Ebook phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12 phần 1 lê hoành phò

516.0076 NGlTTJnS LE HOANH PHO PH561P I I I II I "T^t •^va ren luyer» -g, kl nang W T i l a m bai_' , NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI NGlTr.TbS LE HOANH PHO CAC CHUDE CAN BAN T BOI D I / O N G H O C S I N H GIOI THIJVIBJTiWHBINHTHUAN N H A XUAT B A N D A I HOC QUOC GIA HA NQ\ 16 Hang Chuo'i - Hai Ba Trang - Ha Npi Dien thoai: Bien tap-Che" ban: (04) 39714896: Hanh chinh: (04) 39714899: Tong bien tap: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 rjc Chiu trdch nhiem xuat ^ ^ ban: Gidm doc - Tong bien tap: TS.PHAM T H I TRAM NGUYEN KHOI Che' ban: N H AS A C H H O N G A N Siia bdi: NGOC L A M Bien tap: Trinh bay bia: MINH V O T H I THITA Ddi tdc lien ket xuat ban: N h a sach H O N G A N SACH L I E N KET CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 12 Ma so: 1L- 155OH2014 • In 2.000 cudn, khd 17 x 24cm tai Cong ty Co phan Van hoa Van Lang Giay phep xuat ban so: 463-2014/CXB/09-99 OHQGHN, 14/03/2014 Quyet dinh xuat ban so: 153LK-TN/QO-NXB OHQGHN In xong va nop luu chieu quy II nam 2014 Nham muc dfch giup cac ban hoc sinh I6p 10, Idp 11, Idp 12 nam vQng kien thufc can ban ve mon Toan tCr luc vao THPT cho den chuan bj thi Tot nghiep, tuyen sinh Cao dang, Dai hoc, tac gia da bien scan bo sach P H U O N G P H A P G I A I gom cuon: - CAC C H U D E CAN B A N DAI SO - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC - CAC C H U D E C A N B A N DAI S O - GIAI TICH 1 - CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 11 - C A C C H U D E C A N B A N GIAITl'CH - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 12 TCr nen Toan can ban nay, cac ban c6 the nang cao dan dan, bo sung va md rpng kien thufc va phifdng phap giai Toan, ren luyen ky nang lam bai va tC/ng bade giai dung, giai gpn cac bai tap, cac bai toan kiem tra, thi cCf Cuon C A C C H U D E C A N B A N H J N H H Q C cd 15 chu de vdi npi dung la phan dang Toan, tdm tat kien thufc va phadng phap giai, cac chu y; phan tiep theo la cac bai toan chpn Ipc can ban minh hpa vdi nhieu dang loai va mifc dp; phan cuoi la bai tap cd hudng dan hay dap so Du da CO gang kiem tra qua trlnh bien scan song khdng tranh khoi nhufng sai sot ma tac gia chua thay het, mong don nhan cac gdp y cua quy ban doc, hpc sinh de Ian in sau hoan thien hon Tac gia L E HOANH PHb O CHU D E I KHOI Dfi DIEN Vfl PHEP D0I HINH DANG TOAN • KHOI DA DIEN Hinh da dien va khoi da dien - Hinh da dien gom mot so hint hgn da gidc phang thod man hai dieu kien: (1) Hai da gidc hai ki hodc khong co diem chung hodc cd moi dinh chung, hoac CO moi cgnh chung (2) Moi cgnh cua moi da gidc la cgnh chung cua dung hai da gidc - Hinh da dien chia khong gian lam hai phdn: phdn ben vd phdn ben ngodi Hinh da dien ciing vai phdn ben cua no goi la khoi da dien - Moi khoi da dien co the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tic dien Moi da gidc cua hinh H duac goi la mot mat cua khoi da dien Cdc dinh, cdc cgnh cua moi mat goi la dinh, cgnh ciia khoi da dien Cdc diem nam hinh H goi la diem cua khoi da dien Khoi chop va khSi long tru - Khoi da dien duac goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duac giai hgn bai mot hinh chop, hinh chop cut Tuang tu cho khoi chop n-gidc, khoi chop cut ngidc, khoi chop deu khoi tit dien, - Khoi da dien duac goi la khoi Idng Iru neu no duac giai hgn bai mot hinh Idng tru, tuang tu cho khoi hop, khoi hop chu nhdt, khoi lapphuang - Phdn chia va lap ghep cdc khoi da dien: Moi khoi chop vd khoi Idng tru ludn CO the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tit dien bang nhieu cdch khdc Chiiy: 1) Dgc so O-le ciia khoi da dien loi: D6i v&i moi khoi da dien loi H, ta ki hieu D la so dinh C Id so cgnh, M la so mat cua H ihi co dgc so Z(H) = D-C + M = 2) Hinh lang tru deu: hinh lang tru dung (c6 canh ben vuong gdc vai mat day) va CO day la da giac deu 3) Hinh chop deu: day la da giac deu va cac canh ben bang Bai toan 1: Chung minh r^ng nSu khoi da dien c6 cac mat la tarn giac thi so mat phai la so chin Hay chi nhung khoi da dien nhu the voi so mat bang 4,6,8,10 Gidi Goi s6 canh cua kh6i da dien la C, s6 mat la M V i moi mat c6 ba canh va moi canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C Suy M la so chan Sau day la mot so khoi da dien so cac mat tam giac la 4,6, 8,10 Bai toan 2: Chung minh rang moi dinh ciia mot hinh da dien la dinh chung cua it nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat Gidi Ta dung phan chung Neu xuat phat tu mot dinh nao chi c6 hai canh, thi moi canh nhu thd la canh cua chi mot da giac, trai voi dieu kien dinh nghia cua hinh da dien Vay moi dinh phai la dinh chung cua it nhat la ba canh, va vi vay no ciing phai la dinh chung cua ba mat Bai toan 3: Chung minh rSng ndu khoi da dien c6 moi dinh la dinh chung cua ba canh thi s6 dinh phai la so chSn Gidi Gia su khoi da dien c6 C canh va c6 D dinh V i moi dinh la dinh chung cua ba canh va moi canh c6 hai dinh nen 3D 2C Vay D phai la so chan Bai toan 4: Chung minh rSng nSu kh6i da dien c6 cac mat la tam giac va m6i dinh la dinh chung cua ba canh thi la khoi tu dien Gidi Goi A la mot dinh cua kh6i da dien Theo gia thiet, dinh A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh la AB, AC, AD Canh AB phai la canh chung cua hai mat tam giac, la hai mat ABC va ADB (vi qua dinh A chi c6 canh) c Tuomg tir, ta c6 cac mat tam giac ACD va BCD Vay Ichoi da dien cliinh la khoi tu dien ABCD Bai toan 5: Chung minh rang, so goc cua tat ca cac mat gap doi so canh cua khoi da dien Suy so goc chan Gidi Goi so goc la G va so canh cua khoi da dien la C Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh dugc tinh Ian nen G = 2C, do G chEn Bai toan 6: Chung minh khong ton tai khoi da dien c6 mot so le mat va moi mat lai CO mot so le canh Giai Gia su ton tai khoi da dien c6 so mat la M le va moi mat chua so le canh Ci, i=l,2, ,M Ta CO so goc cua khoi da dien: G = C, + C + + C M ^ G le: v6 ly Vay khong ton tai kh6i da dien thoa de bai Bai toan 7: Hay phan chia mot khoi tu dien ba khoi tu dien bed hai mat phang Giai A Cho kh6i tu dien ABCD Lay diem M va N phan biet nam giiia C va D Bang hai mat phang (ABM) va (ABN), ta chia khoi tu dien da cho ba khoi tu dien: ABCN, ABNM va ABMD Bai toan 8: Hay phan chia mot khoi tu dien bon khoi tu dien bai hai mat phang Giai A Cho kh6i tu dien ABCD Lay diem M nam giiia A va B, diem N nam giua C va D Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta M/_ chia khoi tu dien da cho bon khoi tu dien: B• AMCN, AMND, BMCN va, BMND Bai toan 9: Hay phan chia mot khoi hop nam khoi tu dien Giai B Co t h i phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D' nam khoi tu dien sau day: ABDA', CBDC, B'A'C'B, D'A'C'D va, BDA'C DANG TOAN PHEP Ddfl HINH Phep den hinh - Mot phep hien hinh F khdng gian duac goi la phep dai hinh neu no hdo toan khoang each giita hai diem hat ky: neu F bien hai diem bat ki M, N Idn luat hai diim M', N' thi M'N' = MN Phep dai hinh bien duang thdng duang thdng, matphdng matphdng Hap cua nhung phep dai hinh la phep dai hinh Cdc phep d&i hinh dqc biet - Phep dong nhdt: Phep dai hinh bien diem M bdt ki chinh no - Phep tinh tien: Phep tinh tien theo vecta v Id phep bien hinh bien moi diem M diem M' cho M M ' = v - Phep doi xung qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d, phep doi xicng qua duang thdng d la phep bien hinh bien moi diem thudc d chinh no vd bien moi diem M khdng thudc d diem M' cho mat phdng (M, d) d Id dmrng trung true cua dogn thdng MM' - Phep doi xirng qua mot diem (phep doi xung tdm): Cho diem O, phep doi xicng qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M diem M' cho OM + OM ' = , hay O la trung diem cua MM' - Phep ddi xicng qua mat phdng (P) la phep bien hinh bien mdi diem thudc (P) chinh no vd bien mdi diem M khdng thudc (P) thdnh diem M' cho (P) Id mat phdng trung true cua dogn thdng MM' Hai hinh bang - Hai hinh da dien goi Id bdng neu eo mot phep dai hinh bien hinh thdnh hinh Ddi vai cdc khdi da dien Idi: Neu phep dai hinh F bien tap cdc dinh cua khdi da dien Idi H thdnh tap cdc dinh ciia khdi da dien Idi H' thi F bien H thdnh H' Dinh ly: Hai hinh tic dien ABCD vd A 'B'C'D' bdng niu chiing eo cdc egnh tuang icng bdng nhau, nghia Id AB -= A'B', BC = B'C, CD = CD', DA = D'A', AC = A'C, BD = B'D' Bai toan 1: Cho hai diem phan biet A, B va phep doi hinh f biln A A, biSn B B Chung minh rang f bien moi diem M nam tren ducmg thang AB diem M Gidi Ta CO f(A) = A, f(B) = B Gia su diem M thuoc duong thang A B va f ( M ) = M ' K h i M ' thuoc duomg M n g A B va A M = A M ' , B M = B M ' Suy M ' triing M , turc la f bi^n M chinh no Vay f bien mpi diem M nam tren duong thang A B chinh diem M Cho tam giac A B C va phep dai hinh f bien tarn giac A B C chinh no, tuc la f ( A ) = A , f(B) = B, f(C) = C Chung minh rang f bien moi diem M cua mp(ABC) chinh no, tuc la f ( M ) = M Bai toan 2: Gidi V i f(A) = A , f(B) = B va f(C) = C nen f bign mp(ABC) mp(ABC) Bai vay nSu M thuoc mp(ABC) va f ( M ) = M ' thi M ' thuoc mp(ABC) va A M = A M ' , B M = BM', C M = CM' Neu M ' va M phan biet thi ba diem A , B, C thuoc duong thang trung true cua doan thang M M ' tren mp(ABC), trai vai gia thiet A B C la tam giac Vay f ( M ) = M Bai toan 3: Cho t u dien A B C D Chung to rang phep dai hinh bien moi diem A , B, C, D chinh no phai la phep dong nhat Gidi Gia su phep dai hinh f bien cac diem A , B, C, D chinh cac diem do, tuc la f(A) = A , f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D Ta chung minh rang f bien diem M bat k i M That vay gia su M ' = f ( M ) va M ' khac vai M K h i v i phep dai hinh khong lam thay doi khoang each giCra hai dikm nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = C M ' , D M = D M ' , suy b6n di^m A , B, C, D nam tren mat phang trung true cua doan M M ' , dieu trai vai gia thidt A B C D la hinh t u dien Vay M ' triing vai M va do f la phep dong nhk Bai toan 4: Cho hai t u dien A B C D va A'B'C'D' c6 cac canh tucmg ung b ^ g nhau: A B = A'B', BC = B'C, C D = C D ' , D A = D'A', D B = D'B', A C = A ' C Chung minh rang c6 khong qua mot phep dai hinh bien cac diem A , B, C, D Ian luat cac diSm A', B', C , D' Gidi Gia su CO hai phep dai hinh f i va f2 deu bien cac diem A , B, C, D Ian luat cac di^m A ' , B', C , D' Neu f| va f2 khac thi eo it nhat mot diem M cho neu M i = f i ( M ) va M2 = f2(M) thi M l va M2 la hai diem phan biet Khi v i fi va deu la phep dai hinh nen A ' M i = A M va A'M2 = A M , vay A ' M i = A'M2, tuang t u B ' M i = B'M2, C'Mi = C'M2, D ' M i = D'M2, do b6n dikm A\, C, D' cung nam tren mat phang trung true cua doan thang M1M2, trai vai gia thi^t A'B'C'D' la hinh t u dien Do vai mpi diem M ta deu c6 f i ( M ) = f2(M), tuc la hai phep dai hinh fi va T2 trung I Vay CO khong qua mot phep dai hinh biln cac di6m A, B, C, D \hn lugt cac dilm A', B', C, D' Bai toan 5: Cho hai tam giac bang ABC va A'B'C (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C) Chung minh rang c6 dung hai phep dai hinh, mSi phep bien tam giac ABC tam giac A'B'C Cho truac tam giac ABC Co nhirng phep dai hinh nao bien tam giac ABC chinh no? Gidi Tren duong thang a vuong goc vai mp(ABC) tai A lay diem D khac A, tren duong thang a' vuong goc vai mp(A'B'C') tai A' c6 hai diem phan biet Di va D2 cho A'Di = A'D2 = AD Ta CO cac hinh tu dien ABCD, A'B'C'Di va A'B'C'Dz CO cac canh tuang ung bang Neu f la phep dai hinh bien tam giac ABC tam giac A'B'C thi hoac f bien D thanh.Dj hoac f bien D D2 Vay CO diing hai phep dai hinh bien tam giac ABC tam giac A'B'C Do la phep dai hinh fi h'lkn tu dien ABCD tu dien A'B'C'D, va phep dai hinh fi bien tu dien ABCD tu dien A'B'C'D2 Day la truong hop rieng hai tam giac ABC va A'B'C trung Vay ta c6 hai phep doi hinh bien ABCD chinh no: la phep dong nhSt va phep d6i ,xung qua mp(ABC) Bai toan 6: Cho tu dien deu ABCD va phep doi hinh f bien ABCD chinh no, nghia la bien moi dinh cua tu dien mot dinh cua tu dien Tim tap hop cac diem M khong gian cho M = f(M) cac truong hop sau day: a) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D Gidi a) Theo gia thiet f(A) = B va f(B) = C, f(C) = A Do f(M) = M va chi M A = MB = MC Suy tap hop cac diem M la true cua duong tron ngoai ti^p tam giac ABC b) Theo gia thiSt f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D Do f(M) = M va chi M A = MB va MC = MD, tuc la M d6ng thai •nam tren cac mat phang trung true cua AB va CD Suy tap hop cac diem M la duong thing di qua trung dikm cua AB va CD c) Theo gia thilt f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D Do f(M) = M va chi MA = MB = MC = MD Suy tap hop cac diem M gom mot dikm nhk la tam tu dien ABCD 10 Chuy: 1) Dien tick xung quanh ciia khoi tru: Sxq = 2nRh, The tich cita khoi tru: V = nR'h 2) Dien tich mat cdu: S = 47rR' Thi tich khSi cdu: V=- nR\ Bai toan 1: M o t khoi hop chu nhat noi tiep mot khoi try Ba kich thuac cua khoi hop chu- nhat la a, b, c Tinh the tich cua khdi try Gidi Khoi hop chii nhat c6 the noi tiep ba khoi try khac CO duong tron day ngoai tiep l4n luot cac mat hinh chu nhat kich thuac lai la chieu cao The tich ciia ba khoi try Ian lugt la: 7i(a"+b")c 7i(b"4-c")a , Ti(c"+a')b va 4 Bai toan 2: Mat phang di qua tryc cua mot hinh try, cat hinh try theo thiet dien la hinh vuong canh 2R a) Tinh dien tich xung quanh dien tich toan phan va the tich cua hinh try b) Tinh the tich khoi lang try t u giac deu noi tiep hinh try Giai a) Tir gia thiet ta suy hinh try c6 ban kinh day bang R va duong sinh bang 2R Tu do: S,q - 271R.2R = 47rR^ Stp = Sxq + 2Sday = 4nR^ + 27tR^ = 67xR^ V = 7iR^.2R = 27tR^ b) Hinh lang try tir giac deu noi tiep la hinh lang try dung c6 canh ben bang 2R va CO day la hinh vuong canh R V2 nen c6 the tich V , , , = 2R- 2R = R I Bai toan 3: Mot khoi lang try tarn giac deu c6 canh day bang a va chieu cao bang h noi tiep mot khoi try l i n h the tich cua khoi try Giai Lang try tam giac deu canh day a nen day hinh try ngoai tiep la duong tron ngoai tiep day c6 ban kinh R = chieu cao hinh try la chieu cao h cua lang try Do the tich kh6i try ngoai tiep: V = TiR^h = • Bai toan 4: Mot khoi lang try tam giac deu c6 canh day bang a va chieu cao bang h ngoai tiep mot khoi try Tinh the tich va dien tich xung quanh cua khoi try 119 Gidi Lang tru tarn giac deu canh day a nen day hinh tru noi tiep la duong tron noi a^f3 tiep day c6 ban kinh R = , chieu cao hinh tru la chieu cao h cua lang tru Do the tich khoi try noi tiep: V = TiR^h Tia'h ~I2~ Dien tich xung quanh cua khoi try Sxq = TT Rh = — mh Bai toan 5: Cho lang try deu ABC.A'B'C c6 canh day bang 6a, duong cao bang aV6 Mot hinh try c6 day la hai duong tron noi tiep tarn giac A B C va A'B'C Hai diem M , N Ian lugt tren hai duong tron day cua hinh try cho goc giiJa duong thang M N va mat day cua hinh try bang a Tinh the tich khoi lang try ABC.A'B'C va khoang each giira duong thang M N va true cua hinh try noi tren Gidi Ta c6: VABC.A'IJ'C = SABC A A ' = ^ 6a.6a.sin60'' aV6 = lla^^l) Goi r la ban kinh cua duong tron noi tiep tam giac deu A B C 2S A l K ' 2(6a)-V3 = aV3 S = pr r = A B + BC + CA 4(6a + 6a + 6a) Goi O, O' Ian lugt la tam duong tron noi tiep tam giac A B C va A ' B ' C Ve duong sinh M M ' Goi I la trung diem cua M M ' K h i O'l ± M ' N nen O'l ( M M ' N ) Do do: d ( 0 ' ; M M ' ) = d(00'; (MM'N)) = d ( ' ; ( M M ' N ) ) - O'l Vi M M ' X (A'B'C) Nen goc ( M N ; ( A ' B ' C ) ) = M N M ' = a Tam giac M M ' N vuong tai M ' ta c6: M ' N = M M ' c o t a = aV6 cota Tam giac O ' M ' I vuong tai I ta c6: O'l K MM'' _ L 6a-cot'g i V l - cot" a 120 Bai toan 6: Cho hinh try c6 ban kinh day R va chieu cao 4R Tinh the tich mat cau ngoai tiep hinh try Gidi Mat cau ngoai tiep hinh try c6 tam la tarn duong tron ngoai tiep thiet dien hinh ciiir nhat qua tryc hinh try Do tam E la trung diem tryc 00' Ban kinh mat cau ngoai tiep hinh try p E Vay the tich mat cau ngoai tiep hinh try V = - 7iR^ = 20V5 —7rr , 3 Bai toan 7: Cho mat cau c6 ban kinh R Tinh dien tich xung cua hinh try ngoai tiep mat cau Gidi linh try ngoai tiep mat cau ban kinh R c6 ban kinh day R va chieu cao h = 2R I Vay dien tich xung cua hinh try ngoai tiep mat cau S,q = 2uRh = 47rR' Bai toan 8: Cho hinh try T c6 ban kinh R, tryc 0 ' bang 2R va mat cau (S) c6 ducmg kinh 0 ' a) So sanh dien tich mat cau va dien tich xung quanh cua hinh try, dien tich toan phan cua hinh try b) So sanh the tich cua khoi try T va khoi cau (S) Gidi a) Dien tich cua mat cau va dien tich xung quanh cua hinh try cung bang 47tR^ Dien tich toan phan cua hinh try bang 47rR^ + 2KR^ = 67iR^ Vay dien tich mat cau bang ^ dien tich toan phan cua hinh try , , b) The tich cua khoi cau la V(S) = — TtR Thk tich cua khoi try la V , = 7iR-.2R = 27rR^ Vay the tich cua khoi cau bang ~ the tich cua khoi try Bai toan 9: Cho hinh try c6 ban kinh R va duofng cao R V Goi A B va C D la hai duomg kinh thay doi cua hai duong tron day ma A B vuong goc vai C D 121 a) Chung minh rang ABCD la tu dien deu b) Chung minh rang cac duong thang AC, AD, BC, BD luon tidp xuc vai mot mat tru c6 dinh Giai a) Goi A' B' Ian lugt la hinh chieu cua A, B tren mat phlng chua duong tron day c6 duang kinh CD, thi A, B thuoc duong tron Khi A'B' CD nen A'CB'D la hinh vuong c6 duong cheo CD = 2R, do A'C = R V2 ngoai AA' = R V2 nen ta , JA suy AC = 2R Ml Tuong tu ta c6 AD = BC = BD = 2R Vay ABCD la tu dien deu b) Goi O, O' Ian lugt la trung diem cua AB va CD, H trung diem A'C Ta c6: d(00'; AC) - d(00', (AA'C)) = OH' = RV2 Tuong tu khoang each giua moi duong thang AD, BC, BD va 0 ' ddu bang RV2 Tu suy cac duong thang AC, AD, BC, BD d^u tiSp xuc voi mat tru c6 true la OO' va c6 ban kinh - ^ - ^ BAI TAP TONG HOP Bai tap 1: Cho mat tru tron xoay T va mot diem S c6 dinh khong nSm tren T Mot duong thang d thay doi luon luon di qua S cat T d A va B Chung minh rSng trung diem I cua doan thang AB nam tren mot mat try c6 dinh HD-DS Dung mat phang di qua S va vuong goc voi true A ciia mat try tai K Bai tap 2: Mot hinh try c6 dien tich xung quanh la S, dien tich day bang dien tich mot mat cau ban kinh bang a Tinh the tich va dien tich thiet dien qua tryc cua hinh try HDDS m qua V = Sa S' = - Bai tap 3: Mot hinh try c6 thiet dien qua tryc la hinh vuong, dien tich xung quanh hinh try la An Mat phang (a) song song voi tryc hinh try va cat no theo thi^t dien ABBiA| Bict mot canh ciia thiet dien la day cung cua duong tron day cang mot cung 120" Tinh dien tich toan phan hinh try va dien tich thiet dien ABB I A) va the tich khoi try 122 HD-DS Ket qua Sip = 6n dien tich thiSt dien V3 Bai tap 4: Cho hinh tru c6 hai day (O), (O'), ban kinh day bang chiSu cao a Tren (0) l^y A, tren (()') \iy B cho AB = 2a Tinh thS tich kh6i tu dien OO'AB HD-DS Ket qua VCXMB = Bai tap 5: Cho mot hinh tru c6 mot chieu cao va ban kinh day Goi (O) va (()') la hai duang tron day Mot mat phang (P) khong song song vai true cat duong tron (O) tai A,B va cat duomg tron (O') tai C, D cho ABCD la hinh vuong Tinh khoang each giiia true OO' vai duong thing CD HD-DS K a q u a : d ( 0 ' ; C D ) = 2V6 Bai tap 6: Cho hinh tru ban kinli day R, chieu cao 0 ' = h, A va B la hai di^m thay doi tren hai duong tron day cho dai AB = a khong doi (h < a < Chung minh goc va khoang each giira hai duong thang AB va 0 ' khong doi Ket qua J R " I a — h khong doi HD-DS Bai tap 7: Mot khoi try c6 ban kinh day r =^ 5em, khoang each hai day bang 7cm Cat khoi try bai mot mat phang song song vai true each trye 3cm Tinh dien tich cua thict dien HD-DS Ket qua S = 56 cm" Bai tap 8: Cho hinh hop ABCD.AiBiCiDi noi tiep mot hinh try cho truoc, goc giija duang thang B|D va mat phang (ABBiAi) bSng 30° Khoang each tir true hinh try den mat ABB|Ai bang ^ a Tinh the tich khoi hop va the tich hinh cau ngoai tiep hinh hop biet duang kinh cua day hinh try bang 5a HD-DS Ket qua the tich khoi hop: 12a^ vTT, khoi cau: 367ra^ 123 O CHU D E VIL M^T NON - HINH NON - KHOI NON DANGTOAN MAT , NON , - HINH , NON Mat non tron xoay: Mat non tron xoay sink quay duang thang I cat duang thang A cd dinh tai S va hap vai dmxng thang A mot gdc a khong doi Mat non (N) CO true A, dinh S va gdc a dinh la 2OL Neu M la mot diem y ciiu mat non khdc vai diem S thi duang thang SM nam hoan loan tren mat non Hinh non, klidi non, - Phdn ciia mat non giai han bai mat phdng (P) vuong gdc vai true duac goi la hinh non - Hinh non cung vai phdn hen cua no goi Id khoi non True SO Ditang sinh SM ^ I Gdc d dinh Id a Ban kinh day R va chieu cao h thi: f - h' ^ R' Dien tich xung quanh: S^q = TTRI The tich khoi ndn: V ^ - TiR'h Thiet dien conic: Neu cat mat ndn tron xoay hai mot mat phdng (P) khong di qua dinh ciia mat ndn thi giao tuyen se la: (1) Mot duang clip neu mp(P) cat moi duang sinh (dgc biet, neu (P) vuong gdc vai true ciia mat ndn thi giao Id duang tron) (2) Mot duang parahol neu mp(P) song song vai chi mot duang sinh (3) Mot dmxng hypebol neu mp(P) song song vdi hai duang sinh 124 Chuy: 1) Phuang phdp duang sink 2) Thiet dien cat bai mot mat phang di qua dinh hinh non thi cat mat non theo duang sinh SA, SB hang tgo tam gidc can SAB Dgc biet, thiet dien di qua true hinh non thi la tam gidc cdn SAB vai SA, SB Id duang sinh bdng vd AB la duang kinh ddy 3) Khoi goi la khoi non cut: cat khoi non bai mat phang song song vai ddy The tich khoi non cut: V^^ ~ (B (R' - ^IBB' + B')h + RR') Bai toan 1: Trong mat phang (P) cho diem O c6 dinh Xet nhung ducmg thang / thay doi luon luon di qua O va hop vai (P) mot goc khong doi Chung minh rang / luon luon nam tren mot mat non / Gidi linh chieu cua / tren (P) la /' Theo gia thiet g(/, (P)) = g(/, /') = a khong d6i Goi A la duang thang vuong goc vai mp(P) tai O, thi goc hap bai / va A bang 90° - a ciing khong doi A" / Vay / nam tren mat non dinh O true la A va goc a dinh 2(90° - a) Bai toan 2: Cho mat cau S(0; R) va A nam ngoai mat cau Chung minh rang cac duong thang d qua A va tiep xuc vai S(0; R) nam tren mot mat non Gidi Cho ducmg thang d tiep xuc (S) tai M , ta c6 OM _L A M suy tam giac AOM vuong tai M OM R sin MAO = khong doi AO AO => MAO = a khong doi Vay duang thang d nam tren mat non c6 true AO dinh A va goc a dinh la 2a Bai toan 3: Cho hai diem A, B c6 dinh Tim tap hop nhijmg duong thang d qua A va each B mot doan khong doi bang d Gidi Ha BH d ^ AABH vuong tai H BH sin BAH = khong doi AB AB 125 Do B A H = a khong doi Vay tap hap cac duong thang d la mat non nhan duong thang A B lam true, c6 dinh la A va goc o dinh la 2a Bai toan 4: Thiet dien di qua true cua mot khoi non la mot tam giae vuong ean c6 canh huyen bang a Tinh the tieh va dien tich xung quanh eua khoi non Gidi Iheo gia thiet thi hinh non c6 ban kinh day R = h = duong sinh I = ayfl Taco: V = - t R ^ h = Sxq = URI = — 24 '•42 Bai toan 5: Cho hinh non dinh S duong cao SO, A va B la hai diem thuoc duong tron day hinh non cho khoang each tir O d^n A B b i n g a va S A O = 30°, SAB =60" Tinh the tich, dien tich xung quanh hinh non (7/fl/: Ggi I la trung di^m cua A B thi 1 A B , SI A B , OI = Ta c6: A O = SAcosSAO = V3 SA A I = SAcosSAI = - SA T u do: V3 AO AI sinlAO = ma cos l A O = V6 a AI AO R = OA = OA iV6 Xet tam giac SAO, ta c6: h = SO = OA.tan30'' = / = SA = OA ^aV6 cos30° " 2 ^ = aV2 '73 126 The tich va dien tich xung quanh hinh non: V=1KOA\SO = ^ , Sxq = T i O A S A = t a - V Bai toan 6: Cho hinh non S, goc giiia duomg sinh d va mat day la a Mot mat phang (P) qua dinh S, hop v a i mat day goc 60" Tinh dien tich thiet dien va Ichoang each tir O den mp(P) ^ Gidi: Thiet dien la tarn giac S A B can tai S Goi la trung diem A B Taco A B I O I , SI =^ S I O = ° ASOA, ASOl vuong tai O nen: SO = d.sina, O A = d.cosa 2d sin a 0* = : i i ^ , ' , - ^ dsina V3 AI^ = OA^ - 01- = — (3cos^a - s i n ^ a ) ^ A I = - ^ V c o s - a - nen: SsAB = -SLAB V4cos = a-I Ve OH ± SI =^ O i l (SAB), do OH la khoang each tir O dSn mat phSng (SAB) Tam giac O H l la nua tarn giac deu nen: d(0,(P))= O H = = ^^^"^ • Bai toan 7: Cho hinh vuong A B C D noi tiep duong tron (O; R ) Goi H la hinh gom eae diem cua hinh tron (O; R ) nhung khong n i m hinh vuong Tinh the tich hinh tron xoay sinh bai hinh H quay quanh duomg thang A C Gidi Khi quay quanh duomg cheo A C thi hinh tron ( ; R ) sinh khoi cau (S), doan thang B D sinh hinh tron (C) va hinh vuong A B C D sinh hinh tron xoay ( H ) gom hai hinh non c6 chung day la (C) vai dinh la A va C Bai vay, ( H ) sinh khoi tron xoay gom nhiing diem thuoc hinh cau (S) nhung khong thuoc ( H ) va the tich V cua khoi la: V = V,s) - V , | = - 7iR^ - - T I R I R = - nR\ 127 Bai toan 8: Cho hinh thang ABCD vuong d A va B quay xung quanh duong thang chua AB ta dugc mot khoi goi la khoi non cut Hay tinh the tich cua khoi non cut hik cac canh ciia hinh thang la: AB = h, AC = R', BD = R R > R' Gidi Goi S la giao diem cua DC va AB Khi quay quanh AB, tam giac SAC sinh khoi non N', tam giac SBD sinh khoi non N Goi V la the tich khoi non cut thi: V - V(N) - V(N') = -"^TiRlSB - - T i R ' ^ S A Ta c6: Suy BD SB AC SA R' R R-R' SB-SA R' SA Tir SB = SA + h = SA R' R-R' SA = hR' R-R' hR R-R' V a y V = i K R l - ^ R-R' 7lR^ hR' 7ih(R' - R ' ' ) R-R' 3(R-R') — (R^ + R'^ + RR') Bai toan 9: Mot hinh thang can ABCD c6 cac canh day AB = 2a, DC = 4a, canh ben AD = BC = a Hay tinh the tich va dien tich toan phan cua khoi tron xoay sinh bai hinh thang quay quanh true doi xung cua no Gidi Goi S la giao didm cua hai canh ben AD va BC cua hinh thang Duong cao SO cua tam giac can SCD la true doi xung cua hinh thang, do SO cat AB tai trung diem O' ciia AB Khi quay quanh SO, tam giac SCD sinh khoi non c6 the tich V | , tam giac SAB sinh khoi non c6 the tich V2, hinh thang ABCD sinh mot kh6i tron xoay (H) c6 the tich V = V i - V2 Vay V = -n.OC\O - - T I O ' B I S O ' • • 3 = - r a l S O - -Tta^SO' 3 = ^7ia'(4SO-SO') 128 Ta CO A B la duang trung binh cua tarn giac S C D nen S B = 3a va do: SO' = V S B ' - O ' B ' = V9a' - a' = 2V2a va S O = 2S0' = V2a VayV= i^a^ {\6^a-2^a)=^-^na\ Goi S| va S2 Ian lugt la dien tich xung quanh cua khoi non thi khoi tron xoay (H) c6: Sxq = S, - S2 = 7t.0C.SC - K O ' B S B = W Sip = 9na^ + na^ + 4na^ = 147ral Bai toan 10: tarn giac A B C vuong tai A , A B = c, A C = b Goi V i , V2, V la the tich cua cac khoi tron xoay sinh bai tarn giac Ian lurat quay quanh A B , AC, BC Chung minh rang Gidi Khi quay tarn giac A B C quanh A B , ta dugc khoi non c6 chieu cao c va ban kinh day la b nen no c6 the tich: Vi = ^ Ttcb^ Khi quay tarn giac A B C quanh A C , ta dugc khoi non c6 chieu cao b va ban kinh day la c nen c6 the tich: V2 = ^ Tibc^ Gpi A H la duomg cao cua tarn giac A B C Khi quay tarn giac A B C quanh B C , ta dugc hai khoi non sinh bai tarn giac A B H va A C H quay quanh B C be Vi A H Vb" +c" nen V3 = - T I A H I B H + - 3 h'c- b'+c = -71.-^ rr-, n.AH\H = - T T A H I B C ^.Vb" + c = Ttb"C~ 3Vb^ +c , 9(b'+c') 9b' 9c' laco — = ,' ' i 4 • = •>u4 • +- • ' u 4 Vj 7t b c 71 b c 7: b C \j2 V, +- \j2 V| 129 DANG TOAN NOl NGOAI TIEP HINH NON - Mat cdu ngoai tiep hinh non c6 tdm la tarn duang tron ngoai tiep thiet dien qua true hinh non Tdm E Id giao diem cua true SO va trung true cua ducmg sinh Bdn kinh r = SE - Mat cdu noi tiep hinh non cd tdm la tdm duang tron noi tiep thiet dien qua true hinh non Tdm I la giao diem cua true SO vd phdn gide cua goc tao bai duang sinh SM vdi OM Bdn kinh r = lO C/tiiy: 1) Ta sir dung tarn gidc vuong dong dang de tinh bdn kinh mat cdu ngoai tiip r SE vd tinh chdl phdn gidc lO/lS = MS/MO hodc tam gidc vuong lOM de tinh bdn kinh mat cdu noi tiep r = lO 2) Dien tich xung quanh cua mat non: S^q = nRl The tich cua khoi non: V = - nR'h 3- ) Dien tich mat cdu: S = 4nR^ The tich khoi cdu: V = — nR^ Bai toan 1: Cho hinh chop luc giac deu S.ABCDEF canh day a, canh ben b Tinh dien tich xung quanh hinh non ngoai tiep Gldi Hinh non ngoai tiep c6 duang sinh bang canh ben b va ban Icinh day: AD R = BC = a Vay Sxq = TTR./ = Tiab Bai toan 2: Cho hinh chop S.ABC c6 cac canh ben bang va c6 day la tam giac vuong tai A Biet rang khoang each tu S den mp(ABC) bang a, khoang each tu B den mp(SAC) bang — dien tich cua tam giac SAC bang 2a^ Tinh the tich va dien tich xung quanh cua hinh non dinh S vai day la duang tron ngoai tiep tam giac ABC 130 Gidi Minh chop S A B C c6 cac canh ben bang n h a u nen h i n h chiSu cua S l e n mp(ABC) l a tarn O cua d u o n g t r o n ngoai tiSp tarn giac A B C Ma tarn giac A B C v u o n g tai B nen tarn O l a t r u n g d i e m cua B C s Do S O = a Goi M la t r u n g d i e m ciia A C t h i O M ± A C Ha O H S M t h i O H ( S A C ) OH = d ( (SAC)) = - d(B, (SAC)) = l a m giac v u o n g S O M ta c6: OH- 1 O S - ^ OU- S M = VSO- + O M - = OM- a- , a ' _ 3a 0M = a' '-1C Tam giac S A C ta c6: SsAC = ^ S M A C => A C = 2S,^P = 2a-Vs 8aV2 3a Tam giac v u o n g O M C , S O C : 0C= VOM-+MC = J — + \ = 12 S C = V s O ^ + O C ^ = J a ^ + ^ = ^ V 72 12 The t i c h cua k h o i n o n : V = -n.R h = -n.OC SO = -TT a = 72 216 Dien tich x u n g quanh cua h i n h n o n Q p, nr^cn 7l.0C.sC = 71 V530 aV674 7ra-V357220 12 12 144 Bai toan 3: M o t hinh tru c6 hai day la hai hinh tron ( O ; R ) v a (O'; R ) , 0 ' = R V2 X e t hinh non c6 dinh la O' v a day la hinh tron ( O ; R ) a) T i n h t i so d i e n t i c h x u n g quanh cua h i n h t r u v a h i n h n o n Sxq = ; T R / = = b) M a t x u n g quanh cua h i n h n o n chia k h o i t r u hai p h a n , t i n h t i s6 thS t i c h cua hai phan 131 Giai a) Dien tich xung quanh cua hinh tru la: O' S , - r R R V = V 7rR^ Lay mot duong sinh O'M cua hinh non thi: O'M = V00'' + M ' = V R ' + R ' = R V S Dien tich xung quanh cua hinh non la: ,-'o M S2 = 7rR.R V3 = uR^ V3 V a y = ^ = ^ b) Khoi tru va khoi non c6 cung day va cung chiSu cao nen thI tich cua khoi tru bang ba Ian the tich cua khdi non Nhu vay, mat xung quanh cua hinh non chia khoi tru hai phan: Khoi non va phan lai c6 the tich bang hai Ian the tich cua kh6i non Vay ti s6 th^ tich cua hai phan la - Bai toan 4: Mot hinh non tron xoay c6 chiSu cao bing 3, c6 day la hinh tron c6 ban kinh Mot hinh lap phuong noi tiep cho mot mat thi nSm tren mat phang day, dinh ciia mat doi dien ciia hinh lap phuong thi thuoc mat non Tinh the tich hinh lap phuong Giai Ta xet mat phang chura true hinh non va hai dinh doi dien cua day hinh lap phuong Mat phang se cat hinh lap phuong theo thiet dien la hinh chij nhat MNPQ C O mot canh bang MQ = s, canh bang M N = s V2 , voi s la dai canh cua hinh lap phuorng Mat phang noi tren cung cat hinh non theo thiet dien la tarn giac SAB Cac tarn giac dong dang AQM va ASO cho ta: 1- sV2 , suy s = 9V2-6 (9V2-6)' Vay V = s - ^ ' 343 Bai toan 5: Mot hinh non c6 chieu cao bang h va ban kinh day bang r Hay tinh ban kinh mat cau noi tiep hinh non Giai Gia su hinh non c6 dinh S va c6 day la duomg tron C(0; r) Lay diem A c6 dinh tren duong tron day va goi I la diem nam tren SO cho A l la phan giac ciia goc SAO thi I tam cua mat cau noi tiep hinh non, ban kinh R = 10 132 Ta c6: S A = Vos' + A ' = V h ' + r ' Theo tinh chat duong phan giac, ta c6: 10 OA 10 OA 10 IS SA lO + IS OA + SA Vay ban kinh mat cau npi tiep la: rh R = IO = r + Vh^ + rBai toan 6: Mot hinh non c6 chieu cao h va ban kinh day bang r Tinh ban kinh mat cau ngoai tiep hinh non Giai Gia sir hinh non c6 dinh S va lay diem M c6 dinh tren duong tron day (O; r) thi tam giac SOM vuong a O Tarn I cua mat cau ngoai tiep hinh non la giao diem cua SO va mat phang trung true cua SM, ban kinh R = IS Goi SS' la duong kinh cua mat cau ngoai tiep hinh non (SS' > h) Tam giac SMS' vuong tai M, c6 duong cao MO nen: 2 MO' = OS.OS' => r^ = h(SS' - h) SS' = — + h = '" ^ h h r^+h^ Vay ban kinh mat cau ngoai tiep hinh non la: R = 2h Bai toan 7: Cho hinh non c6 goc dinh 2a Tinh ti so ban kinh mat cau ngoai tiep va ban kinh mat cau noi tiep hinh non Giai Ban kinh mat cau ngoai tilp R va ban kinh mat cau noi tiSp cung chinh la ban kinh duong tron ngoai tiep R va ban kinh duong tron noi tigp r cua thiet dien qua true la tam giac can SBC Goi X la ban kinh day hinh non BC Theo dinh ly ham so sin ASBC: — - = 2R => R = sinS /\ C r Trong tam giac vuong OIC: tan— = — => r = xtan(45° X cot ° - a V Do ti: - = r sin 2a sin 2a tan ° - a 2j a ) 133 ... HOC 12 Ma so: 1L- 15 5OH2 014 • In 2.000 cudn, khd 17 x 24cm tai Cong ty Co phan Van hoa Van Lang Giay phep xuat ban so: 46 3-2 014 /CXB/0 9-9 9 OHQGHN, 14 /03/2 014 Quyet dinh xuat ban so: 15 3LK-TN/QO-NXB... c6: lM' = ' M ' - ' l = k'0'M, - O ' l = k'(OM, - 0 ' ) - ' l = k ' ( k O M - 0 ' ) - ' I kk' O M - k' 0 ' - O' = kk' ( 01 + I M ) - k' 0 ' - O' I = kk' I M + kk' O l - k' OO' - + 0 ' = kk' I... = O M , - O M + O ' M ' - O ' M , 1 OM,+(k'-l)0'M, OM, - - M , + k ' ' M , - O ' M , - - OM,+(l-k')M,0' k V i kk' = nen k' = — bai vay dang thuc tren tra thanh: k iOM, + M , ' MM' = k -1 OO' kJ