Chủ đề: Mặt nón, hình nón và khối nón (Hình học 12 - Chương II)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU §3 Mặt nón, hình nón và khối nón Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 3 Mặt nón, hình nón và khối nón A. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa mặt nón Cho đờng thẳng (). Xét đờng thẳng (l) cắt () tại O và không vuông góc với (). Định nghĩa Mặt tròn xoay sinh bởi (l) nh thế khi quay quanh () gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón). Khi đó: Điểm O gọi là đỉnh của mặt nón. Đờng thẳng () gọi là trục của mặt nón. Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. Nhận xét rằng, nếu M là một điểm nằm trên mặt nón và khác O thì toàn bộ đ- ờng thẳng OM cũng nằm trên mặt nón. Nh vậy, có thể xem mặt nón N là hình tạo bởi các đờng thẳng đi qua O và hợp với () một góc bằng . Các đờng thẳng nh thế gọi là đờng sinh của mặt nón. 2. Hình nón và khối nón Cho mặt nón (N) với trục (), đỉnh O và góc ở đỉnh 2. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với () tại điểm I khác với đỉnh O. Mặt phẳng cắt mặt nón theo đờng tròn (C) có tâm I. Gọi (P') là mặt phẳng vuông góc với () tại O. Định nghĩa Phần của mặt nón nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hình tròn (C) đợc gọi là hình nón. Khi đó: Điểm O gọi là đỉnh của hình nón. Hình tròn (C) gọi là đáy của hình nón. Với điểm M(C) đoạn OM gọi là đờng sinh của hình nón. Các đờng sinh của hình nón có độ dài bằng nhau Đoạn OI gọi là trục của hình nón. Độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. 2 () l O M () O M P') P) I (C) Các thiết diện qua trục của một hình nón là các tam giác cân bằng nhau. Định nghĩa Hình nón cùng với phần bên trong của nó đợc gọi là khối nón xác định bởi hình nón đó. 3. Diện tích hình nón Thể tích khối nón Với hình nón có bán kính đáy R, đờng sinh l và đờng cao h, ta sử dụng công thức: S xq = Rl; V = 3 1 R 2 h. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Quĩ tích điểm là mặt nón Để chứng minh một đờng thẳng ( l ) di động nhng luôn thuộc một mặt nón tròn xoay cố định ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chứng minh ( l ) đi qua điểm cố định O thuộc đ- ờng thẳng () cố định. Bớc 2: Chứng minh ã (l, ) = không đổi. Bớc 3: Vậy, đờng thẳng ( l ) thuộc mặt nón (N) trục () đỉnh O và góc ở đỉnh bằng 2. Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chứng minh ( l ) đi qua điểm cố định O. Bớc 2: Chứng minh ( l ) luôn cắt một đờng tròn (C) cố định có trục đi qua điểm O. Bớc 3: Suy ra ( l ) luôn thuộc mặt nón tròn xoay có đỉnh O và đờng chuẩn là (C). Ví dụ 1: Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trớc, xét đờng thẳng (l) thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 60 0 . Tìm tập hợp các đờng thẳng (l) trong không gian. Giải Gọi () là đờng thẳng qua O và vuông góc với (P), suy ra: g((l), ()) = 30 0 3 O () (l 0 ) P) 60 0 Vây, ta thấy (l) thuộc mặt nón sinh bởi đờng thẳng (l 0 ) (qua O và tạo với () một góc 30 0 ) khi quay quanh (). Ví dụ 2: Cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Một đờng thẳng (l) thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB 2 . Gọi H là hình chiếu của B trên (l). a. Chứng tỏ rằng đờng thẳng (l) luôn nằm trên một mặt nón. Hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó. b. Tìm tập hợp các điểm H. Giải a. Trong HAB vuông tại H, ta có : ã sin HAB = HB AB = AB 2 AB = 1 2 ã 0 HAB 30= không đổi. Vây, ta thấy (l) thuộc mặt nón sinh bởi đờng thẳng (l 0 ) (qua O và tạo với (AB) một góc 30 0 ) khi quay quanh (AB). b. Gọi O là hình chiếu vuông góc của H lên AB, ta có: HB 2 = BO.BA BO = 2 HB BA = AB 4 O cố định. HO 2 = HB 2 BO 2 = 2 AB 4 2 AB 16 = 2 3AB 16 HO = AB 3 4 không đỏi. Vậy, tập hợp các điểm H là đờng tròn tâm O bán kính R = AB 3 4 Vấn đề 2: Các bài toán định tính và định lợng của hình nón, mặt nón và khối nón Để giải các bài toán định tính và định lợng về hình nón ta thờng dùng phép chiếu vuông góc xuống mặt đáy rồi sử dụng các tính chất hình học phẳng của đờng tròn đáy và của tam giác vuông, tam giác cân để thực hiện. 4 A B H l O Ví dụ 1: Cho hình nón đỉnh O có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một tam giác OAB có cạnh AB = R là một dây cung của đờng tròn đáy. a. Tính diện tích ABC. b. Tính cosin góc giữa mặt phẳng chứa tam giác và mặt phẳng đáy. Giải a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, suy ra OH vuông góc với AB (định lí ba đờng vuông góc). Trong IHA vuông tại H, ta có: IH 2 = IA 2 HA 2 = 2 2 AB IA 2 ữ = 2 2 R R 4 = 2 3R 4 IH = R 3 2 . Trong OIH vuông tại I, ta có: OH 2 = IO 2 + IH 2 = 2 2 3R R 4 + = 2 7R 4 OH = R 7 2 . Từ đó, suy ra: S OAB = 1 AB.OH 2 = 1 R 7 R. 2 2 = 2 R 7 4 . b. Góc giữa mặt phẳng chứa tam giác và mặt phẳng đáy là ã OHI , ta có: cos ã OHI = IH OH = R 3 2 R 7 2 = 3 7 = 21 7 . Ví dụ 2: (Bài 4/tr 63 Sgk): Một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đờng cao. Tính bán kính một mặt cầu (S) tròn trờng hợp: a. (S) có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón đó. b. (S) có thể tích bằng thể tích toàn của khối nón đó. Giải a. Ta lần lợt có: Hình nón có bán kính đáy R = BC 2 = a 2 và đ- ờng sinh l = AB = a nên: 5 O I B A H A I B C S tp = S xq + S đ = Rl + R 2 = . a 2 .a + . 2 a 2 ữ = 2 3 a 4 . Mặt cầu có bán kính R, ta có: S = 4R 2 4R 2 = 2 3 a 4 R = a 3 4 . b. Ta lần lợt có: Hình nón có: V = 3 1 R 2 h = 2 1 a a 3 . . 3 2 2 ữ = 3 a 3 24 . Mặt cầu có bán kính R, ta có: V = 3 4 R 3 3 4 R 3 = 3 a 3 24 R = 3 a 2 3 4 . Ví dụ 3: (Bài 21/tr 60 Sgk): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đờng thẳng BC. Giải Hạ AI vuông góc với BC, khi đó: V = V 1 + V 2 = 3 1 AI 2 BI + 3 1 AI 2 CI = 3 1 AI 2 (BI + CI) = 3 1 AI 2 BC. (1) Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = c 2 + b 2 2 2 BC b c= + . (2) 2 2 2 1 1 1 AI AB AC = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB .AC b c AI AB AC b c = = + + . (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: V = 3 1 2 2 2 2 b c b c+ . 2 2 b c+ = 2 2 2 2 b c 3 b c + . Ví dụ 4: (Bài 5/tr 63 Sgk): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi V 1 , V 2 , V 3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lợt quay quanh AB, AC, BC. a. Tính V 1 , V 2 , V 3 theo b, c. 6 B I A' A C b. Chứng minh rằng 2 2 2 3 1 2 1 1 1 V V V = + . Giải Bạn đọc tự vẽ hình trong trờng hợp quay quanh AB và AC a. Khi quay quanh AB, ta đợc: V 1 = 3 1 .AC 2 .AB = 3 1 b 2 c. Khi quay quanh AC, ta đợc: V 2 = 3 1 .AB 2 .AC = 3 1 bc 2 . Khi quay quanh BC, hạ AI vuông góc với BC, khi đó: V 3 = 1 2 3 3 V V+ = 3 1 AI 2 BI + 3 1 AI 2 CI = 3 1 AI 2 (BI + CI) = 3 1 AI 2 BC. (1) Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = c 2 + b 2 2 2 BC b c= + . (2) 2 2 2 1 1 1 AI AB AC = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB .AC b c AI AB AC b c = = + + . (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: V = 3 1 2 2 2 2 b c b c+ . 2 2 b c+ = 2 2 2 2 b c 3 b c + . b. Ta có: 2 2 1 2 1 1 V V + = 2 4 2 2 2 4 9 9 b c b c + = 2 2 2 4 4 9(b c ) b c + = 2 3 1 V , đpcm. Vấn đề 3: Mặt nón với mặt trụ và mặt cầu Sử dụng định nghĩa hình nón cùng tính chất của các khối hình liên quan. Ví dụ 1: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích khối nón. Giải Tứ diện đều ABCD, gọi G là trọng tâm ABC. Khối nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R và chiều cao h với: R = GA = a 3 3 ; 7 B I A' A C D B A G C h = SG = 2 2 SA GA = 2 2 a 3 a 3 ữ ữ = a 6 3 . Khi đó, thể tích của khối nón là: V = 3 1 R 2 h = 3 1 . 2 a 3 3 ữ ữ . a 6 3 = 3 a 6 27 . Ví dụ 2: (Bài 19/tr 60 Sgk): Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đờng tròn đáy của hình nón. Hình nón nh vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. a. Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b. Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. a. Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Giải a. Với hình nón đỉnh S và có tâm I ở đáy, suy ra SI là trục của đờng tròn đáy. Trong (SIA), dụng trung trực Mx của đoạn SA và cắt SI tại O. Vậy, mặt cầu (O; OS) ngoại tiếp hình nón. b. Dựa trên tính chất đồng dạng của tam giác, ta có: SO SM SA SI = SA.SM SO SI = = 2 SA 2SI = 2 2 SI AI 2SI + = 2 2 h r 2h + . c. Dựa trên kết quả câu b), ta có: R = 2 2 h r 2h + 2hR = h 2 + r 2 r h(2R h)= . Khi đó: S xq = rl = h(2R h) . 2 h h(2R h)+ = h 2R(2R h) . Ví dụ 3: (Bài 20/tr 60 Sgk): Một mặt cầu gọi là nội tiếp nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đờng sinh của hình nón. Khi đó hình nón đợc gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a. Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất. b. Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp. Giải 8 S I B A O M a. Với hình nón đỉnh S và có tâm I ở đáy, suy ra SI là trục của đờng tròn đáy. Trong (SIA), dụng phân giác Ax của góc ã SAI và cắt SI tại O. Vậy, mặt cầu (O; OS) nội tiếp hình nón. b. Trong SIA, ta có: 2 2 OI OS SI OI AI AS SI AI = = + 2 2 OI SI AI AI(SI OI)+ = ( ) 2 2 OI SI AI AI AI.SI+ + = 2 2 AI.SI OI SI AI AI = + + = 2 2 rh h r r+ + . Vấn đề 4: một số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm Câu 1. Một hình nón có đờng sinh bằng l và bằng đờng kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón là: A. 1 3 l. B. 3 6 l. C. 2 6 l. D. 3 4 l. Đáp số trắc nghiệm B. Lời giải tự luận: Với hình nón đỉnh S đờng kính đáy AB, ta suy ra: (SAB) cắt mặt cầu với thiết diện là đờng tròn lớn và là đờng tròn nội tiếp SAB. SAB là tam giác đều nên tâm I của mặt cầu chính là trọng tâm SAB (có cạnh bằng l) và bán kính: r = 1 3 SO = 1 3 . 3 2 l = 3 6 l, ứng với đáp án B. Câu 2. Một hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đờng gấp khúc AC'A' khi quay quanh AA' bằng: A. 2 a 6 . B. 2 a 3 . C. 2 a 2 . D. 2 a 5 . Đáp số trắc nghiệm A. Lời giải tự luận: Hình nón tròn xoay sinh bởi đờng gấp khúcAC'A' khi quay quanh AA' có: R = A'C' = a 2 và l = AC' = a 3 S xq = Rl = a 2 . a 3 = 2 a 6 , ứng với đáp án A. 9 S A B O I S I B A O M Câu 3. Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trớc, xét đờng thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30 0 . Tập hợp các đờng thẳng l trong không gian là: A. Một mặt phẳng. B. Hai đờng thẳng. C. Một mặt trụ. D. Một mặt nón. Đáp số trắc nghiệm D. Lời giải tự luận: Gọi () là đờng thẳng qua O và vuông góc với (P), suy ra: g(l, ()) = 60 0 Vây, ta thấy l thuộc mặt nón sinh bởi đờng thẳng l 0 (qua O và tạo với () một góc 60 0 ) khi quay quanh (). Câu 4. Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi vuông góc với đờng phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho ã AMB = 90 0 . Khi ấy tập hợp các điểm M là: A. Một đờng tròn. B. Một mặt trụ. C. Một mặt nón. D. Một mặt cầu. Đáp số trắc nghiệm C. Lời giải tự luận: Giả sử Oz là tia phân giác của góc xOy, Oz cắt AB tại H, suy ra: OH AB, vì OAB cân tại O OH OH HM. Xét hai tam giác vuông OHM và OHB, ta có: OH chung HM = HB suy ra: OHM = OHB ã ã MOH BOH= = , không đổi Vậy, M thuộc mặt nón ( n ) trục Oz đỉnh O và góc ở đỉnh bằng 2. Câu 5. Cho hình nón có đờng sinh bằng đờng kính đáy và bằng 2. Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình nón đó là: A. 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 2 3 3 . Đáp số trắc nghiệm D. Lời giải tự luận: Gọi M là trung điểm SA và trong mặt phẳng (SAO) dựng Mx vuông góc với SA cắt SO tại I. Trong SMI, ta có: OA = 1 SA 2 ã OSA = 30 0 . 10 O H M A B S A B O I M . “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 3 Mặt nón, hình nón và khối nón Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học. a 2 và đờng cao h = a 3 2 nên: V = 3 1 R 2 h = 2 1 a a 3 . . 3 2 2 ữ = 3 a 3 24 . Mặt cầu có bán kính R, ta có: V = 3 4 R 3 3 4 R 3 = 3 a 3 24