Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .4 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .4 2.3 Giải pháp đề tài 2.4 Hiệu đề tài 11 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Nâng cao, để giảm tải, phần giới hạn dãy số, sách giáo khoa đưa vào Bài đọc thêm (trang 152 trang 154) định lí kẹp giới hạn dãy số định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn Do giới thiệu phần đọc thêm nên kết định lí khơng sử dụng cách xứng đáng với tầm quan trọng việc thực hành giải tốn tìm giới hạn dãy số Ở năm học trước, trình giảng dạy học sinh khá, giỏi khối lớp 11, tơi nhận thấy em ln có nhu cầu tìm hiểu giải tốn giới hạn dãy số mức độ khó Đặc biệt, năm gần Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh cho học sinh lớp 11 đề thi xuất toán dãy số mức độ (mức độ Vận dụng) với nội dung xoay quanh việc tìm số hạng tổng quát dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn dãy số Để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh công tác dạy học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, tơi tìm tòi, nghiên cứu đưa vào số dạng tập nâng cao mà để giải tập cần phải sử dụng định lí cách linh hoạt Qua thực tế áp dụng số năm giảng dạy đặc biệt năm học 2018-2019 dạy bồi dưỡng đội tuyển Học sinh giỏi cấp tỉnh nhận thấy đạt số kết tích cực việc kích thích hứng thú học tập học sinh, giúp em phát triển khả tư sáng tạo rèn luyện kỹ giải tốn mình, giúp em tự tin gặp toán dãy số Và gần đề thi HSG tỉnh năm học 2018-2019 xuất câu hỏi dãy số (câu III.2) phải áp dụng kết định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số Do ôn tập kĩ lưỡng nên học sinh làm tốt toán Dựa kết ban đầu đạt động viên, giúp đỡ đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Hậu Lộc mạnh dạn chọn viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn để giải tốn tìm giới hạn dãy số” làm sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2018-2019 với hy vọng đồng nghiệp ngồi đơn vị góp ý, nhận xét đánh giá để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Các vấn đề trình bày đề tài nhằm giúp cho em học sinh lớp 11, đặc biệt học sinh đội tuyển Tốn có nhìn tồn diện cách tiếp cận toán dãy số, mức độ kĩ lưỡng mà sách giáo khoa khơng trình bày, đồng thời hướng dẫn em thực hành giải số dạng tập dãy số qua giúp em hình thành số lực kĩ sau: - Năng lực tư duy, kết nối kiến thức; lực đánh giá, tính tốn - Kĩ vận dụng kiến thức đánh giá bất đẳng thức để tính bị chặn dãy số - Kĩ chứng minh quy nạp toán học để dãy số tăng giảm - Kĩ sử dụng đánh giá làm trội để áp dụng định lí kẹp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số dạng tập dãy số như: tìm giới hạn dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn, tìm điều kiện để dãy số có giới hạn dựa việc vận dụng định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn làm sở khoa học Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Đại số Giải tích nâng cao lớp 11 trung học phổ thông dãy số giới hạn dãy số Tuy nhiên toán dãy số mà phạm vi tốn đưa việc chứng minh dãy số đơn điệu bị chặn để áp dụng định lí Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 11B1, 11B2 học sinh đội tuyển HSG mơn Tốn trường THPT Hậu Lộc 1.4 Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chủ yếu sử dụng đề tài là: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: dựa kiến thức dãy số, định lí kẹp, định lí điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: sở tìm tịi đề minh họa thi HSG tỉnh trường THPT gửi Sở GD&ĐT, chọn lọc, xây dựng hệ thống ví dụ cụ thể với cách giải cụ thể, trực tiếp nhằm hướng dẫn cho học sinh bước làm tập dãy số nhờ việc sử dụng định lí - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Trong buổi học tơi với học sinh tìm tịi phát vấn đề cho tự nhiên để nêu bật tính ứng dụng định lí - Đề tài thực hình thức tiết dạy với phương pháp dạy học tích cực NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong đề tài sử dụng kết sau nêu sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) Dãy số (un ) gọi dãy số tăng với n ta có: un  un 1 Dãy số (un ) gọi dãy số giảm với n ta có: un  un1 Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho: n ��* , un �M Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho: n ��* , un �m Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa tồn số M số m cho: n ��* , m �un �M Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số  un  ,    wn  Nếu un �vn �wn với n lim un  lim wn  L lim  L Định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn: a Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Một số định lí giới hạn dãy số Định lí Giả sử lim un  L Khi đó: a lim un  L lim un  L b Nếu un �0, n L �0 lim un  L Định lí Giả sử lim un  L, lim  M c số Khi lim  un    L  M , lim  u n    L  M lim  un   L.M , lim  cun   cL u L lim n  , (M �0) M Định lí 3: Nếu lim un  � lim  un 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế Sách giáo khoa ban phần kiến thức dãy số đưa số ví dụ đơn giản tìm giới hạn dãy số, mà chủ yếu dãy số cho công thức số hạng tổng quát Tuy nhiên đề thi học sinh giỏi lớp 11 ma trận đề học sinh giỏi lớp 11 Sở GD&ĐT Thanh Hóa cơng bố câu dãy số câu mức độ (mức Vận dụng), khó Để làm câu hỏi dùng kiến thức trình bày học ví dụ minh họa Sách giáo khoa Sau số câu dãy số đề thi HSG lớp 11 mà học sinh thường gặp: a Về dạng tốn tìm giới hạn dãy số phải dùng định lí kẹp: Câu 1.(Câu III.2 đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019) u1  � � Cho dãy số  un  xác định bởi: � n * u  u  3.4 ,  n � �   n  n � 2n  3n  Tìm số hạng tổng qt un tính lim un Nhận xét: học sinh thường tỏ “ngại” trước dạng tốn mà dãy số khơng cho công thức lúng túng phải đâu trước dạng tập b Về dạng tốn tìm giới hạn dãy số phải dùng định lí điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn Câu 2: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Hậu Lộc – năm 2019) u1  b � Cho dãy số (un ) xác định : � un 1  un2  (1  2a )un  a , n �1 � Với giá trị a b dãy số cho có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Nhận xét: không dãy số cho biểu thức quy nạp mà biểu thức chứa tham số, thứ mà học sinh ngại va chạm trơng chúng “có vẻ” tổng qt Từ ví dụ thấy rằng: dựa vào kiến thức Sách giáo khoa khơng thể giải Tuy nhiên sau áp dụng định lí nêu vào việc tìm lời giải học sinh thấy dạng tập khó khăn, em tự thực tương tự 2.3 Giải pháp đề tài Để hướng dẫn học sinh giải dạng tập dạng với học sinh thực qua thao tác tư sau: Hoạt động 1: Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số: Ví dụ (Đề chọn đội tuyển HSG lớp 11 trường THPT Nông Cống 1) u1  2018 � � Cho dãy số  un  xác định � n  4n  u  u , n � n �n 1 2n  n � Hãy lập cơng thức tính un theo n tìm lim un * Lập cơng thức tìm số hạng tổng quát dãy số Câu hỏi 1: Từ cơng thức cho em có nhận xét gì? Trả lời: chia hai vế cơng thức cho tử số vế phải dạng tương tự hai vế ( n  1)  2( n  1) un1 un un1  u �  n n  2n ( n  1)  2( n  1) n2  n Câu hỏi 2: Em dùng kiến thức cấp số nhân để biểu diễn kết trên? Trả lời: un , n �� , từ kết vn1  n  2n u 2018 �   cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu v1   3 2 2018 4036 n  2n , n �� �  n1 � un  n 3 * Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số: Câu hỏi : Hãy nhận định xem dãy số tìm dần đến số nào? Trả lời: Thay số giá trị n 1, 10, 100, … nhận thấy dãy số tiến dần số Câu hỏi 4: Hãy sử dụng định lí kẹp để dãy số dần đến 0? Trả lời: Sử dụng đánh giá khai triển nhị thức Niu-tơn: n(n  1)(n  2) n n 3 Ta có:    1  Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  Cn  � (khi n dần đến ) n  2n � un  8072 n(n  1)(n  2) Lại có:  � n  2n � n n lim � 8072  8072.lim 0 � n(n  1)(n  2) � � 1� � 2� � 1 � 1 � � � � n� � n� Vậy theo kết định lí kẹp ta lim un  Nhận xét: Qua hoạt động trên, ta thấy cách sử dụng kiến thức học như: cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội đặc biệt sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số *Một số tập luyện tập Bài (Đề Kiểm tra đội tuyển THPT Hàm Rồng – lần 4) u1  � �  n  1 un1 2n Cho dãy số  un  xác định � Tìm cơng un   � n  n2  n  1  � thức số hạng tổng quát un theo n tính lim  n un  Đặt  Bài (Đề giao lưu đội tuyển HSG huyện Ngọc Lặc – lần 2) u1  � Cho dãy số  un  xác định � un1  2un  3n  3, n �1 � �u � Tìm: lim � nn � �2 � Hoạt động 2: Sử dụng định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn Ví dụ (Đề khảo sát đội tuyển THPT Hậu Lộc – lần 3) u1  � � Cho dãy số (un ) xác định sau: � Tìm lim un u   ,  n � �n1 un � * Chứng minh dãy số (un ) cho dãy đơn điệu (tăng giảm) - Câu hỏi 1: Nhận xét xem dãy số (un ) dãy tăng hay giảm? Trả lời: Thay vài giá trị n  1,2,3, vào dãy số ta có u2  , u3  , u4  , nhận xét trực quan thấy dãy số giảm - Câu hỏi 2: Hãy chứng minh cách tổng quát dãy số giảm với việc chứng minh: với n ta có: un  un1 Trả lời: - Xét hiệu : (un2  2un  1) (un  1) un1  un    un    � un1  un , n ��* , hay un un un dãy (un ) dãy giảm * Chứng minh dãy số (un ) bị chặn Câu hỏi : Một cách trực quan em nhận xét xem số hạng dãy số (un ) lớn số thực nào? Trả lời : Bằng cách thay số giá trị cụ thể n nhận thấy số hạng dãy số (un ) lớn * Ta chứng minh un  1, n ��* phương pháp quy nạp toán học - Với n  , ta có u1   - Giả sử uk  (với k �1 ), ta chứng minh uk 1  1 Thật theo giả thiết quy nạp ta có : uk 1      uk Vậy un  1, n �N * tức dãy (un ) bị chặn Vậy dãy (un ) dãy giảm bị chặn nên theo định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn ta thấy dãy số có giới hạn hữu hạn * Tìm giới hạn dãy số (un ) Giáo viên hướng dẫn : Vì dãy số (un ) tồn giới hạn hữu hạn nên: Giả sử lim un  a từ un1   , qua giới hạn hai vế suy : un � 1� lim un1  lim �  �� a   � a  2a   � a  a � un � Vậy lim un  Nhận xét : qua hoạt động trên, thấy rõ tác dụng việc vận dụng định lí điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn dãy số Tuy nhiên ví dụ em tìm chứng minh quy n 1 , n ��* nạp công thức (un ) un  n - Sau thực ví dụ 1.1, giúp học sinh bước đầu hiểu cách sử dụng định lí cách trực tiếp, tơi hướng dẫn học sinh cách tiếp cận gián tiếp qua ví dụ sau : Ví dụ 2.1: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Hà Trung – Bỉm Sơn lần 2) u1  � � Cho dãy số (un ) xác định sau: � un2 u  u  , n ��* �n1 n 2018 � �u u u � Tìm lim �    n � un1 � �u2 u3 Giải Ta có: �1 un un2 2018(un1  un ) �    2018 �  � un1 un1.un un1un u u n n  � � �1 � � u1 u2 u �    n  2018 �  1 � 2018 � � u2 u3 un1 �u1 un1 � � un1 � Từ giả thiết dễ thấy un1  un �1, n �N * hay dãy (un ) dãy tăng Giả sử dãy (un ) bị chặn có giới hạn hữu hạn a, suy ra: � un2 � a2 a  lim un1  lim � un  � a  , vô lí un �1, n ��* � a  2018 � 2018 � Vậy dãy (un ) không bị chặn trên, hay lim un1  �, đó: � �u u � � u � lim �    n � 2018 � 1 � 2018 u u u u n 1 � �2 � n1 � Nhận xét: ta vận dụng linh hoạt định lí Nếu máy móc chứng minh dãy số bị chặn ta đến kết Kiểu làm cịn áp dụng ví dụ - Gọi học sinh lên bảng làm ví dụ tương tự ví dụ Ví dụ 2.2: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Như Thanh – Nông Cống) u1  � � Cho dãy số (un ) xác định sau: � un2  2018un u  ,  n � � * �n1 2019 � n ui Ta lập dãy số (Sn) với Sn  � Tìm limSn i 1 ui 1  Kết quả: limSn = 2019 * Một số tập luyện tập : Bài Cho dãy số (un ) xác định sau: u1  � un1 � u2  Đặt a  lim Tính a � un � un  un  2un 1 , n ��* � Bài Tìm giới hạn dãy số ( xn ) xác định bởi: �x1  x2  � � 2 2 * x  x  sin x ,  n � � n  n  n � 5 � u1  � � Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: � u  u  ,  n � � * �n1 n 2n � a/ Chứng minh rằng: un1  un  n1 , n ��* b/ Từ suy dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hoạt động 3: Ví dụ 3: (Đề thi Olympic 30/4) u1  b � Cho dãy số (un ) xác định : � un 1  un2  (1  2a)un  a , n �1 � Với giá trị a b dãy số cho có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn * Chứng minh dãy số (un ) dãy tăng Câu hỏi : Em nhận xét xem dãy số cho tăng hay giảm ? Trả lời: Nhận thấy: un1  (un  a )  un �un , n �1 � (un ) dãy tăng * Tìm điều kiện tham số để dãy số có giới hạn Câu hỏi 2: Em nhận xét dãy số cho có giới hạn hữu hạn? Trả lời: - Giả sử lim un  k , qua giới hạn hai vế đẳng thức un1  (un  a )  un �un , 2 ta có : k  k  (1  2a)k  a � k  (k  a )  k � k  a Hay dãy số cho có giới hạn giới hạn a (là tham số ban đầu) Câu hỏi 3: Khi tìm mối quan hệ hai tham số a b ? Giáo viên hướng dẫn: Vì dãy (un ) dãy tăng có giới hạn a nên un �a, n �1 � un2  (1  2a)un  a  un 1 �a, n �1 � (un  a )  (un  a ) �0, n �1 � 1 �un  a �0, n �1 � a  �un �a, n �1 � a  �u1 �a � a  �b �a Câu hỏi 4: Kết có ta giả sử dãy số có giới hạn a , điều ngược lại có khơng? Trả lời: (hướng dẫn cho học sinh chứng minh phép quy nạp toán học) - Ngược lại, giả sử : a  �b �a quy nạp ta chứng minh un �a, n �1 Vậy dãy (un ) có giới hạn a  �b �a Khi lim un  a Nhận xét: Trong ví dụ vận dụng định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn theo kiểu “điều kiện cần đủ” Các em cần lưu ý phải làm đầy đủ hai điều kiện Đồng thời ví dụ sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp Toán học, phương pháp thường dùng làm tập dãy số * Một số tập luyện tập: u1  a � � 2un  Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: � u  u  ln ,  n � n  n � un  � Tuỳ theo a xét tính có giới hạn dãy số (un ) Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1  a , xn1  3xn  xn  xn Tìm tất giá trị a để dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn Hoạt động 4: Củng cố học - Giáo viên: Qua học hôm em nắm được: + Về lý thuyết: Nhớ định nghĩa dãy số, định lí giới hạn dãy số + Về thực hành: Vận dụng kết định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn để: - Tìm giới hạn dãy số thông qua đánh giá kẹp tìm giới hạn dãy số trung gian - Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn đó; - Tìm điều kiện tham số để dãy số có giới hạn; - Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp - Sử dụng kiến thức cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn + Về nhà làm tập luyện tập giao 2.4 Hiệu đề tài - Sau đề tài thực lớp kiểm tra nhận thấy số học sinh tiếp thu vận dụng tăng lên lớn Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều vận dụng Lớp Số học sinh Tỉ lệ học sinh hiểu bài, hứng thú học vận dụng Trước thực đề tài Sau thực đề tài 10 11B1 11B2 43 42 20% 15% 75% 70% - Đặc biệt, năm học 2018-2019 dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG lớp 11 trường, đầu tiếp xúc với toán dạng em ngại, sau áp dụng dạy thời gian tiết kiểm tra lại tập em vào buổi học thấy em thực đầy đủ xác tập giao đề ôn tập có dạng em giải Kết đáng mừng đề thi thức em làm xác câu III.2 (kết chung: giải Nhì giải Ba) - Đối với cá nhân tơi, sau tìm tịi, soạn thực học với học sinh tơi thấy đạt số điểm tốt tư trình bày tăng thêm kĩ soạn bài, dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm Bên cạnh cịn giúp tơi có thêm kinh nghiệm, kỹ giải tập dãy số - Đối với đồng nghiệp, sau dự giờ tiết dạy nghiên cứu đề tài có nhận xét nội dung đề tài phương pháp dạy học chủ động, đồng thời có đồng nghiệp áp dụng phương pháp đề tài vào dạy đạt kết khả quan KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết luận: Như đặt vấn đề, đối tượng học sinh học sinh giỏi nên mức độ tập tương đối nâng cao, số chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi Mặc dù thực tế giảng dạy kiểm chứng thấy học sinh hứng thú tiếp thu tốt tập này, qua góp phần phát triển tư Toán học sinh Với khối lượng kiến thức vừa phải tơi nghĩ định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn sử dụng 11 cách có hiệu quả, bên cạnh cịn giúp học sinh vừa ơn tập vừa nắm bắt thêm kiến thức chứng minh quy nạp Toán học, cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội - Kiến nghị: Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên q trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết đồng thời khn khổ viết có hạn kinh nghiệm thân cịn nên chưa đạt kết mong muốn làm bật hữu ích định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn tốn tìm giới hạn dãy số Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo để kinh nghiệm tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGUYỄN TRUNG KIÊN TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục Đào tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 Sách Bài tập Đại số Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục Đào tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 12 Một số toán dãy số đề thi Olympic 30 – 4, Võ Giang Giai – Nguyễn Ngọc Thu NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Các đề thi Học sinh giỏi tỉnh mơn Tốn Các đề thi chọn đội tuyển HSG trường THPT tỉnh Các đề thi Giao lưu đội tuyển HSG trường THPT tỉnh 13 ... tìm giới hạn dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn, tìm điều kiện để dãy số có giới hạn dựa việc vận dụng định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn làm sở khoa học. .. được: + Về lý thuyết: Nhớ định nghĩa dãy số, định lí giới hạn dãy số + Về thực hành: Vận dụng kết định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn để: - Tìm giới hạn dãy số thơng... đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng định lí kẹp định lí điều kiện để dãy số tăng giảm có giới hạn hữu hạn để giải tốn tìm giới hạn dãy số? ?? làm sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2018-2019