LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một bài toán tương đối kh đối với học sinh lớp 11 và là một bài toán thường gặp trong các đề thi cao đẳng,
Trang 1Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nam Hà
Mã số: ………
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MỘT MẶT PHẲNG
Người thực hiện: VOÒNG VĨNH SUN
Lĩnh vực nghiên cứu :
- Quản lý giáo dục : ………
- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán……
- Phương pháp giáo dục : ………
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2012 – 2013
Trang 2Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: Voòng Vĩnh Sun
2 Ngày tháng năm sinh: 16/12/1978
3 Nam, nữ: Nam
4 Địa chỉ: 0 kh m Nguy n Ái Quốc phường Trung Dũng – Biên Hòa -
Đồng Nai
5 Điện thoại: 0613 825643 – ĐTDĐ: 0918806165
6 Fax: E-mail: Voongvinhsun@yahoo.com
7 Chức vụ:
8 Đơn vị công tác: Trường THPT Nam Hà – TPBH - Đồng Nai
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất: C nh n
- Năm nhận bằng: 2001
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán
- Số năm c kinh nghiệm: 12
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã c trong năm gần đ y:
Chuyên đề: MỘT S HƯƠNG H GIẢI ÀI TO N VỀ H
I HÌNHVÀ H Đ NG ẠNG TRONG MẶT HẲNG
Chuyên đề : HƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ THỊ
Chuyên đề: THỂ TÍCH KH I CHÓP
Chuyên đề: X ĐỊNH ĐƯ NG AO HÌNH HÓ VÀ HÌNH LĂNG
TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KH I CHÓP VÀ KH I
LĂNG TRỤ
Trang 3Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một bài toán tương
đối kh đối với học sinh lớp 11 và là một bài toán thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học
- Để giúp các em có thể tư duy tìm ra lời giải cho bài toán đồng thời dùng những kiến thức này để áp dụng giải một số bài toán khác Tôi đã quyết định tìm hiểu và chọn đề
tài “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”
II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1)Thuận lợi :
2)Kh khăn :
Đối với học sinh :
- Không biết cách xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng
- Khi còn học lớp 11 học sinh không nắm bắt đầy đủ các cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Đối với giáo viên:
- Chưa thể giảng dạy hết nội dung này trên lớp cho học sinh lớp 11
- Không có tiết dạy chính khóa cho học sinh lớp 12
- Với học sinh lớp 12 , giáo viên giảng dạy chuyên đề này vào các giờ tăng tiết
III NỘI UNG ĐỀ TÀI
1)Cơ sở lý luận
2)Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Nội dung gồm 3 phần :
Phần I : Cách tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phần II : Một số bài toán tìm khoảng cách có thể quy về bài toán tìm khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
Phần III: Bài tập tự luyện
Trang 4Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
NỘI UNG ĐỀ TÀI
PHẦN I : CÁCH TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
1)Trực tiếp xác định đoạn vuông góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng rồi tính
ần nhớ : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )
d(M, ) = MH ( MH vuông góc tại H )
Chú ý: Cách xác định đoạn MH như sau:
- Tìm một mặt phẳng (β) chứa điểm M và c giao tuyến với là d
- Trong mặt phẳng (β) dựng MH vuông g c với d tại H
- Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d MH MH
MH d
Ví dụ 1
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a,cạnh bên SA bằng 2
a và vuông góc mặt phẳng đáy
1) Chứng minh BC vuông góc (SAB)
2) Tính d(A,(SBC))
3) Tính d(A,(SBD))
Giải
BC AB
Ta c
BC SA SA ABCD
BC SAB
2)Kẻ AH vuông góc SB tại H
Ta có
AH SB
AH BC BC SAB
Suy ra AH vuông góc (SBC) tại H
Suy ra d(A,(SBC)) = AH
Ta có
H
D
A
S
K
O
α)
M
H
Trang 5Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Suy ra AH
3)Ta có
SA BD
AC BD
BD SAC
SBD SAC
Lại có SBD SACSO nên trong mặt phẳng (SAC)
kẻ AKSOtại K
,
Suy ra AK SBD
d A SBD AK
Tam giác SAO vuông tại A có:
a AK
AK SA AO a
Vậy 10
,
5
a
d A SBD
Ví dụ 2 Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA A AC đôi một vuông góc Gọi h là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Chứng minh : 12 12 12 12
h AS AB AC
Giải
Ta có SAAB và SAAC
Suy ra SA(ABC)
Kẻ AKBC tại K
Ta có BCAK và BCSA (do SA(ABC))
Suy ra BC(SAK)
Kẻ AHSK tại H
Ta có AHSK và AHBC (do BC(SAK))
Suy ra AH(SBC)
Suy ra d(A,(SBC)) = AH = h
Tam giác SAK vuông tại A và tam giác ABC vuông
tại C nên có :
( )
AH AS AK
dpcm
h AS AB AC
B
C
A
S
K
H
Trang 6Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Ví dụ 3
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a t m O Gọi M là trung
điểm cạnh A hình chiếu vuông g c của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của đoạn
OM g c giữa mặt bên (SA ) và mặt đáy bằng 600.T nh th o a khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SCD)
Hướng giải
-Gọi H là trung điểm OM
Suy ra SH vuông góc (ABCD)
-Gọi N là trung điểm của CD
Ta có
CD ON
CD ON
CD SHN
CD SH
Kẻ OQSN, Q SN
OQ (SCD)
d O,(SCD) OQ
-Kẻ HK SN,(K SN)
Tam giác SHN có HK / /OQ (cùng vuông
góc SN)
OQ NO 2 2
OQ HK
HK NM 3 3
- ác định g c giữa mặt bên (SA ) và mặt
đáy là g c SMO và bằng 600
SHM
vuông tại H
0
SH MH.tan 60
4
a
Tam giác SHN vuông tại H:
2
1 1 1
HK
HK SH HN 9 2
64
a
OQ
4
a
Vậy d O,(SCD)
4
a
Q
jK
N H
M
O
C
B
S
Nhận xét : HK / /OQ HK (SCD) d H,(SCD) HK
OQ (SCD)
d O,(SCD) OQ 2 2
d O,(SCD) d H,(SCD)
d H,(SCD) KH 3 3
Trang 7Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Từ ví dụ 2 , ví dụ 3 , công thức tính thể tích của một khối chóp ta có thêm hướng suy nghĩ về cách tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như sau
2) Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng một cách “ gián tiếp”
Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) mà việc xác định đoạn vuông góc kẻ từ điểm M đến mặt phẳng (α) tương đối khó thì ta có thể nghĩ đến hướng giải là dùng một số kết quả sau
2.1 : Một số kết quả
Kết quả 1:
Tứ diện S.A C c ba cạnh AS A AC đôi một vuông g c thì d(A (S C)) = h xác định bởi hệ thức sau 12 12 12 12
h AS AB AC
Kết quả 2:
.
3 ( , ( )) S ABC
ABC
V
d S ABC
S
Kết quả 3:
Điểm M và điểm A cùng thuộc đường thẳng d song song ( ) suy ra
d(M, ) = d(A, )
Kết quả 4:
M và A cùng thuộc đường thẳng d và d giao với ( ) tại C suy ra
2.2 ác ví dụ
Sử dụng kết quả 1 khi đề bài cho hình chóp hoặc hình lăng trụ có ba cạnh đôi
một vuông góc
Ví dụ 4
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc (ABC) ; AB = 3 cm, BC = 5 cm, SA = AC = 4 cm
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A do đ
AC AB
Ta lại c SA (ABC) nên suy ra SA AB và SA AC
Vậy tứ diện S.ABC có ba cạnh SA A AC đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBC) thì h được xác định bởi hệ thức sau
h AS AB AC
Trang 8Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Thay AB = 3 cm, SA = AC = 4 cm vào hệ thức trên ta
t nh được 6 34
17
h cm
Ví dụ 5
Cho hình ch p S.A CD c đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a,cạnh bên SA bằng 2
a và vuông góc mặt phẳng đáy
1) Tính d(A,(SBD))
2) Tính d(C,(SBD))
Chú ý : câu 1 của ví dụ 5 chính là câu 3 của ví dụ 1, ở đây bài giải sẽ được trình bày
bằng cách dùng kết quả 1
Giải
1)Do ABCD là hình vuông nên suy raAB AD
Lại c SA (ABCD) nên suy ra SA AB và SA AD
Vậy tứ diện S.ABD có ba cạnh SA A AD đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBD) thì h được xác định bởi hệ thức sau
h AS AB AD
Ta có
2 10
5
h AS AB AD a
a
h
2)Gọi O là giao điểm của AC và BD
AC giao với mặt phẳng (SBD) tại O là trung diểm AC
nên
( , ( ))
1 ( , ( ))
10 ( , ( )) ( , ( ))
5
d C SBD OC
d A SBD OA
a
d C SBD d A SBD
D
A
S
O
B
C
A
S
Trang 9Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 , AC cắt BD tại O.Tính th o a khoảng cách từ O đến (SCD)
Giải
Vì hình ch p S.A CD là hình ch p đều nên SO là
đường cao hình chóp S.ABCD suy ra SO OC và
SO OD
Lại có ABCD là hình vuông nên suy ra OC OD
Vậy tứ diện S.OCD có ba cạnh SO OC OD đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (SCD) thì h được xác định bởi hệ thức sau
h OS OC OD
Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là OC do
đ g c giữa SC và (ABCD) là góc 600
Tam giác SOC vuông tại O ,ta có:
2
S C O SO CO
CO
Vậy
3 42
14
h OS OC OD a
a
h
Ví dụ 7
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông tại A ; AB = 3 cm , AA’ = AC = 4 cm T nh khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’ C)
Giải
D
A
S
O 600
Trang 10Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
AA’ vuông g c với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB
vuông góc với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC
đôi một vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (A’ C) thì h được xác định
bởi hệ thức sau 12 1 2 12 12
'
h AA AB AC Thay A = 3 cm AA’ = AC = 4 cm vào hệ thức
trên ta t nh được 6 34
17
h cm
Sử dụng các kết quả 2 ,3 và 4
Ví dụ 8( Đề tuyển sinh đại học năm 2007 – khối )
Cho hình ch p S.A CD c đáy là hình thang
Cạnh bên SA vuông g c với đáy và Gọi H là hình chiếu vuông g c của A trên S Chứng minh tam giác SCD vuông và t nh th o a khoảng cách từ H đến (SCD)
Giải
Chứng minh tam giác SCD vuông
Gọi I là trung điểm AD
Ta có IAIDICa
Suy ra tam giác ACD vuông tại C
nênCDAC (1)
Mặt khác CDSA do( SA (ABCD)) (2)
Từ (1) và (2) suy raCDSC
Suy ra tam giác SCD vuông tại C
B
I
D
A
S
H
C
B
C
A
’
Trang 11Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD)
Gọi h v1 à h2 lần lượt là khoảng cách từ và H
đến mặt phẳng ( SCD) khi đ ta có 2
1
h SH
h SB
Mặt khác ,trong tam giác vuông SAB ta có :
2
1
h SH
h SB
Ta có : 1 .
3 B SCD BCD
h
2
1
1
2
SCD
a
a Suy ra h
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là :
2
a
h h
Ví dụ 9
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại A , AB = AC = , SA vuông góc với đáy (A C) và SA =
1 T nh thể t ch khối ch p S.ABC
2 / M , N lần lượt là trung điểm S và SC T nh ( th o a ) khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABN)
Giải
1/
nên Tam giác A C vuông tại A nên
( đvtt)
Trang 12Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
2/
Ta có
Tương tự ta c
Do đ
3
M ABN S ABC S AMN N ABC S ABC
a
Gọi h khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABN)
Ta có nên suy ra
AB AC
AB SA doSA ABC
AB SAC
Suy ra tam giác A N vuông tại A nên ta c :
2
14 6
ABN
a
a Suy ra h
Ví dụ 10 ( Đề tuyển sinh đại học năm 2011 – khối )
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và = 300
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đến (SAC) th o a
Giải
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SBC ABC
SBC ABC BC
SH ABC
SH SBC
SH BC
Ta có SH
2
3
1
2
1
3
ABC
S ABC ABC
S BA BC a
B
C
A
S
N
M
Trang 13Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Tính khoảng cách từ đến (SA ) theo a
Cách 1:
0
.cos 30 3 ;
5
Tam giác ABH vuông cân tại B nên
Tam giác SHA vuông tại H
nênSA2 SH2 AH2 21a
Tam giác SHC vuông tại H
nênSC2 SH2 HC2 2a
Tam giác SAC có 2 2 2
SA SC AC
Suy ra tam giác SAC vuông tại S
.
( , ( ))
7
S ABC SAC
d B SAC
S
Cách 2:
Tính BH , suy ra BC =
4HC
( , ( )) 1
( , ( )) 4
( , ( )) 4 ( , ( ))
Kẻ
( )
( , ( ))
( , ( )) 4 ( , ( ))
6 7
4 4
7
HK
A
C
B
K
D
S
H
A
C
B
S
H
Trang 14Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
PHẦN II: MỘT S KHOẢNG CÁCH QUY VỀ KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
1) Một số khoảng cách quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ; giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho đường thẳng và mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Trong không gian cho hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau
Nếu d1 // và d2 chứa trong thì d( d1 ,d2 ) = d(d1, ) = d(M, ) ,( M d1)
2) Các ví dụ
Ví dụ 11 :
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông tại A ; AB = 3 cm , AA’ = AC = 4 cm
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’ C)
b) Tính khoảng cách giữa ’C’ và (A’ C)
Giải
a) Do A C.A’ ’C’ là khối lăng trụ đứng nên
AA’ vuông góc với AB và AC
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc
với AC
Vậy tứ diện A’.A C c ba cạnh AA’ A AC đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (A’ C) thì h được xác định bởi hệ thức sau
'
h AA AB AC
Thay A = 3 cm AA’ = AC = 4 cm vào hệ thức trên ta
t nh được 6 34
17
h cm
b)
Ta c ’C’song song C nên suy ra ’C’ song song
(A’ C) do đ d( ’C’ (A’ C)) = d(C’ (A’ C))
Nhận thấy AC’ giao với mặt phẳng (A’ C) tại trung
điểm của AC’ nênd C( ', ( 'A BC)) d A A BC( , ( ' ))
6 34 ( ' ', ( ' )) ( ', ( ' )) ( , ( ' )) ( ).
17
Suy ra
d B C A BC d C A BC d A A BC cm
B
C
A
’
Trang 15Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Ví dụ 12 : (Trích đề tuyển sinh đại học năm 2008 – khối )
Cho khối lăng trụ đứng A C.A’ ’C’c đáy A C là tam giác vuông ; AB = BC = a , cạnh bên AA’= a Gọi M là trung điểm cạnh BC.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và ’C
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AM và B’C tương đối khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Giải
Gọi E là trung điểm ’ Khi đ ’C song song EM
nên suy ra ’C song song (AEM) do đ
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))
Nhận thấy BC giao với mặt phẳng (AEM) tại trung
điểm của BC nên
d(AM ’C)=d( ’C (AEM))=d(C (AEM))=d(B,(AEM))
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại B
Lại c lăng trụ A C.A’ ’C’ là hình lăng trụ đứng nên
’ vuông g c với AB và BC
Vậy tứ diện E.ABC có ba cạnh E A C đôi một
vuông góc nên gọi h là khoảng cách từ đến mặt
phẳng (AEM) thì h được xác định bởi hệ thức sau
'
7 ( ' , )
7
h BB BM BE a
a
d B C AM h
A
C
E
B
M
A’
Trang 16Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Voòng Vĩnh Sun
Ví dụ 13:
Cho hình ch p S.A C c đáy A C là tam giác vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy (A C) bằng 60 Gọi D là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC
Nhận xét :
Nếu việc dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SD và BC tương đối khó thì ta nên nghĩ đến việc chuyển bài toán này thành bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Giải
Gọi E là trung điểm AC mà D là trung điểm AB nên
DE là đường trung bình trong tam giác ABC
Suy ra BC // DE BC // (SDE)
Lại có SD(SDE) nên
, , , ,
d BC SD d BC SDE d B SDE d A SDE
(vì D là trung điểm AB)
Ta có , ( )
/ / ,
DE BC ABC
DE BC BC AC
Lại có DESA ( do SA(ABC))
Suy ra DE(SAE) (SDE) (SAE)
Mà (SDE)(SAE) = SE nên trong (SAE) kẻ AHSE
AH(SAE)AH = d A SAE( , ( ))
Tam giác ABC vuông tại C nên
AC AB BC a a a
Suy ra 3
2
a
AE
Vì SAABC nên AC là hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABC)
góc giữa SC với (ABC) là SCA = 60
Tam giác vuông SAC có SA AC.tan 60 3 3a
Tam giác SAE vuông tại A c AH là đường cao nên :
13
a AH
AH SA AE
Vậy 3 39
,
13
a
d BC SD