Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ docx

Trang 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓCTRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ1.. Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng.. Vì vậy việc nghiên cứu phân loại và đưa ra phương pháp giải một s

Khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là mảng kiến thức rất quan trọng trong phần hình học nó có mặt hầu hết trong các kì thi đặc biệt là kì thi đại học Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng Vì vậy việc nghiên cứu phân loại

và đưa ra phương pháp giải một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là hết sức cần thiết nhằm giúp cho người học tiếp nhận kiến thức mộtcách đầy đủ, có hệ thống, tránh được cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ của người học

Với mục đích đó, em sẽ tập trung nghiên cứu các vấn đề như sau:

Tóm tắt lí thuyết liên quan

Phân loại các dạng bài tập Mỗi dạng đưa ra một số bài toán theo độ khó tăng dần với nhiều cách giải khác nhau Từ đó thấy được ưu nhược điểm của mỗi phương pháp để vận dụng cho phù hợp

Trong quá trình nghiên cứu sẽ không tránh khỏi những sai xót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy và các bạn để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn

2 NỘI DUNG

2.1.1.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song

song bằng khoảng cách từ một điểm trên

đường thẳng này đến đường thẳng kia hoặc

ngược lại

Hình 2

2.1.1.3 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng.

Cho hai điểm M(x M ; y M), N(x N ; y N) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 Khi

đó:

 M và N nằm cùng phía đối với ∆

⇔ (ax M+by M+c)(ax N+b y N+c) > 0;

Hình 3

 M và N nằm khác phía đối với ∆

⇔ (ax M+by M+c)(ax N+b y N+c) < 0

Hình 4

2.1.1.4 Công thức đường phân giác.

Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 Khi đó: Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆2 là

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành

bốn góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi

là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay

đơn giản là góc giữa a và b

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

Hình 5

Kí hiệu: góc giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là ( a , b^), hay đơn giản là (a, b)

2.1.2.2 Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ

Gọi u⃗, ⃗v lần lượt là hai VTCP của đường thẳng a và đường thẳng b

Nếu (u , ⃗v⃗ ) ≤ 900 thì (a, b) = (u , ⃗v⃗ )

Nếu (u , ⃗v⃗ ) > 900 thì (a, b) = 1800 (u , ⃗v⃗ )

2.1.2.3 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 Khi đógóc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được xác định bởi công thức

Nếu đường thẳng cho dưới dạng ∆1: y = kx + b, ∆2: y = k’x + b’ ( k, k’ lần lượt

là hệ số góc của hai đường thẳng∆1 và ∆2 )

Phương pháp: áp dụng linh hoạt các công thức sau:

 Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A), B( x B ; y B) là:

 Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành Gọi ⃗u1, ⃗ u2 lần lượt là các VTCP; ⃗n1, ⃗ n2 lần lượt là các VTPT của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 thì:

cos(∆1;∆2)= |cos ⁡(⃗ u1;⃗ u2)| = |cos ⁡(⃗ n1;⃗ n2)| (3)

Chú ý:

 góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 00

 Góc A của ∆ABC là góc giữa hai vectơ ⃗AB và ⃗AC

 Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì đường thẳng phải viết dưới dạng phương trình tổng quát

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng

như sau:(SBT hình học 10- cơ bản)

x = -1 + 2(- 2y) = -1 ̶ y

vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆’ là:

x + y + 1 = 0 Do đó áp dụng công thức (2) ta có:

d(B; ∆’’) = |−1+2+1√12+12 | = √2

{2 x + y=0 x+2 y=0 ; {x+ y −1=0 x +2 y=0 ; {x+ y −1=0 2 x + y=0

Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2)

Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2) Suy ra

⃗AB =(2; -1), ⃗AC =(-1 ; 2), ⃗BC =(-3 ; 3)

Vì AB = AC =√5 nên tam giác ABC cân tại A

cosA = cos (⃗AB;⃗ AC) = 2.(−1)+(−1) 2

√22+12.√12+22 = −45 ⇒ ^A ~ 14308 '

⇒ ^B = C^ ~ 18026 '

Dạng 2: vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Phương pháp: để xét vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với đường thẳng (d) ta

làm như sau:

Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng (d)

 Nếu được hai giá trị cùng dấu thì kết luận A, B cùng phía đối với (d)

 Nếu được hai giá trị khác dấu thì kết luận A, B khác phía đối với (d)

Bài toán 1: : Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình:

a) Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC

Như vậy : O và A nằm cùng phía đối với BC, O và B nằm cùng phía đối với AC, O và

C nằm cùng phía đối với AB Vậy O nằm trong tam giác ABC

Nhận xét:

Hai dạng toán trên là những dạng toán cơ bản với mục đích để cho người làm toán nhớ được các công thức cơ bản cũng như rèn kĩ năng tính toán Tuy nhiên, ta không thể bỏ qua bởi nó là cơ sở giúp chúng ta hình thành những ý tưởng mới trong việc giải các bài toán phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về cực trị, bài toán quỹ tích

mà ta sẽ xét ở phần sau

Khi làm gặp bài toán dạng này ta chỉ việc sử dụng công thức, tính chất đã nêu

ở phần phương pháp hoặc nếu cần thì chỉ vẽ hình phác họa, mà không cần phải biểu diễn một cách chính xác tọa độ từng điểm hay từng đường thẳng lên mặt phẳng tọa

độ Đây cũng là ưu điểm của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dạng 3: một số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng

cách

Bài toán 1: viết phương trình đường phân giác của các góc trong một tam giác.

Phương pháp:

cách 1: Để tìm đường phân giác trong AD của tam giác ABC ta làm như sau:

 Lập phương trình hai cạnh AB, AC

 Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB,

AC theo công thức đã biết

 Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C đối với một trong hai đường phân giác vừa tìm Giả sử là đường thẳng (d1)

Nếu B, C khác phía đối với ( d1)thì (d1) là đường phân giác trong góc A.Ngược lại ta kết luận d1 là đường phân giác ngoài góc A

cách 2:

 Tìm tọa độ ba đinh của tam giác A,

B, C Gọi D, E lần lượt là chân

đường phân giác trong và ngoài kẻ

từ A của tam giác ABC

 Tính tọa độ của ⃗AB, ⃗AC⇒ |⃗AB| =

Phương trình đường thẳng AB là: x−2−5 = −10y−6 ⇔ 2x – y + 2 = 0.

Phương trình đường thẳng AC là: x−53 =y−10

trái của phương trình đường thẳng (d1), ta có: -4 – 6 = -10 < 0 Thay tọa độ điểm C vào vế trái phương trình đường thẳng (d1), ta có: 0 – 6 = -6 < 0 Suy ra B C nằm cùngphía đối với (d1¿⇒ (d1) là đường phân giác ngoài của góc A Vậy phương trình của đường phân giác trong góc A là: x – 2 = 0

Cách 2:

Ta có: ⃗AB = ( -5 ; -10) ⇒ AB = 5√5; ⃗AC = ( 3 ; -6) ⇒ AC = 3√5 Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC Ta có hệ thức: AC AB = DB DC ⇒⃗DB =

⃗

e2 = (√5 ; -2√5) Khi đó ta đặt e=⃗⃗ e1+⃗e2 = (0 ; -4√5) // (0 ; 1) thì

⃗

e chính là VTCP của đường phân giác trong góc A Do đó

phương trình của đường phân giác này là: x−20 = y−61 ⇔ x – 2

Phương pháp: gọi VTPT của đường thẳng (∆) là n ∆ = (a ; b)

 Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A

 Dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng (∆) và (d), từ đó tìm được biểu thức liên hệ giữa a và b,

 Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ a, b thỏa mãn biểu thức vừa tìm được Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm được phương trình đường thẳng cần tìm

Ví dụ: viết phương trình đường thẳng

a) Qua A(-2 ; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 450;

b) Qua B(-1; 2) và tạo với đường thẳng d: {x=2+3 t y=−2 t một góc 600

( SBT hình học 10 nâng cao)

Phương pháp:

Giải

+b2≠ 0).Đường thẳng (d) có VTCP ⃗v = (3; -2)

(∆) tạo với (d) góc 600 khi và chỉ khi cos600

∆2: - x + 24+√507

23 y - 71+2√507

23 = 0

Bài toán 4: trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua

M(1 ; 2) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho 1

Xét hàm số: f(k) = k

2

+1(k −2)2 (k ≠ 0, k ≠ 2 ) có: f’(k) = −4 k

2

+6 k +4

(k −2)4 f’(k) = 0 ⇔ -4 k2 + 6k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hoặc k = - 12

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(k):

Vậy f(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = - 12

Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; 1) sao cho cùng với 2 đường thẳng

(d): 2x – y + 5 = 0 và (d’): 3x + 6y – 1 = 0 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểmcủa (d) và (d’)

Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng

cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) tạo

Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) sẽ vuông góc với hai đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) (H.11, H.12)

(∆’).Gọi ⃗n' '(a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm

Đường thẳng (d’’) ¿ ¿∆) khi và chỉ khi 3a – 9b = 0

⇔ a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình

đường thẳng (d’’) là: 3(x – 2) + (y – 1) = 0

⇔ 3x + y – 7 = 0 (d’’)

Hình 12

Đường thẳng (d’’) ¿ ¿∆’) khi và chỉ khi 9a + 3b = 0 ⇔ a = −3b,

Dạng 3: Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước.

Đây là dạng toán có rất nhiều bài tập hay và hay và khó và cũng rất khó để có thể đưa

ra phương pháp giải cụ thể Tuy nhiên ta có thể thấy hướng giải chung nhất thường là:

Gọi điểm cần tìm là M(x0; y0), sau đó dựa vào giả thiết của từng bài toán cụ thể để thiết lập phương trình, biểu thức liên hệ giữa x0 và y0 một cách hợp lí, suy ra tọa độ M

Bài toán 1: (KA-2006)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:

Với y = -11 ta được điểm M1(-22 ; -11)

Với y = 1 ta được điểm M2(2 ; 1)

Bài toán 2: (KB – 2007)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các

đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0

Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Giải

Vì B thuộc d1; C thuộc d2 nên B(b ; 2 – b), C(c ; 8-c) vì tam giác ABC vuông cân tại

A nên: {⃗AB ⃗ AB−AC AC=0 ⇔ {b2bc−4 b−c +2=0−2 b=c2−8 c +18 ⇔ ¿

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ {x2xy=2−y2=3

Giải hệ trên ta được x = -2, y = -1 hoặc x = 2, y = 1

Suy ra: B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5 ; 3)

Bài toán 2: Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai điểm B(2 ; -1)

và C (1 ; -2) Trọng tâm G của tam giác ABC ở tren đường thẳng ∆: x + y – 2 = 0 Diện tích tam giác ABC bằng 12 Tìm tọa độ điểm A (toán bồi dưỡng học sinh THPT hình giải tích)

GiảiGọi (x0; y0) là tọa độ của G

G ở trên đường thẳng ∆:x + y -2 = 0 , nên ta có

3 ).

Theo công thức trọng tâm: x A+x B+x C=3 xG, y A+y B+y C=3 yG Thay tọa độ B, C, G vào

ta được x A=¿ ¿ 5, y A =¿ ¿ -2 Vậy A(5 ; -2)

TH2: x0−y0−3=−1

3 ⇔ x0−y0−8

3=0. (3)Giải hệ (1), (3) ta được G(73;−1

3 ) Tính toán tương tự theo công thức trọng tâm ta được tọa độ điểm A(4 ; 2)

Chú ý: khi giải toán không nhất thiết phải vẽ hình chính xác

Bài toán 2: trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A(1

Dạng 4: một số bài toán quỹ tích liên quan đến khoảng cách và góc.

Bài toán 1: Tìm quỹ tích các điểm cách đường thẳng (d): -2x + 5y – 1 = 0 một

Bài toán 2: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 1), B(9 ; 7) Tìm quỹ tích

các điểm M sao cho MA2

Gọi M(x ; y) Khi đó: MI2=(x−5)2+(y−4)2=20.

Vậy quỹ tích điểm là đường tròn tâm I(5 ; 4), bán kính R = 2√5

Tổng quát: cho n điểm A1(x1; y1), A2(x2; y2), , A n(x n ; y n) và n+1 số: k1, k2, … , k n , k

thỏa mãn : k1+k2+…+k n ≠ 0 Tìm tập hợp điểm M sao cho

Bài toán 2: trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai điểm cố

định A(a ; b), A’(a’ ; b’) tìm quỹ tích những điểm M sao cho góc(⃗MA ;⃗ MB) không đổi

về chiều và độ lớn.( toán bồi dưỡng học sinh THPT hình giải tích)

Giải

Đặt (⃗MA ;⃗ MB¿=β) không đổi

Gọi α, α’là góc hợp bởi các tia AM và

A’M với chiều dương của trục hoành Ox

tanα’= x−a ' y−b ' ;

tanα = x−a y−b

( x−a )(x −a ')+( y−b)( y−b' =)

−(b−b ')x+(a−a ')y+a ' b−ab '

 |a1⃗M A1+a2⃗M A2+…+ a n⃗M A n|2 là tam thức bậc hai đối với x, ta tìm được

GTNN của tam thức này, suy ra tọa độ điểm M cần tìm

b) Tính ⃗N A1,⃗ N A2, , ⃗N A n theo x suy ra a1N A12+a2N A22+…+a n N A n2 là một tamthức bậc hai đối với x ta tìm được GTNN của tam thức này suy ra tọa độ điểm

N cần tìm

Ví dụ: trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2 ; 3), B(-4 ; 1) và đường

thẳng (d): x + y + 1 = 0 Tìm điểm M trên (d) sao cho

Nên |⃗MA +⃗ MB| min ⇔ 2x – 5y + 1 - 3 MI min M là hình chiếu của điểm I lên đường thẳng (d).⇔ 2x – 5y + 1 - 3

Phương trình đường thẳng (d’) đi qua I và vuông góc với (d): -1(x + 1) +1(y – 2) = 0 -x + y – 3 = 0 Điểm M là giao của (d) và (d’) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

⇔ 2x – 5y + 1 - 3

phương trình:

{−x+ y – 3=0

x+ y+1=0 ⇔ 2x – 5y + 1 - 3{x=−2 y=1 suy ra M(-2 ; 1)

b) Gọi J(x ; y) là điểm sao cho 2⃗JA + 3⃗JB = 0

Ta có: ⃗JA = (2 – x ; 3 – y), ⃗JB = (-4 – x ; 1 – y) nên 2⃗JA + 3⃗JB = (-8 – 5x ; 9 – 5y)

2JA2 + 3JB2 không đổi nên (2 MA2+3 MB2)min ⇔ 2x – 5y + 1 - 3 MJ min

M là hình chiếu của điểm J lên đường thẳng (d)

⇔ 2x – 5y + 1 - 3

Phương trình đường thẳng (d’’) qua J(−85 ;9

5) và vuông góc với (d):

-1(x + 85) + 1(y - 95) = 0 -x + y - ⇔ 2x – 5y + 1 - 3 175 = 0 Vì M là giao điểm của (d) và (d’’) nên tọa

độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy M(−115 ; 65).

Bài toán 2: cho hai điểm P, Q và đường thẳng ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M trên ∆ sao cho MP + MQ nhỏ nhất;

b) Tìm tọa độ điểm N trên ∆ sao cho |NP−NQ| lớn nhất

Phương pháp:

Xét vị trí tương đối của hai điểm P, Q đối với đường thẳng (∆)

 Nếu P, Q khác phía đối với đường thẳng (∆)

a) Với điểm M thuộc (∆) ta có MP + MQ ≥ PQ

Do đó min( MP + MQ) = PQ khi ba điểm P M Q thẳng hàng Tọa độ của M là giao điểm của (∆) và PQ

b) Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆ Tìm tọa độ điểm P’

Với mọi N thuộc ∆ ta có NP = NP’ nên |NP−NQ| = |N P'

−NQ| ≤ P’Q

Do đó: max|NP−NQ| = P’Q khi N thuộc đường thẳng P’Q và nằm ngoài đoạn thẳng P’Q do đó N là giao của đường thẳng P’Q và ∆

 Nếu P, Q cùng phía đối với đường thẳng (∆)

a) Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆ Tìm tọa độ điểm P’

Với mọi M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q

Do đó min(MP +MQ) = P’Q khi P’, M, Q thẳng hàng Tọa độ điểm M là giao điểm của P’Q và ∆

b) Với mọi M thuộc ∆ ta có |NP−NQ| ≤ PQ nên max|NP−NQ| = PQ khi và chỉ khi điểm N nằm ngoài đoạn PQ, do đó N là giao điểm của PQ và đường thẳng

∆

Ví dụ : Cho hai điểm P(1 ; 6), Q(-3 ; -4) và đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M trên ∆ sao cho MP + MQ nhỏ nhất;

b) Tìm tọa độ điểm N trên ∆ sao cho |NP−NQ| lớn nhất

(SBT hình 10- nâng cao)

Giải

a) Thay tọa độ điểm P, Q vào vế trái của ∆ ta được:

P: 2.1 – 6 – 1 = -5 , Q: 2 (-3) – (-4) – 1 = -3

Suy ra hai điểm P, Q cùng phía đối với đường thẳng ∆

Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆

Phương trình đường thẳng (d) qua P và vuông góc với ∆ là:

( x – 1) + 2( y – 6 ) = 0 x + 2y - 13 = 0 ⇔ 2x – 5y + 1 - 3

Hình 13

Tọa độ giao điểm I của (d) và (∆) là nghiệm của hệ phương trình:

{x+2 y−13=0 2 x – y – 1=0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được I(3 ; 5)

Vì I là trung điểm của PP’ nên x P+x P '=2 xI , nên y P+y P '=2 yI.Từ đó tìm được tọa

Với mọi M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q

Do đó min(MP +MQ) = P’Q khi P’, M, Q thẳng hàng Tọa độ điểm M là giao điểm của P’Q và ∆ nên là nghiệm của hệ phương trình:

{2 x – y – 1=0 x – y – 1=0

Giải hệ phương trình trên ta có tọa độ điểm M(0 ; -1)

b) Với mọi điểm N thuộc ∆ ta có |NP−NQ| ≤ PQ nên max|NP−NQ| = PQ khi N,

P, Q thẳng hàng N là giao điểm của PQ và ∆

Phương trình đường thẳng PQ qua P(1 ; 6) và Q(-3 ; -4) là:

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆(m), ∆’ (m) phụ thuộc

vào tham số m, có phương trinh lần lượt là: