Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
914,5 KB
Nội dung
MT S BI TON V KHONG CCH TRONG KHễNG GIAN Giỏo viờn: Phựng Th Bng n v: Trng THPT Tam Dng II Mụn: Toỏn Phn I Lí DO CHN TI Trong chng trỡnh toỏn THPT bi toỏn v khong cỏch khụng gian gi mt vai trũ quan trng, nú xut hin hu ht cỏc thi tuyn sinh vo i hc, cao ng; thi hc sinh gii, cỏc thi tt nghip nhng nm gn õy Mc dự vy õy l phn kin thc ũi hi hc sinh phi cú t sõu sc, cú trớ tng tng hỡnh khụng gian phong phỳ nờn i vi hc sinh õy l mng kin thc khú v thng mt im cỏc kỡ thi núi trờn Vi mong mun cung cp cho cỏc em hc sinh phng phỏp gii mt s bi toỏn v tớnh khong cỏch hỡnh hc khụng gian nờn tụi ó la chn chuyờn : Mt s bi toỏn v khong cỏch khụng gian Hi vng ti s cung cp cho hc sinh nhng kin thc b ớch v cng l ti liu tham kho tt cho bn bố, ng nghip Phn II NI DUNG A C S L THUYT Khong cỏch t mt im n mt ng thng Cho im M v ng thng Gi H l hỡnh chiu ca M trờn Khi ú khong cỏch gia hai im M v H c gi l khong cỏch t im M n ng thng Kớ hiu d (M , D) M H * Nhn xột: tớnh khong cỏch t im M n ng thng ta cú th + Xỏc nh hỡnh chiu H ca M trờn v tớnh MH + p dng cụng thc Khong cỏch t mt im n mt mt phng Cho im M v mt phng () Gi H l hỡnh chiu ca M trờn () Khi ú khong cỏch gia hai im M v H c gi l khong cỏch t im M n mt phng () Kớ hiu d (M ,(a)) M H () * Nhn xột: tớnh khong cỏch t im M n mt phng () ta cú th s dng mt cỏc cỏch sau: Cỏch Tớnh trc tip Xỏc nh hỡnh chiu H ca M trờn () v tớnh MH () * Phng phỏp chung M - Dng mt phng (P) cha M v vuụng gúc vi () - Tỡm giao tuyn ca (P) v () H () - K MH (H ẻ D ) Khi ú d (M ,( a)) = MH * c bit: + Trong hỡnh chúp u, thỡ chõn ng cao h t nh trựng vi tõm ỏy + Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chõn ng vuụng gúc h t nh s thuc giao tuyn ca mt bờn ú vi ỏy + Hỡnh chúp cú mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao chớnh l giao tuyn ca hai mt bờn ny + Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng (hoc to vi ỏy nhng gúc bng nhau) thỡ chõn ng cao l tõm ng trũn ngoi tip ỏy + Hỡnh chúp cú cỏc mt bờn to vi ỏy nhng gúc bng thỡ chõn ng cao l tõm ng trũn ni tip ỏy Cỏch S dng cụng thc th tớch 3V Theo cỏch ny, tớnh S h h = S khong cỏch t nh ca hỡnh chúp n mt ỏy, ta i tớnh V v S Th tớch ca chúp V = Cỏch S dng phộp trt nh í tng ca phng phỏp ny l: bng cỏch trt nh M trờn mt ng thng n mt v trớ thun li M ' , ta quy vic tớnh d (M ,(a)) v vic tớnh d (M ',(a)) Ta thng s dng nhng kt qu sau: Kt qu Nu ng thng song song vi mt phng () v M, N thỡ d (M ;( a)) = d (N ;( a)) M N M' N' () Kt qu Nu ng thng ct mt phng () ti im I v M, N (M, N khụng trựng vi I) thỡ d (M ;( a)) MI = d (N ;(a)) NI M N I () * c bit, nu M l trung im ca NI thỡ d (M ;( a)) = d (N ;( a)) , nu I l trung im ca MN thỡ d (M ;( a)) = d (N ;( a)) Cỏch S dng tớnh cht ca t din vuụng C s ca phng phỏp ny l tớnh cht sau: Gi s OABC l t din vuụng ti O (OA ^ OB ,OB ^ OC ,OC ^ OA ) v H l hỡnh chiu ca O trờn mt phng (ABC) Khi ú ng cao OH c tớnh bng cụng thc 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Cỏch S dng phng phỏp ta C s ca phng phỏp ny l ta cn chn h ta thớch hp sau ú s dng cỏc cụng thc sau: A x + By + Cz + D d (M ;( a)) = vi M (x ; y ; z ) , 2 A + B +C (a) : A x + By + Cz + D = uuur r ộ ự MA ,uỳ r d (M , D) = r ỷ vi l ng thng i qua A v cú vect ch phng u u r ur uuur ộ ự ờu , u 'ỳ.A A ' d ( D, D ') = r ỷur vi D, D ' ln lt l ng thng i qua A , A ' v cú vtcp ộ ự ờu, u 'ỳ ỷ r ur u, u ' Khong cỏch t mt ng thng n mt mt phng song song vi nú Cho ng thng song song vi mt phng ( ) Khong cỏch gia ng thng v mt phng () l khong cỏch t mt im bt kỡ ca n mt phng () Kớ hiu d ( D,(a)) * Nhn xột: Vic tớnh khong cỏch t ng thng n mt phng () c quy v vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng Khong cỏch gia hai mt phng song song Khong cỏch gia hai mt phng song song l khong cỏch t mt im bt kỡ ca mt phng ny n mt phng Kớ hiu d ((a);( b)) * Nhn xột: Vic tớnh khong cỏch gia hai mt phng song song c quy v vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng Khong cỏch gia hai ng thng chộo Cho hai ng thng chộo a v b ng thng ct c a v b ng thi vuụng gúc vi c a v b c gi l ng vuụng gúc chung ca a v b ng vuụng gúc chung ct a ti H v ct b ti K thỡ di on thng MN gi l khong cỏch gia hai ng thng chộo a v b Kớ hiu d (a, b) * Nhn xột: tớnh khong cỏch hai ng thng chộo a v b ta lm nh sau: + Tỡm H v K t ú suy d (a, b) = HK + Tỡm mt mt phng (P) cha a v song song vi b Khi ú d (a, b) = d (b,(P )) + Tỡm cp mt phng song song (P), (Q) ln lt cha a v b Khi ú d (a, b) = d ((P ),(Q )) + S dng phng phỏp ta * c bit - Nu a ^ b thỡ ta tỡm mt phng (P) cha a v vuụng gúc vi b, tip theo ta tỡm giao im I ca (P) vi b Trong mp(P), h ng cao IH Khi ú d (a, b) = IH - Nu t din ABCD cú AC = BD, AD = BC thỡ on thng ni hai trung im ca AB v CD l on vuụng gúc chung ca AB v CD B CC V D MINH HO I Phng phỏp tớnh trc tip Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S A BCD cú ỏy A BCD l na lc giỏc u ni tip ng trũn ng kớnh A D = 2a v cú cnh SA vuụng gúc mp ( A BCD ) , vi SA = a Tớnh khong cỏch t A n mp ( SCD ) Li gii: Vỡ ABCD l na lc giỏc u ni tip ng trũn ng kớnh AD = 2a nờn ta cú AD//BC, AB = BC = CD = a AC ^ CD, AB ^ BD , AC = BD = a ùù CD ^ A C ỹ Ta cú ý ị CD ^ mp(SAC) CD ^ SA ùù ùỵ K AH ^ SC ti H ta cú AH ^ CD Nờn AH ^ mp(SCD) Vy AH = d ( A ;(SCD )) S H A Xột tam giỏc SAC vuụng ti A cú AH l ng cao D F E 1 1 1 = + = + = Do ú 2 2 AH SA AC (a 6) (a 3) 2a B C ị A H = 2a ị A H = a Vớ d 2: ( thi H D - 2012) Cho hỡnh hp ng A BCD A ' B 'C ' D ' cú ỏy l hỡnh vuụng, tam giỏc A ' A C vuụng cõn, A 'C = a Tớnh th tớch t din A BB 'C ' v khong cỏch t im A n mt phng ( BCD ') theo a Li gii: * Tớch th tớch: V = a D' 18 * Tớnh khong cỏch: Gi H l chõn ng cao k t A ca D A ' A B Ta cú A H ^ A ' B ị A H ^ ( A ' BC ) , ngha l AH ^ ( B CD ') Do ú A H ( 1 = + = Do ú 2 AH AB AA ' a a d A , ( BCD ') = A H = ( A' ) = d A, ( BCD ') Ta cú C' B' D A H C B ) Vớ d ( thi H A - 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM Bit SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a Li gii: ã Ta cú: D MA D = D NCD ị Aã DM = DCN ị MD ^ NC Do SH ^ ( A BCD ) ị MD ^ SH MD ^ ( SHC ) S K HK ^ SC ( K ẻ SC ) Suy HK l on vuụng gúc chung ca DM v SC nờn d ( DM , SC ) = HK K Ta cú: CD 2a HC = = CN HK = SH ìHC SH + HC Vyd ( DM , SC ) = N A = 3a 19 D H M ì C B 3a 19 II Phng phỏp s dng cụng thc tớnh th tớch Vớ d ( thi H A 2013) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A, Aã BC = 30o , SBC l tam giỏc u cnh a v mt bờn SBC vuụng gúc vi ỏy Tớnh theo a th tớch ca chúp S.ABC v khong cỏch t im C n mt phng (SAB) S Li gii: Gi H l trung im ca BC, suy SH ^ BC M (SBC) vuụng gúc vi (ABC) theo giao tuyn BC, nờn SH ^ ( A BC ) Ta cú BC = a, suy SH = a ; a A C = BC sin 30o = ; I B A H C a3 a Do ú V S A BC = SH A B A C = A C = BC cos 30 = 16 Tam giỏc ABC vuụng ti A v H l trung im ca BC nờn HA = HB M SH ^ ( A BC ) , nờn SA = SB = a Gi I l trung im ca AB, suy SI ^ A B o 3V a 39 Do ú SI = SB - A B = a 13 T ú d C , ( SA B ) = S A BC = S 13 4 D SA B Nhn xột: Vic tớnh khong cỏch t nh C n (SAB) c tớnh thụng qua th tớch V S A BC c tớnh phn trc v din tớch ca tma giỏc SAB ( ) Vớ d ( thi KSCLH A ln Vnh Phỳc nm 2014) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang cõn, A D = BC = a 13 , 3a , mt phng (SCD) vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Tam giỏc ASI cõn ti S, vi I l trung im ca cnh AB, SB to vi mt phng (ABCD) mt gúc 30o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia SI v CD A B = 2a, CD = Li gii: Gi H l hỡnh chiu ca S trờn CD, ú SH l ng cao ca hỡnh chúp S.ABCD Gi M l trung im ca AI ú SM ^ A B m SH ^ A B , t ú suy MH ^ A B Ta cú: A B - DC a AE = = a ị MH = DE = A D - A E = 3a Mt khỏc: MB = , t ú HB = MB + MH = a ã Theo gi thit ta cú SBH = 30o , vy SH = BH t an 30o = a Din tớch hỡnh thang ABCD l ( A B + CD ) MH 7a S A BCD = = S I A 30 M D A H E M D H B C I B C 7a 3 Do ú th tớch chúp S.ABCD l V = S A BCD SH = 24 ( ) ( ) Do CD//AB ị d ( CD , SI ) = d CD , ( SA B ) = d C , ( SA B ) = 3V SA BC S D A BC 1 a3 Trong ú V SA BC = SH S D A BC = SH A B MH = , 3 1 a2 v S D A BC = A B SM = A B SH + MH = 2 a 21 Do vy ị d ( CD , SI ) = Nhn xột: Ta cú th tớnh d ( CD, SI ) = d H , ( SA B ) = HK , ú K l hỡnh ( chiu ca H trờn SM Tht vy A B ^ ) ( SMH ) ị A B ^ HK , suy HK ^ ( SA B ) M tam giỏc SHM vuụng ti H, vy HK = SH + MH ị HK = a a 21 ị d ( CD , SI ) = 21 Vớ d Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a, SA = a Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh SA, SB, CD Tớnh khong cỏch t P n mt phng (AMN) Phõn tớch Theo gi thit, vic tớnh th tớch cỏc chúp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP l d dng Vy ta cú th ngh n vic quy vic tớnh khong cỏch t P n mt phng (AMN) v vic tớnh th tớch S ca cỏc chúp núi trờn, khong cỏch t P n (AMN) cú th thay bng khong cỏch t C n (SAB) Li gii: Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD, ú M N SO (ABCD) M, N ln lt l trung im ca SA v SB nờn 1 a2 S A MN = S A NS = S A BS = 16 Do PC // (AMN) ị d ( (P ,(A MN ))) = d ( (C ,(A MN ))) D P C A O B Vy: 1 S A MN d ( (P ,(A MN ))) = S A BS d ( (C ,(A MN ))) 3 1 1 = V C A BS = V S A BC = S A BC SO 4 a S A BC = a 2, SO = SA - A O = 2 1 a ị d (P ,(A MN )) = 3V PA MN = a a Vy V A MNP = a ( ) S = 12 2 48 A MN Nhn xột: Ta cú th tớnh khong cỏch t P n (SAB) nh sau: d P , ( SA B ) = d , ( SA B ) = 2d O , ( SA B ) = 2d V P A MN = ( ) ( ) ( ) Do OA, OB, OS ụi mt vuụng gúc nờn 1 1 = + + 2 d OA OB OS Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc vi ỏy hỡnh chúp Cho AB = a, SA = a Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca A trờn SB, SD Tớnh khong cỏch t im O n mt phng (AHK) Phõn tớch Khi chúp AOHK v ASBD cú chung nh, ỏy cựng nm trờn mt mt phng nờn ta cú th tớnh c th tớch chúp OAHK, hn na tam giỏc AHK cõn nờn ta tớnh c din tớch ca nú Li gii: S Cỏch 1: V OA HK = S A HK d O , ( A HK ) Trong ú: ( ) G J K I D H A O C B 1 a ; = + = ị AH = 2 AH AB AS 2a a D SA D = D SA B ị A K = A H = Ta cú HK v BD ng phng v cựng vuụng gúc vi SC nờn HK // BD AI ct SO ti G l trng tõm ca tam giỏc SAC, G thuc HK nờn 10 HK SG 2 2a Tam giỏc AHK cõn tai A, G l trung = = ị HK = BD = BD SO 3 2 1 2a im ca HK nờn AG HK v A G = A I = SC = 2a = 3 3 1 2a 2a 2a S A HK = A G HK = = 2 3 1 V OA HK = V A OHK = d A ; ( OHK ) S DOHK = d A ; ( SBD ) S D OHK = h S DOHK 3 T din ASBD vuụng ti A nờn: ( ) ( ) 1 1 a 10 = + + = ị h = h2 A S A B A D2 2a Tam giỏc OHK cõn ti O nờn cú din tớch S bng 1 a 10 2a S = OG HK = = 2 ( ) ị d O ; ( A HK ) = 3V OA HK S A HK 5a 2a ị V OA HK = Sh = 27 2a 3ì 27 = a = 2 2a Cỏch 2: Ta chng minh V OA HK = V SA BD Ta cú: HK = BD ;OG = SO 3 1 2 ị S OHK = HK ìOG = ì BD ìSO = S SBD 2 9 2 1 a3 ị V A OHK = V SA BD = ì SA ì A B ìA D = 9 27 Cỏch 3: Gii bng phng phỏp ta nh sau: Chn h ta Oxyz cho O' A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a ) ổ 2a a ổ ổ 2a a a a ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ; 0; ; ; 0ữ ỗ Tớnh SH, SK suy ta ca H ỗ0; ; , K , O ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ứ ữ ỗ ữ ố2 ứ ố 3 ứ ố3 ộuuur uuur ựuuur p dng cụng thc V = ờA H , A K ỳ.A O ỷ Cỏch 4: SC (AHK) nờn chõn ng vuụng gúc h t O xuụng (AHK) cú th xỏc nh c theo phng SC * AH SB, AH BC (do BC (SAB)) AH SC Tng t AK SC Vy SC (AHK) 11 * Gi s (AHK) ct SC ti I, gi J l trung im ca AI, ú OJ // SC OJ (AHK) SA = AC = a SAC cõn ti A I l trung im ca SC Vy OJ = 1 a IC = SC = 2a = 4 III Phng phỏp trt nh Vớ d ( thi H B - 2013) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAB l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t im A n mt phng (SCD) Li gii: Gi H l trung im ca AB, suy SH ^ AB v S a M (SAB) vuụng gúc vi (ABCD) theo giao tuyn l AB, nờn SH ^ ( A BCD ) SH = I A D H Do ú V S A BCD = SH S A B CD = a K B C H ẻ AB Do AB // CD v nờn d A , ( SCD ) = d H , ( SCD ) Gi K l trung im ca CD v I l hỡnh chiu ( ) ( ) vuụng gúc ca H trờn SK Ta cú SH ^ CD ị CD ^ ( SHK ) ị CD ^ HI ị HI ^ ( SCD ) ( ) Do ú d A , ( SCD ) = HI = SH HK SH + HK = HK ^ CD m a 21 Nhn xột: Cú th tớnh d A , ( SCD ) thụng qua th tớch V SA CD = V S A BCD v din tớch tam giỏc S D SCD = SK CD Vớ d ( thi H A 2012) Cho hỡnh chúp S.ABC l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn (ABC) l H nm trờn AB cho AH = 2HB Gúc gia SC v (ABC) bng 60 Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SA v BC theo a Li gii: ( ) 12 ã Ta cú SCH l gúc gia SC v (ABC), suy ã SCH = 60o Gi D l trung im ca cnh AB Ta cú: a a a HD = , CD = , HC = HD + CD = a 21 SH = HC t an 60o = a3 V S A BC = SH S D A BC = 12 K Ax // BC Gi N v K ln lt l hỡnh chiu ca H trờn Ax v SN Ta cú BC // 3 (SAN) v BA = HA ị d ( SA , BC ) = d B , ( SA N ) = d H , ( SA N ) 2 Mt khỏc A x ^ ( SHN ) ị A x ^ HK ( ( ) ( SA N ) ị d ( H , ( SA N ) ) = HK Ta cú: Do ú HK ^ AH = ) 2a a SH HN a 42 , HN = A H sin 60o = , HK = = 3 12 SH + HN Vy d SA , BC = a 42 ( ) Nhn xột: Do BA = HA v cú th xỏc nh c hỡnh chiu ca H trờn mp(SAN) (Ta thng chn chõn ng cao) nờn ta tớnh c d B , ( SA N ) qua ( ( ) ) d H , ( SA N ) Vớ d 10 ( thi H B - 2011) Cho lng tr ABCD.A1B1C1D1 cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht A B = a, A D = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A1 trờn mt phng (ABCD) trựng vi giao im ca AC v BD, gúc gia hai mt phng (ADD1A1) v (ABCD) bng 600 Tớnh th tớch ca lng tr ó cho v khong cỏch t im B1 n mt phng (A1BD) theo a 13 Phõn tớch Do B1C // (A1BD) nờn ta trt nh B1 v v trớ thun li C v quy vic tớnh d B 1; ( A1BD ) thnh tớnh d C ; ( A1BD ) ( ) ( ) Li gii: * Gi O l giao im ca AC v BD ị A1O ^ ( A BCD ) B1 Gi E l trung im AD ị OE ^ A D & A1E ^ A D C1 A1 D1 ị Aã 1EO = 600 a A1O = OE t an Aã 1EO = 2 S A BCD = a B O 3a = V lt = A1O S A BCD ( C K H A E D ) * Tớnh d B 1; ( A1BD ) : Cỏch 1: Do B1C // (A1BD) ị d B 1; ( A1BD ) = d C ; ( A1BD ) ( ) ( ) CH ^ BD ị CH ^ H ( ) ị d C ; ( A1BD ) = CH = CB CD CB + CD = ( A BD ) a Cỏch 2: ( ) ( ) ( ) d B 1; ( A1BD ) = d C ; ( A1BD ) = d A ; ( A1BD ) = 3V A A BD S A BD a Trong ú: V A A BD = V lt = 1 a a2 S D A BD = A1O BD = ì ì2a = 2 2 a 3ì =a ị d B 1; ( A1BD ) = a2 Vớ d 11 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cú cnh bng a, SA = a v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) a) Tớnh khong cỏch t O n (SBC) ( ) 14 b) Tớnh khong cỏch t trng tõm tam giỏc SAB n (SAC) Phõn tớch: Do OA ầ ( SBC ) = C , nờn thay vỡ vic tớnh d O , ( SBC ) ta i tớnh ( ( ) ) ( ) d A , ( SBC ) , tng t nh vy ta cú th quy vic tớnh d G , ( SA C ) thụng qua ( ) ( vic tớnh d E , ( SA C ) hay d B , ( SA C ) ) Li gii: a) Ta cú: OA ầ ( SBC ) = C nờn: ( ) = OC = AC d ( A , ( SBC ) ) d ( O , ( SBC ) ) = d ( A , ( SBC ) ) d O , ( SBC ) S Gi H l hỡnh chiu ca A trờn SB ta cú: ỡù A H ^ SB ù ị A H ^ ( SBC ) ùù A H ^ BC ợ Trong tam giỏc vuụng SAB cú: G H A D F E O C B 1 a = + = A H = AH2 SA A B 3a 1 a ị d O , ( SBC ) = d A , ( SBC ) = A H = 2 b) Gi E l trung im AB, G l trng tõm tam giỏc SAB Do EG ầ ( SA B ) = S nờn ( ) ( ) = GS ES d ( E , ( SA C ) ) d G , ( SA C ) ( = ) 2 d G , ( SA C ) = d E , ( SA C ) 3 ỡù BO ^ A C ù ị BO ^ Ta cú: ùù BO ^ SA ợ ( ) ( ) ( SA C ) ; BE ầ ( SA C ) = A 1 a ị d E , ( SA C ) = d B , ( SA C ) = BO = 2 a a ị d G , ( SA C ) = ì = ( ) ( ) ( ) IV Phng phỏp s dng tớnh cht ca t din vuụng nh ngha T din vuụng l t din cú mt nh m ba gúc phng nh ú u l gúc vuụng 15 Tớnh cht Gi s OABC l t din vuụng ti O (OA ^ OB ,OB ^ OC ,OC ^ OA ) v H l hỡnh chiu ca O trờn mt phng (ABC) Khi ú ng cao OH c tớnh bng cụng thc 1 1 = + + OH OA OB OC A Chng minh: Gi s A H ầ BC = D , OH ^ (A B C ) ị OH ^ BC (1) H OA ^ OB ,OA ^ OC ị OA ^ BC (2) T (1) v (2) suy BC ^ OD Trong cỏc tam giỏc vuụng OAD v OBC ta cú O C 1 1 1 = + , = + D OH OA OD OD OB OC B 1 1 Vỡ vy = + + OH OA OB OC Mc tiờu ca phng phỏp ny l s dng cỏc phộp trt quy vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng v vic tớnh khong cỏch t nh ca tam din vuụng n mt huyn ca nú v vỡ vy ỏp dng c tớnh cht trờn Vớ d 12 Cho lng tr u A BC A ' B 'C ' cú tt c cỏc cnh u bng a Gi M, N ln lt l trung im ca A A ' v B B ' Tớnh khong cỏch gia B ' M v CN Phõn tớch: tớnh khong cỏch gia B ' M v CN ta tỡm mt mt phng cha CN v song song vi B ' M , tip theo ta dựng cỏc phộp trt quy vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng v vic tớnh khong cỏch t din vuụng A' C' B' M D N Li gii: Gi O, D ln lt l trung im ca BC v CN thỡ C OACD l t din vuụng ti O A MB ' N l hỡnh O bỡnh hnh ị NA / / B ' M Mt phng (ACN) cha B CN v song song vi B ' M nờn d (B ' M ,CN ) = d (B ' M ,(A CN )) = d (B ',(A CN )) = d (B ,(A CN )) = 2d (O ,(A CD )) = 2h p dng tớnh cht ca t din vuụng ta c A 1 1 64 a Vy d (B ' M ,CN ) = a = + + = h= 2 2 h OA OC OD 3a Vớ d 13 Cho hỡnh lp phng A BCD A ' B 'C ' D ' cú cnh bng a Gi M l trung im ca DD ' Tớnh khong cỏch gia hai ng thng CM v A ' D Li gii: 16 Gi N l trung im ca B B ' thỡ A ' NCM l hỡnh bỡnh hnh nờn A ' N / / CM Mt phng ( A ' ND ) cha A ' D v song song vi CM nờn d (CM , A ' D ) = d (CM ,(A ' ND )) = d (M ,(A ' ND )) = d (M ,(A ' DE )) vi E = A B ầ A ' N Gi O = A D 'ầ A ' D , G = A D 'ầ A M D' A' C' B' M O G N D C thỡ G l trng tõm ca tam giỏc A B A DD ' Do ú d (M ,(A ' DE )) GM = = d (A ,(A ' DE )) GA T din A A ' DE vuụng ti A nờn 1 1 2a = + + = ị d (A ,(A ' DE )) = 2 2 d (A ,(A ' DE )) A A ' AD AE 4a E a Vy d (CM , A ' D ) = d (M ,(A ' DE )) = d (A ,(A ' DE )) = V S dng phng phỏp ta * Phng phỏp: Bc 1: Chon h to Oxyz gn vi hỡnh ang xột Bc 2: Chuyn bi toỏn t ngụn ng hỡnh hc sang ngụn ng to - vộc t Bc 3: Gii bi toỏn bng phng phỏp to , ri chuyn sang ngụn ng hỡnh hc Vớ d 14 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh BB, CD v AD Tớnh khong cỏch gia cp ng thng AB, BD v cp ng thng PI, AC (I l tõm ca ỏy ABCD) Li gii: Chn h ta Oxyz cho gc ta l A, tia Ox cha AB, tia Oy cha AD v tia Oz cha AA Khi ú: z A ( 0; 0; 0) , B ( 1; 0; 0) ,C ( 1;1; 0) , D ( 0;1; 0) P A' D' A ' ( 0; 0;1) , B ' ( 1; 0;1) , C ' ( 1;1;1) , D ' ( 0;1;1) Suy uuuur uuuur A ' B = ( 1; 0; - 1) , B ' D = ( - 1;1; - 1) uuuur uuuur ộ ự ị ờA ' B , B ' D ỳ= ( 1;2;1) uuuuur ỷ Li cú A ' B ' = ( 1; 0; 0) nờn C' B' M D A I B y N C x 17 uuuur uuuur uuuuur ộ ự ờA ' B , B ' D ỳ.A ' B ' ỷ d ( A ' B , B ' D ) = uuuur uuuu = r ộ ự ờA ' B , B ' D ỳ ỷ uuur ổ ổ1 ữ ổ uur ổ uuuur 1 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ , I ỗ ; ; 0ữ ị IP = ỗ- ; 0;1ữ , A C ' ( 1;1;1) , A P ỗ ỗ0; ;1ữ Ta li cú: P ỗ0; ;1ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ2 ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ứ ố ứ ố ứ ố ứ uur uuuur uuur ộ ự ờIP , A C 'ỳ.A P 14 ỷ = Suy d ( PI , A C ') = uur uuuur ộ ự 28 ờIP , A C 'ỳ ỷ Vớ d 15 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh bng Mt mt phng ( a ) bt kỡ i qua ng chộo BD Tớnh khong cỏch gia hai mt phng (ACD) v (ABC) Phõn tớch: Vi mt hỡnh lp phng ta luụn chn c mt h to thớch hp, ú to cỏc nh ó bit nờn vic tớnh khong cỏch gia hai mt phng (ACD) v (ABC) tr nờn d dng Vi phn b, ta quy vic tớnh din tớch thit din v vic tớnh khong cỏch t M n ng thng DB Li gii Chn h to cho gc to O D ' ( 0; 0; 0) A z N B C D H y A' B' x D' M C' A ' ( 0;1; 0) , B ' ( 1;1; 0) , C ' ( 1; 0; 0) , A ( 0;1;1) , C ( 1; 0;1) Gi M l im bt kỡ on thng CD, tc M ( x ; 0; 0) ; Ê x Ê a) D dng chng minh c (ACD) // (ABC) ị d ( A CD ') , ( A ' BC ') = d A ', ( A CD ') ( ) ( ) Mt phng (ACD) cú phng trỡnh: x + y - z = ị d ( A CD ') , ( A ' BC ') = d A ', ( A CD ') = Vớ d 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a SA ^ ( A BCD ) , SA = a Gi M l im di ng trờn cnh CD Xỏc nh v trớ ca M khong cỏch t im S n BM ln nht, nh nht ( ) ( ) 18 Li gii Chn h to trc chun Oxyz cho O A ( 0; 0; 0) , B ( 1; 0; 0) , C ( 1;1; 0) , D ( 0;1; 0) , z S S ( 0; 0;1) M l im di ng trờn CD nờn M ( t ;1; 0) vi uuur Ê t Ê BM = ( t - 1;1; 0) uur uuur ộ ự ờSB , BM ỳ t - 2t + ỷ d ( S , BM ) = = uuur t - 2t + + BM Xột hm s f ( t ) = t - 2t + t - 2t + Ta cú bng bin thiờn: - Ơ t f(t) + trờn [0;1], f ' ( t ) = A O D B C x - ( t - 1) ( y ) t - 2t + 2 +Ơ + f(t) 3 , t c t = ờ0;1ỷ ỳ max f ( t ) = , t c t = ộ ự f (t) = T bng bin thiờn ta cú ộ ự ở0;1ỳ ỷ Do ú d ( S , MB ) ln nht M C & d ( S , BM ) = d ( S , MB ) nh nht M D & d ( S , BM ) = C BI TP NGH Bi ( thi H D 2013) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, cnh bờn SA vuụng gúc vi ã D = 120o , M l trung im ca cnh BC v SMA ã mt phng ỏy, BA = 45o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t im D n mt phng (SBC) Bi ( thi H D 2011) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, BA = 3a, BC = 4a; mt phng (SBC) vuụng gúc vi mt phng (ABC) Bit SB = SB = 2a v 19 ã SBC = 300 Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im B n mt phng (SAC) theo a Bi Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD, ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, tõm O, gúc ã D = 600 Cỏc cnh bờn SA = SC; SB = SD = a BA a) Tớnh khong cỏch t im O n mt phng (SBC) b) Tớnh khong cỏch gia cỏc ng thng SB v AD Bi Cho t diờn OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc v OA = OB = OC = Gi M, N theo th t l trung im cỏc cnh A B ,OA Tớnh khong cỏch gia hai ng thng OM v CN Bi ( thi H A - 2011) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = 2a; hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) Gi M l trung im ca AB; mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N Bit gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC) bng 60o Tớnh th tớch chúp S.BCNM v khong cỏch gia hai ng thng AB v SN theo a Bi ( thi H D - 2008) Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = BC = a, cnh bờn AA' = a Gi M l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng thng AM, B'C Bi ( thi H D - 2009) Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a Gi M l trung im ca on thng AC, I l giao im ca AM v AC Tớnh theo a th tớch t din IABC v khong cỏch t A im n mt phng (IBC) Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, cnh a, gúc ã D = 600 , cú SO vuụng gúc mt phng (ABCD) v SO = a BA a) Tớnh khong cỏch t O n mt phng (SBC) b) Tớnh khong cỏch t ng thng AD n mt phng (SBC) Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a SA vuụng gúc vi mp(ABCD), SA= a Gi G l trng tõm tam giỏc SAB Tớnh khong cỏch t G n mp(SAC) Bi 10 Cho hỡnh lng tr ng ABC.A1 B1C1 cú tt c cỏc cnh u bng a M l trung im ca on AA1 Chng minh BM B1C v tớnh khong cỏch gia hai ng thng BM v B1C Bi 11 ( thi th H-2012-THPT chuyờn H Long) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, tam giỏc SAB u v nm trờn mt phng vuụng gúc vi mt ỏy Tớnh th tớch chúp S.ABCD bit khong cỏch gia hai ng thng SC v AB bng a Bi 12 ( thi th H - 2012 -THPT Nguyn c Cnh -Thỏi Bỡnh) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B vi AB=BC=a, AD=2a, cỏc mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt ỏy Bit gúc to bi (SAB) v (ABCD) bng 60 Tớnh th tớch chúp v khong cỏch gia hai ng thng SB v CD theo a 20 Bi 13 ( thi th H-2013-THPT Ngụ Gia T - Bc Ninh) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA = a v SA vuụng gúc vi mt ỏy Bit ABCD l thang vuụng ti A v B, AB=a, BC=2a v SC vuụng gúc vi BD Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AB v SM theo a vi M l trung im ca BC Bi 14 ( thi th H D 2014 -Vnh phỳc) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B, AB = a, BC = a, AD = 2a ng thng SA vuụng gúc mt phng (ABCD), gúc gia mp(SCD) v mp(ABCD) bng 60o Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t nh B n mt phng (SCD) 21 Phn III KT LUN Chuyờn ó rỳt c mt s phng phỏp tớnh khong cỏch hỡnh hc khụng gian Vi mc ớch nõng cao nng lc t duy, tớnh sỏng to gii toỏn ca hc sinh THPT Hy vng vi kt qu nh ny s b sung c phn no kin thc c bn cho hc sinh, giỳp cỏc em nhn thc y v rốn luyn tt k nng gii cỏc bi toỏn khong cỏch hỡnh hc khụng gian Vi kinh nghim ca bn thõn cũn hn ch nờn khụng th trỏnh nhng thiu sút nờn tỏc gi mong mun nhn c nhiu ý kin úng gúp ca bn bố ng nghip chuyờn hon thin hn Xin trõn trng cm n! 22 [...]... (SCD) 21 Phn III KT LUN Chuyờn ó rỳt ra c mt s phng phỏp tớnh khong cỏch trong hỡnh hc khụng gian Vi mc ớch nõng cao nng lc t duy, tớnh sỏng to trong gii toỏn ca hc sinh THPT Hy vng vi kt qu nh ny s b sung c phn no kin thc c bn cho hc sinh, giỳp cỏc em nhn thc y v rốn luyn tt k nng gii cỏc bi toỏn khong cỏch trong hỡnh hc khụng gian Vi kinh nghim ca bn thõn cũn hn ch nờn khụng th trỏnh khi nhng thiu... ; ( A1BD ) ( ) ( ) CH ^ BD ị CH ^ H ( ) ị d C ; ( A1BD ) = CH = CB CD CB 2 + CD 2 = ( A BD ) 1 a 3 2 Cỏch 2: ( ) ( ) ( ) d B 1; ( A1BD ) = d C ; ( A1BD ) = d A ; ( A1BD ) = 3V A A BD 1 S A BD 1 3 1 a Trong ú: V A A BD = V lt = 1 6 4 1 1 a 3 a2 3 S D A BD = A1O BD = ì ì2a = 1 2 2 2 2 3 a 3ì 4 =a 3 ị d B 1; ( A1BD ) = 2 a2 3 2 Vớ d 11 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cú cnh bng a, SA... OA ầ ( SBC ) = C nờn: ( ) = OC = 1 AC 2 d ( A , ( SBC ) ) 1 d ( O , ( SBC ) ) = d ( A , ( SBC ) ) 2 d O , ( SBC ) S Gi H l hỡnh chiu ca A trờn SB ta cú: ỡù A H ^ SB ù ị A H ^ ( SBC ) ớ ùù A H ^ BC ợ Trong tam giỏc vuụng SAB cú: G H A D F E O C B 1 1 1 4 a 3 = + = A H = 2 AH2 SA 2 A B 2 3a 2 1 1 a 3 ị d O , ( SBC ) = d A , ( SBC ) = A H = 2 2 4 b) Gi E l trung im AB, G l trng tõm tam giỏc SAB Do EG... phng (ABC) Khi ú ng cao OH c tớnh bng cụng thc 1 1 1 1 = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 A Chng minh: Gi s A H ầ BC = D , OH ^ (A B C ) ị OH ^ BC (1) H OA ^ OB ,OA ^ OC ị OA ^ BC (2) T (1) v (2) suy ra BC ^ OD Trong cỏc tam giỏc vuụng OAD v OBC ta cú O C 1 1 1 1 1 1 = + , = + D OH 2 OA 2 OD 2 OD 2 OB 2 OC 2 B 1 1 1 1 Vỡ vy = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 Mc tiờu ca phng phỏp ny l s dng cỏc phộp trt quy vic tớnh khong... B ' M v CN Phõn tớch: tớnh khong cỏch gia B ' M v CN ta tỡm mt mt phng cha CN v song song vi B ' M , tip theo ta dựng cỏc phộp trt quy vic tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng v vic tớnh khong cỏch trong t din vuụng A' C' B' M D N Li gii: Gi O, D ln lt l trung im ca BC v CN thỡ C OACD l t din vuụng ti O A MB ' N l hỡnh O bỡnh hnh ị NA / / B ' M Mt phng (ACN) cha B CN v song song vi B ' M nờn d (B... khong cỏch t M n ng thng DB Li gii Chn h to sao cho gc to O D ' ( 0; 0; 0) A z N B C D H y A' B' x D' M C' A ' ( 0;1; 0) , B ' ( 1;1; 0) , C ' ( 1; 0; 0) , A ( 0;1;1) , C ( 1; 0;1) Gi M l im bt kỡ trong on thng CD, tc M ( x ; 0; 0) ; 0 Ê x Ê 1 a) D dng chng minh c (ACD) // (ABC) ị d ( A CD ') , ( A ' BC ') = d A ', ( A CD ') ( ) ( ) Mt phng (ACD) cú phng trỡnh: x + y - z = 0 1 ị d ( A CD ') , (... SAC cõn ti A I l trung im ca SC Vy OJ = 1 1 1 a IC = SC = 2a = 2 4 4 2 III Phng phỏp trt nh Vớ d 8 ( thi H khi B - 2013) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAB l tam giỏc u v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch t im A n mt phng (SCD) Li gii: Gi H l trung im ca AB, suy ra SH ^ AB v S a 3 M (SAB) vuụng gúc vi (ABCD) 2 theo giao ... gúc vi () - Tỡm giao tuyn ca (P) v () H () - K MH (H ẻ D ) Khi ú d (M ,( a)) = MH * c bit: + Trong hỡnh chúp u, thỡ chõn ng cao h t nh trựng vi tõm ỏy + Hỡnh chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi... - Nu a ^ b thỡ ta tỡm mt phng (P) cha a v vuụng gúc vi b, tip theo ta tỡm giao im I ca (P) vi b Trong mp(P), h ng cao IH Khi ú d (a, b) = IH - Nu t din ABCD cú AC = BD, AD = BC thỡ on thng ni... ( ) ( ) Do CD//AB ị d ( CD , SI ) = d CD , ( SA B ) = d C , ( SA B ) = 3V SA BC S D A BC 1 a3 Trong ú V SA BC = SH S D A BC = SH A B MH = , 3 1 a2 v S D A BC = A B SM = A B SH + MH = 2 a 21