Bài toán khoảng cách và góc giữa hai mặt phẳng

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 03: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Dạng 1: Tính khoảng cách Loại 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp:Cho điểm   0 0 0 ; ; M x y z và mặt phẳng (P) : 0 ax by cz d     . Khi đó khoảng cách từ M đến (P) được cho bởi công thức:     0 0 0 2 2 2 ; ax by cz d d M a b c        Ví dụ 1: Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng (P): x + y –z + 1 = 0 và (Q) x –y +z – 5 = 0 Bài giải: Gọi điểm   0; ;0 M b Oy  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:       2 2 2 1.0 1. 1.0 1 1 ; 3 1 1 1 b b d M P          Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) là:       2 2 2 1.0 1. 1.0 5 5 ; 3 1 1 1 b b d M Q          Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:         ; ; d M P d M Q  1 5 1 5 3 3 b b b b         1 5 0 4 3 1 5 2 6 b b b b b b b                      Vậy   0; 3;0 M  Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng    song song với    : x + 2y + 2z – 10 = 0 và khoảng cách từ M( 1; 0; 1) đến    bằng 2. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài giải: Vì    song song với    nên    có dạng: x + 2y + 2z + D = 0 Khoảng cách từ M đến    là:     2 2 2 1.1 2.0 2.1 3 ; 3 1 2 2 D D d M          Vì     ;d M  = 2 nên có: 3 2 3 D  3 6 3 3 6 3 6 9 D D D D D                    Vậy    có dạng x 2y 2z 3 0 x 2y 2z 9 0            Ví dụ 3: Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , 4 AC AD cm   , 3 AB cm  , 5 BC cm  . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng   BCD Bài giải: Vẽ hình: Ta thấy: 2 2 2 AB AC BC ABC     vuông tại A Chọn hệ trục tọa độ Axyz với Ax, , B C Ay D Az    . Khi đó: (0;0;0), (3;0;0), (0;4;0), (0;0;4) A B C D Phương trình mặt phẳng (BCD) là: 1 4 3 3 12 0 3 4 4 x y z x y z         Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   BCD là: 2 2 2 12 12 34 4 3 3 d      Ví dụ 4: a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cách điểm M(1; 2; 1) một khoảng bằng 2 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và cách điểm N(3; 3; 1) một khoảng bằng 3 Bài giải: a) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên có dạng: By + Cz = 0 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:     2 2 2 ; B C d M P B C    Vì     ; d M P = 2 nên 2 2 2 2 B C B C    2 2 2 2 B C B C       2 2 2 2 2 4 4 4 4 3 4 0 3 4 0 B C BC B C C BC C C B            0 3 4 0 C C B        Nếu 0 0 C y    Nếu 3 4 0 C B   . Chọn C = 4, B = 3 3 4 0 y z    Vậy phương trình của (P) là: 0 3 4 0 y y z       b) Gọi   ; ; n a b c  là VTPT của mặt phẳng (Q) Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 0; 0) nhận   ; ; n a b c  là VTPT là:   1 0 a x by cz     0 ax by cz a      Vì (Q) qua B(0; 2; 0) nên có: 2b – a = 0 2 b a   Chọn a = 2, b = 1  phương trình (Q) là: 2x + y + cz – 2 = 0 Khoảng cách từ N đến (Q) là: 2 1 2 2 2.3 1.3 .1 2 7 3 3 2 1 5 c c c c           2 2 2 7 3 5 49 14 45 9 c c c c c          2 2 8 14 4 0 4 7 2 0 c c c c         2 1 4 c c         Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x y 2z – 2 0 8x 4y - z – 8 0         http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Loại 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Phương pháp: Bước 1: Chọn một điểm M có tọa độ cụ thể nằm trên mặt phẳng   .  Bước 2: Khi đó           ; ; . d d M     Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa   : 2 2 11 0 x y z      và   : 2 2 2 0. x y z      Bài giải: Ta thấy:     1 2 2 11 / / 1 2 2 2       Lấy     1; 3; 3M     . Khi đó:           2 2 2 1 6 6 2 9 ; ; 3 3 1 2 2 d d M             Vậy d = 3 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng:     1 2 : 2 2 3 0, : 2 2 1 0 P x y z P x y z         Bài giải: Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng   1 P và   2 P nên có dạng: 2 2 0 x y z D     Vì (P) cách đều   1 P và   2 P nên             1 2 ; ; d P P d P P  (1) Chọn         1 2 1; 1;0 , 1;0;0 A P B P      Có:           1 1 2 ; ; 3 D d P P d A P                2 1 ; ; 3 D d P P d B P     Từ (1) 1 2 1 3 1 3 3 D D D D              http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3 1 0 2 2 3 1 2 4 D D D D D D D                      Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2 2 2 0 x y z     Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M cách đều     :2 4 5 0, :3 5 1 0. x y z x y z           Bài giải: Gọi   ; ; M x y z Khoảng cách từ M đến    là:     2 4 5 2 4 5 ; 4 1 16 21 x y z x y z d M            Khoảng cách từ M đến    là:     3 5 1 3 5 1 ; 9 25 1 35 x y z x y z d M            Vì M cách đều    và    nên         ; ;d M d M    2 4 5 3 5 1 21 35 x y z x y z             5. 2 4 5 3. 3 5 1 5 2 4 5 3. 3 5 1 x y z x y z x y z x y z                         2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0. x y z          Vậy tập hợp các điểm M cách đều    và    là hai mặt phẳng:       2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0. x y z          Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Cho hai mặt phẳng     1 1 1 1 2 2 2 2 : 0, : 0 a x b y c z d a x b y c z d           http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà tạo với nhau một góc .  Khi đó 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos . . n n a a bb c c n n a b c a b c                  Ví dụ 1: Tính góc giữa các mặt phẳng     : 1 0, : 5 0. x y z x y z           Đs: Bài giải: VTPT của    là   1;1; 1 n     VTPT của    là   1; 1;1 n     Gọi .  là góc giữa hai mặt phẳng    và    . Khi đó     2 2 2 2 2 2 . 1.1 1.1 1.1 1 cos 3 . 1 1 1 . 1 1 1 n n n n                     Ví dụ 2: a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng    : 2 5 0 x y z    một góc 0 60 b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0 60 Bài giải: a) Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng: Ax + By = 0 VTPT của (P) là:   ; ;0 P n A B   , VTPT của    là:   2;1; 5 n     http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng    một góc 0 60 nên: 2 2 . 2 1 cos 2 . . 4 1 5 P P n n A B n n A B               2 2 2 2 10 A B A B       2 2 2 2 4 4 4 10 10 A AB B A B      2 2 6 16 6 0 A AB B     1 3 3 A B A B         Với 1 3 A B  . Chọn B = 3, A = 1 3 0 x y    Với 3 A B   . Chọn B = -1, A = 3 3 0 x y    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 3 0 3 0 x y x y        b) Gọi   ; ; Q n a b c   là VTPT của mặt phẳng (Q) Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0  VTPT của (xOy) là (0;0;1) n   Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có VTPT   ; ; Q n a b c   là:   3 0 a x by cz     ax 3 0 by cz a      Vì (Q) qua C (0; 0; 1) nên 3 0 3 c a c a     Chọn a = 1, c = 3 ( ):x 3 3 0 Q by z      Vì mặt phẳng (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc 0 60 nên ta có: 2 2 2 2 . 3 3 cos . 1 3 . 1 10 Q Q n n n n b b            Vì 0 1 cos os60 2 c    nên 2 2 2 3 1 10 6 10 36 2 10 b b b         2 26 26 b b     Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: x 26 3 3 0 x- 26 3 3 0 y z y z            Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’. a) Tính thể tích tứ diện BDA’M http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b) Tìm tỉ số a b để mặt phẳng (A’BD)  (MBD) Bài giải: Vẽ hình: a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với         0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ' 0;0; A B a D a A b Từ giả thiết ta có:     ; ;0 , ' ; ; ; ; 2 b C a a C a a b M a a        Vậy   ; ;0 , 0; ; 2 b BD a a BM a            2 ; ; ; 2 2 ab ab BD BM a                Có     2 2 3 ' ;0; ; . ' ; ; ;0; 2 2 2 ab ab a b BA a b BD BM BA a a b                       Do đó: 2 ' 1 ; . ' 6 4 BDA M a b V BD BM BA          b) Mặt phẳng (BDM) có VTPT là: 2 1 ; ; ; 2 2 ab ab n BD BM a                 Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:   2 2 ; ' ; ; n BD BA ab ab a              2 2 2 2 4 1 2 ' . 0 0 1 2 2 a b a b a BDM A BD n n a a b b               BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho ba điểm       1;0;0 , 0;2;0 , 3;3;1 A B C . a. Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng. Tinh diện tích ABC  ĐS: 3 6 2 ABC S   b. Lập phương tình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và cách điểm C một khoảng bằng 3 ĐS: 2 2 2 0 ( ): 8 4 8 0 x y z Q x y z            Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q): http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và (Q): 6x – 3y + 2z – 2 = 0 b. (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): x + 2y + z + 5 = 0 ĐS: a) 4x – 16y + 20z + 1 = 0 hoặc 32x – 2y – 8x – 13 = 0 b) x + 2y + z + 2 = 0 Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ĐS: 3  b. Tính góc giữa hai mặt phẳng(SEF) và (SBC) ĐS: 3 os 10 c   Bài 4: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm       1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A B b C c , trong đó , b c dương và mặt phẳng (P): 1 0 y z    . Xác định b và c , biết mặt phẳng   ABC vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   ABC bẳng 1 3 ĐS: 1 2 b c   Bài 5: trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh       1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1 A B C  và   0;3;1 D . Viết phương trình mặt phẳng   P đi qua , A B sao cho khoảng cách từ C đến   P bằng khoảng cách từ D đến   P ĐS: 4 2 7 15 0 ( ): 2 3 5 0 x y z P x z           Bài 6:Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác ' A AC vuông cân, ' A C a  . Tính thể tich của khôi tứ diện ' ' ABB C và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   ' BCD theo a. ĐS: 6 6 a Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 3 0 P x y z     và   : 1 0 Q x y z     . Viết phương trình mặt phẳng   R vuông góc với   P và   Q sao cho khoảng cách từ O đến   R bằng 2. ĐS: ( ) : 2 2 0 R x z    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài 8:Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ,AA' 2 , ' 3 AB a a A C a    . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' ' A C , I là giao điểm của AM và ' A C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   IBC ĐS:     3 4 2 5 , ; 9 5 IABC a a V d A IBC  Bài 9: Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a 2 + b 2 + c 2 = 3. Xác định a, b, c để khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhấ t. ĐS: a = b = c = 1 . phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng:     1 2 : 2 2 3 0, : 2 2 1 0 P x y z P x y z         Bài giải: Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng   1 P và   2 P nên. trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và cách điểm N(3; 3; 1) một khoảng bằng 3 Bài giải: a) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên có dạng: By + Cz = 0 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng. các điểm M cách đều    và    là hai mặt phẳng:       2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0. x y z          Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Cho hai mặt phẳng     1