Xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng bất kỳ. Xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng bất kỳ. Phân tích hướng dẫn giải.. 1. D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hình chiếu c[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng hệ trục (Oxyz ) - Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oxy '(a;b;0)) M - Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oyz (a;b;0)) M
- Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oxz (a;b;0)) M
3 Cách xác định hình chiếu điểm M lên mặt phẳng ( )α
- Viết ptđt ∆ qua M vng góc với ( )α
- Tọa độ hình chiếu vng góc H là giao điểm ∆ và ( )α
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Xác định hình chiếu điểm lên trục
Xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng Xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng
Tìm tọa độ điểm , tọa độ véc tơ thỏa mãn đk cho trước …
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong khơng gian (Oxyz , hình chiếu vng góc )
điểm (2;1; 1)M − lên (Oxz có tọa độ )
A.(0;1; 0) B.(2;1; 0) C.(0;1; 1)− D.(2; 0; 1)−
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng 2 HƯỚNG GIẢI:
Sử dụng xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng hệ trục (Oxyz )
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lờigiải
Chọn D
Hình chiếu vng góc điểm (2;1; 1)M − lên (Oxz có tọa độ (2;0; 1)) −
(3)Website: tailieumontoan.com
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2;5− ) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ (Oxz )
A M(3; 0;5) B M(3; 2; 0− ) C M(0; 2;5− ) D M(0; 2;5) Hướng dẫn giải
Chọn A
Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A(3; 2;5− ) lên mặt phẳng (Oxz ta ch) ỉ cần giữ nguyên hoành độ
và cao độ, cho tung độ
Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 3; 2− ) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ (Oxz )
A M(2; 0; 2) B M(3; 2; 0− ) C M(0; 2;5− ) D M(1; 0;1) Hướng dẫn giải
Chọn A
Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A(2; 3; 2− ) lên mặt phẳng (Oxz ta ch) ỉ cần giữ nguyên hoành độ
và cao độ, cho tung độ
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hình chi, ếu điểm M(13; 2;15) mặt phẳng tọa độ
Oxy là điểm H a b c Tính ( ; ; ) P=3a+15b+c
A P=48 B P=54 C P=69 D P=84 Lời giải
Chọn C
Hình chiếu M(13; 2;15) mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H(13; 2; 0) Do a=13, 2, 0b= c= ⇒ =P 69
Câu 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz hình chi, ếu điểm M(1; 2;3) mặt phẳng tọa độ
(Oxy ) điểm H a b c Tính ( ; ; ) P= + +a b c
A P=6 B P=4 C P=3 D P=5 Lời giải
Chọn C
Hình chiếu M(13; 2;15) mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H(13; 2; 0) Do a=13, 2, 0b= c= ⇒ =P 69
(4)Chọn C
Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (Oyz)⇒H(0 ; ; )
Gọi M ' điểm đối xứng với M(1 qua m; ; ) ặt phẳng (Oyz )
H
⇒ trung điểm MM '⇒M '(−1 ; ; )
Câu 6: Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng M(1 qua m; ; ) ặt phẳng (Oxy)
A (0 3; ; ) B (− − −1; 2; 3) C (−1 3; ; ) D (1 2; ;− 3) Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (Oyz)⇒H(1 0; ; ) Gọi M ' điểm đối xứng với M(1 qua m; ; ) ặt phẳng (Oyz )
H
⇒ trung điểm MM '⇒M '(1 3; ;− )
Câu 7: Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu trung điểm đoạn thẳng AB, với A ;(1 3− ; )
( )
B 1; ; lên mặt phẳng (Oxz)
A (0 0; ; ) B (−2 0; ;−2) C (2 2; ; ) D (2;−1 0; ) Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H trung điểm AB ⇒H ( ;2 −1 2; )
Hình chiếu H ( ;2 −1 2; ) mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H' 2; 0; 2( )
Câu 8: Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu trung điểm đoạn thẳng OA, với A(2 0;− ; ) lên mặt phẳng (Oxy)
A (0;−1 0; ) B (−2 0; ;−2) C (1 0;− ; ) D (−1 0; ; ) Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H trung điểm AB ⇒H ( ;1 0− ; )
Hình chiếu H ( ;1 0− ; ) mặt phẳng tọa độ (Oxy ) điểm H' 1; 1; 0( − )
Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;5− ) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ (Oxz M Tính OM)
A (1; 0;5 ) B (3; 2; 0− ) C (0; 2;5− ) D (0; 2;5 ) Hướng dẫn giải
(5)Website: tailieumontoan.com
Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A(3; 2;5− ) lên mặt phẳng (Oxz ) M(1; 0;5)⇒OM=(1; 0;5)
Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(− −1; 3; 2) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ (Oxz M Tính AM)
A (0;3; ) B (1; 0;3 ) C (−1; 0; 2) D (0; 2;5 ) Hướng dẫn giải
Chọn A
Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A(− −1; 3; 2) lên mặt phẳng (Oxz ) M(−1; 0; 2)⇒AM =(0;3; 0) Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2;1− ), B(0;1; 2) Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho ba điểm A, B,M thẳng hàng
A M(4; 5; 0− ) B M(2; 3; 0− ) C M(0; 0;1) D M(4;5; 0)
Lời giải
Chọn A
Ta có M∈(Oxy)⇒M x y( ; ; 0); AB= −( 2;3;1 ;) AM =(x−2;y+ −2; 1) Để A, B, M thẳng hàng AB AM phương , :
2
2
x− y+ −
= =
−
4
x
y
= ⇔ = −
Vậy M(4; 5; 0− )
Câu Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm (1; 1;1), N(2;0; 1),P( 1;2;1)M − − − Xét điểm Q
cho tứ giác MNPQ hình bình hành Tọa độ Q
A ( 2;1;3)− B ( 2;1;3)− C ( 2;1; 3)− − D (4;1;3)
Lời giải
Chọn A
Gọi ( ; ; ).Q x y z Ta có: MN =(1;1; 2),− QP= − −( x; 2−y;1−z)
Tứ giác MNPQ hình bình hành
1 2
2
x x
MN QP y y
z z
= − − = −
⇔ = ⇔ = − ⇔ = − = − =
Vậy, ( 2;1;3)Q −
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 4− ) Trong phát biểu sau, phát biểu sai?
(6)B Khoảng cách từ M đến trục Oz 29
C Tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz ) M ′(2;5; 4− )
D Tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua trục Oy M ′(− − − 2; 5; 4)
Lời giải
Chọn C
+) Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ (xOz) − =5 nên Ađúng
+) Khoảng cách từ M đến trục Oz 22 + −( )5 = 29 nên Bđúng
+) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (yOz) I(0; 5; 4− )
Suy tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) M'(− −2; 5; 4) nên C sai
+) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên trục Oy J(0; 5; 0− )
Suy tọa độ điểm M' đối xứng với M qua trục Oy M'(− − −2; 5; 4) nên Dđúng
Câu Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1;1; 2), B(0;1; 1− , ) C x( +2; ; 2y − thẳng hàng )
Tổng x+y
A 7
3 B
8
− C.
3
− D
3 −
Lời giải
Chọn C
Ta có AB=(1; 0; 3− ), BC=(x+2;y− −1; 1)
Ba điểm , ,A B C thẳng hàng ⇔ ABvà BC phương ⇔ ∃k BC:=k AB
2 1
x k
y
k
+ = ⇔ − =
− = −
5
1
x
y
k
− = ⇔ =
=
2
x y
⇒ + = −
Câu Trong không gian Oxyz, cho A(1;1; 3− ), B(3; 1;1− ) Gọi G trọng tâm tam giác OAB, véctơ OG có độ dài bằng:
A 2
3 B
5 C
3 D
2
Lời giải
(7)Website: tailieumontoan.com
G trọng tâm tam giác OAB nêntọa độ − 4;0; 3
G
Ta có: = 16+ + =0 9
OG
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;3; 2), B(− −2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho E cách hai điểm ,A B
A 0; 0;1
B
1 0; 0;
3
C (0; 0; 1− ) D.(0; 0;1 )
Lời giải
Chọn D
Gọi E(0; 0;t)∈Oz
( )
2
4 17 21 0; 0;1
AE=BE⇔ t − +t = t − +t ⇔ = ⇒t E
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 4;3) Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ
A 34 B 10 C 34
2 D 10 2+
Lời giải
Chọn D
Gọi B,C ,D hình chiếu củaA lên trục Ox, Oy, Oz Khi
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5 ( ; Ox) 0; 4;
3; 0;
0; 4; 3; 0; 3 ( ; Oy) 0; 0;3 3; 4; 0 ( ; Oz)
AB d A
AB B
C AC AC d A
D AD AD d A
= − − = =
⇒ = − − ⇒ = ⇒ =
= − − = =
( ; Ox) ( ; Oy) ( ; Oz) 10
d A d A d A
⇒ + + = +
Câu Trong không gian Oxyz Cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0),C(0; 0; 2)và D(2; 2; 2) Gọi M , N
lần lượt trung điểm AB CD Tọa độ trung điểm đoạn MN
A (1; 1; 2− ). B (1;1; ) C (1;1;1 ) D 1; ;1 2
Lời giải
Chọn C
M trung điểm AB, ta có ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z M + + +
⇒M(1;1; 0)
N trung điểm CD , ta có ; ;
2 2
C D C D C D
x x y y z z N + + +
(8)I là trung điểm MN , ta có ; ;
2 2
M N M N M N
x x y y z z
I + + +
⇒I(1;1;1)
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A x y( ; ; 3− ; ) B(6; 2; 4− );C( 3; 7; 5)− − Giá trị x; y
để ; ;A B C thẳng hàng
A x=1;y= − B x= −1;y= − C x= −1;y= D x=1;y=
Lời giải
Chọn C
Ta có AB=(6−x; 2− −y; 7)và BC=(−9;9; 9− )
Giá trị x; y để ; ;A B C thẳng hàng thỏa mãn: AB cùng phương BC
9 9
x y
− − − ⇔ = =
− −
5
x
y
= − ⇔ =
Câu 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A1; 2; , B 1; 0; , C x y; ; 2 th ẳng hàng Khi xy
A x y B x y 17 C 11
5
x y D 11
5
x y
Lời giải Chọn A
Có AB2; 2;5 , AC x 1;y2;1
, ,
A B C thẳng hàng AB AC, phương
3
1
2
5
x
x y
x y
y
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng ( )α :x+ + − = Xác định y z tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng ( )α
A 5; ; 3
H− −
B H(1; 4; 4− ) C H(−1; 2; 0) D H(3; 6; 4)
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n=(1;1;1)
(9)Website: tailieumontoan.com
Phương trình đường thẳng MH là: ( )
4
x t
y t t
z t = + = + ∈ = +
(1 ; ; )
H t t t
⇒ + + +
Mà H∈( )α ⇔ + + + + + − = ⇔ = − t t t t Vậy H(−1; 2; 0)
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;1; 7), B(5;5;1) mặt phẳng
( )P : 2x− − + =y z Điểm M thuộc ( )P cho MA=MB= 35 Biết M có hồnh độ
ngun, ta có OM bằng
A 2 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Chọn A
Gọi M a b c( ; ; ) với a ∈ , b∈ , c∈
Ta có: AM =(a−3;b−1;c−7) BM=(a−5;b−5;c−1)
Vì ( )
35 M P MA MB ∈ = = ( ) 2 35 M P MA MB MA ∈ ⇔ = =
nên ta có hệ phương trình sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2
3 5
3 35
a b c
a b c a b c
a b c
− − + =
− + − + − = − + − + −
− + − + − =
( ) (2 ) (2 )2
2
4 12
3 35
a b c
a b c
a b c
− − = − ⇔ + − = − − + − + − =
( ) (2 ) (2 )2
2
3 35
b c
c a
a b c
= ⇔ = + − + − + − = 2
3 14
b a c a a a = + ⇔ = + − = 2 a b c = ⇔ = =
, (do a∈ )
Ta cóM(2; 2; 0) Suy OM =2
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho bốn điểmA(1;3; 3)− , B(2; 6; 7)− , C( 6; 4;3)− − ,
(0; 1; 4)
D − Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) cho biểu thức P= MA MB + +MC+MD
đạt giá trị nhỏ nhất?
A M( 1; 2;3).− − B M(0; 2;3).− C M( 1; 0;3).− D ( 3; 2;0)
M − −
Hướng dẫn giải
Chọn D
(10)Suy ra:
1
4
3 4
3 11
4
G
G
G
x
y
z
+ − −
= =
− − −
= = −
− + + +
= =
Ta có P= MA MB + +MC+MD = 4MG
Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ điểm M hình chiếu vng góc điểm G lên mặt phẳng tọa độ (Oyz)
Suy ra: ( 3; 2;0)
M − −
Câu Cho ba điểm A(1;1;1), ( 1;2;1), (3;6; 5)B C Tìm tọa độ điểm M (Oxy) cho biểu thức
2 2
T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất?
A M(1;2;0) B M(0;0; 1) . C M(1;3; 1) . D M(1;3;0)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi I thỏa IA IBIC 0 suy I trọng tâm tam giác ABC VậyI(1;3; 1)
Ta có:
2
2 ( )2 2 .
MA MA MIIA MI MI IA IA
2
2 ( )2 2 .
MB MB MIIB MI MI IB IB
2
2 ( )2 2 .
MC MC MIIC MI MI IC IC
2 2 3 2 ( ) 2 3 2 2
T MA MB MC MI MI IA IBIC IA IB IC MI IA IB IC
Mà IA2 IB2IC2 không đổi nên
Để Tmin 3MImin M hình chiếu (1;3; 1).I (Oxy)
Suy M(1;3;0)
Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2;5 ,) (B 3; 4;1 ,) (C 2;3; 3− ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mlà điểm thay đổi mp Oxz( ) Độ dài đoạn GM ngắn bằng
A 2 B 3 C 4 D 1
Lời giải
(11)Website: tailieumontoan.com
Ta có: G(2;3;1) Giả sử M a( ; 0;c) (∈ Oxz).Gọi H hình chiếu G mp Oxz( ), ta có
( )
( ; )
GM ≥GH =d G mp Oxz = GM =GH ⇔M ≡H , M(2; 0;1) Vây độ dài đoạn GM
ngắn
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1; 2; 4− ), F(1; 2; 3− − Gọi M điểm ) thuộc mặt phẳng (Oxy cho t) ổng ME MF+ có giá trị nhỏ Tìm tọa độ điểm M
A M(−1; 2; 0) B M(− −1; 2; 0) C M(1; 2; 0− ) D M(1; 2; 0)
Lời giải
ChọnC
Hai điểm E(1; 2; 4− ), F(1; 2; 3− − nằm hai phía mặt phẳng ) (Oxy )
Vì EF=(0; 0; 7− )⇒EF vng góc với (Oxy )
Vậy điểm M thuộc (Oxy cho t) ổng ME MF+ có giá trị nhỏ giao điểm EF với
(Oxy , hình chi) ếu vng góc E (Oxy )
Vậy M =(1; 2; 0− )
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0; 2; 1− − ), B(− −2; 4;3), C(1;3; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z− =3 Tìm điểm M∈( )P cho MA+MB+2MC đạt giá trị nhỏ
A 1; ; 2
−
M B 1; 1;1
2
− −
M C M(2; 2; 4− ) D M(− −2; 2; 4) Lời giải
Chọn A
I
A B
M
Gọi I , O lần lượt trung điểm AB IC, với điểm M ta ln có
( ) ( )
+ = + + + =
MA MB MI IA MI IB MI; tương tự MI+MC=2MO
Suy d = MA MB + +2MC = 2MI+2MC =4MO nên d nhỏ MO nhỏ
( )
⇔MO⊥ P nên M hình chiếu vng góc O lên ( )P
CóA(0; 2; 1− − ), B(− −2; 4;3)⇒ − −I( 1; 3;1), kết hợp với C(1;3; 1− ) ta có O(0; 0; 0)
Đường thẳng qua O(0; 0; 0) vng góc với ( )P có phương trình :
2 = = = −
x t
d y t
z t
(12)
Giải hệ
2
2 + − − =
= = −
=
x t
y t
z
x y z
t ta
1 1
, , , 2
= = = = −
t x y z
Vậy 1; ; 2
−
M
Câu Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1;2;1)A , B( 2;1;1), C(1;1; 2), tập hợp tất điểm M
trên mặt phẳng ( ) :3α x+6y−6z− = cho MA MB +MB MC +MC MA =0
A. mặt phẳng B. đường tròn C. mặt cầu D. điểm Lời giải
Chọn D
Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC + + =0 Khi
2
( )( ) ( )
MA MB= MG GA MG GB+ + =MG +MG GA GB+ +GA GB
Tương tự ta suy được:
2
3
MA MB+MB MC+MC MA= ⇔ MG +GA GB GB GC+ +GC GA= ⇔MG=
Mặt khác, ta có 4 4; ; 3
G
nên ( )
1 , ( )
3
d G α = , suy M hình chiếu vng góc G mặt phẳng ( )α Vậy tập hợp cần tìm điểm
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 2;1), B(6; 0;3), C(2;1;1) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng trung trực đoạn AB
A
11 B
11 C
11 D 11
Lời giải
Chọn D
Gọi ( )α mặt phẳng trung trực đoạn AB nên ( )α qua I(3;1; 2) trung điểm AB nhận AB=(6; 2; 2− ) vectơ pháp tuyến
Phương trình ( )α có dạng 3(x− −3) (1 y− +1) (1 z−2)=0⇔3x− + −y z 10=
( )
( )
( )2
2
3 10
;
3 1
C C C
x y z d C α = − + −
+ − +
3.2 1 10 1 − + − =
+ +
4 11 =
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(2;3;5) cắt tia
, ,
Ox Oy Oz ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân
(13)Website: tailieumontoan.com
A 16
91 B
24
91 C. 32
91 D 18
91
Lời giải
Chọn C
Vì ( )P cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , nên ta gọi tọa độ điểm làA a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c v) ới a b c, , >0
Khi phương trình mặt phẳng ( )P :x y z
a+ + =b c
Vì M(2;3;5) ( )P
a b c
∈ ⇒ + + =
Vì dài đoạn OA OB OC, , lập thành cấp số nhân với công bội 3
3
b a
c b a
=
⇒ = =
32
2 32
1
3 9
32
b a
a a a
c
=
⇒ + + = ⇔ = ⇒
=
Khi ta có phương trình mặt phẳng ( ):
32 32 32
9
x y z
P + + =
Hay ( )P : 9x+3y+ −z 32= Do đó: ( ( ))
2 2
32 32 ;
91
d O P = − =
+ +
Câu Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường thẳng : 1
− + = =
x y z
d mặt phẳng
( )P : 2x+ − =y z Mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )P Khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0)đến mặt phẳng ( )Q
A 1
3 B
1
3 C.
1
5 D
1
Lời giải
Chọn C
+ Đường thẳng : 1 − = = +
x y z
d qua điểm M(1; 0; 1− ) có vectơ phương
(2;1;3) u=
+ Mặt phẳng ( )P : 2x+ − =y z có vectơ pháp tuyến n( )P =(2;1; 1− )
(14)Vì mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )P nên ( )
( ) ( )
⊥
⊥
Q
Q P
n u
n n
và
( )Q qua điểm M(1; 0; 1− )
Do mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến n( )Q = ∧u n( )P = −( 4;8; 0)= −4 1; 2; 0( − )
Phương trình mặt phẳng ( )Q là: 1.(x− −1) (2 y− = ⇔ −0) x 2y− =1
+ Vậy khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0)đến mặt phẳng ( )Q
( )
( )
( )2
0 2.0 1
;
5
1
− −
= =
+ −
d O Q
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0;1), B(−2;8;3) điểm M a b c ( ; ; ) di động mặt phẳng (Oxy Khi ) MA+MB đạt giá trị nhỏ giá trị a+ +b 3c
A 2 B.3 C 5 D 4
Lời giải
Chọn B
Oxy
A
C
M
B
Dễ thấy hai điểm ,A B nằm phía so với mặt phẳng (Oxy )
Gọi C điểm đối xứng với A qua (Oxy suy ) C(2; 0; 1− ) Đường thẳng BC qua C(2; 1− ) ( 1; 2;1)
4
u = CB= − làm vecto phương có phương
trình là: 2
x t
y t
z t
= −
=
= − +
Khi MA+MB=MC+MB≥BC =4
(15)Website: tailieumontoan.com
Suy min(MA+MB)=4 ⇔M =(Oxy)∩BC nên tọa độ điểm M x y z th( ; ; ) ỏa mãn hệ:
1
2
0
x t
x
y t
y
z t
z z
= −
= =
⇔ = = − + = =
Vậy M(1; 2; 0)⇒ =a 1,b=2, c= ⇒ + +0 a b 3c=
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Cho hai điểm A(−3;5; ,− ) (B 5; 3; 7− )và mặt phẳng
( )P :x+ + = Tìm tọa độ điểm y z M mặt phẳng ( )P cho MA2−2MB2 lớn
A M(−2;1;1) B M(2; 1;1− ) C M(6; 18;12− ) D M(−6;18;12)
Lời giải
Chọn C
GọiM a b c thu( ; ; ) ộc mặt phẳng ( )P :x+ + = nên ta có y z a +b + c= 0
( ) (2 ) (2 )2 ( ) (2 ) (2 )2
2
2 5
MA − MB = − −a + −b + − −c − −a + − −b + −c
2 2
26 22 38 107
a b c a b + c
= − − − + − − ( ) (2 ) (2 )2
13 11 19 544
a b + c
= − − + + − + Theo BĐT Bunnhia ta có
( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )2
0 21 13 11 19 13 11 19
a + b + c= ⇒ − = a− + b + + c− ≤ a− + b + + c−
( ) (2 ) (2 )2
13 11 19 147
a + b + + c
⇒ − − ≥
( ) (2 ) (2 )2 2
2 13 11 19 544 397
MA − MB = − a− + b + + −c + ≤
Dấu xảy khi:
13 11 19
7
1 1
a− =b + =c− = −
6 18 12
a
b
c
= ⇔ = −
=
(6; 18;12)
M
⇒ −
Câu Cho A(4;5;6 ;) (B 1;1; 2), M điểm di động mặt phẳng ( )P :2x+ +y 2z+ = Khi MA MB− nhận giá trị lớn là?
A 77 B 41 C 7 D 85
Lời giải
Chọn B
Ta có MA−MB ≤ AB với điểm M∈( )P
Vì (2.4 2.6 2.1 2.2 1+ + + ) ( + + + =) 208> nên hai điểm ,0 A B nằm phía với ( )P
(16)Khi đó, MA MB− nhận giá trị lớn là: AB= (4 1− ) (2+ 1− ) (2+ 6−2)2 = 41
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( )P :ax by+ + − = (với cz a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M(0; 1; ,− ) (N −1;1;3) không qua điểm H(0; 0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị lớn
nhất Tổng T = −a 2b+3c+ bằng12
A − 16 B 8 C 12 D.16
Lời giải
Chọn D
Gọi Klà hình chiếu H lên ( )P , E hình chiếu Hlên MN
M H
K E
N
Ta có : d H( ;( )P )=HK d H MN( ; )=HE, HK≤HE(không đổi)
Vậy d H( ;( )P ) lớn K ≡E, với E hình chiếu H lên MN 1; 7;
3 3
E− −
⇒
Vậy mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1;
3 3
HE= − −
làm vectơ pháp tuyến qua M
( )P : x y z ⇒ − − + − =
Vậy
1
1 16
1
a
b T
c
= −
= − ⇒ =
=
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0; 2; 1− − , ) B(− −2; 4;3), C(1;3; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z− = Biết điểm M a b c( ; ; ) ( )∈ P thỏa mãn T = MA MB + +2MC
đạt giá trị nhỏ Tính S= + +a b c
A S= −1 B
2
S = C.S =0 D
2
S = − Lời giải
(17)Website: tailieumontoan.com
cóT = MA MB + +2MC = 4a2+4b2+4c2 =2 a2+b2+c2
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2
1
a b c
a b c + −
= + + ≥ = =
+ + −
2
T = MA MB + + MC đạt giá trị nhỏ
1
1 2
2
a b c
a b
a b c c
= = = =
⇔
−
+ − − = = −
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (1;1;1)A , B( 2;3; 4)− C( 2;5;1)− Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng (Oxy cho ) MA2+MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T =a2+ b2 A T =10 B T =25 C T =13 D T =17
Lời giải
Chọn A
Ta có G(−1;3; 2) trọng tâm tam giác ABC Khi
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
3
3
G
MA MB MC MA MB MC
MG GA MG MG
GA GB GC MG GA GB GC
G
B GC
MG
MG A GB GC
+ + = + +
+ + + + +
=
+ + + + +
+ +
= +
= +
Do 2
MA +MB +MC nhỏ MG nhỏ ⇔M hình chiếu G lên mặt phẳng (Oxy Do hình chi) ếu vng góc G lên mặt phẳng(Oxy có t) ọa độ (−1;3; 0)Vậy
( 1;3; 0)
M − Từ ( )2
1 10