Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách.

Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách. Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách. Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách.

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần :" Câu hỏi tập" sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 trang 103 có tập 17c sau: " Cho hình tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc, gọi H hình chiếu điểm O mặt phẳng (ABC) chứng minh rằng: 1 1 = + + " 2 OH OA OB OC Ta chứng minh sau: Theo giả thiết OA ⊥ (OBC ) Trong mp(OBC) từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt A BC I Trong mp(OAI) từ O kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AI H Khi ta có BC ⊥ OI H (theo cách kẻ) BC ⊥ OA ( OA ⊥ (OBC ) ) OI ∩ OA = O nên ( ABC ) ⊥ (OAI ) , Từ suy OH vng góc với C O mặt phẳng (ABC) nên H hình I chiếu vng góc O mặt B phẳng (ABC).Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAI OBC ta có: 1 1 1 1 1 = + 2, = + = + + 2 2 từ suy ra: 2 OH OA OI OI OB OC OH OA OB OC Sau giải xong tốn ta nhận thấy rằng: đoạn OH khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (ABC) Vì ta nghĩ tới việc sử dụng kết tốn việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách đường thẳng chéo II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ *Cơ sở lý luận: Xét toán tổng quát: " Cho điểm O mặt phẳng (P), O không nằm (P) Hãy tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P)." Để giải toán tổng quát ta cần sử dụng tới kiến thức sau: + Khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O tới hình chiếu H O (P) + Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với khoảng cách từ điểm O thuộc a tới mp(P) + Khoảng cách đường thẳng chéo a b khoảng cách đường thẳng a mp(P) chứa b song song với a + Nếu OO' // (P) d(O; (P)) = d(O'; (P)) d (O;( P)) IO = + Nếu OO' ∩ ( P) = I d (O';( P)) IO' + Ta gọi tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đơi tứ diện vuông O * Thực trạng vấn đề Bài tốn tìm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng toán hình học khơng gian Hầu hết đề thi đại học năm gần có trực tiếp hay gián tiếp toán Theo định nghĩa: khoảng cách từ điểm O tới mp(P) khoảng cách từ điểm O tới hình chiếu H O (P) Vì điều cốt yếu tốn tính khoảng cách phải xác định hình chiếu vng góc điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, điều gây nhiều lúng túng cho giáo viên học sinh Nếu sử dụng kết 17c SGK hình học nâng cao lớp 11 ta khơng cần phải xác định hình chiếu H mà tính khoảng cách Vì xem kết 17c cách gián tiếp để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng * Giải pháp tổ chức thực Qua thực tế giảng dạy rút trường hợp sau : Trường hợp Trên mặt phẳng (P) có sẵn điểm A, B, C tứ diện OABC vuông O độ dài đoạn OA, OB, OC biết Cách giải: Khi ta áp dụng trực O tiếp công thức 17c suy kết cần tìm h A P C B Thí dụ (Đề thi đại học khối D năm 2002 câu IV2) Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) AC =AD = (cm), AB = 3(cm); BC = (cm) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Giải: Từ giả thiết ta có BC2 = 52 = 32 +42 D 2 = AB + AC suy tam giác ABC vuông A suy tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD vng góc với đơi có độ dài là: 3(cm); 4(cm); 4(cm) Nếu gọi khoảng cách từ A tới mp(BCD) h áp dụng 17c ta có: C 1 1 1 17 A = + + = + + = h2 AB AC AD 32 42 42 72 B 34 34 suy h = (cm) Vậy d(A; (BCD)) = (cm) 17 17 Trường hợp Trên mặt phẳng (P) có sẵn điểm A, B cho OA ⊥ OB Khi để tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) ta cần xác định thêm điểm C cho OC vng góc với OA OB đồng thời đoạn OA, OB, OC tính độ dài chúng Thí dụ (Đề dự bị – Khối B năm 2004 Câu III3) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SA ⊥ ( ABC ) Tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc ∠ABC = 1200 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) Giải: Trong nửa mặt phẳng (ABC) bờ S đường thẳng AC chứa điểm B kẻ tia Ax vng góc với AC tia Ax cắt BC K Khi d(A; (SBC)) = d(A; (SCK)) = h Ta có tứ diện A.KCS vuông A 1 1 + + nên ta có: = (*) 2 h AK AC AS Tính AC2 A 300 Trong tam giác ABC áp dụng định lý 1200 C cosin ta có: AC = AB + BC − AB.BC cos ABC K x B = (2a)2 + (2a)2 − 2.2a.2a cos1200 = 12a Tính AK2 Ta có góc ∠KAC = 900 ; góc ∠BAC = 300 suy ra: góc ∠KAB = 600 Mà ∠ABK = 1800 − 1200 = 600 Suy tam giác ABK tam giác đều, suy AK = AB = 2a Suy ra: AK2 = 4a2 Theo giả thiết SA = 3a , thay vào (*) ta có: 1 1 9 = 2+ + , từ tính h = a Vậy d(A; (SBC)) = a 2 h 4a 12a 9a 4 Trường hợp O' O Trên hình vẽ có điểm O' cho OO'//(P) có điểm O1 cho O1 đối xứng với điểm O qua điểm I ( với I giao điểm OO1 với mp(P)) Khi khoảng cách từ điểm O tới mp(P) khoảng cách từ I A C ' điểm O tới (P) khoảng P B cách từ O1 tới (P) Từ ta xác định điểm A, B, C mp(P) cho tứ diện O'ABC vuông O' tứ diện O1ABC vuông tại O1 đồng thời độ dài cạnh O'A, O'B, O'C O1 O1A, O1B, O1C tính Thí dụ Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có cạnh a Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(DA'C') Giải: Gọi I = A'D ∩ AD', suy AD' ∩ (DA'C') = I IA = ID', suy ra: d ( A;( DA'C ' )) IA = = ⇒ d ( A;( DA'C ' )) = d ( D';( DA'C ' )) = h ';( DA'C ' )) ID' d (D Lại có ABCDA'B'C'D' hình lập D' C' phương nên tứ diện D'A'DC' có cạnh D'A', D'D, D'C' vng góc với đơi D'A'= D'D A' B' = D'C' = a.Vậy áp dụng kết 17c ta có: I 1 1 1 = + + = + + h2 D' A' D'D D'C '2 a a a C D = a A B a a h= ⇒ d ( A,( DA'C ' )) = 3 Thí dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = BC = 2a, cạnh bên AA' = 2a , gọi M, E trung điểm BC BB' Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AME) Giải: Vì CB'//ME CB' khơng nằm mp(AME) nên CB' song song với mặt phẳng (AME) suy d(C; (AME)) = d(B'; (AME)) Mặt khác BB' ∩ (AME) = E, d ( B;( AME )) IB EB = =1 = , nên d ( B';( AME )) IB' EB' C' A' B' Suy ra: d ( B';( AME )) = d ( B;( AME )) = h C Mặt khác tứ diện BMEA có cạnh BA, BE, BA đơi vng góc với có độ dài là: BA = 2a, BM = a, BE = a Vì áp dụng kết 17c ta có: E A M B 1 1 1 2a = + + = + + = BA2 BE BM (2a )2 (a 2)2 a 4a ⇒ h = h 2a Vậy : d(C; (AME)) = Trường hợp Trên hình vẽ có điểm O' cho Khi IO = k ≠ ( với I = OO' ∩ ( P) ) ' IO d (O;( P)) IO = = k ⇒ d (O,( P)) = k d (O',( P)) Tương tự ta xác định d (O';( P)) IO' điểm A, B, C (P) cho tứ diện O' ABC có cạnh O'A, O'B, O'C đơi vng góc với độ dài chúng tính Từ ta tính O khoảng cách từ O' tới mặt phẳng (P) từ suy khoảng từ O tới mp(P) O' I A P Thí dụ 5(Đề thi đại học khối D năm 2012) C B Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy hình vng, tam giác A'AC vng cân, A'C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB'C' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(BCD') theo a Ở ta áp dụng kết 17c ý sau yêu cầu toán nghĩa C' D' áp dụng tính khoảng cách từ điểm điểm A đến mặt phẳng(BCD') A' B' theo a Cụ thể lời giải sau: O' Giải: Dễ thấy AO ∩ (BCD') = C CA =2 CO d ( A;( BCD' )) CA = =2 d (O;( BCD' )) CO D C O A ⇒ d ( A;( BCD' )) = 2d (O;( BCD' ) Gọi O' = A'C ∩ BD' ⇒ d (O;( BCD' )) = d (O;( BCO' )) B (vì mp(BCD') mp(BCO')) Mặt khác từ giả thiết suy tứ diện OO'CB vuông O nên đặt 1 1 + + (*) d(O; (BCO')) = h thì: h2 = '2 OB OC OO Trong đó: 1 a a a OO' = DD' = = ; OC = AC = ; 2 2 2 2 a a a OB = AB − AO = ( )2 − ( ) = 2 2 Thay giá trị vào (*) suy ra: 1 1 144 a = + + = ⇒h= h ( a ) ( a ) ( a ) 6a 12 2 2 2 a a Vậy suy ra: d ( A;( BCD' )) = 2h = = 12 Thí dụ : (Đề dự bị – khối B – năm 2003) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ ( < ϕ < 900 ) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) Giải: Gọi H tâm đáy ABC S.ABC hình chóp S nên suy SH ⊥ ( ABC ) , H đồng thời trọng tâm tam giác ABC Ta có AH ⊥ ( SBC ) = M MA = , suy ra: Và MH d ( A;( SBC )) MA = =3 A C H ϕ d ( H ;( SBC )) MH M ⇒ d ( A;( SBC )) = 3d ( H ;( SBC )) = 3h E Với d ( H ;( SBC )) = h B Ta tính h cách: nửa mp((BHC) bờ đường thẳng HC chứa điểm M kẻ tia Hx vng góc với HC Hx ∩ BC = E Tứ diện HECS tứ diện vng H, ta có: 1 1 = + + (*) 2 h HS HE HC Theo giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) ϕ nên ∠SMA = ϕ a a ; HM = ⇒ SH = HM tan ϕ = tan ϕ 6 a Lại có HC = , tam giác HCE vng H có góc ∠HCE = 300 suy ra: a a HE = HC.tan 300 = = , thay tất vào (*) suy ra: 3 1 1 12 12 = + + = (1 + )= 2 2 h (a) a tan ϕ a sin ϕ a a ( ) ( tan ϕ )2 3 a sin ϕ a sin ϕ a sin ϕ ⇒h= ⇒ d ( A;(SBC )) = = 2 3 a sin ϕ Vậy khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) 2 Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B BA = BC = a; AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng (SCD) Giải : Ta có: BH ∩ (SCD) = S d ( H ;( SCD)) SH ⇒ = = d ( B;(SCD)) SB SH SB SA2 2a 2 = 2= 2= SB SB 3a ⇒ d ( H ;( SCD)) = d ( B;(SCD)) (*) Kéo dài AB cắt CD I ⇒ AB ∩ (SCD) = I d ( B;( SCD)) IB BC ⇒ = = = I d ( A;( SCD)) IA AD ⇒ d ( B;(SCD)) = d ( A;(SCD)) (**) S H B A D C Từ (*) (**) suy ra: ⇒ d ( H ;( SCD)) = d ( A;( SCD)) Mà tứ diện A.SDC vuông A nên đặt d ( A;( SCD)) = h thì: 1 1 1 2a = + + = + + = ⇒h= 2 2 2 h AC AD (a 2) (a 2) (2a) 4a AS a Vậy khoảng cách từ H tới mp(SCD) bằng: Mặt khác ta thấy rằng: khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với khoảng cách từ điểm O thuộc a tới mp(P).Vì ta áp dụng 17c việc tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ a Hãy tính khoảng cách đường thẳng AD mp(SBC) Giải: Vì AD//BC AD khơng nằm mặt phẳng (SBC) nên AD S song song với mp(SBC) Suy ra: d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC)) Trong nửa mp(ABC) bờ đường thẳng AC chứa điểm B, từ A kẻ tia Ax vng góc với AC; tia Ax cắt BC điểm I Khi A D d(A; (SBC)) = d(A; (SIC)) = h Mà tứ diện ASCI vuông A I nên ta có: B C x 1 1 = + 2+ (*) h AS AI AC Theo giả thiết : SA = a ; Áp dụng định lý cosin tam giác ABC ta có AC = AB + BC − AB.BC cos ABC = a + a − 2a.a cos1200 = 3a ⇔ AC = a , Tam giác AIC vuông A có góc ∠ACI = 300 ⇒ AI = AC tan 300 = a = a 1 1 + 2+ = ⇒h= a Thay vào (*) suy ra: = h (a 6) a (a 3) 6a 2 Vậy khoảng cách đường thẳng AD mp(SBC) a Thí dụ Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a Gọi K trung điểm DD', M trung điểm BB' Tính khoảng cách đường thẳng CK mp(A'DM) Giải: Dễ dàng chứng minh tứ giác A'MCK hình bình hành suy ra: CK// (A'MD) suy ra: d(CK, (A'MD)) = d(K, (A'MD)) Gọi N giao điểm A'D AK; P giao điểm A'M AB Dễ thấy N trọng tâm tam NK ⇒ d ( K ;( A'MD)) = NK = ' = ; giác ADD suy ra: NA d ( A;( A'MD)) NA 1 ⇒ d ( K ;( A'MD)) = d ( A;( A'MD)) = d ( A;( A'DP)) 2 Mà tứ diện A.A'DP vuông A A' nên đặt d(A,(A'DP)) = h thì: 1 1 = + 2+ = 2 h a a (2a) 4a 2a a ⇒h= ⇒ d ( K ;( A'MD)) = 3 A Suy ra: khoảng cách đường thẳng CK mp(A'MD) a D' C' K N' D B' M B C P a Ta lại có: khoảng cách O đường thẳng chéo a b khoảng cách từ đường b thẳng a tới mp(P) chứa b P song song với a, ta áp dụng kết 17c việc tính khoảng cách đường thẳng chéo Thí dụ 10 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cạnh a, gọi M, N trung điểm AA' BB' Tính khoảng cách đường thẳng B'M CN ? Giải: Dễ thấy B'M //AN B'M C' A' không nằm mặt phẳng (ACN) nên B'M song song với mặt B'' phẳng (ACN) suy ra: d(B'M; CN) = d(B'M; (ACN)) = M K = d(B'; (ACN)) N' Mà BB' ∩ ( ACN ) = N NB' = NB C A nên d(B'; (ACN)) = d(B; (ACN)) = 2d(I; (ACN)) = 2d(I; (ACK)) I (Vì mp (ACN) ≡ mp(ACK)) B Lại có tứ diện IACK vng I nên đặt d(I, (ACK)) = h thì: 1 1 = + + (*) h IC IK IA 1 a IK CI 1 a Với IC = BC = a; IA = ; = = ⇒ IK = BN = 2 BN CB 2 1 1 64 a = + + = ⇒h= Thay giá trị vào (*) ta có h ( a ) ( a )2 a 3a ( ) a Suy ra: d(B'M; CN) = 2h = a Vậy khoảng cách đường thẳng B'M CN 2 Thí dụ 11 (Đề thi đại học khối A A1 năm 2012) 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 600.Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách đường thẳng SA BC theo a Ở ta ta áp dụng 17c ý sau yêu cầu toán tức tính khoảng cách đường thẳng SA BC Cụ thể sau: Giải: S Trong nửa mp(ABC) bờ d đường thẳng BC chứa điểm A kẻ đường thẳng d qua A song song với đường thẳng BC Khi BC//mp(d,SA) suy ra: Khoảng cách đường thẳng BC đường C A thẳng SA khoảng cách đường thẳng BC H mp(d, SA) B Mà d(BC; mp(d; SA)) = I d(B; mp(d, SA)) suy ra: d(BC; SA) = d(B; mp(d, SA)) AB d ( B; mp(SA, d )) AB Lại có: BH ∩ mp(d ; SA) = A ; AH = ⇒ d ( H ; mp(SA, d )) = AH = d ( B; mp( SA, d )) = d ( H ; mp(SA, d )) Trong mặt phẳng (ABC) qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng d I Khi tứ diện HIAS vng H Đặt d(H, mp(SA,d)) = d(H, (IAS)) = h ta có: 1 1 = + (*) + 2 h HA HI HS Dễ dàng tính a a 21 2a tan 600 = ; HA = a; HI = HA cot 300 = 3 3 Thay giá trị vào (*) ta có: 1 1 144 a 42 = + + = ⇒h= 2 2a 2 42a h 12 a 21 ( ) (3) ( ) 3 3 a 42 a 42 Vậy d ( B; mp( SA, d )) = d ( H ; mp(SA, d )) = = 2 12 SH = HC tan 600 = 11 Kết luận: khoảng cách hai đường thẳng SA BC a 42 *Kiểm nghiệm: Trong tiết học lớp 11A10 tuần học thứ 32 năm học 2012 - 2013 đưa tập: ý câu IV đề thi đại học khối D năm 2012(thí dụ sáng kiến ), ý câu IV đề thi đại học khối A, A1 năm 2012 ( thí dụ 11 sáng kiến).Trong tuần 33 tiếp tục cho em làm áp dụng kết 17c So sánh kết trước sau áp dụng sáng kiến thấy em bớt lúng túng việc tính khoảng cách, số lượng em làm hai lớp tăng lên rõ rệt Cụ thể sau: Trước áp dụng sáng kiến : Lớp 11A10 Sỹ số 45 Sau áp dụng sáng kiến Lớp 11A10 Sỹ số số lượng em làm 37 số lượng em làm số lượng em làm số lượng em không làm số lượng em làm số lượng em không làm 45 29 15 Áp dụng kết 17c ta giải tập tương tự sau: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SO ⊥ mp( ABCD) AC = 4, BD = 2, SO = a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) b) Tính khoảng cách hai dường thẳng AB SD Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A Biết AA' = 1, BC = 2, AB = Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A'BC) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a Gọi M MA = Tính khoảng cách từ điểm M tới điểm chia đoạn AD theo tỷ số: MD mp(AB'C) 12 Bài Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a; AC = BD = b; AB = CD = c Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(BCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a a) Gọi G trọng tâm tam giác SAB tính khoảng cách từ điểm G tới mp(SBD) b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng SM BN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a SA vng góc với đáy, với SA = a Tính khoảng cách đường thẳng AD mp(SBC) Bài Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a Gọi M, N, P trung điểm AA', AD CC' Gọi O giao điểm AC BD Hãy tính khoảng cách d(B; (MNP)) d(O; (MNP)) Bài Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a Gọi Klà trung điểm DD' Tính khoảng cách đường thẳng CK A'D III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Có thể nói kết tập 17c SGK hình học nâng cao lớp 11 trang 103 cách hữu hiệu để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng mà không cần phải xác định hình chiếu từ điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, nhiên giáo viên cần lưu ý với em : thi để sử dụng kết tốn trước hết phải chứng minh hầu hết tốn tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng áp dụng kết toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Hà Sỹ Tiến 13 14 ... hai lớp tăng lên rõ rệt Cụ thể sau: Trước áp dụng sáng kiến : Lớp 11A10 Sỹ số 45 Sau áp dụng sáng kiến Lớp 11A10 Sỹ số số lượng em làm 37 số lượng em làm số lượng em làm số lượng em không làm số. .. SH = HC tan 600 = 11 Kết luận: khoảng cách hai đường thẳng SA BC a 42 *Kiểm nghiệm: Trong tiết học lớp 11A10 tuần học thứ 32 năm học 2012 - 2013 đưa tập: ý câu IV đề thi đại học khối D năm 2012(thí... tính khoảng cách phải xác định hình chiếu vng góc điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, điều gây nhiều lúng túng cho giáo viên học sinh Nếu sử dụng kết 17c SGK hình học nâng cao lớp 11 ta