Chủ đề: Mặt trụ, hình trụ và khối trụ (Hình học 12 - Chương II)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU §2 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 2 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ A. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa mặt trụ Cho đờng thẳng (). Xét đờng thẳng (l) song song với (), cách () một khoảng R. Định nghĩa Mặt tròn xoay sinh bởi đờng thẳng (l) nh trên khi quay quanh () đợc gọi là mặt trụ tròn xoay (hay đơn giản là mặt trụ). Khi đó: () gọi là trục của mặt trụ. (l) gọi là đờng sinh của mặt trụ. R gọi là bán kính của mặt trụ. Nh vậy, mặt trụ đợc hoàn toàn xác định khi biết trục () và bán kính R của nó. Ta kí hiệu mặt trụ đó là T(; R). 2. Hình trụ và khối trụ Cắt mặt trụ T(; R) bởi hai mặt phẳng phân biệt (P), (P') cùng vuông góc với (), ta đợc hai đờng tròn (C), (C'). Hai đờng tròn đó xác định hai hình tròn (C), (C'). Định nghĩa Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hai hình tròn (C) và (C) đợc gọi là hình trụ. Khi đó: Hai hình tròn(C) và (C') gọi là hai mặt đáy của hình trụ, bán kính R của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ. Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Với mỗi điểm M (C) có một điểm M'(C') sao cho MM'//OO'. Suy ra MM' nằm trên mặt xung quanh của hình trụ và có độ dài bằng chiều cao hình trụ. Các đoạn thẳng nh vậy gọi là đờng sinh của hình trụ. Chú ý: Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau. Định nghĩa 2 () M' O' O M (C) (C') P) P') () O R M (l) M 1 (l 1 ) Hình trụ cùng với phần bên trong của nó đợc gọi là khối trụ xác định bởi hình trụ đó. 3. Diện tích hình trụ Thể tích khối trụ Định nghĩa Một lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đáy của hình trụ. Khi đó ta cũng nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ thể tích khối trụ: Với hình trụ có bán kính đáy R và đờng cao h, ta có: S xq = 2Rh; V = R 2 h. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Quĩ tích điểm là mặt trụ Với bài toán quĩ tích : Nếu một điểm M di động trong không gian có: 1.Hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng () là điểm M' di động trên một đờng tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục là đờng thẳng đi qua tâm của đờng tròn (C) và vuông góc với (). 2.Khoảng cách từ M tới đờng thẳng () cố định bằng R không đổi thì M thuộc mặt trụ cố định (T) trục () và bán kính bằng R. Ví dụ 1: (Bài 13/tr 53 Sgk): Cho đờng tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đờng tròn đã cho. Giải Gọi () là đờng thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Gọi M 1 là hình chiếu của M lên (P) thỏa mãn điều kiện đầu bài, suy ra: MM 1 //() d(M, ) = d(M 1 , ) = R. Vậy, tập hợp các điểm M là mặt trụ T(; R). Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi. Giải Gọi khoảng cách từ M tới AB là d(M, AB), ta có: 3 A B 1 B A 1 C 1 C d H R M A B S MAB = 1 2 .AB.d(M, AB) S = 1 2 .a.d(M, AB) d(M, AB) = 2S a , không đổi M thuộc mặt trụ ( t ) trục AB và bán kính R = 2S a . Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn. Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính R và đờng cao R 2 . Gọi AB và CD là hai đờng kính thay đổi của hai đờng tròn đáy mà AB vuông góc với CD. a. Chứng minh rằng ABCD là tứ diện đều. b. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách từ các đờng thẳng đó tới trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ). Giải a. Trớc tiên, ta có ngay AB = CD = 2R. Mặt khác, các tam giác vuông: AO'C = AO'D = BO'C = BO'D AD = AC = BD = BC. Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt đáy chứa tâm O', ta có: (AB, CD) = (O'A', O'C) = ã A'O'C ' = 90 0 . Trong AA'C vuông tại A, ta có: AC = 2 2 A'A A'C+ = 2 2 2R 2R+ = 2R. Vậy, tứ diện ABCD đều với cạnh bằng 2R. b. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy chứa tâm O', ta thấy ngay A'CB'D là hình vuông tâm O'. Ta có: d(AC, OO') = d(O', A'C); d(AD, OO') = d(O', A'D); d(BC, OO') = d(O', B'C); d(BD, OO') = d(O', B'D); suy ra: d(AC, OO') = d(AD, OO') = d(BC, OO') = d(BD, OO') 4 A C O' O D B A' H tức là, các đờng thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định có trục là OO'. Vấn đề 2: Các bài toán định tính và định lợng của hình trụ, mặt trụ và khối trụ Để giải các bài toán định tính và định lợng về hình trụ ta thờng dùng phép chiếu vuông góc xuống mặt đáy rồi sử dụng các tính chất hình học phẳng của đờng tròn đáy để thực hiện. Với hình trụ có bán kính đáy R và đờng cao h, ta sử dụng công thức: S xq = 2Rh; V = R 2 h. Ví dụ 1: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lợt là hai dây cung của hai đờng tròn đáy. Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. a. Tính diện tích hình vuông ABCD. b. Tính cosin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Giải a. Giả sử hình vuông có cạnh bằng a. Gọi C', D' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đờng tròn (O), ta có: AD' 2 = BD' 2 AB 2 = 4R 2 a 2 , AD 2 = AD' 2 + DD' 2 a 2 = 4R 2 a 2 + R 2 a 2 = 2 5R 2 a = R 10 2 . Diện tích của hình vuông ADBC là: S = a 2 = 2 5R 2 . b. Gọi là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy, ta có: cos = AD' AD = 2 2 4R a a = 2 2 2a 4. a 5 a = 15 5 . Ví dụ 2: (Bài 16/tr 54 Sgk): Một hình trụ T có bán kính đáy R và chiều cao R 3 . a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ T. b. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ T. 5 B A D' D C C' O c. Cho hai điểm A và B lần lợt nằm trên hai đờng tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 0 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ T. Giải a. Ta lần lợt có: S xq = 2R. R 3 = 2R 2 3 . S tp = S xq + 2B = 2R 2 3 + 2R 2 = 2R 2 ( ) 3 1+ . b. Ta có ngay: V = R 2 .R 3 = R 3 3 . c. Dựng Ax // OO cắt (O) tại N và dựng By // OO cắt (O) tại M, ta có: ã (AB,OO') = 30 0 ã BAN = 30 0 . Trong ABN vuông tại N, ta có: AM = BN = AN.tan ã ABN = OO.tan30 0 = 3R . 1 3 = R. Hạ OH AM, ta có: d(AB, OO') = d(O, AMBN) = OH = 2 2 OA AH = 2 2 AM OA 4 = 2 2 R R 3 R 4 2 = . Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính R, trục OO' = h. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua O tạo với đáy hình trụ góc cho trớc và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo các dây AB và CD (dây AB qua O). a. Tính diện tích tứ giác ABCD. b. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc H của điểm O' trên (P) thuộc một đờng tròn cố định. Giải a. Gọi I là trung điểm của CD, ta có nhận xét: CD O'I CD OI, theo định lí ba đờng vuông góc ã OIO' = Ta có: AB // CD ABCD là hình thang CD OI AB OI ABCD là hình thang cân. Từ đó: S ABCD = 1 2 (AB + CD)OI. 6 A B O O M N O A M H A S C D O O' I H J Trong O'OI, ta có: OI = ã O'O sinOIO' = h sin ; O'I = O'O.cot ã OIO' = h.cot. Trong O'DI, ta có: ID 2 = O'D 2 O'I 2 = R 2 h 2 .cot 2 ID = 2 2 2 R h .cot , CD = 2ID = 2 2 2 2 R h .cot . Vậy, ta đợc: S ABCD = 1 2 (2R + 2 2 2 2 R h .cot ) h sin = ( ) 2 2 2 h R R h .cot sin + . b. Trong mặt phẳng (O'OI) hạ O'H vuông góc với OI, suy ra H là hình chiếu vuông góc của O' trên (P). Trong O'IH, ta có: O'H = O'I.sin ã OIO' = h.cot.sin = h.cos. Trong O'HO kẻ đờng cao HJ, ta có: O'J.O'O = O'H 2 O'J = 2 O'H O'O = h.cos 2 điểm J cố định. Mặt khác ta có: JH 2 = O'H 2 O'J 2 = h 2 .cos 2 h 2 .cos 4 = h 2 .cos 2 (1 cos 2 ) = h 2 .cos 2 .sin 2 = 2 2 h .sin 2 4 , không đổi. Vậy, ta thấy H thuộc đờng tròn tâm J bán kính bằng h.sin 2 2 trong mặt phẳng vuông góc với O'O tại J. Vấn đề 3: Mặt trụ nội tiếp và ngoại tiếp Sử dụng định nghĩa hình trụ cùng tính chất của các khối hình liên quan. Ví dụ 1: (Bài 15/tr53 Sgk): Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ (T), cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R. a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ (T). b. Tính thể tích của khối trụ (T). c. Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ (T). Giải a. Vì thiết diện qua trục là một hình vuông nên hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 2R. Ta có ngay: 7 A B 1 B A 1 D 1 D C C 1 S xq = 2R.2R = 4R 2 . S tp = S xq + 2B = 4R 2 + 2R 2 = 6R 2 . b. Ta có ngay: V = R 2 .R = R 3 . c. Gọi ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 là khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho, ta có AB = 2R . Do đó, thể tích V 1 của đợc cho bởi: V 1 = ( 2R ) 2 .2R = 4R 3 . Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang cân có đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên bằng 5a 2 , chiều cao hình lăng trụ bằng h. a. Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho. b. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó. Giải a. Với giả thiết hình lằn trụ là hình lăng trụ đứng nên ta chỉ cần chứng minh đáy ABCD có đờng tròn nội tiếp. Gọi I, J, O theo thứ tự là trung điểm của AB, CD và IJ, ta có: OI = OJ = IJ 2 . Kẻ BH, OK theo thứ tự vuông góc với CD, BC, ta lần lợt có: IJ = BH = 2 2 BC CH = 2 2 BC (CJ JH) = 2 2 5a a 2a 2 2 ữ ữ = 2a OI = OJ = a. Mặt khác ta có: OK.BC = OB.OC OK = OB.OC BC = 2 2 OB.OC OB OC+ = 2 2 2 2 2 2 2 2 OI IB . OJ JC (OI IB ) (OJ JC ) + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 a a . a 4a 4 a a a 4a 4 + + + + + = a = OI. 8 A B' BI C A' C' D' D O O' J Suy ra O là tâm đờng tròn ngoại tiếp hình thang ABCD. Vậy, hình trụ có trục OO' (O, O' là tâm hai đờng tròn đáy) và bán kính đáy bằng a chính là hình trụ nội itếp lăng trụ đã cho. b. Ta có: S tp = S xq + 2S đ = 2Rh + 2R 2 = 2ah + 2a 2 = 2a(h + a). V = R 2 h = a 2 h. Vấn đề 4: một số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm Câu 1. Cho khối trụ bán kính a 3 và chiều cao 2a 3 . Thể tích của nó là: A. 3 4 a 3 . B. 3 9a 3 . C. 3 6 a 3 . D. 2 6 a 3 . Đáp số trắc nghiệm C. Lời giải tự luận: Ta có ngay: V = R 2 h = ( ) 2 a 3 .2a 3 = 3 6 a 3 , ứng với đáp án C. Câu 2. Một hình trụ có bán kính đáy R, đờng cao OO'. Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng () tùy ý vuông góc với đáy và cách O một khoảng h cho tr- ớc (h < R). Khi ấy mặt phẳng () có tính chất: A. Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định. B. Luôn cách một mặt phẳng cho trớc qua trục hình trụ một khoảng h. C. Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. D. Cả ba tính chất trên đều sai. Đáp số trắc nghiệm A. Lời giải tự luận: Mặt phẳng () luôn tiếp xúc với một mặt trụ sinh bởi đờng thẳng l (song song với OO' và cách OO' một khoảng h) khi quay quanh OO'. Câu 3. Một khối trụ có bán kính đáy a 3 , chiều cao 2a 3 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là: A. 3 8 a 6 . B. 3 6 a 6 . C. 3 4 a 6 3 . D. 3 4 a 3 . Đáp số trắc nghiệm A. Lời giải tự luận: Gọi I là trung điểm của OO'. Khi đó, khối cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm I và bán kính là: R = IA = 2 2 OA OI+ = 2 2 OO' OA 2 + ữ = 2 2 3a 3a+ = a 6 . 9 A B A' B' O O' I Do đó, ta đợc: V Cầu = 3 4 R 3 = 3 4 ( a 6 ) 3 = 3 8 a 6 , ứng với đáp án A. Câu 4. Một mặt trụ có bán kính đáy a, đờng cao OO' = a 3 . Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 0 , A, B thuộc hai đờng tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm I của AB là: A. Một mặt trụ. B. Một mặt cầu. C. Một đờng tròn. D. Một mặt phẳng. Đáp số trắc nghiệm C. Lời giải tự luận: Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy chứa tâm O, ta có: (AB, OO') = ã ABB' = 30 0 , AB' = BB'.tan ã ABB' = a 3 .tan30 0 = a. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB và OO', ta có: OHIK là hình chữ nhật IK OO' tại điểm K cố định. Ngoài ra: IK = OH = a 3 2 . Vậy, tập hợp I thuộc đờng tròn C(K, a 3 2 ) trong mặt phẳng (P) vuông góc với OO' tại K. Câu 5. Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lợt là hai dây cung của hai đ- ờng tròn đáy. Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là: A. 2 5R 2 . B. 5R 2 . C. 2 5R 2 2 . D. 2 5R 2 . Đáp số trắc nghiệm A. Lời giải tự luận: Giả sử hình vuông có cạnh bằng a. Gọi C', D' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đờng tròn (O), ta có: AD' 2 = BD' 2 AB 2 = 4R 2 a 2 , AD 2 = AD' 2 + DD' 2 10 A B' B O O' K H I B A D' D C C' O . có: ID 2 = O'D 2 O'I 2 = R 2 h 2 .cot 2 ID = 2 2 2 R h .cot , CD = 2ID = 2 2 2 2 R h .cot . Vậy, ta đợc: S ABCD = 1 2 (2R + 2 2 2 2 R h. = a. Mặt khác ta có: OK.BC = OB.OC OK = OB.OC BC = 2 2 OB.OC OB OC+ = 2 2 2 2 2 2 2 2 OI IB . OJ JC (OI IB ) (OJ JC ) + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 a a