Các bài toán về khoảng cách và góc hình học không gian trọng tâm trong đề thi đh

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Chủ đề 13: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Dạng 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   P là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a  của nó trên   P , kí hiệu là     ,a P hay     ,P a . Đặc biệt:  Khi a thuộc   P hoặc a song song với   P thì     0 , 0 a P  .  Khi a vuông góc với   P thì     0 , 90a P  . Như vậy, ta luôn có     0 0 0 , 90a P  . Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC a , 3 2 a SA SB SC   . a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng   ABC . b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng   ABC . Lời giải: a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA SB SC  nên SO là trục đường tròn của ABC , suy ra   SO ABC và     ,SO d S ABC . Trong SAO vuông tại O , ta có: 1 2 2 a OA BC  (trung tuyến thuộc cạnh huyền) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a a a SO SA OA                    2 2 a SO  . b) Vì   SO ABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên   ABC , do đó      ,SA ABC SAO . a' a O P B A C S O http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Trong SAO vuông tại O, ta có:  3 2 cos 3 3 2 a OA SAO SA a    . Vậy ta được     3 cos , 3 SA ABC  . Dạng 2: Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng   P và   Q , ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn điểm O, từ đó hạ OE , OF theo thứ tự vuông góc với   P và   Q . + Bước 2: Tính số đo góc  EOF . + Bước 3: Khi đó,        ,P Q EOF nếu  0 90EOF  và        0 , 180P Q EOF  nếu  0 90EOF  . Cách 2: Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm giao tuyến   d của   P và   Q . + Bước 2: Chọn điểm O trên   d , từ đó dựng   Ox d trong   P , và   Oy d trong   Q . + Bước 3: Tính số đo của góc  xOy . + Bước 4: Khi đó,        ,P Q xOy nếu  0 90xOy  và        0 , 180P Q xOy  nếu  0 90xOy  . P Q O F E Q d P x y O http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. a. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy b. Tính góc giữa BC và AC’ c. Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy. Lời giải: a). Ta có d[(ABC), (A’B’C’)] = d[A, (A’B’C’)] = AH. Ta có  0 ( ', ( ' ' ')) ( ', ) ' 60 .AA A B C AA AH AA H   Xét tam giác vuông AA’H vuông tại H, ta có 0 0 3 3 tan60 ' tan60 3 . ' 2 2 AH a a AH A H A H      b). Ta có        , ' ' ', ' ' .BC AC B C AC AC H  Vì tam giác AHC’ vuông tại H nên ta có  tan ' 3. ' AH AC H C H   a) Từ H dựng ' ' ( ' ')HK A B K A B  khi đó ta có ' 'A B AK (Định lý 3 đường vuông góc) Vậy  [( ' '), ( ' ' ')] .ABB A A B C AKH Xét tam giác vuông HKB, ta có  3 3 sin ' ' 2 4 HK a B HK HB     Xét tam giác vuông AHK, ta có  tan 2 3. AH AKH HK   C B A A' C' B' H K http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2AB a , 3SA a và vuông góc với mặt phẳng   ABCD . a) Tính góc giữa hai mặt phẳng   SAD và   SBC . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   SCD . Lời giải: a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử AD BC E      SAD SBC SE   . Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD Suy ra   BD SAD BD SE  . Hạ DF SE F  , suy ra   BDF SE . Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng   SAD và   SBC là  BFD . Vì ABE đều nên 2AE AB a  và vì CDE đều nên DE CD a  . Trong SAE vuông tại A , ta có:     2 2 2 2 2 2 3 2 7SE SA AE a a a     7SE a  . Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc  E nên chúng đồng dạng, suy ra: DF DE SA SE  . 3. 21 7 7 SA DE a a a DF SE a     . Trong ABD vuông tại A , ta có:  0 .sin 2 .cos60 3BD AB BAD a a   . Trong BDF vuông tại D , ta có:  3 tan 7 21 7 BD a BFD DE a     BFD nhọn. B E A S D C F O http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Vậy ta được       tan , 7SAD SBC  . Cách 2: Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD Suy ra   BD SAD . Trong   SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA Suy ra   BC SAC BC AJ    AJ SBC  . Trong   SAC hạ OK SC tại K , suy ra OK AJ . Do đó            , , ,SAD SBC BD AJ BD OK KOB   . Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có: 2 3 3 . 3 2 3 a a OC   , 3 1 3 2 3 . 2 3 2 3 a a a OB    . Trong SAC vuông tại A , ta có:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6SC SA AC SA AB BC a a a a         6SC a  . Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn  C nên chúng đồng dạng, suy ra: OK OC SA SC  3 3. . 6 3 6 6 a a SAOC a OK SC a     . Trong KOB vuông tại K , ta có:  6 2 6 cos 4 2 3 3 a OK KOB OB a    . Vậy ta được       2 cos , 4 SAD SBC  . B A S D C K O J B A S D C O J H I http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 b) Trong   SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA Suy ra   BC SAC BC AJ    AJ SBC  . Hạ AH CD tại H , suy ra: CD AH CD SA        CD SAH      SCD SAH  và     SCD SAH SH  . Hạ AI SH tại I , suy ra   AI SCD . Do đó        ,SCD SBC IAJ . Trong SAH vuông tại A , ta có: 3 2 a AH  và   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 3 33 2 AI SA AH a aa            15 5 a AI  . Trong SAC vuông tại A , ta có: 3AC SA a  1 2 6 2 2 2 SA a AJ SC    . Trong AIJ vuông tại I , ta có:  15 10 5 cos 5 6 2 a AI IAJ AJ a    . Vậy ta được       10 cos , 5 SCD SBC  . Dạng 3: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Trong mặt phẳng   ,O d hạ OH d với H d . Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác và đường tròn. H O d http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Chú ý: + Nếu tồn tại đường thẳng a qua O và song song với d thì     , ,d O d d A d , với A a . + Nếu AO d I  thì     , , d O d OI d A d AI  . Ví dụ 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA a và vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Gọi I ,M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB . a) Chứng minh rằng   OI ABCD . b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM . Lời giải: a) Trong SAC , ta có: OI là đường trung bình OI SA    OI ABCD  . b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CM , ta có: CM HI CM OI        CM IOH  CM OH  . Trong ABC có K là trọng tâm, ta có: 1 2 2 2 a OB AC  , 1 2 3 6 a OK OB  . Trong OCK vuông tại O , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 20 2 2 6 2 OH OK OC a a a                  20 a OH  . K A d O a K A d O H I D C A B S O I M H http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Trong OIH vuông tại O, ta có: 2 2 2 2 2 2 3 2 10 20 a a a IH OI OH                  30 10 a IH  . Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng 30 10 a . Vì SI CM C  nên     , 2 , d S CM SC d I CM IC       30 , 2 , 2 5 a d S CM d I CM IH    . Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng   P , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Để dựng OH với H là hình chiếu vuông góc của O lên   P ,ta thực hiện:  Lấy đường thẳng a nằm trong   P .  Dựng mặt phẳng   Q qua O vuông góc với a cắt   P theo giao tuyến b (cần chọn a sao cho mặt phẳng   Q dễ dựng).  Trong   Q , hạ OH b tại H . Bước 2: OH là khoảng cách từ O đến   P . Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến   P . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Phương pháp: 1. Cho đường thẳng   d   , để tính khoảng cách giữa d và    ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Chọn một điểm A trên d , sao cho khoảng cách từ A đến    có thể được xác định dễ nhất. Bước 2: Kết luận         , ,d d d A    . A D B C M O H K P Q H O a b http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 2. Cho hai mặt phẳng song song   P và   Q , để tính khoảng cách giữa   P và   Q ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Chọn một điểm A trên   P , sao cho khoảng cách từ A đến   Q có thể được xác định dễ nhất. Bước 2: Kết luận           , ,d P Q d A Q . Ví dụ 5: Hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc  0 60BAD  . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng   ABCD và 3 4 a SO  . Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của BE . a) Chứng minh     SOF SBC . b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng   SBC . Lời giải: a) Với giả thiết, ta có: OBE đều OF BC  . Mặt khác, ta cũng có:   SO ABCD SO BC  . Suy ra   SO SOF     SOF SBC  . b) Trong SOF hạ OH SF , suy ra   OH SBC     ,OH d O SBC  . Trong SOF vuông tại O, ta có: 2 2 2 1 1 1 OH OS OF   3 8 a OH  . Vì     AO SBC C  nên:         , 1 2 , d O SBC OC AC d A SBC           3 , 2 , 2 4 a d A SBC d O SBC OH    . Ví dụ 6: Cho hình chóp .S ABCD có 6SA a và vuông góc với mặt phẳng   ABCD , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2AD a . a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng   SCD . b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng   SBC . D C A B S O F E H http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 c) Tính diện tích của thiết diện hình chóp .S ABCD với mặt phẳng    song song với mặt phẳng   SAD và cách một khoảng bằng 3 4 a . Lời giải: a) Nhận xét rằng: CD AC CD SA        CD SAC      SCD SAC  . Hạ AH SC , ta có ngay   AH SCD . Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới   SCD . Trong SAB vuông tại A , ta có:     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 6 3 AH SA AC a a a      2AH a  . Gọi I là trung điểm của AD , suy ra: BI CD   BI SCD          , ,d B SCD d I SCD  . Mặt khác, ta lại có   AI SCD D  nên:         , 1 2 , d I SCD ID AD d A SCD           1 1 2 , , 2 2 2 a d I SCD d A SCD AH    . b) Nhận xét rằng: AD CB   AD SCB          , ,d AD SBC d A SBC  . Hạ AK BC , ta được: BC AK BC SA        BC SAK      SBC SAK  và     SBC SAK SK  . Hạ AG SK , ta có ngay   AG SBC . Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến   SBC . Trong SAK vuông tại A, ta có:   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 36 2 AG SA AK a aa            6 3 a AG  . N K E G D C A S B H I M [...]... tốc môn toán 2013 2 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có) Cách 2: Tính d  a,    với   là mặt phẳng chứa b song song với a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc   600 và có đường cao A SO  a a) Tính khoảng cách từ O đến  SBC  b) Tính khoảng cách giữa... vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm của AB Tính a) Góc giữa AC và SD; b) Khoảng cách giữa AC và SD; a 2  4h 2 Ds: tan(AC, SD)= b ah Ds: Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 a 2  4h 2 http://baigiangtoanhoc.com c) Khoảng cách giữa BC và SD Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Ds: bh b 2  4h 2 Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam... 2 2 2 Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Phương pháp: 1 Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta lựa chọn một trong các cách sau: A B H a M Cách 1: Ta thực hiện theo các bước: Bước... 4  Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 C http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE Đs: d ( S , BE )  3a 5 Bài. .. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) AD và SB Đs: a 21 7 b) SA và BD Đs: a 21 7 Bài 7: Cho 2 hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thoả mãn: AB = a, AD = AF = a 2 , AC  BF Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF (H  AC, K  BF) a Gọi I... chứa AC và song song BF Tính tỉ số DI DF b Tính độ dài đoạn HK Đs: 1 2 Đs: HK  a 3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, độ dài các cạnh AB = 2a, BC = a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 a Tính chiều cao hình chóp SABCD theo a b Gọi M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK = a Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SK theo... đoạn vuông góc chung của a và b Cách 3: Áp dụng cho trường hợp a  b Ta thực hiện theo các bước sau: a b + Bước 1: Dựng mặt phẳng  P  chứa b , vuông góc với A a tại A + Bước 2: Dựng AB  b tại b Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 P B http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp... 5 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại bằng a a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông; SH  b) Tính đường cao SH của hình chóp ax a2  x2 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác cân và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc  Tính a) Chiều cao hình chóp S.ABCD; b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến... phẳng (SCD); c) Diện tích thi t diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng trung trực cạnh BC Ds: a 5 a) tan  2 b) HI  3a 2 5 c) tan  16 a 5 tan  5tan 2   4 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi, góc A = 1200, BD = a, cạnh bên SA vuông với đáy, góc giữa mặt (SBC) và đáy là 600 Tính a) Đường cao của hình chóp Ds: a 3 2 b) Khoảng cách từ A đến (SBC) Ds: a 3 4 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là... 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA  a 3 Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách giữa SI và AC Lời giải Gọi O là tâm của đáy ABCD, từ O dựng đường thẳng d song song với SA, khi đó mặt phẳng chứa BD và d vuông góc với AC tại O Từ I hạ IK  BD tại K và từ S hạ SH  d tại H thì suy ra KH là hình chiếu vuông góc của SI lên mặt phẳng (BD, d) Từ O