MỘT số bài TOÁN về KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

* Đặc biệt:+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên: Phùng Thế Bằng Đơn vị: Trường THPT Tam Dương II

Môn: Toán

Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên

Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn

chuyên đề: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian” Hi vọng đề tài

sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp

Phần II

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến

đường thẳng ∆ Kí hiệu ( , )d M D

H M

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của M trên ∆ và tính MH

+ Áp dụng công thức

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M và mặt phẳng (α) Gọi H là hình chiếu của M trên (α) Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng (α) Kí hiệu ( ,( ))d M a

HM

( α )

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của M

( α )

* Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi M , ta quy việc tính ( ,( ))' d M a về việc tính

( ',( ))

Kết quả 1 Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈∆ thì

( ;( )) ( ;( ))

( α )

N' M'

N M

Kết quả 2 Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì

( ;( ))( ;( ))

* Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) 1 ( ;( ))

2

d M a = d N a , nếu I

là trung điểm của MN thì ( ;( )) d M a =d N( ;( ))a

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O

(ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

,( , )

, '

u u A A d

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu ( ,( ))d D a

* Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( );( ))d a b

* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về

việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b

Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi

là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b

* Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như

B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

I Phương pháp tính trực tiếp

Ví dụ 1: Cho hình chóp S A BCD có đáy A BCD là nửa lục giác đều nội tiếp

trong đường tròn đường kính A D =2a và có cạnh SA vuông góc mp(A BCD) ,với SA =a 6 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD )

Lời giải:

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có

D A

E F

H

D'

C'

B' A'

B A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính khoảng cách giữa hai

II Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.

Ví dụ 4 (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác

vuông tại A, · A BC = 30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

K D

C B

S

3cos 30

Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SAB) được tính thông qua thể

tích V S A BC. được tính ở phần trước và diện tích của tma giác SAB.

Ví dụ 5 (Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 13

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là

đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi M là

trung điểm của AI khi đó SM ^ A B mà

SH ^ A B , từ đó suy ra MH ^ A B Ta có:

32

A

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC

hay AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ

P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích

của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P

đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ

O B

D

C A

S

( ) ( ).

Ví dụ 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông

góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một

mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác

AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.

a

A H

63

a

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

O

C A

2 2 2 2

BD = SO = Þ = = Tam giác AHK cân tai A, G là trung

điểm của HK nên AG ⊥ HK và 2 2 1 1.2 2

a h

;

2

2 29

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ O’xyz sao cho O' ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0;2 ; 2

uuur uuur uuur

Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC.

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^ AB và

3

.2

a

SH = Mà (SAB) vuông góc với (ABCD)

theo giao tuyến là AB, nên SH ^ (A BCD)

vuông góc của H trên SK Ta có HK ^ CD mà

Lời giải:

I

K H

D

C B

A S

Ta có ·SCH là góc giữa SC và (ABC), suy ra

Phân tích Do B 1 C // (A 1 BD) nên ta trượt đỉnh B 1 về vị trí thuận lợi C và quy việc

3

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

Phân tích: Do OA Ç(SBC) =C , nên thay vì việc tính d O SBC ta đi tính ( ,( ) )

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:

IV Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh

đó đều là góc vuông

O

F E

D

C B

A S

2. Tính chất Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA ^ OB OB, ^ OC

,OC ^ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

Từ (1) và (2) suy ra BC ^ OD Trong các tam

giác vuông OAD và OBC ta có

Ví dụ 12 Cho lăng trụ đều A BC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, ' ' '

Phân tích: Để tính khoảng cách giữa B M' và CN

ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với

Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì

a h

A

B

D H

Gọi N là trung điểm của BB ' thì

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình

học

Ví dụ 14.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’ Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và

tia Oz chứa AA’ Khi đó:

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

I P

N M

z

y

x

D' C' B'

A'

D

C B

A

( ' , ' ) ' , ' ' ' 1

6' , '

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng ( )a bất kì đi

qua đường chéo B’D Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

Phân tích: Với một hình lập phương ta

luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp,

khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc

tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng Với

phần b, ta quy việc tính diện tích thiết

diện về việc tính khoảng cách từ M đến

B A

Từ bảng biến thiên ta có min0;1 ( ) 3

2

f t

é ù = , đạt được khi t = 0 max0;1 f t( ) 2

Bài 1 (Đề thi ĐH khối D – 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, ·BA D =120o, M là trung điểm của cạnh BC và · SMA = 45 o

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Bài 2 (Đề thi ĐH khối D – 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;

A S

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.

Bài 4 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =OB

1

OC

= = Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh A B OA Tính khoảng ,

cách giữa hai đường thẳng OM và CN.

Bài 5 (Đề thi ĐH khối A - 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp

S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 6 (Đề thi ĐH khối D - 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của

khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.

Bài 7 (Đề thi ĐH khối D - 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =

a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm

của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC).

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc

với mp(ABCD), SA= a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách

từ G đến mp(SAC).

Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a M là 1 1 1

trung điểm của đoạn AA 1 Chứng minh BM⊥B 1 C và tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng BM và B 1 C.

Bài 11 (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.

Bài 12 (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

AB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy

Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a

Bài 13 (Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh)

Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và SA vuông góc với mặt đáy Biết ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M

là trung điểm của BC.

Bài 14 (Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a,

BC = a, AD = 2a Đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa

mp(SCD) và mp(ABCD) bằng 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD).

Phần III

KẾT LUẬN

Chuyên đề đã rút ra được một số phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán của học sinh THPT Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian

Với kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nên tác giả mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn bè đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!