CHUYÊN ĐỀ: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (HÌNH HỌC 11)

CHUN ĐỀ: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (HÌNH HỌC 11) Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Tính góc đường thẳng mặt phẳng Cách làm tập tìm thiết diện Chủ đề: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết đường thẳng vng góc với mặt phẳng Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết đường thẳng vng góc với mặt phẳng A Phương pháp giải Định nghĩa Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định lí: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) Tính chất Tính chất 1: Có mặt phẳng (P) qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước Tính chất 2: Có đường thẳng Δ qua điểm O cho trước vng góc với mặt phẳng (P) cho trước * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng * Tính chất 3: a Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại b Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với * Tính chất 4: a Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại b Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với * Tính chất a Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng vng góc với (P) vng góc với a b Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng chúng song song với Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) Cho a khơng vng góc (P), b ⊂ (P), a' hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a, b ⊥ a' Góc đường thẳng mặt phẳng B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a; b mặt phẳng (P), a ⊥ (P) Mệnh đề sau sai? A Nếu b ⊥ (P) b // a B Nếu b // (P) b ⊥ a C Nếu b // a b ⊥ (P) D Nếu b ⊥ a b // (P) Hướng dẫn giải: Chọn D Ví dụ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy Khi đó; SA ⊥ AB AB khơng song song với (ABCD) Ví dụ 2: Trong khơng gian cho đường thẳng Δ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với Δ cho trước? A B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn D Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với Δ, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với Δ Ví dụ 3: Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vuông góc với đường thẳng song song Hướng dẫn giải Chọn C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song ba đường thẳng đồng phẳng Ví dụ 4: Khẳng định sau sai? A Nếu đường thẳng d ⊥ (α) d vng góc với hai đường thẳng (α) B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm (α) d ⊥ (α) C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α) d vng góc với đường thẳng nằm (α) D Nếu d ⊥ (α) đường thẳng a // (α) d ⊥ a Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm (α) d ⊥ (α) hai đường thẳng cắt Ví dụ 5: Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Ví dụ 6: Trong không gian cho đường thẳng Δ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với Δ cho trước? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải Chọn A Tập hợp đường thẳng mặt phẳng qua O vng góc với Δ Ví dụ 7: Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng Δ cho trước? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Theo tiên đề qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng Δ Chọn đáp án A Ví dụ 8: Trong khơng gian cho đường thẳng Δ không nằm mp(P) , đường thẳng Δ gọi vng góc với mp (P) nếu: A vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp (P) B vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp (P) C vng góc với đường thẳng a nằm mp (P) D vuông góc với đường thẳng nằm mp (P) Hướng dẫn giải Đường thẳng Δ gọi vng góc với mặt phẳng (P) Δ vng góc với đường thẳng mặt phẳng (P) (định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng) Vậy đáp án D Ví dụ 9: Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a ⊥ b b ⊥ c a // c B Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) b // (α) a ⊥ b C Nếu a // b b ⊥ c c ⊥ a D Nếu a ⊥ b , b ⊥ c a cắt c b vng góc với mặt phẳng (a; c) Hướng dẫn giải Nếu a c trùng nên đáp án A sai Chọn A Ví dụ 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Hướng dẫn giải Qua điểm cho trước kẻ vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hai đường thẳng a, b mp (P) Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu a // (P) b ⊥ a b // (P) B Nếu a // (P) b ⊥ (P) a ⊥ b C Nếu a // (P) b ⊥ a b ⊥ (P) D Nếu a ⊥ (P) b ⊥ a b // (P) Hiển thị lời giải Câu A sai b vng góc với a Câu B a // (P) ⇒ ∃a' ⊂ (P) cho a // a’, b ⊥ (P) ⇒ b ⊥ a' Khi a ⊥ b Câu C sai b nằm (P) Câu D sai b nằm (P) Vậy chọn B Câu 2: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng Δ cho trước C Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Hiển thị lời giải Chọn C Cho trước đường thẳng d điểm O tâp hợp đường thẳng qua O vng góc với d mặt phẳng (P) qua O vng góc với d Khi đó, mp (P) đường thẳng qua O đường thẳng vng góc với d Câu 3: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua: A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B Trọng tâm tam giác C Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D Trực tâm tam giác Hiển thị lời giải Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua tâm đường ngoại tiếp tam giác ( tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm cách ba đỉnh tam giác) Đường thẳng nói gọi trục đường tròn ngoại tiếp tam giác Chọn A Câu 4: Chọn mệnh đề mặt phẳng sau: A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Hiển thị lời giải Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D Câu 5: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp D Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Hiển thị lời giải D Tam giác vuông Hướng dẫn giải + Gọi I trung điểm AC, kẻ IH ⊥ SC Ta có BI ⊥ AC, BI ⊥ SA ⇒ BI ⊥ (SAC) ⇒ BI ⊥ SC Mà IH ⊥ SC Do SC ⊥ (BIH) hay thiết diện tam giác BIH + Mà BI ⊥ (SAC) nên BI ⊥ IH hay thiết diện tam giác vuông Chọn D C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a(√3/2) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với BC Thiết diện hình chóp S.ABC cắt (P) có diện tích bằng? Hiển thị lời giải Gọi M trung điểm BC BC ⊥ AM (1) Hiển nhiên AM = a√3 Mà SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA (2) Từ (1) ( 2) suy BC ⊥ (SAM) ⇒ (P) ≡ (SAM) Khi thiết diện hình chóp S.ABC cắt (P) tam giác SAM Do tam giác SAM vuông A nên Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a Gọi (P) mặt phẳng qua S vng góc với BC Thiết diện (P) hình chóp S.ABC có diện tích ? Hiển thị lời giải Kẻ AE ⊥ BC, SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAE) ≡ (P) Thiết diện mặt phẳng (P) hình chóp S.ABC tam giác SAE Tam giác SAE vng A SA ⊥ (ABC), có: Câu 3: Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) (SBC) hai tam giác cạnh a, SA = a(√3/2) M điểm AB cho AM = b ( < b < a) (P) mặt phẳng qua M vuông góc với BC Thiết diện (P) tứ diện SABC có diện tích bằng? Hiển thị lời giải Gọi N trung điểm BC Kẻ MI // AN, MK // SA ⇒ Thiết diện (P) tứ diện SABC tam giác KMI Câu 4: Cho tứ diện ABCD cạnh a = 12; AP đường cao tam giác ACD Mặt phẳng (P) qua B vng góc với AP cắt mp (ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài ? A B C D Hiển thị lời giải Ta có: CD ⊥ AP, CD ⊥ BP ⇒ CD ⊥ (APB) ⇒ BG ⊥ CD Tương tự: AD ⊥ CM, AD ⊥ BM ⇒ AD ⊥ (BCM) ⇒ AD ⊥ BG Suy ra: BG ⊥ (ABC) ⇒ BG ⊥ AP Kẻ KL qua trọng tâm G tam giác ACD song song với CD ⇒ AP ⊥ KL ⇒ (P) mặt phẳng (BKL) (ACD) ∩ (BKL) = KL = (2/3)CD = Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G trọng tâm ΔACD G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD nên BG ⊥ (ACD) Trong mp(ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD K, L (BKL) ⊥ (ACD), AP ⊥ KL ⇒ AP ⊥ (BKL) (P) ≡ (BKL) (ACD) ∩ (BKL) = KL = (2/3) CD = Chọn C Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD hình thang vng A, đáy lớn AD = ; BC = 6, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = Gọi M trung điểm AB (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB Thiết diện (P) hình chóp có diện tích bằng? A 10 B 20 C 15 D 16 Hiển thị lời giải Do (P) ⊥ AB ⇒ (P) // SA Gọi I trung điểm SB ⇒ MI // SA ⇒ MI ⊂ (P) Gọi N trung điểm CD ⇒ MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ (P) Gọi K trung điểm SC ⇒ IK // BC, mà MN // BC nên MN // IK Vậy thiết diện (P) hình chóp hình thang MNKI vng M Ta có: MI đường trung bình tam giác SAB ⇒ MI = (1/2)SA = IK đường trung bình tam giác SBC ⇒ IK = (1/2)BC = MN đường trung bình hình thang ABCD ⇒ MN = (1/2)(AD + BC) = Khi Chọn đáp án C Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi I; K trung điểm cạnh AB SC Tính IK Hiển thị lời giải Câu 7: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với (ABCD) lấy điểm S Biết góc SA (ABCD) có số đo 45° Tính độ dài SO Hiển thị lời giải Chọn B Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = a; SA = a√3 SA ⊥ (ABCD) Gọi M điểm cạnh AB AM = x (0 < x < a) , mặt phẳng (α) qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S.ABC với (α) tứ giác MNPQ Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang D hình bình hành Hiển thị lời giải Chọn đáp án A Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB = a, BC = b, CD = c Độ dài AD: Hiển thị lời giải Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a√2 Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện Hiển thị lời giải * Ta tìm thiết diện hình chóp cắt mp(α) Gọi K hình chiếu A SC K ∈ (α) Trong (SAC) gọi I giao điểm SO AK Ta có Thiết diện tứ giác AHKL * Tính diện tích thiết diện: ... nằm mặt phẳng (P) C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P) a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với. .. a Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại b Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với * Tính chất 4: a Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng. .. vng góc với mặt phẳng lại b Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với * Tính chất a Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng vng góc với (P) vng góc với