[r]
(1)(CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Tốn Minh Hoạ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d: x+21=y+1=z −3 mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P) (Q) A=d (P) A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) HI d’thì : KIH❑ =(P ,Q)=α Trong tam giác vuông KIH : tanα=KH
HI , KH không đổi nên:
tan α nhỏ ⇔ HI lớn ⇔ I A (do HI HA)
Khi d’ vng góc với d Vậyd’đi qua A vng góc với d nằm (P) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’
VTCP d u⃗❑
=(2;1;1) ; VTPT (P) n ⃗ ❑
P(1;2;−1) suy VTCP d’
u '❑⃗ =[u
⃗ ❑
, n ⃗ ❑
P]=(−3;3;3)hayu '
⃗ ❑
=(1;−1;−1) Do VTPT mặt phẳng (Q) là: n⃗❑
Q=[u
⃗ ❑
,u '
⃗ ❑
]=(0;3; −3)hayn ⃗ ❑
Q=(0;1; −1)
Điểm M(-1;-1;3) d ⇒ M (Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = y-z+4 = Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = (A2+B2+C2≠0) M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d ⇒ M;N (Q) Ta được:
¿
C=−2A − B D=7A+4B
¿{
¿
Do (Q): Ax+By+(−2A − B)z+7A+4B=0 VTPT (Q) n⃗❑
Q=(A ; B ; −2A − B)
Ta coù VTPT mặt phẳng (P) : n⃗❑
P=(1;2;−1) Gọi α góc (P) (Q) thì:
cosα=|n ⃗ ❑
P.n
⃗ ❑
Q|
|n⃗❑P|.|n
⃗ ❑
Q|
= √6
|A+B|
√5A2
+2B2+4 AB Ta xeùt hai trường hợp A
Trường hợp 1: A=0 Ta cos α = √6
|B|
√2B2=√
3
Trường hợp 2: A Ta có cosα= √6
|1+B A|
√5+2(B A)
2 +4(B
A) Xét hàm số: f(x) = 69 x
2
+2x+1
2x2+4x+5(x= B
A;f(x)=cos
(2)f '(x)=96 6x+6
(2x2+4x+5)2 f’(x) = ⇔ x= -1
Vaäy cos2 α <
4 ⇒cosα<√
2 ⇒α>
π
6 ( Do hàm cosin x nghịch biến đọan
[0;π
2] )
Trường hợp (1) (2) ⇒minα=π
6
Khi A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 D= Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 =
Hết Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B
0
sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B đường thẳng d Trong đường thẳng qua A cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B :
a) Lớn b) Nhỏ
x - +
1 f’
( x )
f ( x )
0
- +
0
4
4