Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LÊ HỒN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG Người thực hiện: Đỗ Thị Dịu Chức vụ:Tổ phó SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2019 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Mục lục Trang I MỞ ĐẦU 1.1 1.2 1.3 1.4 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề 3 3 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp thực 2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiên 2.4 Nội dung thực 2.4.1 Bài tốn 1: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  (Q) chứa M 2.4.2 Bài tốn 2: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  d 2.4.3 Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B cho MA = MB 2.4.4 Bài tốn 4: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A đường thăng d không qua A cho MA  d 5 11 3.KẾT LUẬN 3.1 Kết thực nghiệm 11 3.2 Bài học kinh nghiệm 12 3.3 Đề xuất 12 GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hồn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng MỞ ĐẦU 1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong trình giải tốn hình khơng gian ta gặp nhiều tốn mà giải tốn ta cần tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Chẳng hạn, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính góc tạo đường thẳng với mặt phẳng, xác định số đo góc phẳng nhị diện,… Việc xác định chân đường vng góc điểm mắt phẳng có vai trò quan trọng việc tìm lời giải tốn đó, đặc biệt tốn trắc nghiệm có liên quan việc xác định nhanh hình chiếu giúp học sinh có lựa chọn đáp án nhanh xác Trong thực tế việc dạy học tơi nhận thấy tốn hình chiếu điểm lý thuyết cách giải tổng quan, chưa rõ ràng, chi tiết nên học sinh khó tiếp thu, có nhiều em lúng túng, bối rối trước vấn đề Chính vậy, tơi chọn viết đề tài : “Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng ” 1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục đích việc nghiên cứu viết đề tài nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp dễ dàng việc tìm hình chiếu điểm mặt phẳng 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài nghiêm cứu, tổng kết hình chiếu điểm mặt phẳng chủ yếu số loại hình chóp hình học khơng gian lớp 11 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Để thực đề tài phương pháp chủ yếu tác giả : Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, xây dựng thuật tốn, học hỏi, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm vận dụng giảng dạy nhiều năm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN * Định nghĩa ( Phép chiếu vng góc): Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (P) [1] *Từ điểm M nằm mặt phẳng (P), hạ MH   P  H H hình chiếu vng góc M (P) GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hồn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng M l H P 2.2.Thực trạng vấn đề Với định hướng việc đổi phương pháp dạy học phương pháp dạy học tích cực Bộ GD&ĐT diễn sâu rộng tất bậc học Từ đặt nhiệm vụ cho người thầy phải rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Trong dạy học trường THPT, môn Tốn coi mơn học giúp phát triển trí tuệ tư lơgic, hoạt động giải Toán hoạt động tạo hội tốt để học sinh bộc lộ, phát triển tư sáng tạo qua q trình đem tri thức tốn học trang bị vào giải vấn đề tốn học thực tiễn Trong q trình tìm tòi lời giải học sinh mắc số sai lầm lúng túng sai từ đâu, sai đâu chưa giáo viên nhấn mạnh đến sai lầm, chưa rèn luyện kỹ giải cho học sinh Vì vậy, dạng toán, loại toán người giáo viên phải biết tạo điều kiện cho học sinh có hội rèn luyện kỹ giải Trên thực tế giảng dạy mơn Tốn, tốn thuộc mơn hình học không gian thông thường học sinh cảm thấy khó khăn khơng có hứng thú học tập có tư tưởng ăn sâu “sợ hình” Đồng thời, phần hình học khơng gian lớp 11 hình chiếu vng góc nêu khái niệm chung phép chiếu vng góc ( Định nghĩa trang 100 sách giáo khoa hình học nâng cao 11; trang 102 sách giáo khoa hình học 11) cách xác định hình chiếu điểm, hình mặt phẳng khơng đề cập tới Vì vậy, hầu hết giáo viên nhắc qua cho học sinh cách xác định gặp toán cụ thể có liên quan mà khơng xây dựng cở sở lý thuyết hay thuật toán cụ thể Tuy nhiên, dừng lại phần lớn học sinh , đặc biệt đối tượng học sinh thuộc ban mơ hồ, lúng túng tự giải loại tập có liên quan đến việc xác định chân đường vng góc Là giáo viên dạy tốn tơi ln trăn trở tìm cách khắc phục thực trạng cách tìm tòi phương pháp tiếp cận mới,cách cụ thể hóa phương pháp giải, cách phân nhỏ GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hồn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng tốn lớn thành toán nhỏ…để rèn luyện cho học sinh dần thoải mái hơn, hứng thú việc học hình Trong viết tơi xin phân nhỏ tốn tìm hình chiếu điểm mặt phẳng thành toán sau để rèn luyện cho học sinh lớp 11 đặc biệt đối tượng thuộc ban dễ dàng tiếp thu áp dụng : Bài tốn 1: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  (Q) chứa M Bài tốn 2: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  d Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B cho MA = MB Bài tốn 4: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A đường thăng d không qua A cho MA  d 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp thực Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ thơng qua hay nhiều buổi học với hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải.Trong u cầu khả phân tích tốn liên quan đến xác định hình chiếu điểm mặt phẳng 2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực Nội dung triển khai thông qua tiết học: Tiết 1: Tổ chức hình thành phương pháp rèn luyện kỹ giải toán 1+2 Tiết 2: Tổ chức hình thành phương pháp rèn luyện kỹ giải toán 3+4 2.4 Nội dung thực 2.4.1.BÀI TỐN 1: Tìm hình chiếu vng góc điểm M trêm mặt phẳng (P), biết M thuộc mặt phẳng (Q) vng góc với (P) Cách xác định:  Bước 1: Xác định giao tuyến a (P) (Q)  Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng b  a H Bước 3: Kết luận H điểm cần tìm GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Q M b H P a Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Xác định hình chiếu vng góc điểm M thuộc cạnh SA mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn: Dựa vào đề cho, tìm mặt phẳng vng góc với (SBC) Giải:Tacó: S �BC  AB � BC  ( SAB ) � ( SBC )  ( SAB) � �BC  SA H Mà hai mặt phẳng (SAB), (SBC) cắt theo giao tuyến SB Nên mặt phẳng (SAB) từ M hạ MH vng góc với SB H Khi đó, H hình chiếu M mặt phẳng (SBC) vì: �  SAB    SBC  �  SAB  � SBC   SB � MH  (SBC ) � �MH  SB � GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn M A D B C SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi (P) mặt phẳng qua giao điểm O hai đường chéo AC, BD đồng thời song song với BC, Xác định hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (P) Hướng dẫn:Tìm mặt phẳng vng góc với (P) ( ý: (P) // BC ) Giải: S �BC  AB � BC  ( SAB) �BC  SA Ta có � Mà (P) //BC �  P    SAB  ; S � SAB  hình chiếu vng góc S (P) nằm giao tuyến mặt phẳng (P) (SAB) Gọi MN giao tuyến (P) (SAB) Trong mặt phẳng (SAB) từ S hạ SH  MN H hình chiếu S (P) H N A D M B C O 2.4.2.BÀI TỐN 2: Tìm hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (P) Biết tồn đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) Cách xác định:  Bước 1: Gọi (Q) mặt phẳng chứa M đường thẳng d Xác định giao tuyến a (P) (Q)  Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng // d cắt giao tuyến a H Bước 3: Kết luận H điểm cần tìm Q M d H P GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn a SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, Bên tam giác SAB lấy điểm M Xác định hình chiếu vng góc M mặt phẳng (ABCD) Hướng dẫn giải: Tìm đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy ABCD (sử dụng giả thiết cho hình chóp đều) Giải:Gọi O giao hai đường S chéo AC, BD Khi tao có, SO  (ABCD) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ SM cắt AB tai N Mặt phẳng (SNO) chứa M SO cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến NO Trong mặt phẳng (SNO), từ M kẻ MH //SO Khi đó, MH  (ABCD) nên H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (ABCD) M B C N A H O D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C cạnh SA vng góc với đáy Xác định hình chiếu vng góc điểm M thuộc cạnh AB xuống mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải: - Hãy tìm đường thẳng a vng góc với mp(SBC), ý tới yếu tố vng góc mà giả thuyết cho SA  (ABC); BC  AC - Trong mp chứa a M , kẻ qua M đường thẳng // a GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Giải: S Trong tam giác SAC,hạ đường cao AK Theo giả thiết , ta �BC  AC � BC  ( SAC ) � BC  AK � �BC  SA có: Khi đó, AK  (SBC) mặt phẳng qua M, chứa AK (ABK) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến BK Trong mặt phẳng (ABK), qua M kẻ đường thẳng song song với AK cắt BK H Vậy, H hình chiếu vng góc M (SBC) MH// AK  (SBC) K H B A M C 2.4.3 BÀI TỐN 3: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B cho MA = MB Cách xác định: * Bước 1:Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d AB * Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M d dựng MH  d * Bước 3: Kết luận H điểm cần M tìm H A P d B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác cân A � �  SAB SAC Xác định hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn giải: GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Tìm mặt phẳng (ABC) hai điểm mà cách S (sử dụng giả thuyết cho AB = AC, �SAB  �SAC ) Giải : Theo giả thuyết, ta có SAB  SAC (c.g.c) Suy ra, SB = SC Trên mặt phẳng (ABC) kẻ đường trung trực BC đường cao AI ( I trung điểm BC  ABC cân A) Trong  SAI kẻ đường cao SH xuống cạnh AI ( H thuộc AI) Khi đó, H hình chiếu S S A B H �SH  AI � SH  ( ABC ) (ABC) � �SH  BC I C Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (  ) qua AB cắt cạnh SC, SD M, N Xác định hình chiếu vng góc S mặt phẳng (  ) Hướng dẫn giải: Trên mặt phẳng (  ) tìm hai điểm cách S Nên chọn điểm cho đề ví dụ A, M,N chẳng hạn S H N Mà AB// CD nên suy MN // CD //AB Trong mp(  ) có A, B thỏa mãn đk SA = SB Nên hình thang ABMN ta kẻ đường trung trực EF hai cạnh đáy AB, MN Trong tam giác SEF hạ đường cao SH xuống cạnh EF F M C D A E B Khi H hình chiếu vng góc S (  ) GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 10 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng �AB  SE � AB  SH � SH  ( ) �AB  EF Vì � 2.4.4 BÀI TỐN 4: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A đường thẳng d không qua A cho MA  d Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau: M * Bước 1: Trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng d’ qua A vng góc với d * Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M đường thẳng d’, kẻ MH  d’ * Bước 3: Kết luận, H hình chiếu M (P) A H d P d’ Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC Xác định hình chiếu vng góc A mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn: Gọi M trung điểm BC Ta có AM  BC, BC  (SBC) Giải: Gọi M trung điểm BC Hình chóp S.ABC hình chóp nên hình chiếu vng góc cúa đỉnh S mặt đáy (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Từ ta suy ra, mp(SBC) có BC  SA BC  SM Trong tam giác SAM hạ đường cao AH xuống SM Khi H hình chiếu vng góc A (SBC) S H A B C M Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy Xác định hình chiếu vng góc C mặt phẳng (SBD) GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 11 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Ta cần tìm mp(SBD) đường thẳng d điểm M ch CM  d ( nên để ý đến đường thẳng, điểm có sẵn) Giải: Theo giả thuyết, ta có: S �SA  BD � BD  ( SAC ) � �AC  BD Từ suy BD  SC Gọi O giao AC BD Khi đó, ta có BD  SO Trong tam giác SOC kẻ đường cao CH xuống cạnh SO H hình chiếu C mặt phẳng (SBD) CH  SO � � CH  ( SBD ) � CH  BD � A B O D H C KẾT LUẬN 3.1.Kết thực nghiệm Liên tục năm học từ 2011-2012 đến 2017- 2018, tiến hành thực nghiệm sáng kiến vào buổi sinh hoạt chuyên đề hay tiết dạy tự chọn, cụ thể: Lớp 11A5 11A8 năm học 2011-2012 Lớp 11A1và 11A9 năm học 2013-2014 Lớp12A3; 11A3 11A2 năm học 2014-2015 Lớp 11A1 ; 11A7 12A8 năm học 2015-2016 Lớp 11A1 11A5 năm học 2017-2018 * Trước dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với tập kiểm tra sau: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD đáy ABCD hình thoi a) Xác định chân đường vng góc hạ từ giao điểm hai đường chéo đáy xuống mặt bên (SAB) b) Xác định chân đường vng góc hạ từ A xng mặt bên (SBC) Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD �A ' AB  �A ' AD Tìm hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng (ABCD) GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 12 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Bài 3: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng thỏa mãn điều kiện �xOy  �xOz Tìm hình chiếu vng góc điểm M thuộc Ox xuống mặt phẳng ( yOz) Đã thu kết sau: Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh khơng làm 12-14% 50-63% 23-38% * Sau rèn luyện cho học sinh tốn với tập tương tự kết thay đổi rõ rệt sau: Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh khơng 1bài làm 70-77% 92-95% 3-5% 3.2 Bài học kinh nghiệm Do kiến thức phần hình chiếu vng góc lồng ghép “ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng” mà thời lượng phân phối chương trình hai ban nâng cao hạn hẹp( tiết), để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thời gian chủ yếu bố trí vào tiết tự chọn học sinh lớp 11, lớp 12 bố trí dạy vào buổi ơn tập 3.3.Đề xuất Mặc dù đề tài nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm vận dụng giảng dạy nhiều năm, giúp điều bổ ích cho học sinh học tập tốt Xong chắn phải tiếp tục hồn thiện, bổ xung thêm đạt độ hồn chỉnh cao Vậy tơi mong góp ý chân tình em học sinh bạn đồng nghiệp Xác nhận đơn vị Thọ Xuân, tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép tài liệu Người viết: Đỗ Thị Dịu DANH MỤC GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 13 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Dịu Chức vụ đơn vị cơng tác:Tổ phó tổ chun mơn- Trường THPT Lê Hoàn TT Tên đề tài SKKN Một số ứng dụng tích vơ hướng Rèn luyện kỹ xác định góc hai mặt phẳng thông qua hoạt động giải số Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Sở GD& ĐT Thanh C Hóa Sở GD& ĐT Thanh Hóa C Năm học đánh giá xếp loại 2011-2012 2014-2015 toán GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 14 SKKN đề tài:Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao- Văn Như Cương chủ biênNhà xuất giáo dục, 2007 2/ Giải tốn hình học 11- Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Mơn - Nhà xuất Hà Nội, 2008 3/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015 4/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015 GV: Đỗ Thị Dịu - Trường THPT Lê Hoàn 15 ... Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  (Q) chứa M Bài tốn 2: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  d Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt. .. 1: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  (Q) chứa M 2.4.2 Bài tốn 2: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)  d 2.4.3 Bài tốn 3: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng. .. đề tài :Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu điểm mặt phẳng �AB  SE � AB  SH � SH  ( ) �AB  EF Vì � 2.4.4 BÀI TỐN 4: Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A