Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh EF song song (SAD).. Gäi E lµ trung ®iÓm cña SB. Ngò gi¸c MNPQR lµ thiÕt diÖn cÇn dùng.. ThiÕt diÖn lµ ngò gi¸c MNPQR. b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.. NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n b[r]
(1)Giải kỳ trớc
Bi 1 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N lần l−ợt trung điểm SA v CD
a) Chứng minh mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC)
b) Gi I trung điểm SD, J điểm mặt phẳng (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ song song với (SAB)
c) Giả sử hai tam giác SAD ABC cân A Gọi AE,AF đ−ờng phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF song song (SAD)
S
Gi¶i
O J A
(( K
M
Ι
N E C B
- - =
= F
D
a) Ta cã:
⇒
//
( ) //( // (vì OM đờng trung bình tam giác SAC)
ON BC
OMN SBC
OM SC )
b) Gọi K trung điểm AD, mặt phẳng (KIJ)// (SAB) Mặt khác IJ Ã (KIJ) nên suy IJ//(SAB)
c) Theo tÝnh chÊt cña đờng phân giác ta có:
=
=
(1)
(2) EC AC ED AD FB AB FS AS
Mặt khác, tam giác SAD ABC cân A nên AC=AB; AS=AD nên từ (1) (2) ta cã:
EC = FB(3)
ED FS
E
C B
F
(2)Vậy ba đ−ờng thẳng DS, EF, CB bị hai đ−ờng thẳng SB CD cắt tạo đoạn thẳng tỉ lệ (3)nên theo định lý Talet đảo, đ−ờng thẳng EF song song với mặt phẳng chứa SD song song với BC, mặt phẳng (SAD)
*Nhận xét: Qua tập ta thấy lần ứng dụng định lý đảo Talet,
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi E trung điểm SB Biết tam giác ACE AC =OD=a Một mặt phẳng a di động song song với mặt phẳng (ACE) qua điểm I OD a cắt AD,CD, SC,SB,SA lần l−ợt M,N, P, Q, R
a) Có nhận xét tam giác PQR tứ giác MNPR?
b) Tỡm hp giao điểm MP NR I di động OD
c) Tính diện tích đa giác MNPQR theo a x=DI.Tìm x để diện tích lớn Giải
F O
P Ι
M R
Q
E
B C K
N D S
A
*)C¸ch dựng thiết diện:
+) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ qua I đờng thẳng MN//AC MN cắt BC K +) Trong mặt phẳng (SBC) , kẻ qua K đờng thẳng song song với EC cắt SC,SB lần lợt P Q
+) Trong mặt phẳng (SAB), kẻ QR // AE cắt SA R Ngũ giác MNPQR thiết diện cần dựng
a)+Do tớnh cht song song, tam giác PQR đồng dạng với tam giác AEC nên PQR tam giác
+)Tr−íc hÕt MNPR hình bình hành Ta có:
⇒ ⇒ ⊥
⊥
// //
// // (vì OE đờng trung bình cđa tam gi¸c SBD)
(vì tam giác ACE đều) MN AC
PN SD
PN OE MN PN OE SD
OE AC
VËy MNPR lµ hình chữ nhật
b) Tập hợp điểm I trung tuyến tam giác SOD kẻ từ O c) = (4 −3 )
4
S x a x
(3)
= −
+ −
= − ≤ =
3
(4 )
3 3
3 (4 ) ( )
12 12
S x a x
x a x a
x a x
Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H trung điểm A'B' a) Chứng minh CB' song song với mặt (AHC')
b) Tìm giao ®iĨm cđa AC' vµ (BHC)
c) Mặt phẳng a qua trung điểm CC' song song với AH CB' Xác định thiết diện tỉ số mà đỉnh thiết diện chia cạnh t−ơng ứng lăng trụ
Gi¶i
L
I B’
A C
K I
I I I H
A’ C’
a) Gäi K trung điểm AB, ta có:
= ⇒
=
' // ( ')
( ' ) //( ')
// ' ( ' )
B K AH AK HB
B KC AHC KC HC HK C C
mµ CB' Ã (B'KC)
do CB'//(AHC') B
b) Mặt phẳng (BCH) cắt (A'B'C') theo giao tuyến HL//BC ( (A'B'C')//(ABC)) Nối CL cắt AC' I I giao điểm AC' với mặt phẳng (BCH) c) Ta cã:
N
Q K
B’ P H A’
A R
C’
α
α α
⇒
( ' ) //( ')
//( ' ) vµ (AHC') // ; // '
B KC AHC
B KC AH CB
M
C
Suy a cắt (BCC'B') theo đoạn giao tuyến MN song song với CB', cắt (A'B'C') theo đoạn giao tuyến NP song song với C'H, cắt (ABB'A') theo đoạn giao tuyÕn PQ song
(4)song víi AH, cắt (ABC) theo đoạn giao tuyến QR song song với CK, cắt (ACC'A') theo đoạn giao tuyến MR Thiết diện ngũ giác MNPQR
Ta có:
= ⇒ = ⇒
' " '
'
// ' // '
MC MC NB NC
=
PH PB MN CB NP C H
Do HA'=HB', suy ' =3 ' PA PB
Tõ AH//PQ ta suy = ⇒ =1
3 QA PH AQ
QB Tõ =
// QR CK
AQ QK ta suy RA=RC
Tãm l¹i M,N,P,Q,R chia đoạn CC', B'C', A'B', AB, AC theo c¸c tØ sè 1;3; ;11 1;
Bài 4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh AB=a, AA' =h Gọi I trung điểm AB, J hình chiếu I AC
a) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (IJC') b) Tính diện tích thiết diện
Gi¶i A’
B’
C O
K
B I J
(
ϕ =
= C’
A a) xác định thiết diện:
Gäi O giao điểm IJ BC, nối OC' cắt BB' K Thiết diện tứ giác IJC'K
b)
*Bæ sung lý thuyÕt: NÕu mét đa giác có diện tích S có hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng a đa giác có diện tích S'thì ta có công thức sau liên hệ S S'
' cos
S =S ϕ
Trong j góc mặt phẳng đa giác mặt phẳng chiếu
( chi tiết phép chiếu vng góc góc hai mặt phẳng đ−ợc đề cập kỹ ch−ơng quan hệ vng góc)
(5)cos
cos
IJCB IJCB
S
S S ϕ S
ϕ = ⇒ = Ta cã cos ' JC JC ϕ = 2
2 2 2
2
1
JC=AC-AJ=AC-2 4
3
' ' ( )
4
1
' 16
a a AI a
a a
JC JC CC h
JC a h
= − = + = + = + = ⇒ = + 6 h VËy 2 cos 16 a a h ϕ = +
2 3 3 7
4 32 32
IJBC ABC AIJ
a a a
S =S −S = − =
Từ ta có:
2
2 2 7 3(9 16 )
7 16
32 96
a a h
a a h
S a + + = = BàI
Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng A.Tóm tắt lý thuyết
1.Định nghĩa
Một đờng thẳng a gọi vuông góc với mặt phẳng P vuông góc với đờng thẳng nằm mặt phẳng P
Ký hiÖu: a ^ P
a ^ P Ô a ^ b ; " b à P 2 Các định lý
Định lý 1 Điều kiện cần đủ để đ−ờng thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đ−ờng thẳng cắt nằm mặt phẳng
; (
( )
b c P b c a P a b a c ∃ ⊂ ≠ ∅ ⊥ ⇔ ⊥ ⊥ ∩ )
Định lý 2 Cho hai đờng thẳng song song a b Nếu hai đờng vuông với mặt phẳng (P) đờng lại vuông với (P)
a b// b P a P
⇒ ⊥
(6)Định lý 3.Cho hai mặt phẳng song song P Q Nếu hai mặt vuông góc với đờng thẳng a mặt lại vuông gãc víi a
//
P Q
a Q a P
⇒
Định lý 4 Nếu hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng chúng song song với
// P Q
P a P Q
Q a ≠
⊥ ⇒
Định lý 5 Nếu hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng chóng song song víi
// a b
a P a
b P ≠
b
Định lý 6 Nếu đờng thẳng a mặt phẳng P vuông góc với đờng thẳng a n»m P hc a song song víi P
//
a b a P
P b a P
⊥ ⇒ ⊂
Định lý 7 Qua điểm cho trớc dựng đợc mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc
(7)vừa dựng nằm mặt phẳng qua O vu«ng gãc víi a
Hệ 2.Cho tr−ớc hai đ−ờng thẳng vng góc với Khi có mặt phẳng chứa đ−ờng vng góc với đ−ờng
Định lý 8.Qua điểm cho tr−ớc dựng đ−ợc đ−ờng thẳng vuông gúc vi mt mt phng ó cho
B.Phơng pháp giảI toán ví dụ minh hoạ
Dạng 1 -Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng -Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
1 Chứng minh đờng thẳng a vuông góc với mặt ph¼ng P
Cách 1: Chứng minh a vng góc với hai đ−ờng thẳng cắt chứa P (xem định lý 1)
Cách 2: Chứng minh a song song với đ−ờng thẳng b vng góc với P(xem nh lý 2)
2 Cách chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với
Cỏch 1: Chng minh đ−ờng thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đ−ờng Cách Nếu hai đ−ờng thẳng cắt áp dụng ph−ơng pháp chứng minh vng góc hình học phẳng
Ví dụ1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi H;I;K lần l−ợt hình chiếu vng góc A AB,SC SD
a) Chøng minh r»ng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông với mặt phẳng (SAD); BD vuông với mặt phẳng (SAC)
b)Chng minh AH;AK vuông với SC c) Chứng minh AH;AI;AK đồng phẳng d)Chứng minh HK vuông với mặt (SAC) e) Chứng minh HK vng góc với AI
Gi¶i
I A H
K
O S
D
C B
a)+) Ta cã:
⊥
⊥ ⊥ ⊂
(do ABCD hình vuông)
(vì SA (ABCD) BC (ABCD))
( )
BC AB BC SA
BC SAB
(8)
⊥
⊥
⇒ ⊥
(hai ®−êng chéo hình vuông)
( )
BD SA BD AC
BD SAC b)+) Ta cã:
⊥ ⇒ ⊥
⊂
( )
(1)
( )
BC SAB
BC AH AH SAB
Theo giả thiết AH ^ SB (2)
Từ (1) (2) suy AH ^ (SBC)… SC Do AH ^ SC +) Lý luận t−ơng tự nh− ta có AK ^ SC
c) Ba đ−ờng thẳng AH; AI; AK vng góc với SC nên chúng nằm mặt phẳng qua A vng góc với SC ; tức chúng đồng phẳng
d)
⊥ ⇒ ⊥
⊥
( ) SA AB
SA ABCD
SA AD
Hai tam giác SAB SAD vng A có cạnh SA chung, AD=AB nên chúng Từ suy ra:
== ⇒
//
SB SD
KH BD SH SK
Mà BD ^ (SAC) nên HK ^ (SAC)
e) Ta cã: ⊂⊥ ⇒ ⊥
( )
( )
HK SAC
HK A
AI SAC I
VÝ dô 2 Cho tø diƯn ABCD cã AB vu«ng gãc víi CD; AD vuông góc với BC; Gọi H hình chiếu vuông góc A mặt (BCD) Chứng minh rằng:
a) H trực tâm tam giác BCD b) AC vuông góc với BD
Giải A
H
D B
C a) Ta cã:
⊂⊥ ⇒ ⊥
( ) (Vì H hình chiếu A (BCD))
(1) CD (BCD)
AH BCD
CD AH Mặt khác theo giả thiết CD ^ AB (2)
(9)b) Ta cã: ⊥
⇒ ⊥ ⊃ ⇒ ⊥
⊥
(vì AH vuông với (BCD)
( )
( theo a) H trực tâm tam giác BCD) BD AH
BD ACH AC AC B
BD CH D
Chú ý: Từ ví dụ ta có nhận xét:Nếu tứ diện có hai cặp cạnh đối vng góc cặp cạnh đối cịn lại vng góc hình chiếu đỉnh mặt đối diện chính trực tâm mặt đó.Bạn đọc nên ghi nhớ tính chất
Ví dụ 3 Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a) BC ^ (OAH)
b) H trực tâm tam giác ABC c) 2 = 12 + 12 +
OH OA OB OC2
d) Các góc tam giác ABC nhọn e) Điểm H nằm tam giác ABC
Gi¶i O
a)và b):Bạn đọc tự giải
H I
B
A C
c)Xét tam giác vng OIC có OH đ−ờng cao, áp dụng định lý Pitago ta có 2 = 12 + 2 (1)
OH OI OC
Mặt khác ta có ⊥ ⇒ ⊥
( )
AB OH
AB OCI AB O
AB CI I
Do tam giác vng OAB có OI đ−ờng cao nên lại áp dụng định lý Pita go ta có: 12 = 12 + 12(2)
OI OA OB Từ (1) (2) ta có đpcm
d) áp dụng định lý hàm số cos ta có
+ −
=
+ + + − +
=
= >
2 2
2 2 2
2 cos
2
( ) ( ) (
2
0
AB AC BC A
AB AC
OA OB OA OC OB OC ABAC
OA
)
ABAC
Vậy cosA>0 góc A nhọn
(10)e) Do b) H trực tâm tam giác ABC, d) tam giác ABC nhọn nên H phải nằm tam giác ABC
Dạng 2: Cách dựng thiết diện qua điểm cho trớc vuông góc với đờng thẳng cho trớc
Bi tốn đặt ra: Cho khối đa diện (S), tìm thiết diện (S) với mặt phẳng a qua điểm M cho tr−ớc vng góc với đ−ờng thẳng d cho tr−ớc
Tuỳ theo đặc điểm hình vẽ ta chọn hai cách sau:
+) Cách 1: Nếu hình vẽ có sẵn hai đờng thẳng cắt chéo a b vuông góc với d mặt phẳng cắt a chÝnh lµ:
α
α
// (hay chøa a) // ( hay chøa b)
a b
Ph−ơng pháp tìm thiết diện loại đ−ợc trình bày tr−ớc quan hệ song song
+)C¸ch 2:Dùng mặt phẳng cắt a nh sau:
Dng hai đ−ờng thẳng cắt vng góc với đ−ờng thẳng d, có đ−ờng thẳng qua M Mặt phẳng a xác định hai đ−ờng thẳng a Từ xác định thiết diện theo ph−ơng pháp biết
VÝ dô
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B AB=BC=a, AD=2a;SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA=2a Gọi M điểm cạnh AB; a mặt phẳng qua M, vng góc với AB Đặt AM=x (0<x<a)
a)T×m thiết diện hình chóp với mặt phẳng a Thiết diện hình gì? b)Tính diện tích thiết diện theo a x
Giải
P
M
A D
Q C
N S
B
a) α
α α
⊥
⊥ ⊥ ⇒
⊥
// (v× SA (ABCD)
// AB
BC AB
SA SA AB
BC
Do ta dùng cách
M điểm chung a với (SAB),a //SA nên a cắt (SAB) theo giao tuyến đờng thẳng qua M, song song với SA, cắt cạnh SB N
Lý luận tơng tự ta có giao tuyến a với hai mặt phẳng (ABCD) (SBC) lần lợt hai đờng thẳng MQ (Q thuộc đoạn CD) NP (P thuộc đoạn SC)
(11)a (SCD) có hai điểm chung P Q nên a cắt (SBC) theo giao tuyến đờng thẳng PQ
Vậy thiết diện tứ giác MNPQ, tứ giác có MQ//NP nên hình thang Mặt khác ta có
⇒ ⊥
⊥ ⊥
// //
(do SA (ABCD) MQ BC
MN SA MQ MN
SA BC
Do thiết diện hình thang vng M N b) Ta có
= 1( + )
MNPQ
S MQ NP MN
áp dụng định lý Talet vào tam giác SAB SBC, ta có:
−
= ⇒ = = = −
= = ⇒ = = =
( )
2( )
MN BM SA BM a a x
MN a
SA BA BA a
NP SN AM BC AM a x
NP x
x
BC SB AB AB a
I XÐt h×nh thang ABCD cã:
= =
−
= = −
= + = + − = −
( )
2 EQ CE BM
ID CI BA
ID BM a a x
⇒EQ= a
BA a x
MQ ME EQ a a x a x
A
E
D Q
C M
B VËy
= − + −
= −
1
(2 ).2( )
2
2 ( )
MNPQ
S a x x a x
a a x
Ví dụ 5 Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác cạnh a; SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA=2a Gọi a mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC với a tính diện tích thiết diện
Gi¶i
I H
C
B S
A
(12)⊥
⊥ ⊥
⇒ ⊥
⇒ ⊥
(do tam giác ABC đều) (do SA (ABC)
( ) BI AC BI SA
BI SAC BI SC
Mµ IH ^ SC nªn (BIH) ^ SC
VËy (BIH) chÝnh lµ a Râ rµng thiÕt diƯn cđa tø diƯn SABC với a tam giác BIH *) Tính diện tÝch thiÕt diƯn
Vì BI ^ (SAC) IH Ã (SAC) nên BI ^ IH Do thiết diện BIH tam giác vuông I
=1 BIH
S BI IH Ta cã:
= a BI
Hai tam giác vng CHI CAS có góc nhọn C chung nên chúng đồng dạng Từ suy ra:
= ⇒ = =
+
= =
+
2
2
.2
5
5
IH CI CI SA CI SA IH
SA CS CS SA AC
a a
a a a VËy
= =
2 20
BIH
a a a
S
C Bài tập tự giải Bài 1
Cho tứ diện S.ABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B AB=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA=a M điểm tuỳ ý cnh AB, t AM=x
(0<x<a) Gọi a mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diênh tứ diện SABC với mặt phẳng a
b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm giá trị x để thiết diện có diện tích lớn
Bµi 2
Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với (ABC) SA=a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng a tính diện tích thiết diện tr−ờng hợp sau:
a) a qua S vuông góc với BC
b)a qua A vuông góc với trung tun SI cđa tam gi¸c SBC c) a qua trung điểm M SC vuông góc với AB
Bµi 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a., mặt bên SAB tam giác
=
(13)b)Chøng minh AC ^ SK vµ CK ^ SD
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, BC=a 3,mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD tam giác vng D có SD=a
a) Chøng minh SA ^ (ABCD) vµ tÝnh AS
(14)