Chuyên đề hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

 Xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng bất kỳ.  Xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng bất kỳ. Phân tích hướng dẫn giải.. 1. D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hình chiếu c[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN

MẶT PHẲNG

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng hệ trục (Oxyz ) - Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oxy '(a;b;0)) M - Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oyz (a;b;0)) M

- Điểm (a;b;c)M có hình chiếu lên mp (Oxz (a;b;0)) M

3 Cách xác định hình chiếu điểm M lên mặt phẳng ( )α

- Viết ptđt ∆ qua M vng góc với ( )α

- Tọa độ hình chiếu vng góc H là giao điểm ∆ và ( )α

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Xác định hình chiếu điểm lên trục

 Xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng  Xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng  Tính độ dài đoạn thẳng

 Tìm tọa độ điểm , tọa độ véc tơ thỏa mãn đk cho trước …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong khơng gian (Oxyz , hình chiếu vng góc )

điểm (2;1; 1)M − lên (Oxz có tọa độ )

A.(0;1; 0) B.(2;1; 0) C.(0;1; 1)− D.(2; 0; 1)−

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng 2 HƯỚNG GIẢI:

Sử dụng xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng hệ trục (Oxyz )

Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lờigiải

Chọn D

Hình chiếu vng góc điểm (2;1; 1)M − lên (Oxz có tọa độ (2;0; 1)) −

Website: tailieumontoan.com

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

3; 2;5−

)

Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ

(

Oxz

)

A M

(

3; 0;5

)

B M

(

3; 2; 0−

)

C M

(

0; 2;5−

)

D M

(

0; 2;5

)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A

(

3; 2;5−

)

lên mặt phẳng

(

Oxz ta ch

)

ỉ cần giữ nguyên hoành độ

và cao độ, cho tung độ

Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

2; 3; 2−

)

Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ

(

Oxz

)

A M

(

2; 0; 2

)

B M

(

3; 2; 0−

)

C M

(

0; 2;5−

)

D M

(

1; 0;1

)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A

(

2; 3; 2−

)

lên mặt phẳng

(

Oxz ta ch

)

ỉ cần giữ nguyên hoành độ

và cao độ, cho tung độ

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hình chi, ếu điểm M

(

13; 2;15

)

mặt phẳng tọa độ

Oxy là điểm H a b c Tính

(

; ;

)

P=3a+15b+c

A P=48 B P=54 C P=69 D P=84 Lời giải

Chọn C

Hình chiếu M

(

13; 2;15

)

mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H

(

13; 2; 0

)

Do a=13, 2, 0b= c= ⇒ =P 69

Câu 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz hình chi, ếu điểm M

(

1; 2;3

)

mặt phẳng tọa độ

(

Oxy

)

điểm H a b c Tính

(

; ;

)

P= + +a b c

A P=6 B P=4 C P=3 D P=5 Lời giải

Chọn C

Hình chiếu M

(

13; 2;15

)

mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H

(

13; 2; 0

)

Do a=13, 2, 0b= c= ⇒ =P 69

Chọn C

Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng

(

Oyz

)

⇒H

(

0 ; ;

)

Gọi M ' điểm đối xứng với M

(

1 qua m; ;

)

ặt phẳng

(

Oyz

)

H

⇒ trung điểm MM '⇒M '

(

−1 ; ;

)

Câu 6: Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng M

(

1 qua m; ;

)

ặt phẳng

(

Oxy

)

A

(

0 3; ;

)

B

(

− − −1; 2; 3

)

C

(

−1 3; ;

)

D

(

1 2; ;− 3

)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng

(

Oyz

)

⇒H

(

1 0; ;

)

Gọi M ' điểm đối xứng với M

(

1 qua m; ;

)

ặt phẳng

(

Oyz

)

H

⇒ trung điểm MM '⇒M '

(

1 3; ;−

)

Câu 7: Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu trung điểm đoạn thẳng AB, với A ;

(

1 3− ;

)

(

)

B 1; ; lên mặt phẳng

(

Oxz

)

A

(

0 0; ;

)

B

(

−2 0; ;−2

)

C

(

2 2; ;

)

D

(

2;−1 0;

)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H trung điểm AB ⇒H ( ;2 −1 2; )

Hình chiếu H ( ;2 −1 2; ) mặt phẳng tọa độ Oxy điểm H' 2; 0; 2

(

)

Câu 8: Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu trung điểm đoạn thẳng OA, với A

(

2 0;− ;

)

lên mặt phẳng

(

Oxy

)

A

(

0;−1 0;

)

B

(

−2 0; ;−2

)

C

(

1 0;− ;

)

D

(

−1 0; ;

)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H trung điểm AB ⇒H ( ;1 0− ; )

Hình chiếu H ( ;1 0− ; ) mặt phẳng tọa độ

(

Oxy

)

điểm H' 1; 1; 0

(

−

)

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

1; 2;5−

)

Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ

(

Oxz M Tính OM

)



A

(

1; 0;5

)

B

(

3; 2; 0−

)

C

(

0; 2;5−

)

D

(

0; 2;5

)

Hướng dẫn giải

Website: tailieumontoan.com

Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A

(

3; 2;5−

)

lên mặt phẳng

(

Oxz

)

M

(

1; 0;5

)

⇒OM=

(

1; 0;5

)

Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

− −1; 3; 2

)

Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ

(

Oxz M Tính AM

)



A

(

0;3;

)

B

(

1; 0;3

)

C

(

−1; 0; 2

)

D

(

0; 2;5

)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A

(

− −1; 3; 2

)

lên mặt phẳng

(

Oxz

)

M

(

−1; 0; 2

)

⇒AM =

(

0;3; 0

)

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

2; 2;1−

)

, B

(

0;1; 2

)

Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

(

Oxy

)

cho ba điểm A, B,M thẳng hàng

A M

(

4; 5; 0−

)

B M

(

2; 3; 0−

)

C M

(

0; 0;1

)

D M

(

4;5; 0

)

Lời giải

Chọn A

Ta có M∈

(

Oxy

)

⇒M x y

(

; ; 0

)

; AB= −

(

2;3;1 ;

)

AM =

(

x−2;y+ −2; 1

)

Để A, B, M thẳng hàng AB AM phương , :

2

2

x− y+ −

= =

−

4

x

y

=  ⇔  = −

 Vậy M

(

4; 5; 0−

)

Câu Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm (1; 1;1), N(2;0; 1),P( 1;2;1)M − − − Xét điểm Q

cho tứ giác MNPQ hình bình hành Tọa độ Q

A ( 2;1;3)− B ( 2;1;3)− C ( 2;1; 3)− − D (4;1;3)

Lời giải

Chọn A

Gọi ( ; ; ).Q x y z Ta có: MN =(1;1; 2),− QP= − −( x; 2−y;1−z)

Tứ giác MNPQ hình bình hành

1 2

2

x x

MN QP y y

z z

= − − = −

 

 

⇔ = ⇔ = − ⇔ = − = −  =

 

 

Vậy, ( 2;1;3)Q −

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M

(

2; 5; 4−

)

Trong phát biểu sau, phát biểu sai?

B Khoảng cách từ M đến trục Oz 29

C Tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng

(

yOz

)

M ′

(

2;5; 4−

)

D Tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua trục Oy M ′

(

− − − 2; 5; 4

)

Lời giải

Chọn C

+) Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ

(

xOz

)

− =5 nên Ađúng

+) Khoảng cách từ M đến trục

Oz

22 + −

( )

5 = 29 nên Bđúng

+) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng

(

yOz

)

I

(

0; 5; 4−

)

Suy tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng

(

yOz

)

M'

(

− −2; 5; 4

)

nên C sai

+) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên trục Oy J

(

0; 5; 0−

)

Suy tọa độ điểm M' đối xứng với M qua trục Oy M'

(

− − −2; 5; 4

)

nên Dđúng

Câu Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

(

−1;1; 2

)

, B

(

0;1; 1− ,

)

C x

(

+2; ; 2y − thẳng hàng

)

Tổng

x

+

y

A 7

3 B

8

− C.

3

− D

3 −

Lời giải

Chọn C

Ta có AB=

(

1; 0; 3−

)

, BC=

(

x+2;y− −1; 1

)

Ba điểm , ,A B C thẳng hàng ⇔ ABvà BC phương ⇔ ∃k BC:=k AB

2 1

x k

y

k

+ =   ⇔ − =

− = − 

5

1

x

y

k

−  =   ⇔ =

  = 

2

x y

⇒ + = −

Câu Trong không gian Oxyz, cho A

(

1;1; 3−

)

, B

(

3; 1;1−

)

Gọi G trọng tâm tam giác OAB, véctơ OG có độ dài bằng: 

A 2

3 B

5 C

3 D

2

Lời giải

Website: tailieumontoan.com

G trọng tâm tam giác OAB nêntọa độ  −    4;0; 3

G

Ta có: = 16+ + =0 9

OG

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A

(

2;3; 2

)

, B

(

− −2; 1; 4

)

Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho E cách hai điểm ,A B

A 0; 0;1

 

 

  B

1 0; 0;

3

 

 

  C

(

0; 0; 1−

)

D.

(

0; 0;1

)

Lời giải

Chọn D

Gọi E

(

0; 0;t

)

∈Oz

(

)

2

4 17 21 0; 0;1

AE=BE⇔ t − +t = t − +t ⇔ = ⇒t E

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A

(

3; 4;3

)

Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ

A 34 B 10 C 34

2 D 10 2+

Lời giải

Chọn D

Gọi B,C ,D hình chiếu củaA lên trục Ox, Oy, Oz Khi

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 ( ; Ox) 0; 4;

3; 0;

0; 4; 3; 0; 3 ( ; Oy) 0; 0;3 3; 4; 0 ( ; Oz)

AB d A

AB B

C AC AC d A

D AD AD d A

 = − −  =  =

 

 

 ⇒ = − − ⇒ = ⇒ =

   

  = − −  =  =

   

 



( ; Ox) ( ; Oy) ( ; Oz) 10

d A d A d A

⇒ + + = +

Câu Trong không gian Oxyz Cho điểm A

(

2; 0; 0

)

, B

(

0; 2; 0

)

,C

(

0; 0; 2

)

và D

(

2; 2; 2

)

Gọi M , N

lần lượt trung điểm AB CD Tọa độ trung điểm đoạn MN

A

(

1; 1; 2−

)

. B

(

1;1;

)

C

(

1;1;1

)

D 1; ;1 2

 

 

 

Lời giải

Chọn C

M trung điểm AB, ta có ; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z M + + + 

 ⇒M

(

1;1; 0

)

N trung điểm CD , ta có ; ;

2 2

C D C D C D

x x y y z z N + + + 

I là trung điểm MN , ta có ; ;

2 2

M N M N M N

x x y y z z

I + + + 

  ⇒I

(

1;1;1

)

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A x y

(

; ; 3− ;

)

B

(

6; 2; 4−

)

;C( 3; 7; 5)− − Giá trị x; y

để ; ;A B C thẳng hàng

A x=1;y= − B x= −1;y= − C x= −1;y= D x=1;y=

Lời giải

Chọn C

Ta có AB=

(

6−x; 2− −y; 7

)

và BC=

(

−9;9; 9−

)

Giá trị x; y để ; ;A B C thẳng hàng thỏa mãn: AB cùng phương BC

9 9

x y

− − − ⇔ = =

− −

5

x

y

= −  ⇔  =



Câu 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A



1; 2; ,

 

B 1; 0; ,

 

C x y; ; 2 th



ẳng hàng Khi xy

A x  y B x y 17 C 11

5

x   y D 11

5

x y

Lời giải Chọn A

Có AB



2; 2;5 ,



AC 



x 1;y2;1



, ,

A B C thẳng hàng  AB AC, phương

3

1

2

5

x

x y

x y

y

     

         



 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M

(

1; 4; 2

)

mặt phẳng

( )

α :x+ + − = Xác định y z tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng

( )

α

A 5; ; 3

H− − 

  B H

(

1; 4; 4−

)

C H

(

−1; 2; 0

)

D H

(

3; 6; 4

)

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng

( )

α có vectơ pháp tuyến n=

(

1;1;1

)

Website: tailieumontoan.com

Phương trình đường thẳng MH là:

(

)

4



x t

y t t

z t = +   = + ∈   = + 

(

1 ; ;

)

H t t t

⇒ + + +

Mà H∈

( )

α ⇔ + + + + + − = ⇔ = − t t t t Vậy H

(

−1; 2; 0

)

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A

(

3;1; 7

)

, B

(

5;5;1

)

mặt phẳng

( )

P : 2x− − + =y z Điểm M thuộc

( )

P cho MA=MB= 35 Biết M có hồnh độ

ngun, ta có OM bằng

A 2 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Gọi M a b c

(

; ;

)

với a ∈ , b∈ , c∈

Ta có: AM =

(

a−3;b−1;c−7

)

BM=

(

a−5;b−5;c−1

)

Vì

( )

35 M P MA MB ∈   = = 

( )

2 35 M P MA MB MA ∈   ⇔ =  = 

nên ta có hệ phương trình sau:

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

)

2 2 2

2 2

2

3 5

3 35

a b c

a b c a b c

a b c

 − − + =

 − + − + − = − + − + −

 

− + − + − =



(

) (

2

) (

2

)

2

2

4 12

3 35

a b c

a b c

a b c

 − − = −  ⇔ + − = −  − + − + − = 

(

) (

2

) (

2

)

2

2

3 35

b c

c a

a b c

 =  ⇔ = +  − + − + − =  2

3 14

b a c a a a  = +  ⇔ = +  − =  2 a b c =   ⇔ =  = 

, (do a∈ )

Ta cóM

(

2; 2; 0

)

Suy OM =2

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho bốn điểmA(1;3; 3)− , B(2; 6; 7)− , C( 6; 4;3)− − ,

(0; 1; 4)

D − Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) cho biểu thức P= MA MB   + +MC+MD

đạt giá trị nhỏ nhất?

A M( 1; 2;3).− − B M(0; 2;3).− C M( 1; 0;3).− D ( 3; 2;0)

M − −

Hướng dẫn giải

Chọn D

Suy ra:

1

4

3 4

3 11

4

G

G

G

x

y

z

+ − −

 = =

 

− − −

 = = −

 

− + + +

 = =



Ta có P= MA MB   + +MC+MD = 4MG

Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ điểm M hình chiếu vng góc điểm G lên mặt phẳng tọa độ (Oyz)

Suy ra: ( 3; 2;0)

M − −

Câu Cho ba điểm A(1;1;1), ( 1;2;1), (3;6; 5)B C  Tìm tọa độ điểm M (Oxy) cho biểu thức

2 2

T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất?

A M(1;2;0) B M(0;0; 1) . C M(1;3; 1) . D M(1;3;0)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi I thỏa IA IBIC 0 suy I trọng tâm tam giác ABC VậyI(1;3; 1)

Ta có:

2

2 ( )2 2 .

MA MA  MIIA MI  MI IA IA

2

2 ( )2 2 .

MB MB  MIIB MI  MI IB IB

2

2 ( )2 2 .

MC MC  MIIC MI  MI IC IC

2 2 3 2 ( ) 2 3 2 2

T MA MB MC  MI  MI IA  IBIC IA IB IC  MI IA IB IC

Mà IA2 IB2IC2 không đổi nên

Để Tmin  3MImin M hình chiếu (1;3; 1).I  (Oxy)

Suy M(1;3;0)

Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A

(

1; 2;5 ,

) (

B 3; 4;1 ,

) (

C 2;3; 3−

)

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mlà điểm thay đổi mp Oxz

(

)

Độ dài đoạn GM ngắn bằng

A 2 B 3 C 4 D 1

Lời giải

Website: tailieumontoan.com

Ta có: G

(

2;3;1

)

Giả sử M a

(

; 0;c

) (

∈ Oxz

)

.Gọi H hình chiếu G mp Oxz

(

)

, ta có

(

)

(

;

)

GM ≥GH =d G mp Oxz = GM =GH ⇔M ≡H , M

(

2; 0;1

)

Vây độ dài đoạn GM

ngắn

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E

(

1; 2; 4−

)

, F

(

1; 2; 3− − Gọi M điểm

)

thuộc mặt phẳng

(

Oxy cho t

)

ổng ME MF+ có giá trị nhỏ Tìm tọa độ điểm M

A M

(

−1; 2; 0

)

B M

(

− −1; 2; 0

)

C M

(

1; 2; 0−

)

D M

(

1; 2; 0

)

Lời giải

ChọnC

Hai điểm E

(

1; 2; 4−

)

, F

(

1; 2; 3− − nằm hai phía mặt phẳng

)

(

Oxy

)

Vì EF=

(

0; 0; 7−

)

⇒EF vng góc với

(

Oxy

)

Vậy điểm M thuộc

(

Oxy cho t

)

ổng ME MF+ có giá trị nhỏ giao điểm EF với

(

Oxy , hình chi

)

ếu vng góc E

(

Oxy

)

Vậy M =

(

1; 2; 0−

)

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A

(

0; 2; 1− −

)

, B

(

− −2; 4;3

)

, C

(

1;3; 1−

)

mặt phẳng

( )

P :x+ −y 2z− =3 Tìm điểm M∈

( )

P cho  MA+MB+2MC đạt giá trị nhỏ

A 1; ; 2

 − 

 

 

M B 1; 1;1

2

− − 

 

 

M C M

(

2; 2; 4−

)

D M

(

− −2; 2; 4

)

Lời giải

Chọn A

I

A B

M

Gọi I , O lần lượt trung điểm AB IC, với điểm M ta ln có

(

) (

)

+ = + + + =

      

MA MB MI IA MI IB MI; tương tự  MI+MC=2MO

Suy d = MA MB + +2MC = 2MI+2MC =4MO nên d nhỏ MO nhỏ

( )

⇔MO⊥ P nên M hình chiếu vng góc O lên

( )

P

CóA

(

0; 2; 1− −

)

, B

(

− −2; 4;3

)

⇒ − −I

(

1; 3;1

)

, kết hợp với C

(

1;3; 1−

)

ta có O

(

0; 0; 0

)

Đường thẳng qua O

(

0; 0; 0

)

vng góc với

( )

P có phương trình :

2 =   =   = − 

x t

d y t

z t

Giải hệ

2

2 + − − =

  =   = − 

 =

x t

y t

z

x y z

t ta

1 1

, , , 2

= = = = −

t x y z

Vậy 1; ; 2

 − 

 

 

M

Câu Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1;2;1)A , B( 2;1;1), C(1;1; 2), tập hợp tất điểm M

trên mặt phẳng ( ) :3α x+6y−6z− = cho MA MB      +MB MC +MC MA =0

A. mặt phẳng B. đường tròn C. mặt cầu D. điểm Lời giải

Chọn D

Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC   + + =0 Khi

2

( )( ) ( )

MA MB= MG GA MG GB+ + =MG +MG GA GB+ +GA GB

          

Tương tự ta suy được:

2

3

MA MB+MB MC+MC MA= ⇔ MG +GA GB GB GC+ +GC GA= ⇔MG=

           

Mặt khác, ta có 4 4; ; 3

G 

  nên

(

)

1 , ( )

3

d G α = , suy M hình chiếu vng góc G mặt phẳng

( )

α Vậy tập hợp cần tìm điểm

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A

(

0; 2;1

)

, B

(

6; 0;3

)

, C

(

2;1;1

)

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng trung trực đoạn AB

A

11 B

11 C

11 D 11

Lời giải

Chọn D

Gọi

( )

α mặt phẳng trung trực đoạn AB nên

( )

α qua I

(

3;1; 2

)

trung điểm AB nhận AB=

(

6; 2; 2−

)

vectơ pháp tuyến

Phương trình

( )

α có dạng 3

(

x− −3

) (

1 y− +1

) (

1 z−2

)

=0⇔3x− + −y z 10=

( )

(

)

( )

2

2

3 10

;

3 1

C C C

x y z d C α = − + −

+ − +

3.2 1 10 1 − + − =

+ +

4 11 =

 Mức độ

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P đi qua điểm M

(

2;3;5

)

cắt tia

, ,

Ox Oy Oz ba điểm A B C, , cho OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân

Website: tailieumontoan.com

A 16

91 B

24

91 C. 32

91 D 18

91

Lời giải

Chọn C

Vì

( )

P cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , nên ta gọi tọa độ điểm làA a

(

; 0; ,

) (

B 0; ; ,b

) (

C 0; 0;c v

)

ới a b c, , >0

Khi phương trình mặt phẳng

( )

P :x y z

a+ + =b c

Vì M

(

2;3;5

) ( )

P

a b c

∈ ⇒ + + =

Vì dài đoạn OA OB OC, , lập thành cấp số nhân với công bội 3

3

b a

c b a

= 

⇒  = = 

32

2 32

1

3 9

32

b a

a a a

c

 = 

⇒ + + = ⇔ = ⇒ 

 = 

Khi ta có phương trình mặt phẳng

( )

:

32 32 32

9

x y z

P + + =

Hay

( )

P : 9x+3y+ −z 32= Do đó:

(

( )

)

2 2

32 32 ;

91

d O P = − =

+ +

Câu Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho đường thẳng : 1

− + = =

x y z

d mặt phẳng

( )

P : 2x+ − =y z Mặt phẳng

( )

Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

( )

P Khoảng cách từ điểm O

(

0; 0; 0

)

đến mặt phẳng

( )

Q

A 1

3 B

1

3 C.

1

5 D

1

Lời giải

Chọn C

+ Đường thẳng : 1 − = = +

x y z

d qua điểm M

(

1; 0; 1−

)

có vectơ phương

(

2;1;3

)

u=

+ Mặt phẳng

( )

P : 2x+ − =y z có vectơ pháp tuyến n( )P =

(

2;1; 1−

)



Vì mặt phẳng

( )

Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

( )

P nên ( )

( ) ( )

 ⊥  

⊥ 

  Q 

Q P

n u

n n

và

( )

Q qua điểm M

(

1; 0; 1−

)

Do mặt phẳng

( )

Q có vectơ pháp tuyến n( )Q = ∧u n( )P = −

(

4;8; 0

)

= −4 1; 2; 0

(

−

)

Phương trình mặt phẳng

( )

Q là: 1.

(

x− −1

) (

2 y− = ⇔ −0

)

x 2y− =1

+ Vậy khoảng cách từ điểm O

(

0; 0; 0

)

đến mặt phẳng

( )

Q

( )

(

)

( )

2

0 2.0 1

;

5

1

− −

= =

+ −

d O Q

Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

2; 0;1

)

, B

(

−2;8;3

)

điểm M a b c

(

; ;

)

di động mặt phẳng

(

Oxy Khi

)

MA+MB đạt giá trị nhỏ giá trị a+ +b 3c

A 2 B.3 C 5 D 4

Lời giải

Chọn B

Oxy

A

C

M

B

Dễ thấy hai điểm ,A B nằm phía so với mặt phẳng

(

Oxy

)

Gọi C điểm đối xứng với A qua

(

Oxy suy

)

C

(

2; 0; 1−

)

Đường thẳng BC qua C

(

2; 1−

)

(

1; 2;1

)

4

u = CB= − làm vecto phương có phương

trình là: 2

x t

y t

z t

= − 

 = 

 = − + 

Khi MA+MB=MC+MB≥BC =4

Website: tailieumontoan.com

Suy min

(

MA+MB

)

=4 ⇔M =

(

Oxy

)

∩BC nên tọa độ điểm M x y z th

(

; ;

)

ỏa mãn hệ:

1

2

0

x t

x

y t

y

z t

z z

= − 

=   =

 ⇔ =  = − +    =  =



Vậy M

(

1; 2; 0

)

⇒ =a 1,b=2, c= ⇒ + +0 a b 3c=

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Cho hai điểm A

(

−3;5; ,−

) (

B 5; 3; 7−

)

và mặt phẳng

( )

P :x+ + = Tìm tọa độ điểm y z M mặt phẳng

( )

P cho MA2−2MB2 lớn

A M

(

−2;1;1

)

B M

(

2; 1;1−

)

C M

(

6; 18;12−

)

D M

(

−6;18;12

)

Lời giải

Chọn C

GọiM a b c thu

(

; ;

)

ộc mặt phẳng

( )

P :x+ + = nên ta có y z a +b + c= 0

(

) (

2

) (

2

)

2

(

) (

2

) (

2

)

2

2

2 5

MA − MB = − −a + −b + − −c −  −a + − −b + −c 

2 2

26 22 38 107

a b c a b + c

= − − − + − −

(

) (

2

) (

2

)

2

13 11 19 544

a b + c

 

= − − + + − + Theo BĐT Bunnhia ta có

(

) (

) (

)

(

) (

2

) (

2

)

2

0 21 13 11 19 13 11 19

a + b + c= ⇒ − = a− + b + + c− ≤  a− + b + + c− 

(

) (

2

) (

2

)

2

13 11 19 147

a + b + + c

⇒ − − ≥

(

) (

2

) (

2

)

2 2

2 13 11 19 544 397

MA − MB = − a− + b + + −c + ≤

Dấu xảy khi:

13 11 19

7

1 1

a− =b + =c− = −

6 18 12

a

b

c

=   ⇔ = −

 = 

(

6; 18;12

)

M

⇒ −

Câu Cho A

(

4;5;6 ;

) (

B 1;1; 2

)

, M điểm di động mặt phẳng

( )

P :2x+ +y 2z+ = Khi MA MB− nhận giá trị lớn là?

A 77 B 41 C 7 D 85

Lời giải

Chọn B

Ta có MA−MB ≤ AB với điểm M∈

( )

P

Vì

(

2.4 2.6 2.1 2.2 1+ + +

) (

+ + + =

)

208> nên hai điểm ,0 A B nằm phía với

( )

P

Khi đó, MA MB− nhận giá trị lớn là: AB=

(

4 1−

) (

2+ 1−

) (

2+ 6−2

)

2 = 41

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi

( )

P :ax by+ + − = (với cz a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M

(

0; 1; ,−

) (

N −1;1;3

)

không qua điểm H

(

0; 0; 2

)

Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng

( )

P đạt giá trị lớn

nhất Tổng T = −a 2b+3c+ bằng12

A − 16 B 8 C 12 D.16

Lời giải

Chọn D

Gọi Klà hình chiếu H lên

( )

P , E hình chiếu Hlên MN

M H

K E

N

Ta có : d H

(

;

( )

P

)

=HK d H MN

(

;

)

=HE, HK≤HE(không đổi)

Vậy d H

(

;

( )

P

)

lớn K ≡E, với E hình chiếu H lên MN 1; 7;

3 3

E− − 

⇒  

Vậy mặt phẳng

( )

P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1;

3 3

HE= − − 

 



làm vectơ pháp tuyến qua M

( )

P : x y z ⇒ − − + − =

Vậy

1

1 16

1

a

b T

c

= − 

 = − ⇒ = 

 = 

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A

(

0; 2; 1− − ,

)

B

(

− −2; 4;3

)

, C

(

1;3; 1−

)

mặt phẳng

( )

P :x+ −y 2z− = Biết điểm M a b c

(

; ;

) ( )

∈ P thỏa mãn T = MA MB + +2MC

đạt giá trị nhỏ Tính

S

= + +

a b c

A S= −1 B

2

S = C.

S

=

0

D

2

S = − Lời giải

Website: tailieumontoan.com

cóT = MA MB + +2MC = 4a2+4b2+4c2 =2 a2+b2+c2

(

)

( )

2 2

2 2

2

2 2

2

1

a b c

a b c + −

= + + ≥ = =

+ + −

2

T = MA MB + + MC đạt giá trị nhỏ

1

1 2

2

a b c

a b

a b c c

 = =  = =

 ⇔

−

 

 + − − =  = −

 

Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (1;1;1)A , B( 2;3; 4)− C( 2;5;1)− Điểm M a b( ; ; 0) thuộc mặt phẳng

(

Oxy cho

)

MA2+MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ Tổng T =a2+ b2 A T =10 B T =25 C T =13 D T =17

Lời giải

Chọn A

Ta có G

(

−1;3; 2

)

trọng tâm tam giác ABC Khi

(

) (

) (

)

(

)

2 2 2

2 2

2 2 2 2

3

3

G

MA MB MC MA MB MC

MG GA MG MG

GA GB GC MG GA GB GC

G

B GC

MG

MG A GB GC

+ + = + +

+ + + + +

=

+ + + + +

+ +

= +

= +

  

     

   

Do 2

MA +MB +MC nhỏ MG nhỏ ⇔M hình chiếu G lên mặt phẳng

(

Oxy Do hình chi

)

ếu vng góc G lên mặt phẳng

(

Oxy có t

)

ọa độ

(

−1;3; 0

)

Vậy

(

1;3; 0

)

M − Từ

( )

2

1 10