Giúp học sinh lớp 11 tính nhanh bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách sử dụng tứ diện vuông

I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán lớp 11 nay, phần hình học không gian làm cho phần lớn học sinh cảm thấy chán nản, khó hiểu tiếp xúc với môn học đòi hỏi nhiều kỹ tư trừu tượng cao Một khó khăn mà học sinh hay gặp phải khác hình phẳng hình học không gian Khi xét quan hệ vuông góc toán liên quan, hình học phẳng, hình vẽ mang tính trực quan, hai đường thẳng vuông góc cắt Nhưng toán quan hệ vuông góc không gian, học sinh phải dựa định nghĩa, định lí hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp nhiều khó khăn Một toán quan trọng quan hệ vuông góc không gian toán khoảng cách, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia năm gần Mặc dù vậy, lại phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú, có khả tổng hợp kiến thức quan hệ song song lẫn quan hệ vuông góc không gian, toán định tính, định lượng hình học phẳng, đặc biệt cách làm trắc nghiệm nay, yêu cầu học sinh phải làm nhanh xác Xuất phát từ lí lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Giúp học sinh lớp 11 tính nhanh toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách sử dụng tứ diện vuông” Mục đích nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, với số năm kinh nghiệm, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn, giúp học sinh giải toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Một thao tác quan trọng mà học sinh cần phải có dựng tam diện vuông Vì vậy, viết này, tập trung vào việc giúp học sinh dựng tam diện vuông từ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu cách xác định tam diện vuông Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận 1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) - Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) kí hiệu là: d(M; (P)) = MH 1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm đường thẳng a đến mặt phẳng (P) - Kí hiệu khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với là: d(a;(P)) d(a,(P)) = d(M,(P)) ví i M ∈ a 1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d(a,b) = MN 1.4 Tứ diện vuông Tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi vuông góc gọi tứ diện vuông đỉnh A 1.5 Một số nhận xét - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng - Nếu MI ∩ (P) = { N} d(M,(P)) MN = d(I,(P)) IN Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học hình học không gian lớp 11 nói chung khoảng cách nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững lý thuyết vận dụng lý thuyết vào giải toán khoảng cách thường cần nhiều thời gian công sức Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đề thi THPT Quốc Gia, toán khoảng cách xuất nội dung khó, có tính phân loại cao năm lại đưa hình thức thi trắc nghiệm vào nên gây khó khăn cho học sinh Vì nên nhiều giáo viên có tâm lý ngại dạy toán Thứ hai: Đối với học sinh, để làm tốt toán khoảng cách đòi hỏi em phải nắm kiến thức hình học phẳng chứng minh hai tam giác nhau, định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng tam giác vuông, định lý cosin khả tư trừu tượng, quan sát hình biểu diễn, tổng hợp, phân tích định nghĩa, định lí hình học không gian Trong đó, trường lại nằm vùng kinh tế nông, hầu hết gia đình em có hoàn cảnh khó khăn nên quan tâm gia đình việc học tập em nhiều hạn chế, chất lượng đầu vào thấp Chính vậy, hầu hết học sinh, chí số học sinh giỏi có tâm lý chán nản học toán khoảng cách Thứ ba: Bài “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 chương trình phân phối ba tiết, hai tiết lí thuyết tiết tập Với thời lượng vậy, giáo viên khó vừa giảng dạy lí thuyết vừa giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào giải tập Các ví dụ toán đưa sách giáo khoa mang tính tổng quan, giới thiệu chưa rõ ràng, chi tiết theo bước cụ thể nên học sinh khó tiếp thu, cảm thấy lúng túng, em hiểu cách giải nên đâu áp dụng để giải toán khác Qua kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì lớp 11A3 thấy học sinh thường không làm tập phần Vì điểm kiểm tra thường thấp so với phần học khác Cụ thể kết kiểm tra 15 phút lớp 11A3 trước chưa đưa phương pháp sau: Lớp 11A3: ( Tổng số HS :39) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 10,26 14 35,9 16 41,04 12,8 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Bài toán (Bài trang 105 SGK hình học 11 NXB Giáo Dục ) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H hình chiếu vuông góc O mặt phẳng ( ABC ) 1 1 = + + Chứng minh rằng: 2 OH OA OB OC Chứng minh: Gọi K hình chiếu vuông góc O BC , H hình chiếu vuông góc O AK Ta có OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC , OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( OAK ) ⇒ BC ⊥ OH mặt khác OH ⊥ AK ⇒ OH ⊥ ( ABC ) nên d ( O, ( ABC ) ) = OH , mà 1 1 1 = + = + + 2 2 OH OA OK OA OB OC 3.2 Các ví dụ Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BD ) Phân tích: Dễ thấy ABDA ' tứ diện vuông A Bài giải Vì ABDA ' tứ diện vuông A nên 1 1 = + + d ( A, ( A ' BD ) ) AD AB AA '2 d ( A, ( A ' BD ) ) = a Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc · BAD = 600 Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) 3a SO = Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Phân tích: Bước 1: Xác định tứ diện vuông phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 2: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải Tam giác ABD nên a a BD = a ⇒ BO = , AO = OC = 2 Vì AO cắt mặt phẳng ( SBC ) C mà AC = 2OC nên d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O , ( SBC ) ) mà OBCS tứ diện vuông O nên 1 1 = + + ⇒ 2 d ( O, ( SBC ) ) OC OB OS 3 d ( O, ( SBC ) ) = a ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = a Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a , ·ABD = 600 , SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Phân tích: Bước 1: Dựng tứ diện vuông phù hợp Ta có ASBC tứ diện vuông A , việc dựng tứ diện vuông đỉnh A ba đỉnh lại thuộc mặt phẳng ( SBC ) nhiều học sinh tương đối khó khăn Tuy nhiên dựng tứ diện vuông điểm O mà ba đỉnh lại thuộc mặt phẳng ( SBC ) tương đối dễ Cụ thể gọi H trung điểm SC ta có OHBC tứ diện vuông O Bước 2: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải Gọi H trung điểm SC ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) a a , CO = 2 Vì AO cắt mặt phẳng ( SBC ) C mà AC = 2OC nên d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O , ( SBC ) ) Ta có SH = a, BO = mà OBCH tứ diện vuông O nên 1 1 = + + 2 d ( O, ( SBC ) ) OC OB OH ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = 57 a 19 Vậy d ( A, ( SBC ) ) = 57 a 19 Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy cạnh bên a Tính khoảng cách AD SC Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa SC song song với AD , ta chọn mặt phẳng ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A, ( SBC ) ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Dễ a 2 AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A, ( SBC ) ) dàng tính SO = BO = OC = Vì AO cắt mặt phẳng AC = 2OC nên ( SBC ) C mà d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O , ( SBC ) ) mà OBCS tứ diện vuông O nên 1 1 = + + 2 d ( O, ( SBC ) ) OC OB OS ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = 6 hay d ( AD, SC ) = a a ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = a Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính khoảng cách BC ' CD ' Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa BC ' song song với CD ' Ta chọn mặt ( BA ' C ') ⇒ d ( CD ', BC ') = d ( D ', ( A ' BC ') ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp B ' A ' BC ' tứ diện vuông B ' Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm D ' qua điểm B ' đến mặt phẳng ( A ' BC ' ) Bài giải Ta có CD '/ / ( BA ' C ' ) nên d ( CD ', BC ') = d ( D ', ( A ' BC ' ) ) Vì ( A ' BC ') ∩ BD ' = O DO ' = OC ' nên d ( D ', ( A ' BC ' ) ) = d ( B ', ( A ' BC ' ) ) mà B ' BC ' A ' tứ diện vuông B ' 1 1 = + + nên 2 d ( B ', ( A ' BC ') ) B ' C ' B ' B B ' A '2 ⇒ d ( B ', ( A ' BC ') ) = a Bài : Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA = a Tính khoảng cách SC BD Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa BD song song với CS , ta chọn mặt ( BMD ) ( ⇒ d ( SC , BD ) = d C , ( MBD ) ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp Ta có AMBD tam diện vuông A Bước 3: Qui đổi khoảng cách từ điểm C qua điểm A đến mặt phẳng ( BDM ) Bài giải Gọi O = AC ∩ DB , M trung điểm SA , SC / / ( MBD ) ⇒ d ( SC , BD ) = d ( C , ( MBD ) ) = d ( A, ( MBD ) ) mà ABDM tứ diện vuông A nên 1 1 = + + 2 d ( A, ( MBD ) ) AM AB AD ⇒ d ( A, ( MBD ) ) = a Bài 7: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính khoảng cách BD ' CB ' Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa B ' C song song với BD ' , ta chọn mặt ( B ' MC ) ⇒ d ( BD ', B 'C ) = d ( D ', ( MB 'C ) ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp Ta có C ' CB ' M tứ diện vuông C ' Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm D ' qua điểm C ' đến mặt phẳng ( B ' CM ) Bài giải Gọi O = B ' C ∩ BC ' , M trung điểm C ' D ' , D ' B / / ( MB ' C ) ⇒ d ( BD ', B ' C ) = d ( D ', ( MB ' C ) ) = d ( C ', ( MB ' C ) ) , mà C ' CMB ' tứ diện vuông C ' nên 1 1 = + + 2 d ( C ', ( CMB ') ) C ' M C ' C C ' B '2 ⇒ d ( C ', ( CMB ') ) = a 3.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , cạnh bên AA ' = a Tam giác ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Tính khoảng cách từ A đến ( A ' BC ) a 2 Bài 2: (A, A1-2014): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông 3a cạnh a , SD = , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) 2a ĐS: d ( A, ( SBD ) ) = Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = SA = 2a Tính khoảng cách đường thẳng AB ( SCD ) ĐS: d ( B ', ( A ' BD ) ) = ĐS: d ( AB, ( SCD ) ) = 2a Bài 4: (A-2011): Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a 2a 39 ĐS: d ( AB, SN ) = 13 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm vừa trình bày trên, giáo viên cần phân tích hướng giải gợi mở vấn đề cho học sinh, học sinh chủ động phát điểm mấu chốt toán để đưa toán phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: “Giúp học sinh lớp 11 tính nhanh toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách sử dụng tứ diện vuông ”, cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Bài 1(3đ): Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( A ' BD ) Bài 2(4đ): Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính khoảng cách A ' C ' CD ' Bài 3(3đ):Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA = a Tính khoảng cách từ C đến ( SBD ) Kết kiểm tra thể cụ thể sau: Lớp 11A3: ( Tổng số HS :39) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 20,5 12 30,77 14 35,87 10,26 2,6 Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 11A3 sau học xong chủ đề có thay đổi rõ rệt Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi chưa áp dụng cách làm mà trình bày trên, áp dụng cách làm có học sinh đạt điểm giỏi Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu, giảm xuống Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bài tập tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo chương trình hình học 11 nói chung đa dạng, phong phú phức tạp Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh yêu cầu người dạy người học phải không ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Riêng em học sinh phải cố gắng, chăm rèn luyện phát triển tư suy luận logic, phân tích vấn đề khái quát hoá vấn đề, từ giải vấn đề cách khoa học, nhanh gọn bắt kịp với xu hướng học Trong khuôn khổ viết mình, xin mạnh dạn đưa số toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo cách áp dụng tam diện vuông 10 giúp học sinh đưa toán cho toán Từ đó, giúp em giải toán cách dễ dàng nhanh làm trắc nghịêm Kiến thức khoa học nói chung kiến thức toán học nói riêng phong phú đa dạng Do đó, viết tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý đồng nghiệp độc giả để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Kiến nghị Đối với giáo viên : Trong học, cần thường xuyên kiểm tra học sinh định nghĩa, định lí, tính chất trọng tâm chương II chương III sách giáo khoa hình học 11 Trong học sinh làm tập, giáo viên cần quan sát đến chỗ ngồi em, đọc nháp em để định hướng, giúp đỡ, tháo gỡ khó khăn chỉnh sửa sai lầm làm Chuyên đề nên giảng dạy tiết tự chọn Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên môn, giáo viên tổ chọn chủ đề mà giáo viên gặp khó khăn giảng dạy học sinh lúng túng, chưa biết cách để làm tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy hệ thống tập hay lớp buổi họp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Nguyễn Tất Đảm 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11 NXB Giáo dục Bài tập hình học 11 NXB Giáo dục 3.Giải toán hình học 11 Nhà xuất Hà Nội Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn Phương pháp giải toán hình không gian 11 NXB Đà Nẵng Nguyễn Văn Dự - Trần Quang Nghĩa - Nguyễn Anh Trường Tổng hợp đề thi đại học môn toán từ năm 2010 đến năm 2017 đặ biệt tập trắc nghiệm theo hướng đổi thi Nguồn internet 12 MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận 1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.4 Một số nhận xét 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Bài toán 3.2 Các ví dụ 4-9 3.3 Bài tập áp dụng Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 10 IV KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 10-11 TÀI LIỆU THAM KHẢO 12 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 TÍNH NHANH BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG, BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TỨ DIỆN VUÔNG Người thực hiện: Nguyễn Tất Đảm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HOÁ NĂM 2017 14 ... cho học sinh, học sinh chủ động phát điểm mấu chốt toán để đưa toán phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: Giúp học sinh lớp 11 tính nhanh toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, toán. .. Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm đường thẳng a đến mặt phẳng (P) - Kí hiệu khoảng cách đường thẳng a mặt. .. 1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d(a,b) = MN 1.4 Tứ diện vuông Tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi vuông góc gọi tứ