Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ

Tài liệu gồm 13 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT 2020, hướng dẫn giải bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ, được phát triển dựa trên câu 13 đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TỐN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cho điểm M  x; y; z  : + Hình chiếu điểm M Ox M  x; 0;0  + Hình chiều điểm M Oy M  0; y;  + Hình chiếu điểm M Oz M  0; 0; z  + Hình chiếu điểm M  Oxy  M  x; y;  + Hình chiếu điểm M  Oyz  M  0; y; z  + Hình chiếu điểm M  Ozx  M  x; 0; z   Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng   + Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với   + Hình chiếu H điểm A giao điểm đường thẳng d    Tìm hình chiếu d  đường thẳng d mặt phẳng   * Cách - Nếu đường thẳng d song song với   d //d  + Lấy điểm M thuộc đường thẳng d tìm hình chiếu M  điểm M   + Đường thẳng d  qua M  song song với đường thẳng d - Nếu đường thẳng d cắt   M + Lấy điểm N thuộc đường thẳng d tìm hình chiếu N  N   + Đường thẳng d  qua hai điểm M N  * Cách + Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng d vng góc với   + Khi đường thẳng d  giao tuyến hai mặt phẳng       Tìm hình chiếu A A đường thẳng d * Cách 1: + Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa A vng góc với d + Hình chiếu A giao điểm d  P  * Cách 2: Trang 117 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 + Tìm tọa độ điểm A theo tham số t  A d    + Lập phương trình AA.ud  Giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm A  Tìm điểm M  đối xứng với M qua  P  : + Tìm hình chiếu H M  P  (khi H trung điểm MM  ) + Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm suy tọa độ điểm M  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ A  2; 0;1 C  0; 2;1 B  2; 2;  D  0; 0;1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định hình chiếu điểm không gian mặt phẳng tọa độ HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định tọa độ điểm M B2: Viết kết luận Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ  2; 2;  Bài tập tương tự phát triển: Câu 1.1: Hình chiếu vng góc điểm A  2;3; 1 mặt phẳng  Oyz  điểm A M  2; 0;0  B N  0; 3;1 C P  0;3; 1 D Q  2;3; 1 Lời giải Chọn C Hình chiếu vng góc điểm A  2;3; 1 mặt phẳng  Oyz  điểm P  0;3; 1 Câu 1.2: Hình chiếu vng góc điểm A  3;1; 1 mặt phẳng  Oxz  điểm A A  3; 0; 1 B A  0;1;  C A  3;1;1 D A  0;1; 1 Lời giải Chọn A Hình chiếu vng góc điểm A  3;1; 1 mặt phẳng  Oxz  điểm A  3; 0; 1 Câu 1.3: Hình chiếu vng góc điểm A  5; 4;3  trục Ox điểm A A  5; 4;  B A  5;0;  C A  5; 4; 3  D A  5; 4; 3 Trang 118 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm A  5; 4;3  trục Ox điểm A  5; 0;0  Câu 1.4: Hình chiếu vng góc điểm A  3;5;8  trục Oy điểm A A  3; 0;8  B A  3;5; 8  C A  0;5;8  D A  0;5;  Lời giải Chọn D Hình chiếu vng góc điểm A  3;5;8  trục Oy điểm A  0;5;    Câu 1.5: Hình chiếu vng góc điểm A 3; 5;7 trục Oz điểm   A A 3; 5;   C A  0;0;  B A 5; 5; 7 D A  0;0; 7  Lời giải Chọn C   Hình chiếu vng góc điểm A 3; 5;7 trục Oz điểm A  0;0;  Câu 1.6: Hình chiếu điểm M 1; 2;  mặt phẳng   : x  y  z  11  có hồnh độ A B C 2 Lời giải D 1 Chọn C Gọi d đường thẳng qua M vng góc với   : x  y  z  11    Vì d    nên ud  n    3;2; 1  x   3t  Suy phương trình đường thẳng d  y   2t z   t  Gọi M  hình chiếu M mặt phẳng   M   d     tọa độ điểm M   x   3t  x   3t  y   2t  y   2t    thỏa mãn hệ phương trình  z   t z   t 3x  y  z  11  3 1  3t     2t     t   11    x  2 y     M   2; 0;5  z  t  1 Câu 1.7: Tìm hình chiếu điểm M  2;0;1 mặt phẳng   : x  y  z  A M  1; 1;0  B M   3;1;  C M   2;0;1 D M   4; 2;3  Lời giải Chọn A Gọi d đường thẳng qua M vng góc với   : x  y  z  Trang 119 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Vì d    nên ud  n   1;1;1 x   t  Suy phương trình đường thẳng d  y  t z  1 t  Gọi M  hình chiếu M mặt phẳng   M   d     tọa độ điểm M  x   t x   t x  y  t y  t  y  1    thỏa mãn hệ phương trình   M  1; 1;    z  1 t z  1 t z   x  y  z    t  t   t  t  1  x   2t  Câu 1.8: Hình chiếu d đường thẳng d :  y   t mặt phẳng  Oxy  có phương trình  z   2t   x   2t  A  y   t z    x   4t  B  y   2t z    x   2t  C  y   t z   Lời giải  x   2t  D  y   t z   Chọn C  x   2t  Phương trình đường thẳng d  y   t z   x 1 y  z   mặt phẳng  Oyz  2 x  x    C  y   t D  y   t  z  2t  z  2t   Lời giải Câu 1.9: Tìm phương trình hình chiếu d đường thẳng d : x   A  y   t  z  2t  x   B  y   t  z   2t  Chọn D  x   2t  Phương trình tham số đường thẳng d  y   t  z  2t  x    Phương trình đường thẳng d   y   t  z  2t  x   t  Câu 1.10: Hình chiếu d  đường thẳng d :  y  3  t mặt phẳng  Oxz   z  2t  Trang 120 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x   t  A  y   z   2t  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x   t  B  y   z   2t  x   t  C  y   z   2t  x   t  D  y   z   2t  Lời giải Chọn C x   t  Phương trình đường thẳng d   y   z  2t  x   t  Chọn t   A  4; 0;  phương trình đường thẳng d cịn có dạng: t   z   2t  x  y 1 z    mặt phẳng 1  P  : x  z   Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng d Câu 1.11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : lên mặt phẳng  P   x   3t  A  y   t  z  1  t   x  3t  B  y   t  z  1  t  x   t  C  y   z  1  t  Lời giải  x  3t  D  y   2t  z  1  t  Chọn C  x   3t  Cách : Ta có phương trình tham số đường thẳng d :  y   t qua điểm M  3;1; 1  z  1  t   có vectơ phương ud   3;1; 1 Vì điểm M  3;1; 1   P  nên M  d   P  Gọi điểm O   0; 0;   d K hình chiếu O  P  Gọi đường thẳng  qua O vng góc với mặt phẳng  P  suy đường thẳng  nhận  vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  làm vectơ phương u  1; 0; 1 x  t '  Phương trình đường thẳng   y   z  t '  Khi K     P  x  t ' t '  y  x       K   2; 0; 2   z  t ' y   x  z    z  2 Trang 121 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng  P  đường thẳng MK  Véctơ phương MK   1; 1; 1  1 1;1;1  x  3t  Phương trình đường thẳng MK  y   t  z  1  t  Cách : Gọi  Q  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với  Q     Q    P     nQ   n P     nên  Q  có vectơ pháp tuyến nQ    n P  , ud    1; 2; 1   Q   d nQ   ud Lấy điểm O  0; 0;0   d  O   Q   Mặt phẳng  Q  qua điểm O có vectơ pháp tuyến n   1; 2; 1 có phương trình x  y  z  Gọi d  hình chiếu d  P   d    P    Q  nên d  có vectơ phương    ud   n P , nQ    1;1;1  2  M   P   x  zM   Gọi M điểm thuộc đường thẳng d     M  M   Q   xM  yM  z M   z 1  y 1 Chọn x  ta  M  M  3;1; 1  M  yM  z M   z M  1  Đường thẳng d  qua điểm M  3;1; 1 có vectơ phương u  1;1;1 có phương trình x   t   y   t  z  1  t  x  12 y  z    , mặt thẳng  P  : x  y  z   Gọi d ' hình chiếu d lên  P  Phương trình tham số d ' Câu 1.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  x  62t  A  y  25t  z  2  61t   x  62t  B  y  25t  z   61t   x  62t  C  y  25t  z   61t   x  62t  D  y  25t  z   61t  Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi A  d   P  A  d  A 12  4a ;9  3a ;1  a  A   P   a  3  A  0;0;   d qua điểm B 12;9;1 Trang 122 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Gọi H hình chiếu B lên  P   P  có vectơ pháp tuyến  nP   3;5; 1   BH qua B 12;9;1 có vectơ phương aBH  nP   3;5; 1  x  12  3t  BH :  y   5t z  1 t  H  BH  H 12  3t ;9  5t ;1  t  H P  t   78  186 15 113  H ; ;  35 35   35   186 15 183  AH   ; ;    62; 25; 61 35  35  35  d ' qua A  0;0; 2  có vectơ phương ad '   62; 25;61  x  62t  Vậy phương trình tham số d '  y  25t  z  2  61t  Cách 2: Gọi  Q  chứa d vuông góc với  P   d qua điểm B 12;9;1 có vectơ phương ad   4;3;1 P Q   có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1    qua B 12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQ   ad , nP    8;7;11  Q  : x  y  11z  22  d ' giao tuyến  Q   P  Tìm điểm thuộc d ' , cách cho y  3 x  z  x  Ta có hệ    M  0; 0; 2   d ' 8 x  11z  22  y  2    d ' qua điểm M  0; 0; 2  có vectơ phương ad   nP ; nQ    62; 25;61  x  62t  Vậy phương trình tham số d '  y  25t  z  2  61t  Trang 123 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x  1 t  Câu 1.13: Cho đường thẳng  d  :  y   2t mặt phẳng  P  : x  y  z   Đường thẳng d  hình  z  1  t  chiếu vng góc d mặt phẳng  P  có phương trình x  1 t  A  y  1  2t z  1 t  x  t  B  y  3  2t  z  2  t  x  t  C  y  3  2t  z  2  t  x  1 t  D  y  2  2t z   t  Lời giải Chọn C   Vectơ phương d ud  ( 1; 2;  1) vectơ pháp tuyến  P  n P   (1;  1;1) Gọi  Q  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với  P  Khi  Q  có vectơ pháp    tuyến nQ   ud , n P   1; 0;  1   Lấy A 1; 2; 1  d  A   Q   Mặt phẳng  Q  qua A 1; 2; 1 có vectơ pháp tuyến n  1; 0; 1 nên có phương trình x z 2 0 Đường thẳng d  hình chiếu d  P  nên d giao tuyến hai mặt phẳng  P      Q  nên có vectơ phương ud   nP , nQ   1; 2;1  x  yM  z M    M   P  Lấy M  d     M  M   Q   xM  z M    y  zM    y  3 Chọn x  ta có  M  M   3; 2   M   zM    z M  2  Phương trình đường thẳng d  qua điểm M  0; 3; 2  có vectơ phương u  1; 2;1 x  t  t  3  2t  z  2  t  x 1 y  z   có hồnh độ 1 C 5 D Lời giải Câu 1.14: Hình chiếu điểm A  2; 1;8  đường thẳng d : A B 3 Chọn A Cách 1:  x   2t  Phương trình tham số d :  y  1  t  z  2t  Gọi  P  mặt phẳng qua A vuông góc với d  hình chiếu A A d giao d  P  Trang 124 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Vì d   P  nên mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n P   ud   2; 1;2   phương tình mặt phẳng  P  là: x  y  z  21   x   2t x   y  1  t  y  3   A  d   P   tọa độ điểm A thỏa mãn hệ   A  5; 3;    z t  z   x  y  z  21  t  Cách 2:  x   2t  Phương trình tham số d :  y  1  t  z  2t  Gọi A hình chiếu A d  A  d  A 1  2t ; 1  t ; 2t    ud   2; 1;  , AA   2t  1; t ; 2t  8   AA  d  AA.ud    2t  1  t   2t     t   A  5; 3;  x 1 y  z   Gọi H  a; b; c  hình chiếu 1 điểm A  2; 3;1 lên đường thẳng  Tính a  b  c Câu 1.15: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : A B C 1 Lời giải D Chọn A  x  1  2t  Phương trình tham số  :  y  2  t  z  2t  H hình chiếu điểm A đường thẳng   H    H  1  2t ; 2  t ; 2t    u   2; 1;  ; AH   2t  3;1  t; 2t  1     Vì H hình chiếu A  nên AH    AH  ud  AH ud    2t    11  t    2t  1   t   H 1; 3;  Suy a  1; b  3; c  Vậy a  b  c   x   2t  Câu 1.16: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  t mặt phẳng  P  : x  y   Tìm z   t  hình chiếu đường thẳng d  P  19   x   2t   A  y    t  z  t   19   x   2t  12  B  y    t  z  1 t     x   2t   C  y    t  z   t   Lời giải   x   2t   D  y    t  z  1 t   Trang 125 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn C  Đường thẳng d có vectơ phương u   2; 1;1 mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến  n  1; 2;     n  u Ta có:   d //  P   M 1;0;   d nh­ng M   P  Do đó, d hình chiếu d  P  d //d Gọi M  hình chiếu M 1;0;   P   M   d  Gọi  đường thẳng qua M vng góc với  P   M      P    Vì    P  nên  có vectơ phương u  n P   1; 2;0   Phương trình đường thẳng  qua M 1; 0;  có vectơ phương u   1; 2;  : x  1 t   :  y  2t z   M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :  x  x  1 t x  1 t   y  2t  y  2t  y     3     M  ;  ;   5  z  z  z  1  t   2.2t     x  y    t    3  Hình chiếu d  song song với d qua M   ;  ;  5    x   2t   có phương trình  y    t  z   t   x  1 t  Câu 1.17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  mặt phẳng z  t   P  : x  y  z   Tìm hình chiếu đường thẳng  x   t   A  y    z   t   x   t   B  y    z   t  d  P   x   t   C  y    z   t  Lời giải  x   t   D  y   t   z   t  Chọn B  Đường thẳng d có vectơ phương u  1; 0;1 mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến Trang 126 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  n  1; 2; 1    n  u Ta có:   d //  P   M 1; 2;   d nh­ng M   P  Do đó, d  hình chiếu d  P  d //d Gọi M  hình chiếu M 1; 2;0   P   M   d  Gọi  đường thẳng qua M vng góc với  P   M      P    Vì    P  nên  có vectơ phương u  n P   1; 2; 1 x   t   Phương trình đường thẳng qua M có vectơ phương u   1; 2; 1  :  y   2t  z  t  M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :  x   x  1 t x  1 t y   y   2t  y   2t  1 2     M  ; ;    3 3 z   z  t  z  t   x  y  z   1  t    2t   t     t     x   t  1 2  Hình chiếu d song song với d qua M   ; ;  có phương trình  y  3 3   z   t  Câu 1.18: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1;0;  , B  0;1;  , C  0; 0;1 , D  2;1; 1 Gọi H  a; b; c  chân đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện Tính 2a  b  c A B C Lời giải D Chọn C Phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z   Gọi  đường thẳng qua D vng góc với  ABC    có vectơ phương   u  n ABC   1;1;1  Đường thẳng  qua D  2;1; 1 có vectơ phương u  1;1;1  có phương trình  x  2  t  là:  y   t  z  1  t  Trang 127 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 H hình chiếu D  ABC   H     ABC   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ  x  2  t  x  2  t  x  1  y  1 t  y  1 t y     phương trình:   H  1; 2;0     z  1  t  z  1  t z   x  y  z    2  t   t   t   t   a  1; b  2; c  Vậy a  b  c  Câu 1.19: Trong không gian Oxyz , cho A  2;3; 1 , B  0; 1;  , C 1;0;3  Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC Hoành độ điểm H A 1 B C D Lời giải Chọn D   Đường thẳng qua B; C có vectơ phương u  BC  1;1;1   Đường thẳng BC qua B  0; 1;  có vectơ phương u  BC  1;1;1  Phương trình x  t  đường thẳng BC  y  1  t z   t  Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC  H hình chiếu A  đường thẳng BC  H  t ; 1  t;  t   AH   t  2; t  4; t  3   Vì AH  BC  AH BC   3t    t   H 1;0;3 Câu 1.20: Gọi M   a; b; c  điểm đối xứng điểm M  2;1;3  qua mặt phẳng  P  : x  y  z   Tính abc A 4 B C Lời giải D Chọn C Gọi H hình chiếu M  P   H trung điểm MM  Gọi d đường thẳng qua M vng góc với  P   H  d   P  x   t    d   P   ud  n P  1; 1;1  d :  y   t z   t  x   t x   t   y  1 t   y  1 t H  d   P   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ   z   t z   t  x  y  z   2  t  1  t    t    x  y    H 1; 2;   z  t  1 Trang 128 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  xH  xM  xM   xM     Vì H trung điểm MM    yH  yM  yM    yM    a  0; b  3; c  2 z  z  z z   H M M  M Vậy a  b  c  Trang 129 ... : + Tìm hình chiếu H M  P  (khi H trung điểm MM  ) + Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm suy tọa độ điểm M  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu. .. phẳng tọa độ HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định tọa độ điểm M B2: Viết kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ  2; 2;  Bài. .. TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 + Tìm tọa độ điểm A theo tham số t  A d    + Lập phương trình AA.ud  Giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm A  Tìm điểm M  đối