Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh học định lí thông qua khai thác định lí Cosin trong tam giác

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu Đổi phương pháp giáo dục Bộ giáo dục vấn đề nhà trường phổ thơng, người Thầy Vì trình dạy học người thầy cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập, nhằm đưa đến kết cao dạy Muốn đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian dạy, tơi ln nghiên cứu tìm tịi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, đặc biệt việc dạy học định lý Đó tơi ln đưa kiến thức cách tự nhiên, cách dẫn dắt bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn em thấy ý nghĩa , ứng dụng định lý; sau đưa hệ thống tập áp dụng tương thích Với phương pháp truyền thụ tơi thấy rằng: Trước hết người dạy luôn thoải mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua tiết dạy thấy đạt tốt mục đích mình; học sinh tiếp thu kiến thức cách say mê, hứng thú; kiến thức em nhớ lâu vận dụng tốt trình giải khai thác tập Với lý tơi xin trình bày ví dụ điển hình để đồng nghiệp tham khảo góp ý II Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Thực trạng Trong thời dạy học thường dự đồng nghiệp, dạy định lý cho học sinh, nhiều giáo viên thường cho học sinh trực tiếp đọc định lý sách giáo khoa đồng thời thầy chứng minh Cách dạy làm cho học trò thụ động trinh tiếp thu nội dung định lý, ứng dụng khai thác định lý trình học tập Trao đổi với đồng nghiệp, thường đưa ý kiến chung là: Hiện nhiều học sinh tiếp cận vấn đề toán học thường bỡ ngỡ, ngộ nhận tiếp cân định lý, không thấy trường hợp đặc biệt.Việc khai thác ứng dụng định lý giải tập lúng túng.Với tình hình để giúp học sinh nhìn nhận, nắm bắt nội dung định lý nhiều góc độ khác nhau, người Thầy cần tạo cho học sinh có thói quen xem xét tốn nhiều góc độ, khai thác mối liên hệ yếu tố đặc trưng để tìm tịi lời giải Từ hình thành cho học sinh khả tư duy, óc vận dụng sáng tạo Việc trải nghiệm qua trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng, phân tích q trình tìm tịi lời giải Kết quả, hiệu thực trạng Với thực trạng ra, tiếp cận định lý, khai thác, vận dụng định lý vào giải tập học sinh cịn lúng túng Thơng thường học sinh cho lời giải tốn có cấu trúc toán sách giáo khoa Nếu gặp tốn khó học sinh khơng định hướng cách giải.Mặt khác tiếp cận định lý học sinh không thấy trường đặc biệt, khơng tổng qt hóa mở rơng khơng biết vận dụng giải tốn Từ đó, hiệu giải tốn bị hạn chế nhiều Trước thực trạng học sinh tơi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh cách tiếp cận định lý Biết phân tích trường hợp đặc biêt, biết nhìn nhận để phân tích mối quan hệ yếu tố đặc trưng nội dung định lý Qua khai tác định lý nhiều góc độ khác để vận dụng vào giải tốn Trong sáng kiến kinh nghiêm tơi phương pháp tiếp cận định lý côsin tam giác khai thác định lý cách có hiệu Tùy thuộc toán cụ thể học sinh vận dung cách linh hoạt định lý vào giải toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn hình học phẳng tương ứng II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Nội dung triển khai thông qua buổi học (buổi học tiết): - Tiết thứ nhất: Tổ chức thực hình thành Định lí cosin tam giác - Tiết thứ hai: Hướng dẫn học sinh khai thác định lí cosin - Tiết thứ ba, tư: Học sinh thảo luận giải toán 1.Tiết 1: Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý côsin tam giác Ta biết tam giác hoàn toàn xác định biết: cạnh, hai cạnh góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề; có nghĩa biết yếu tố góc cạnh góc cạnh lại xác định nào? Rõ ràng góc cạnh cịn lại góc cạnh biết có mối liên hệ! Các mối liên hệ người ta gọi hệ thức lượng giác tam giác Một hệ thức Định lý côsin tam giác Trong mặt phẳng cho tam giác ABC · Kí hiệu : AB= c, AC= b, BC= a; BAC = A; · ABC = B; · ACB = C (Kí hiệu dung cho viết) + Nếu tam giác ABC vuông A, Tìm mối liên hệ cạnh? AB2 + AC = BC ⇔ c +b = a uuu r (Định lý Pitago) uuuu uuu r r Biến đổi biểu thức véc tơ?: AB + AC = BC Yêu cầu chứng minh biểu thức AB2 + AC = BC ⇔ c +b = a theo véc tơ uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r r uuu uuu r r BC = AC − AB = AB + AC − AB AC = AB + AC ( V ì AB AC =0) ( ) + Nếu tam giác ABC khơng vng A liên hệ cạnh góc nào? uuu r uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu r r BC = BC = AC − AB = AB + AC − AB AC = AB + AC − AB.AC CosA ( ) ⇔ a2 = b2 + c2 – 2.bc.cosA Tương tự tìm: b2, c2 Vậy ta có định lý sau gọi định lý côsin tam giác: Với tam giác ABC ln có : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC * Phân tích ý nghĩa, tác dụng định lý Trực tiếp định lý cho ta thấy xác định cạnh tam giác biết hai cạnh khác góc xen CosA = b2 + c2 − a2 2bc CosB = a2 + c2 − b2 2ac CosC = Hệ quả: a + b2 − c2 2ab Cho ta tìm góc tam giác biết cạnh Cho phép ta xét góc tam giác nhọn, tù hay vng thông qua yếu tố cạnh tam giác A nhọn ⇔ b2 + c2 > a2 A tù Cụ thể: ⇔ b2 + c2 < a2 A vuông ⇔ b + c = a Từ đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thông qua yếu tố cạnh b + c > a  2 Tam giác ABC có góc nhọn ⇔ c + a > b a + b > c  Tam giác ABC có góc tù b + c < a  ⇔ c + a < b a + b2 < c2  b + c = a  2 Tam giác ABC có góc vng ⇔ c + a = b a + b2 = c2  Viết công thức dạng: a = b + c − 2bcSinA.cot A ⇔ a = b + c − 4SVABC cot A ⇔ Co t A = Tương tự: Co t B = 2 b2 + c2 − a 4S a2 + c2 − b2 a + b2 − c ; Co t C = 4S 4S Đây định lý “côsin suy rộng tam giác ” cho ta mối liên hệ hệ thức lượng giác góc tam giác với cạnh diện tích Lớp tốn áp dụng rộng Ngồi sử dụng định lý, hệ kết hợp kiến thức khác giải toán hệ thức lượng tam giác, nhận dạng tam giác… Từ ý nghĩa, tác dụng định lý ta đề xuất tốn liên quan tương thích sau: Tiết 2: Hướng dẫn học sinh khai thác định lí cosin tam giác Bài Cho tam giác ABC thỏa mãn: b = 5; c = 7; cosA = 3/5 Tính cạnh a giá trị biểu thức:E = 3cosB+2cosC Hướng dẫn Ta có: a = b + c − 2bc.cos A = 25+ 49- 2.5.7 CosB = = 32 ⇒ a = 32 = a + c − b 32 + 49 − 25 = = 2ac 56 CosC = a + b − c 32 + 25 − 49 = = 2ab 10 40 Khi đó: E = 3cosB+2cosC = 2 + = 10 Nhận xét: Bài toán hướng dẫn học sinh cách vận dụng tìm góc tam giác thơng qua định lí cosin tam giác, Bài Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= Tìm góc có số đo lớn Hướng dẫn Trong tam giác góc lớn ứng với cosin nhỏ nhất, ta so sánh cosin để tìm góc lớn tam giác Đáp số: Góc số đo lớn góc C CosC = a + b − c + 16 − 36 −11 = = 2ab 24 24 Nhận xét: Bài toán hướng dẫn học sinh cách vận dụng hệ định lí cosin tam giác, qua so sánh mối quan hệ góc cosin góc tam giác Bài Nhận dạng tam giác ABC biết cạnh a, b, c thõa mãn: a 2, b2, c2 độ dài cạnh tam giác khác Hướng dẫn a + b > c  2 Vì a2, b2, c2 độ dài cạnh tam giác nên: b + c > a từ suy tam giác ABC a + c > b2  tam giác nhọn Nhận xét: Trong toán Hướng dẫn học sinh sử dụng hệ ( phân tích ý nghĩa ) định lý cosin a = x + x +  Bài Giả sử: b = x + (với x >1) CMR a, b, c cạnh tam giác.Tìm góc A c = x −  Hướng dẫn a + b > c  Dễ dàng xét được: a + c > b b + c > a  với x> Suy a, b, c cạnh tam giác Ta có: a = x + x + x + x + ; b = x +4 x + , c = x − x + , bc = x + x − x − Suy ra: a = b + c + bc Lại có: a = b + c − 2.bcCosA Vậy: CosA = −1 ⇒ A = 120o Nhận xét: Từ giả thiết toán hướng dẫn cho học sinh đưa a,b,c thoảmãn BĐT tam giác em kết luận Từ biến đổi để sử dụng định lý cosin việc tìm góc A Tiết 3,4: Học sinh thảo luận, giải toán Bài tập Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3 a) Chứng minh ABC tam giác nhọn b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: a n+ + b n + = c n+ , n ∈ N CMR tam giác ABC có góc nhọn Hướng dẫn a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a cạnh lớn ⇒ A góc lớn Lại có: 2 a3= b3+ c3 ⇔ a = b b 2c + c < b + c ⇔ b + c − a > suy A nhọn Vậy tam giác ABC a a tam giác nhọn b) Ta có: a n+ + b n+ = c n+ nên a cạnh lớn ⇒ A góc lớn nhất.Lại có: n a n+2 +b n+2 =c n+2 n b c ⇔ a = b  ÷ + c  ÷ < b2 + c ⇔ b + c − a > suy A nhọn a a Vậy tam giác ABC tam giác nhọn Nhận xét :Trong toán học sinh dễ biết tam giác nhận định : đối diện với góc lơn cạnh lớn ( Mối quan hệ yếu tố cạnh, góc tam giác) Khắc sâu cho học sinh biết cách nhận dạng tam giác Bài tập Chứng minh với tam giác ABC ta có: a) a = c cosB+ b.cosC b) bc cosA+ ab.cosC + ac.cosB = a + b2 + c2 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b- a) (c+ a- b) Hướng dẫn a) Thế: CosB = VP= c a2 + c2 − b2 a + b2 − c2 , CosC = 2ac 2ab vào vế phải ta có: a + c − b2 a + b2 − c2 = + b 2ac 2ab a + c − b2 a + b − c a + c − b + a + b − c + = = a = VT 2a 2a 2a b) Để ý rằng: 2bc.cosA = b + c2 − a , 2ab.cosC = a + b − c Thế vào VT ta đccm c) Chứng minh: 2abc ( CosA + cosB ) = (a + b) (c+ b − a) (c+ a − b) Tương tự thế: 2bc.cosA = b + c − a , 2ac.cosB = a + c − b vào VT ta có: VT = a(b + c − a ) + b(a + c − b ) = ab ( a + b ) + c ( a + b ) − (a + b ) = ( a + b ) (ab + c − a + ab − b ) = ( a + b ) [c − ( a − b ) ] = VP (đccm) Nhận xét: Chủ yếu toán rèn luyện cho học sinh biết vận dung định lý vào giải tập, rèn luyện kỹ biến đổi hệ thức Bài tập Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR: CotA + CotB + CotC = R ( a + b2 + c2 ) abc Hướng dẫn Áp dụng trực tiếp công thức côsin suy rộng: Co t A = VT= b2 + c2 − a a2 + c2 − b2 a + b2 − c , Co t B = , Co t C = vào vế trái suy ra: 4S 4S 4S A b2 + c2 − a + a + c − b2 + a + b2 − c a + b2 + c = 4S 4S a.b.c a + b2 + c Lại có: S = VT= R = VP (ĐCCM) 4R abc C S1 S2 B M Nhận xét: Mục đích đưa toán bước đầu hướng dẫn học sinh vận dụng định lý cosin suy rộng để giải số toán dễ Bài tập CMR: a − ab + b + b − bc + c ≥ a + ac + c với a, b, c >0 Hướng dẫn · · Từ điểm O lấy OA= a, OB= b, OC= c cho: AOB = BOC = 60o Áp dụng định lý côsin cho tam giác OAB, OBC, OCA; ta có: AB = OA2 + OB − 2OA.OB.Cos · AOB = a + b − ab AC = OA2 + OC − 2OA.OC.Cos · AOC = a + b + ab · BC = OB + OC − 2OB.OC.Cos BOC = b + c − bc Lại có: AB + BC ≥ AC ⇔ a − ab + b + b − bc + c ≥ a + ac + c Dấu xảy ⇔ A, B, C thẳng hàng ⇔ a= c= 2b Nhận xét:Bài tốn hồn tồn rèn luyện cho học sinh biết vận dụng định lý cosin bất đẳng thức tam giác để giải Bài tập Cho tam giác ABC, M trung điểm BC · CMR: CotC − CotB = 2.Cot BMA Hướng dẫn Ta có: CotB = a + c −b a +b −c b −c , CotC = ⇒CotC −CotB = (1) 4S 4S 2S a2 a2 + AM − c + AM − b 4 · · · S = S1 = S , Cot BMA = , CotCMA = −Cot BMA = S1 4S b2 − c b2 − c2 · ⇒ 2.Cot BMA = = S1 2S (2) Từ (1), (2) suy đccm Nhận xét:Trong toán này, lần hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng định lý cosin suy rộng để giải toán Bài tập Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác cho: · · · MAB = MBC = MCA = α CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot α Hướng dẫn · · · Giả sử tồn điểm M tam giác ABC thõa mãn: MAB = MBC = MCA = α Ta có: Co t A = b2 + c2 − a a + c2 − b2 a + b2 − c , Co t B = , Co t C = 4S 4S 4S Suy ra: CotA + CotB + CotC = a + b2 + c2 (1) 4S A S2 S1 S3 M B C MA2 + c − MB · ⇒ 4S1.Co t α = MA2 + c − MB Lại có: Co t α = CotMAB = S1 2 2 2 Tương tự: S Co t α = MC + b − MA , S3 Co t α = MB + a − MC a + b2 + c2 Từ suy ra: 4( S1 + S + S3 )Co t α = S Co t α = a + b + c ⇒ Co t α = (2) 4S 2 Từ (1), (2) suy đccm Nhận xét: Trong toán này, lần hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng định lý cosin suy rộng để giải toán · · · Bài tập Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, ký hiệu: GAB = α , GBC = β , GCA = γ A CMR: Cotα + Cot β + Cotγ = ( CotA + CotB + CotC ) Hướng dẫn S2 S1 G S3 B C 10 Ta có: CotA + CotB + CotC = Cotα = Cot β = Cotγ = a + b2 + c2 4S GA2 + c − GB GA2 + c − GB = S S AGB GB + a − GC GB + a − GC = S S AGB GC + b − GA2 GC + b − GA2 = S 4S AGB Suy ra: Cotα + Cot β + Cotγ = 3(a + b + c ) 4S Từ suy ra: Cotα + Cot β + Cotγ = ( CotA + CotB + CotC ) Bài tập Nhận dạng tam giác ABC biết: a = b3 + c − a b+c−a Hướng dẫn Từ gt: a = b3 + c − a ⇔ a ( b − c − a ) = b3 − c3 − a3 ⇔ a ( b − c ) = b3 − c b+c−a ⇔ a = b + c + bc Mặt khác: a = b + c − 2bc.CotA Từ suy ra: CotA = − Vậy tam giác ABC tam giác tù có góc A 120o Nhận xét : Đưa toán này, tiếp tục rèn luyện cho học sinh biết cách biến đổi hệ thức để sử dụng định lý cosin từ tính dược giá trị góc tam giác đưa kết luận  b3 + c − a a = b + c − a  Bài tập Nhận dạng tam giác ABC biết:  CosA.cos C =   Hướng dẫn 11 - Từ: a = b3 + c − a3 ⇔ a = b + c − bc lại có: a = b + c − 2bc.CosA b+c−a Suy ra: CosA = ⇒ A = 60o - Từ: CosA.cos C = 1 o suy ra: cos C = ⇒ C = 60 Vậy tam giác ABC Nhận xét : Bài toán đưa nhằm tiếp tục rèn luyện kỹ biến đổi để sử dụng định lý cosin để tính giá trị góc tam giác Bài tập 10 a)Tam giác ABC tù, nhọn hay vng có : sin2A+ sin2 B= sin2C b) Cho tam giác ABC, A B hai góc nhọn thõa mãn điều kiện: Sin2A+ Sin2B = n SinC , n ∈ N , n ≥ CMR tam giác ABC không tù (Tam giác ABC vuông? Cm kết hợp công thức lượng giác) Hướng dẫn a) Áp dụng định lý Sin tam giác Ta có: sin A + sin B = sin C ⇔ a + b = c Suy tam giác ABC vuông C b) Dễ thấy 0