Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TỐN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cho điểm M  x; y; z  : + Hình chiếu điểm M Ox M  x; 0;0  + Hình chiều điểm M Oy M  0; y;  + Hình chiếu điểm M Oz M  0; 0; z  + Hình chiếu điểm M  Oxy  M  x; y;  + Hình chiếu điểm M  Oyz  M  0; y; z  + Hình chiếu điểm M  Ozx  M  x; 0; z   Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng   + Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với   + Hình chiếu H điểm A giao điểm đường thẳng d    Tìm hình chiếu d  đường thẳng d mặt phẳng   * Cách - Nếu đường thẳng d song song với   d //d  + Lấy điểm M thuộc đường thẳng d tìm hình chiếu M  điểm M   + Đường thẳng d  qua M  song song với đường thẳng d - Nếu đường thẳng d cắt   M + Lấy điểm N thuộc đường thẳng d tìm hình chiếu N  N   + Đường thẳng d  qua hai điểm M N  * Cách + Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng d vng góc với   + Khi đường thẳng d  giao tuyến hai mặt phẳng       Tìm hình chiếu A A đường thẳng d * Cách 1: + Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa A vng góc với d + Hình chiếu A giao điểm d  P  * Cách 2: Trang 117 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 + Tìm tọa độ điểm A theo tham số t  A d    + Lập phương trình AA.ud  Giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm A  Tìm điểm M  đối xứng với M qua  P  : + Tìm hình chiếu H M  P  (khi H trung điểm MM  ) + Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm suy tọa độ điểm M  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ A  2; 0;1 C  0; 2;1 B  2; 2;  D  0; 0;1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định hình chiếu điểm không gian mặt phẳng tọa độ HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định tọa độ điểm M B2: Viết kết luận Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ  2; 2;  Bài tập tương tự phát triển: Câu 1.1: Hình chiếu vng góc điểm A  2;3; 1 mặt phẳng  Oyz  điểm A M  2; 0;0  B N  0; 3;1 C P  0;3; 1 D Q  2;3; 1 Lời giải Chọn C Hình chiếu vng góc điểm A  2;3; 1 mặt phẳng  Oyz  điểm P  0;3; 1 Câu 1.2: Hình chiếu vng góc điểm A  3;1; 1 mặt phẳng  Oxz  điểm A A  3; 0; 1 B A  0;1;  C A  3;1;1 D A  0;1; 1 Lời giải Chọn A Hình chiếu vng góc điểm A  3;1; 1 mặt phẳng  Oxz  điểm A  3; 0; 1 Câu 1.3: Hình chiếu vng góc điểm A  5; 4;3  trục Ox điểm A A  5; 4;  B A  5;0;  C A  5; 4; 3  D A  5; 4; 3 Trang 118 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm A  5; 4;3  trục Ox điểm A  5; 0;0  Câu 1.4: Hình chiếu vng góc điểm A  3;5;8  trục Oy điểm A A  3; 0;8  B A  3;5; 8  C A  0;5;8  D A  0;5;  Lời giải Chọn D Hình chiếu vng góc điểm A  3;5;8  trục Oy điểm A  0;5;    Câu 1.5: Hình chiếu vng góc điểm A 3; 5;7 trục Oz điểm   A A 3; 5;   C A  0;0;  B A 5; 5; 7 D A  0;0; 7  Lời giải Chọn C   Hình chiếu vng góc điểm A 3; 5;7 trục Oz điểm A  0;0;  Câu 1.6: Hình chiếu điểm M 1; 2;  mặt phẳng   : x  y  z  11  có hồnh độ A B C 2 Lời giải D 1 Chọn C Gọi d đường thẳng qua M vng góc với   : x  y  z  11    Vì d    nên ud  n    3;2; 1  x   3t  Suy phương trình đường thẳng d  y   2t z   t  Gọi M  hình chiếu M mặt phẳng   M   d     tọa độ điểm M   x   3t  x   3t  y   2t  y   2t    thỏa mãn hệ phương trình  z   t z   t 3x  y  z  11  3 1  3t     2t     t   11    x  2 y     M   2; 0;5  z  t  1 Câu 1.7: Tìm hình chiếu điểm M  2;0;1 mặt phẳng   : x  y  z  A M  1; 1;0  B M   3;1;  C M   2;0;1 D M   4; 2;3  Lời giải Chọn A Gọi d đường thẳng qua M vng góc với   : x  y  z  Trang 119 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Vì d    nên ud  n   1;1;1 x   t  Suy phương trình đường thẳng d  y  t z  1 t  Gọi M  hình chiếu M mặt phẳng   M   d     tọa độ điểm M  x   t x   t x  y  t y  t  y  1    thỏa mãn hệ phương trình   M  1; 1;    z  1 t z  1 t z   x  y  z    t  t   t  t  1  x   2t  Câu 1.8: Hình chiếu d đường thẳng d :  y   t mặt phẳng  Oxy  có phương trình  z   2t   x   2t  A  y   t z    x   4t  B  y   2t z    x   2t  C  y   t z   Lời giải  x   2t  D  y   t z   Chọn C  x   2t  Phương trình đường thẳng d  y   t z   x 1 y  z   mặt phẳng  Oyz  2 x  x    C  y   t D  y   t  z  2t  z  2t   Lời giải Câu 1.9: Tìm phương trình hình chiếu d đường thẳng d : x   A  y   t  z  2t  x   B  y   t  z   2t  Chọn D  x   2t  Phương trình tham số đường thẳng d  y   t  z  2t  x    Phương trình đường thẳng d   y   t  z  2t  x   t  Câu 1.10: Hình chiếu d  đường thẳng d :  y  3  t mặt phẳng  Oxz   z  2t  Trang 120 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x   t  A  y   z   2t  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x   t  B  y   z   2t  x   t  C  y   z   2t  x   t  D  y   z   2t  Lời giải Chọn C x   t  Phương trình đường thẳng d   y   z  2t  x   t  Chọn t   A  4; 0;  phương trình đường thẳng d có dạng: t   z   2t  x  y 1 z    mặt phẳng 1  P  : x  z   Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng d Câu 1.11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : lên mặt phẳng  P   x   3t  A  y   t  z  1  t   x  3t  B  y   t  z  1  t  x   t  C  y   z  1  t  Lời giải  x  3t  D  y   2t  z  1  t  Chọn C  x   3t  Cách : Ta có phương trình tham số đường thẳng d :  y   t qua điểm M  3;1; 1  z  1  t   có vectơ phương ud   3;1; 1 Vì điểm M  3;1; 1   P  nên M  d   P  Gọi điểm O   0; 0;   d K hình chiếu O  P  Gọi đường thẳng  qua O vng góc với mặt phẳng  P  suy đường thẳng  nhận  vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  làm vectơ phương u  1; 0; 1 x  t '  Phương trình đường thẳng   y   z  t '  Khi K     P  x  t ' t '  y  x       K   2; 0; 2   z  t ' y   x  z    z  2 Trang 121 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng  P  đường thẳng MK  Véctơ phương MK   1; 1; 1  1 1;1;1  x  3t  Phương trình đường thẳng MK  y   t  z  1  t  Cách : Gọi  Q  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với  Q     Q    P     nQ   n P     nên  Q  có vectơ pháp tuyến nQ    n P  , ud    1; 2; 1   Q   d nQ   ud Lấy điểm O  0; 0;0   d  O   Q   Mặt phẳng  Q  qua điểm O có vectơ pháp tuyến n   1; 2; 1 có phương trình x  y  z  Gọi d  hình chiếu d  P   d    P    Q  nên d  có vectơ phương    ud   n P , nQ    1;1;1  2  M   P   x  zM   Gọi M điểm thuộc đường thẳng d     M  M   Q   xM  yM  z M   z 1  y 1 Chọn x  ta  M  M  3;1; 1  M  yM  z M   z M  1  Đường thẳng d  qua điểm M  3;1; 1 có vectơ phương u  1;1;1 có phương trình x   t   y   t  z  1  t  x  12 y  z    , mặt thẳng  P  : x  y  z   Gọi d ' hình chiếu d lên  P  Phương trình tham số d ' Câu 1.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  x  62t  A  y  25t  z  2  61t   x  62t  B  y  25t  z   61t   x  62t  C  y  25t  z   61t   x  62t  D  y  25t  z   61t  Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi A  d   P  A  d  A 12  4a ;9  3a ;1  a  A   P   a  3  A  0;0;   d qua điểm B 12;9;1 Trang 122 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Gọi H hình chiếu B lên  P   P  có vectơ pháp tuyến  nP   3;5; 1   BH qua B 12;9;1 có vectơ phương aBH  nP   3;5; 1  x  12  3t  BH :  y   5t z  1 t  H  BH  H 12  3t ;9  5t ;1  t  H P  t   78  186 15 113  H ; ;  35 35   35   186 15 183  AH   ; ;    62; 25; 61 35  35  35  d ' qua A  0;0; 2  có vectơ phương ad '   62; 25;61  x  62t  Vậy phương trình tham số d '  y  25t  z  2  61t  Cách 2: Gọi  Q  chứa d vuông góc với  P   d qua điểm B 12;9;1 có vectơ phương ad   4;3;1 P Q   có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1    qua B 12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQ   ad , nP    8;7;11  Q  : x  y  11z  22  d ' giao tuyến  Q   P  Tìm điểm thuộc d ' , cách cho y  3 x  z  x  Ta có hệ    M  0; 0; 2   d ' 8 x  11z  22  y  2    d ' qua điểm M  0; 0; 2  có vectơ phương ad   nP ; nQ    62; 25;61  x  62t  Vậy phương trình tham số d '  y  25t  z  2  61t  Trang 123 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x  1 t  Câu 1.13: Cho đường thẳng  d  :  y   2t mặt phẳng  P  : x  y  z   Đường thẳng d  hình  z  1  t  chiếu vng góc d mặt phẳng  P  có phương trình x  1 t  A  y  1  2t z  1 t  x  t  B  y  3  2t  z  2  t  x  t  C  y  3  2t  z  2  t  x  1 t  D  y  2  2t z   t  Lời giải Chọn C   Vectơ phương d ud  ( 1; 2;  1) vectơ pháp tuyến  P  n P   (1;  1;1) Gọi  Q  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với  P  Khi  Q  có vectơ pháp    tuyến nQ   ud , n P   1; 0;  1   Lấy A 1; 2; 1  d  A   Q   Mặt phẳng  Q  qua A 1; 2; 1 có vectơ pháp tuyến n  1; 0; 1 nên có phương trình x z 2 0 Đường thẳng d  hình chiếu d  P  nên d giao tuyến hai mặt phẳng  P      Q  nên có vectơ phương ud   nP , nQ   1; 2;1  x  yM  z M    M   P  Lấy M  d     M  M   Q   xM  z M    y  zM    y  3 Chọn x  ta có  M  M   3; 2   M   zM    z M  2  Phương trình đường thẳng d  qua điểm M  0; 3; 2  có vectơ phương u  1; 2;1 x  t  t  3  2t  z  2  t  x 1 y  z   có hồnh độ 1 C 5 D Lời giải Câu 1.14: Hình chiếu điểm A  2; 1;8  đường thẳng d : A B 3 Chọn A Cách 1:  x   2t  Phương trình tham số d :  y  1  t  z  2t  Gọi  P  mặt phẳng qua A vuông góc với d  hình chiếu A A d giao d  P  Trang 124 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Vì d   P  nên mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n P   ud   2; 1;2   phương tình mặt phẳng  P  là: x  y  z  21   x   2t x   y  1  t  y  3   A  d   P   tọa độ điểm A thỏa mãn hệ   A  5; 3;    z t  z   x  y  z  21  t  Cách 2:  x   2t  Phương trình tham số d :  y  1  t  z  2t  Gọi A hình chiếu A d  A  d  A 1  2t ; 1  t ; 2t    ud   2; 1;  , AA   2t  1; t ; 2t  8   AA  d  AA.ud    2t  1  t   2t     t   A  5; 3;  x 1 y  z   Gọi H  a; b; c  hình chiếu 1 điểm A  2; 3;1 lên đường thẳng  Tính a  b  c Câu 1.15: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : A B C 1 Lời giải D Chọn A  x  1  2t  Phương trình tham số  :  y  2  t  z  2t  H hình chiếu điểm A đường thẳng   H    H  1  2t ; 2  t ; 2t    u   2; 1;  ; AH   2t  3;1  t; 2t  1     Vì H hình chiếu A  nên AH    AH  ud  AH ud    2t    11  t    2t  1   t   H 1; 3;  Suy a  1; b  3; c  Vậy a  b  c   x   2t  Câu 1.16: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  t mặt phẳng  P  : x  y   Tìm z   t  hình chiếu đường thẳng d  P  19   x   2t   A  y    t  z  t   19   x   2t  12  B  y    t  z  1 t     x   2t   C  y    t  z   t   Lời giải   x   2t   D  y    t  z  1 t   Trang 125 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn C  Đường thẳng d có vectơ phương u   2; 1;1 mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến  n  1; 2;     n  u Ta có:   d //  P   M 1;0;   d nh­ng M   P  Do đó, d hình chiếu d  P  d //d Gọi M  hình chiếu M 1;0;   P   M   d  Gọi  đường thẳng qua M vng góc với  P   M      P    Vì    P  nên  có vectơ phương u  n P   1; 2;0   Phương trình đường thẳng  qua M 1; 0;  có vectơ phương u   1; 2;  : x  1 t   :  y  2t z   M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :  x  x  1 t x  1 t   y  2t  y  2t  y     3     M  ;  ;   5  z  z  z  1  t   2.2t     x  y    t    3  Hình chiếu d  song song với d qua M   ;  ;  5    x   2t   có phương trình  y    t  z   t   x  1 t  Câu 1.17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  mặt phẳng z  t   P  : x  y  z   Tìm hình chiếu đường thẳng  x   t   A  y    z   t   x   t   B  y    z   t  d  P   x   t   C  y    z   t  Lời giải  x   t   D  y   t   z   t  Chọn B  Đường thẳng d có vectơ phương u  1; 0;1 mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến Trang 126 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  n  1; 2; 1    n  u Ta có:   d //  P   M 1; 2;   d nh­ng M   P  Do đó, d  hình chiếu d  P  d //d Gọi M  hình chiếu M 1; 2;0   P   M   d  Gọi  đường thẳng qua M vng góc với  P   M      P    Vì    P  nên  có vectơ phương u  n P   1; 2; 1 x   t   Phương trình đường thẳng qua M có vectơ phương u   1; 2; 1  :  y   2t  z  t  M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :  x   x  1 t x  1 t y   y   2t  y   2t  1 2     M  ; ;    3 3 z   z  t  z  t   x  y  z   1  t    2t   t     t     x   t  1 2  Hình chiếu d song song với d qua M   ; ;  có phương trình  y  3 3   z   t  Câu 1.18: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1;0;  , B  0;1;  , C  0; 0;1 , D  2;1; 1 Gọi H  a; b; c  chân đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện Tính 2a  b  c A B C Lời giải D Chọn C Phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z   Gọi  đường thẳng qua D vng góc với  ABC    có vectơ phương   u  n ABC   1;1;1  Đường thẳng  qua D  2;1; 1 có vectơ phương u  1;1;1  có phương trình  x  2  t  là:  y   t  z  1  t  Trang 127 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 H hình chiếu D  ABC   H     ABC   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ  x  2  t  x  2  t  x  1  y  1 t  y  1 t y     phương trình:   H  1; 2;0     z  1  t  z  1  t z   x  y  z    2  t   t   t   t   a  1; b  2; c  Vậy a  b  c  Câu 1.19: Trong không gian Oxyz , cho A  2;3; 1 , B  0; 1;  , C 1;0;3  Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC Hoành độ điểm H A 1 B C D Lời giải Chọn D   Đường thẳng qua B; C có vectơ phương u  BC  1;1;1   Đường thẳng BC qua B  0; 1;  có vectơ phương u  BC  1;1;1  Phương trình x  t  đường thẳng BC  y  1  t z   t  Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC  H hình chiếu A  đường thẳng BC  H  t ; 1  t;  t   AH   t  2; t  4; t  3   Vì AH  BC  AH BC   3t    t   H 1;0;3 Câu 1.20: Gọi M   a; b; c  điểm đối xứng điểm M  2;1;3  qua mặt phẳng  P  : x  y  z   Tính abc A 4 B C Lời giải D Chọn C Gọi H hình chiếu M  P   H trung điểm MM  Gọi d đường thẳng qua M vng góc với  P   H  d   P  x   t    d   P   ud  n P  1; 1;1  d :  y   t z   t  x   t x   t   y  1 t   y  1 t H  d   P   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ   z   t z   t  x  y  z   2  t  1  t    t    x  y    H 1; 2;   z  t  1 Trang 128 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  xH  xM  xM   xM     Vì H trung điểm MM    yH  yM  yM    yM    a  0; b  3; c  2 z  z  z z   H M M  M Vậy a  b  c  Trang 129 ... : + Tìm hình chiếu H M  P  (khi H trung điểm MM  ) + Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm suy tọa độ điểm M  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu. .. phẳng tọa độ HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định tọa độ điểm M B2: Viết kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Hình chiếu vng góc điểm M  2; 2;1 mặt phẳng  Oxy  có tọa độ  2; 2;  Bài. .. TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 + Tìm tọa độ điểm A theo tham số t  A d    + Lập phương trình AA.ud  Giải phương trình tìm t suy tọa độ điểm A  Tìm điểm M  đối