giải a) Ta có: AB (2; 2;4) AB 6, AC (0; 2; 1) AC Suy ra: AB AC AB AC Hay tam giác ABC vuông A Diện tích tam giác ABC: S AC AB 5.2 30 b) M là trung điểm BC nên M 0;1; Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận AM 1; 2; làm VTCP có phương trình 2 tham số: x 1 t y 2t z 2 t c) Gọi n AB AC (10; 2; 4) Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận n (10; 2; 4) làm VTPT có phương trình tổng quát: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 10( x 1) 2( y 3) 4( z 2) 5x y z d) khoảng cách từ D đến mp(ABC): d ( D, ( ABC )) 10 25 30 Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x y z a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P) Bài giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB AB Phương trình mặt cầu cần tìm: ( x a ) ( y b) ( z c ) r ( x 1) ( y 3) ( z 1) b) Gọi I là trung điểm BC 69 Khi đó: I 1; ; 2 , BC 2 11 Lop12.net (12) Mặt cầu đường kính BC có tâm I 1; ; 2 , bán kính r = ( x a ) ( y b) ( z c ) r 69 ( x 1) ( y ) ( z 2) 2 69 có phương trình: 2 c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính r d (C , ( P)) 12 1 5 Phương trình mặt cầu cấn tìm: ( x a ) ( y b) ( z c ) r x ( y 2) ( z 6) 25 Bài 3: Cho mặt cầu (S): x y z x y z a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Bài giải a) 2a 2 a 2b b 3 Từ phương trình mặt cầu ta có: 2c 8 c d d Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: R 16 b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp IM (0; 4; 3) Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0; 4; 3) có phương trình: 0( x 1) 4( y 1) 3( z 1) y 3z Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) các trường hợp sau: a) (P) qua điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) b) (P) qua DE và song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1) c) (P) là mặt phẳng trung trực MN với M(2;3;1), N(-4;1;5) Bài giải a) Ta có: AB (3;0; 2), BC (4; 3; 5) n AB, BC (6; 7;9) Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT n (6; 7;9) có phương trình: b) 6( x 0) 7( y 1) 9( z 2) x y z 11 DE (1;0;1), GH (3; 1; 3), n DE , GH (1;6; 1) Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình: 1( x 1) 6( y 1) 1( z 1) x 6y z 12 Lop12.net (13) c) Gọi I là trung điểm MN, I 1; 2;3 MN (6; 2; 4) Mp(P) là mp trung trực MN nên qua điểm qua I 1; 2;3 , nhận MN (6; 2; 4) làm VTPT có phương trình: 6( x 1) 2( y 2) 4( z 3) 6 x y z 14 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết: a) d qua điểm A và trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C và vuông góc với mp(ABC) Bài giải a) 3 I là trung điểm BC nên I 1; ; VTCP: AI 1; ; b) 2 2 x t Phương trình tham số đường thẳng d: y t z t AB (3;0; 2), BC (4; 3; 5) VTCP: u AB, BC (6; 7;9) Phương trình đường thẳng d cần tìm: x 6t y 2 7t z 1 9t x 1 t Bài 6: Xét vị trí tương đối d y t với các đường thẳng: z 3t x 2t a) 1 : y 2t z 6t x t b) : y 2t z 4t d có VTCP u (1; 1;3) a) x 1 2t c) 3 : y t z 1 3t Bài giải 1 có VTCP u1 (2; 2;6) 1 2t 1 t ' 2t t ' 2 Xét hệ phương trình: 2t t ' 2t t ' vô nghiệm 3 6t 3t ' 6t 3t ' 3 Và u1 (2; 2;6) 2u Suy ra: d // 1 b) Thực tương tự: d và cắt 13 Lop12.net (14) c) Thực tương tự: d và 3 chéo Bài 7: Cho điểm A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu H A trên (BCD) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu K D trên đường thẳng BC Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC Giải: Ta có: BC (3; 2;0) BD(0;0; 2) BC , BD 4;6;0 x 2 2t (BCD) có VTPT: n(2;3;0) PTĐT d là: y 3t z PTMP (BCD) là: 2x + 3y - = x 2 2t x 4 y 3t y H (4;3;1) Toạ độ điểm H là nghiệm hệ pt: z z 2 x y Do A’ đối xứng với A qua (BCD) nên H là trung điểm AA’ Điểm A’ có toạ độ là: A’(-6;0;1) x 1 3t BC (3; 2;0) PTĐT BC: y 2t z Do K BC K(-1+3t;1-2t;2) KD 3t ;2t ;2 Do KD BC KD.BC t K (1;1;2) Do D’ đối xứng với D qua BC nên K là trung điểm BC D’(-1;1;4) Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: mp (P) qua điểm x 3t A(-1; 2; -3) và đường thẳng d có phương trình y 1 2t z 5t Giải: Ta có: đường thẳng d luôn qua điểm M(1; -1; 3) và có vectơ phương ud (3;2;-5) ; MA=(-2; 3; -6) Gọi n( P ) là vectơ pháp tuyến mp(P) Vì mp(P) qua điểm A(-1;2;-3) và đường n( P ) [ MA, ud ] (-3; -28; -13) Suy phương trình mp(P) là: 3(x + 1) + 28(y – 2) + 13(z + 3) = 3x + 28y + 13z – 14 = Vậy: phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và đường thẳng d là: 3x + 28y + 13z – 14 = 14 Lop12.net thẳng d nên (15) Bài : Trong không gian cho hai đường thẳng: x2 y2 z x5 y2 z d1 : và d2 : 1 1 a) Chứng minh d1, d2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2 Giải: Ta luôn có: Đường thẳng d1 qua M1(-2; 2; 0) và có vectơ phương u d1 (1;1;2) Đường thẳng d2 qua M2(-5; 2; 0) và có vectơ phương u d2 (3; 1;1) c) Xét hệ phương trình tạo phương trình hai đường thẳng d1, d2 : x y x y 2 z 2 y z 1 x 5 y 2 z x 3y 1 y z 1 (hệ vô nghiệm) Suy : d1 song song với d2 d1 và d2 chéo Mặt khác: hai vectơ phương u d1 (1;1;2) , u d2 (3; 1;1) không cùng phương nên d1 không thể song song d2 , đó d1 và d2 chéo b) Vì mp(P) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2 nên ta có: n( P ) =[u d1 , u d2 ]=(3; 7; -2) , và mp(P) qua M1(-2; 2; 0) thuộc d1 nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3(x + 2) + 7(y – 2) – 2z = 3x + 7y – 2z – = Lưu ý : Để chứng minh d1 chéo d2 các em học sinh ban KHTN còn có thể chứng minh cách CM : [u d1 , u d2 ].M 1M Bài 10 : Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – =0 và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + = Giải: 2 Ta có: mặt cầu (S) viết lại là : x 1 y z 3 16 Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=4 Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng có dạng : 4x + 3y -12z + D =0 Hơn nữa: mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) nên D 78 D 26 52 ( ) D 26 16 144 Vậy: có hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu bài đó là: 4x + 3y -12z + 78 =0 và 4x + 3y -12z -26 =0 d I R 3.6 D 15 Lop12.net (16) Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng x 1 y z và mặt phẳng (P) : 2x + y -2z + = d: 1 a, Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b, Tìm A d P Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), qua A và vuông góc với đường thẳng d Giải: a, Theo giả thiết I d nên điểm I có toạ độ tổng quát là: I( 1-t; -3+2t; 3+t) Hơn nữa: d I ( P) 2t 2t 2t 1 2 2t 1 t 1 t t 2 1 t 3 t * Với t=2 ta có : I (3;-7;1) * Với t =4 ta có: I( -3;5;7) Vậy: có hai điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài đó là : I (3;-7;1) và I( -3;5;7) b, Do A d P nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ : 2x y y z A(0; 1;4) 2 x y z Theo giả thiết: đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) và vuông góc với đường u n ( P) , u d thẳng d nên đường thẳng ∆ có VTCP là : Mà : n( P ) (2;1; 2), u d (1;2;1) u (5;0;5) hay u (1;0;1) x t Vậy: Phương trình đường thẳng ∆ là : y 1 z t 2 Bài 12 : Cho mặt cầu (S): x + y + z – 2y– 4z -20 = và mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Chứng minh rằng: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến (C) Giải: Ta luôn có : mặt cầu (S) có tâm I(0;1;2) và bán kính R=5 228 Vì: d I ( P) R 6 Mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) 16 Lop12.net (17) Gọi H là hình chiếu I trên (P) H là tâm đường tròn (C) và bán kính (C) là: r R2 d I (P) u d n( P ) (1;2 : 1) * Gọi d là đường thẳng di qua I là vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có VTCP là : xt Phương trình đường thẳng d là: y 2t z 2t Khi đó: Toạ độ điểm H là nghiệm hệ : x xt y 2t 5 10 y H ( ; ; ) z 2t 3 3 10 x y z z 64 23 Vậy: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm 23 10 H ( ; ; ) và bán kính r 3 Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0) Gọi M là trung điểm CC’ a Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Giải: * Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0), z C’(a; a; b) A' D' Vì M là trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2) C' Khi đó: B' b A ' B (a;0; b) a A ' D ' (0;a; b) y A D a MB (0; a; b/2) C B A ' B (a;0; b/2) Do đó: vectơ phương x mp(A’BD)là: n1 [ AB, AD]=(ab;ab;a ) Và : vectơ phương mp(MBD) là: n2 [ MB, MD]=(ab/2; ab/2; a ) Và bán kinh (C) là: r 25 17 Lop12.net (18) * Để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với ta phải có: a 2b2 a 2b2 n1 n2 n1.n2 a a 2b2 a 2 a a 1 1 b b a Vậy: tỉ số thì hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Bài 14: (Đề thi Đại học khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD CMR : AM BP Tính thể tích VCMNP Giải: * Do SAD và ( SAD) ( ABCD) nên gọi H là trung điểm AD SH AD SH ( ABCD) Khi đó, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho : O = H = (0 ; ; 0), N = (a ; ; 0), D = (0 ; a/2 ; 0), a S = (0 ; ; ) A B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0), a a a A(0; -a/2; 0), M( ; ; ) B 4 a a a a AM ( ; ; ), BD( ;a;0) x 4 a2 a2 AM BD AM BD 4 Vậy AM BP * Ta có : VCMNP SCNP MK 1 a a a2 a Mà : SCNP CN CP , MK SH 2 2 a a a VCMNP (đvtt) 96 z S M D y H P K N C III BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 1/ Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P) 18 Lop12.net (19) 3/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm I d và (P) 25 2 ĐS: 1/ x + y -2z - = 2/ x 1 y 1 z x t 1 1 I ; ; 3/ y t 6 3 z 2t Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; ; 0), B(-3 ; ; 2), C(1 ; ; 3), D(0 ; ; - 2) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB 3/ Viết phương trình đường thẳng AD 4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 2/ 2x - 3y - z + = x 1 y z 3/ 4/ S 38 V 1 2 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = và điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên mp(P) 3 ĐS: 1/ 2x + y - z - = d ( M ,( P)) 2/ H (4; ; ) 2 Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; ; 2) và mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1 ; ; 11), B(0 ; ; 10), C(1 ; ; 8) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P) 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = Chứng minh mặt cầu này cắt mặt phẳng (P) x t 2 Đs: 1/ y y (P): 2x - 3y + z - = 2/ x 3 y 1 z 25 z 11 t Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC) x 3t ĐS: 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) 2/ y t z 1 t 19 Lop12.net (20) Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện 2/ Tìm điểm A’ cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực đọan AA’ 73 86 106 ĐS: 1/ 6x + 3y + 2z - = 2/ A’( ; ; ) 49 49 49 Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A 3/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O 2 ĐS: 1/ x y z 3 2/ y - 2z + = 3/ M(2;5;-7) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua A x t ĐS: 1/ y t 2/ x + y - 3z + = z 2 3t Bài :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a)Viết phương trình mp qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC) b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- = c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- = d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ ĐS: a/ x - z - = b/ 2x - y - 3z + = c/ x - z + = d/ x + z = e/ x + = f/ 6x - 4y + 3z - 12 = Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d): x 1 y 1 z và (d’): x2 y2 z 2 a) Chứng tỏ (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách chúng b)Viết phương trình đường vuông góc chung chúng c)Tính góc (d1) và (d2) 17 24 x y z 62 13 13 13 ĐS: a/ b/ 11 5 7 195 Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Chứng minh điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD x ĐS: a/ y t b/ V = z 1 t 20 Lop12.net (21)