Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian

Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó sẽ quy bài toán từ khó về dễ v

Người thực hiện: Phan Thị Nhường Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm………

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……….

3 3 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN………… 5

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… 6

2.4 Hiệu quả của SKKN……… 19

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…….……… 20

3.1 Kết luận……… 20

3.2 Kiến nghị……… 21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho chúng ta thấycòn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình học còn yếu, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt đại

đa số học sinh khi nhắc đến hình học không gian lại rất ngại nói đúng hơn là sợ sệt Đặc biệt năm học 2018-2019 là năm học có nội dung trắc nghiệm hình học không gian lớp 11 trong kỳ thi THPT Quốc gia, vì vậy học sinh cần có vốn kiếnthức và kỹ năng nhất định, đặc biệt là những câu hỏi vận dụng về tính khoảng cách trong hình học không gian Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó sẽ quy bài toán từ khó về dễ và phù hợp với trình

độ kiến thức mình đang có đặc biệt là kỹ năng xác định và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một đề thi trắc nghiệm Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp để giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết trong dạy học

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi xin chia sẻ đề tài sáng kiến

kinh nghiệm “ Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian ”.

Đây là một nội dung quan trọng, hay và khó trong chương trình hình học

11 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm này còn là tài liệu dùng cho các em học sinh lớp 12 để ôn luyện thi THPT quốc gia về chuyên đề khoảng cách Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, các em hiểu sâu hơn về bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và yêu thích chủ đề khoảng cách trong hình học không gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen Đồng thời giúp học sinh có một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt Hình thành cho các em thóiquen tìm tòi, tích lũy và rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11 và cho học sinh lớp 12 vững thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là nghiên cứu một số tính chất về khoảng cách Tính khoảng từ một điểm đến mặt phẳng chứa đường cao, tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ dựa vào chân đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ)

Đề tài tập trung bài tập ở dạng trắc nghiệm khách quan và vận dụng nó trongcác bài toán thực tế của đời sống xã hội

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, mạng internet …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy lớp 11 và ôn thi THPT quốc gia năm học 2018-2019 ở trường THPT Tĩnh Gia 4

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Theo tôi được biết đã có nhiều đề tài viết về chuyên đề khoảng cách Nhưng theo quan điểm cá nhân tôi do sự đổi mới trong hình thức thi cử kể cả thicuối kỳ hay thi THPT quốc gia thì đều thi theo hình thức trắc nghiệm Đối với môn hình học thì đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức giải các bài toán, cụ thể:

- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống , các bài toán có sự phân dạng và phân loại theo từng mức độ Câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm được sưu tầm ở các chuyên đề hình học không gian, đề thi thử,

đề thi THPT quốc gia các năm trước giúp giáo viên và học sinh dễ hình dung

- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới Giúp học sinh giải toán một cách nhanh nhất Đặc biệt với giải pháp chủ yếu là thông qua ba bước là dựng hình, chứng minh, tính khoảng cách Như vậy nó rất tiện lợ cho các em học sinh thi trắc nghiệm khi đã ôn luyện nhuần nhuyễn thì có thể rút ngắn thời gian làm bài bằng cách dựng hình xong rồi tính khoảng cách luôn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng [1]

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng ( )

là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó

H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( )

Kí hiệu: d M( ,( ))

2.1.2 Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [1]

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt

phẳng ( ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng

(α)

2.1.3 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [1]

Định lý

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt

nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc

với mặt phẳng ấy

2.1.4 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc [1]

Định lý 1

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là

mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng kia

Hệ quả 1

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ

đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà

vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt

phẳng kia

2.1.5 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) [5]

-Xác định điểm H sao cho MH vuông góc với ( ) tại H

2.1.6 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông [3]

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi AH là đường cao Đặt AB c ,

C B

H

M

β

α

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của một tam giác và cắt haicạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.nếu MN // BC thì AM AN

+ Nếu AB cắt mp( ) tại I thì ta gọi A' là hình

chiếu của A trên ( ) và Gọi B' là hình chiếu của B

trên ( ) Áp dụng định lý talet trong mặt phẳng ta có

+Nhận xét: Phương pháp đổi điểm cho phép ta

chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm không

phải chân đường cao về tính khoảng cách từ điểm là

chân đường cao Trong một số bài toán ta có thể kết

phương pháp đổi điểm song song và đổi điểm cắt đề

tính như sau:

Nếu AB/ /( ) và BC( )  I thì( ,( )) ( ,( ))

( ,( ))( ,( ))

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng bài toán tìm khoảng cách là một vấn đề khó khăn với phần đa số học sinh Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán Trong khi đó bài toán tìm khoảng cách khá nhiều dạng nên các em dễ rối khi tiếp cận đề bài Đăc biệt những năm gần đây hình thức thi học kỳ hay thi THPT quốc gia đều được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm, lượng bài tập khá nhiều

mà các em chưa thể phân loại được

Khảo sát chất lượng học sinh lớp 11 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng hoặc chưa định hình được phương pháp và thường bị mất điểm ở những bài tập này

Với tình hình ấy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận bài toán dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện khả năng giải toán của bản thân để giúp học sinh có lượng kiến thức nhất định, để khi các em gặp bài toán nào cũng có thể khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán đó, biết quy lạ về quen, đưa cái chưa biết về cái đã

có để rút ra một lời giải nhanh gọn nhất

α A' B'

BA

α

B A

B' A' I

α A' I B' C'

C B A

Vậy tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức khoảng cách để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán khoảng cách một cách chính xác và nhanh nhất.

2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề

Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này đề tài đưa ra hướng giải cócác bước phân tích, dựng hình, chứng minh và tính khoảng cách

Sau đây là một số giải pháp minh họa mà tôi đã áp dụng trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài Hệ thống bài tập có sự phân dạng, phân loại từ

dễ đến khó có thể làm tài liệu ôn tập áp dụng cho các kỳ thi học kỳ, kỳ thi THPTquốc gia Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải

những bài tập tương tự

2.3.1 Giải pháp 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) chứa

đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ)

I

H

D

C B

A S

b) Tính d G SAD( ,( ))

* Phân tích

-SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SAlà đường cao hình chóp

-Ta nhận thấy mặt phẳng (SAD) chứa đường cao SA

- Để xác định khoảng cách từ G đến (SAD) thì từ điểm G ta dựng GI

vuông góc với cạnh đối diện là AD Thì GI là khoảng cách từ G đến

-Vì H là hình chiếu vuông góc của A'

trên mp(ABC) nên A H' là đường cao

C

B A

B'

C' A'

2.3.2 Giải pháp 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bất kỳ

Thực tế các em học sinh thường thấy khó trong việc dựng hình Nên ở giải pháp này đề tài sẽ phân ra 3 trường hợp cụ thể để cho các em học sinh tiếp cận cách

Nhận xét: Nhìn chung khi dựng khoảng cách từ chân đường cao SA đến mặt

phẳng bên thì học sinh phải lưu ý rằng mặt phẳng đáy có góc vuông hay không

H

C

B A

S

H

C

B A

S

H

I C

B A S

Nếu mặt phẳng đáy vuông ở đỉnh nào thì ta dựng AH vuông góc với cạnh bên chứa đỉnh ấy.

Tức là nếu vuông ở B thì ta dựng AH SB Nếu vuông ở C thì ta dựng

Ví dụ 3 (Tuyển sinh đại học khối D-năm 2002)

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ACAD4,

Hướng Dẫn Tính d A SBC( ,( ))

* Phân tích: Ta nhận thấy mp(BCD) không chứa đường cao và A là chân

đường cao hình chóp nên bài toán thuộc giải pháp 2, Tam giác đáy ABC không vuông ở B và C nên nó thuộc trường hợp 3.Nhận xét tam giác đáy có

1712

4

5

AD AI AH

D

Cách 2: Vì BC2 AB2 AD2nên ABC vuông tại A

Tứ diện ABCD là tứ diện vuông tại A (vì AB AC AD, , đôi một vuông góc)Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) thì:AH d A BCD( ,( ))

* Phân tích Ta nhận thấy Đường cao hình

chóp là SA , mp(SBC) không chứa đường cao,

điểm A là chân đường cao nên bài toán dựa

vào giải pháp 2 Ngoài ra ABC vuông tại B

D

C B

A S

2 2 2

7,2

a

AM DM  AD a  AD AM DM nên ABC không vuông tại

M và tại D do đó ta dựng khoảng cách theo trường hợp 3 của giải pháp 2

Ví dụ 5: [5]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B Hình chiếu của đỉnh S trùng với trung điểm H của đoạn AC

2 ,

SA AB BC   a AD4a Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)là

Hướng dẫn tính d H SCD( ,( ))

* Phân tích

Ta nhận thấy đường cao hình chóp là SH ,

mp(SCD) không chứa đường cao, nên bài

toán thuộc vào giải pháp 2 Tam giác

ACD có D nhọn, ta cần xác định góc C

có vuông hay không?

Gọi I là trung điểm của AD ta có

 có đường trung tuyến CI bằng

một nửa cạnh huyền AD nên vuông tại C

A S

Vì tam giác ACD vuông tại C nên để dựng khoảng cách từ H đến (SCD) ta dựng HK SC thì HK là khoảng cách.

2.3.3 Giải pháp 3: Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng bất kỳ

Phương pháp đổi điểm: Là phương pháp đổi khoảng cách từ điểm đề bài yêu

cầu sang điểm khác dễ tính khoảng cách hơn (thường là chân đường cao)

Ví dụ 7.(Trích đề thi minh họa THPT năm 2015)

Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B Hình chiếu củaS trên mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AC, AC2a, ACB 300, SH a 2 Khoảng cách Từ C đến mặt phẳng (SAB) là

Ta nhận thấy mp SAB( )không chứa đường cao,

điểm C không phải chân đường cao hình chóp

nên bài toán thuộc vào giải pháp 3 Vậy ta sẽ sử

dụng phương pháp đổi điểm Ta có

I

C

BA

S

C H

Trong (SHI) có HK SI  HK (SAB).

+ Tính độ dài d C SAB( ,( )): HI là đường trung bình ABC nên ta có

113

2

4

a a

Mặt khác HC(SAB) { } A , K là hình chiếu của H trên (SAB)

Gọi M là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) thì ta có

Ví dụ 8 (Trích đề thi tuyển sinh khối B năm 2014)

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng'

A C và mặt phẳng đáy bằng 600 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

Hướng dẫn tính d B A ACC( ,( ' '))

* Phân tích

Ta nhận thấy A H' là đường cao đường hình

lăng trụ nên mp(ACC A' ') không chứa

đường cao và điểm B không phải chân

đường cao nên bài toán rơi vào giải pháp 3

Ta sẽ sử dụng phương pháp đổi điểm B

A

60°

I K

H

B'

C' A'

C B

A

HA HI HK

d H A ACC HA .

3 13( ,( ' ')) 2 ( ,( ' ')) 2

Ví dụ 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B, BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2 Gọi H

là hình chiếu vuông góc của A trên SB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng

* Phân tích: Ta nhận thấy đường cao hình chóp

là SA Như vậy rõ ràng điểm H không phải

chân đường cao và mp(SCD) cũng không chứa

đường cao Nên trong bài này ta sẽ dùng

phương pháp đổi điểm H về chân đường cao là

điểm A

Tuy nhiên để xác định giao điểm của HA với mp SCD( ) trong bài toán này

không đơn giản Các em phải nắm được cách xác định giao điểm của đường

thẳng với mặt phẳng Từ đó kẻ thêm đường phụ cho hợp lý Ở ví dụ 5 ta đã

chứng minh được CA CD nên trong bài này ta sẽ thừa nhận GV yêu cầu học

sinh xác định khoảng cách từ A đến (SCD)? Và xác định giao điểm của AH

với mp SCD( ).

* Giải

+ Dựng hình: Kẻ AESC E SC(  ) AE(SCD)  AE d A SCD ( ,( )).+ Chứng minh:

Trong (ABCD) gọi { }M ABCD

Trong (SAM) gọi { }K AH SM

* Phân tích :Ta nhận thấy mp SBD( ) không chứa đường cao và điểm I cũng

không phải chân đường cao của hình chóp Vậy nên ta dùng phương pháp đổi điểm I sang chân đường cao là điểm A

Trong SAC gọi { } G AI SO

E

A

(SCD)

G IK

B A

S

* Giải

+ Dựng hình:

Kẻ AH BD H BD(  ) và AK SH K SH(  ) Khi đó AK d A SBD ( ,( ))+ Chứng minh: Ta có BD AH BD (SAH) (SBD) (SAH)

A

34a

Hướng dẫn Tính d C SAB( ,( ))

* Phân tích

-Vì hai điểm B C, cùng nhìn đoạn thẳng SA

dưới 1 góc vuông nên gọi I là trung điểm của

SA thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

- Vì ABC vuông tại A nên gọi H là trung

điểm BC thì H là tâm đường tròn ngoại

tiếp ABC  IH (ABC)nên IH đường

M

H

I

C B

S

A

I

-Như vậy trong bài toán này ngoài việc đổi điểm tính khoảng cách ta còn đổi cả đỉnh hình chóp Quy bài toán tính d C SAB( ,( )) về tính d H IAB( ,( )).

của SA là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC (1)

ABC

 vuông tại A nên trung điểm H của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC

 (2)

Từ (1) và (2) IH (ABC) IH đường cao hình chóp I ABC

Ta có AB HI AB (HIM) (IAB) (HIM)

Trong mp(HIM) có HK MI  HK (IAB)(đpcm)

C 2a 3

2a 5719

Hướng dẫn tính d D SBC( ,( ))

K

D H

A S