Kí hiệu , d D a * Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.. Kí hiệu ; d a b * Nhận xét: Việc tí
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên: Phùng Thế Bằng Đơn vị: Trường THPT Tam Dương II
Môn: ToánPhần I
MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không giangiữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đạihọc, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gầnđây Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, cótrí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đây là mảngkiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên
Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một sốbài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn
chuyên đề: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian” Hi vọng đề tài
sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốtcho bạn bè, đồng nghiệp
Trang 2Phần II
NỘI DUNG
A CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng Gọi H là hình chiếu của M trên Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến
đường thẳng Kí hiệu ( , )d M D
H M
* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của M trên và tính MH
()
Trang 3+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc
hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giaotuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằngnhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Cách 2 Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp 1 3
.3
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi M ', ta quy việc tính ( ,( ))d M a về việc tính
( ',( ))
Kết quả 1 Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì
( ;( )) ( ;( ))
()
N' M'
N M
Kết quả 2 Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N (M, N
không trùng với I) thì
( ;( ))( ;( ))
Trang 4* Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì 1
( ;( )) ( ;( ))
2
d M a = d N a , nếu I
là trung điểm của MN thì ( ;( )) d M a =d N( ;( ))a
Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O
(OA ^OB OB, ^OC OC, ^OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
, '
u u AA d
3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữađường thẳng và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của đếnmặt phẳng () Kí hiệu ( ,( ))d D a
* Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng () được
quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểmbất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( );( ))d a b
* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về
việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Trang 5Đường vuông góc chung cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi
là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b
* Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như
Trang 6Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có
D A
E F
H
D'
C'
B' A'
B A
Trang 7Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính khoảng cách giữa hai
19
a
d DM SC =
II Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 4 (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác
vuông tại A, · ABC =30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
K D
C B
S
Trang 8d C SAB
SD
Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SAB) được tính thông qua thể
tích V S ABC. được tính ở phần trước và diện tích của tma giác SAB.
Ví dụ 5 (Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 13
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là
đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi M là
trung điểm của AI khi đó SM ^AB mà
SH ^AB, từ đó suy ra MH ^AB Ta có:
32
A
Trang 9Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC
hay AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ
P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích
của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P
đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ
O B
D
C A
S
Trang 10Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên 12 12 12 12
Ví dụ 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một
mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác
AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.
a AH
63
a
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên
O
C A
Trang 112 2 2 2
BD =SO = Þ = = Tam giác AHK cân tai A, G là trung
điểm của HK nên AG HK và 2 2 1 1 2
a h
;
2
2 29
OAHK AHK
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ O’xyz sao cho O' A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 2 2
V = éêAH AK AOùú
uuur uuur uuur
Cách 4: SC (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thểAHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thểAHK) có thể
xác định được theo phương SC.
Trang 12* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^AB và
3
.2
a
SH = Mà (SAB) vuông góc với (ABCD)
theo giao tuyến là AB, nên SH ^(ABCD)
vuông góc của H trên SK Ta có HK ^CDmà
Lời giải:
I
K H
D
C B
A S
Trang 13Ta có ·SCH là góc giữa SC và (ABC), suy ra
BA = HA và có thể xác định được hình chiếu của H trên
mp(SAN) (Ta thường chọn chân đường cao) nên ta tính được d B SAN qua( ,( ))
Trang 14Phân tích Do B 1 C // (A 1 BD) nên ta trượt đỉnh B 1 về vị trí thuận lợi C và quy việc
3
O
D
C B
A
D1
C1 B1
A1
Trang 15b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
d A SBC , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G SAC thông qua( ,( ) )
việc tính d E SAC hay ( ,( ) ) d B SAC( ,( ) )
a AH
IV Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh
đó đều là góc vuông
O
F E
D
C B
A S
Trang 162 Tính chất Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA ^OB OB, ^OC
,OC ^OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
Từ (1) và (2) suy ra BC ^OD Trong các tam
giác vuông OAD và OBC ta có
Ví dụ 12 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AA' và BB' Tính khoảng cách giữa B M' và CN
ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì
OACD là tứ diện vuông tại O AMB N' là hình
a h
h =OA +OC +OD = a Û = Vậy
3( ' , )
4
a
d B M CN =
Ví dụ 13 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Gọi M là
trung điểm của DD' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A D'
A
B
D H
Trang 17Gọi N là trung điểm của BB' thì
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình
học
Ví dụ 14.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’ Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và
tia Oz chứa AA’ Khi đó:
E
N M
B
B' A'
C'
D
C D'
A
I P
N M
z
y
x
D' C'
B' A'
D
C B
A
Trang 18( ' , ' ) ' , ' ' ' 1
6' , '
Phân tích: Với một hình lập phương ta
luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp,
khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc
tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
(ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng Với
phần b, ta quy việc tính diện tích thiết
diện về việc tính khoảng cách từ M đến
của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.
B A
Trang 19Từ bảng biến thiên ta có min0;1 ( ) 3
2
f t
é ù = , đạt được khi t = 0 max0;1 f t( ) 2
Bài 1 (Đề thi ĐH khối D – 2013).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, ·BAD =120o, M là trung điểm của cạnh BC và · SMA =45.o
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Bài 2 (Đề thi ĐH khối D – 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
A S
Trang 20b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 4 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =OB
1
OC
= = Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB OA, Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Bài 5 (Đề thi ĐH khối A - 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 6 (Đề thi ĐH khối D - 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 7 (Đề thi ĐH khối D - 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =
a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm
của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC).
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
· 600
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc
với mp(ABCD), SA= a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách
từ G đến mp(SAC).
Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a M là1 1 1
trung điểm của đoạn AA 1 Chứng minh BMB 1 C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B 1 C.
Bài 11 (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài 12 (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp và khoảng
Trang 21Bài 13 (Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh)
Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và SA vuông góc với mặt đáy Biết ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M
là trung điểm của BC.
Bài 14 (Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a,
BC = a, AD = 2a Đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa
mp(SCD) và mp(ABCD) bằng 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD).
Trang 22Phần III
KẾT LUẬN
Chuyên đề đã rút ra được một số phương pháp tính khoảng cách trong hìnhhọc không gian Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giảitoán của học sinh THPT Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nàokiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹnăng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian
Với kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót nên tác giả mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn bèđồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!