Giúp học sinh trung bình, yếu rèn luyện kĩ năng phân tích, chia nhỏ một số bài toán thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng trong hình học giải tích 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : Tên sáng kiến: Giúp học sinh trung bình, yếu rèn luyện kĩ phân tích, chia nhỏ số toán thường gặp đường thẳng mặt phẳng hình học giải tích 12; Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn 12 trường THPT Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Hình giải tích khơng gian có tính kế thừa từ hình giải tích mặt phẳng Ngồi để học tốt hình giải tích khơng gian đòi hỏi học sinh phải nhớ phải vận dụng lí thuyết hình học khơng gian học lớp 11 Vì hình học khơng gian nội dung tương đối khó nên việc học sinh vận dụng chúng để giải tốn hình giải tích nhiều hạn chế Khi đứng trước tốn hình giải tích phần học sinh (đặc biệt học sinh yếu, trung bình) lúng túng phải suy nghĩ từ đâu, bất đầu từ giả thuyết Vì số học sinh không giải được, số giải không hướng tức nhiên kết khơng Từ thấy kỷ phân tích học sinh giải tốn hình giải tích chưa cao Chính hạn chế kỷ phân tích nên tiết học đặc biệt tiết tập em thường thụ động, ngại tư làm cho khơng khí lớp học chùn xuống Nhiều lần không giải tập làm cho em nản trí, khơng u thích mơn học Đây rào cảng lớn việc đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: - Trước hết giáo viên tổ chức ôn tập lại kiến thức phương pháp toạ độ mặt phẳng, đặc biệt kiến thức hình học khơng gian mà em học lớp 11 Trang Đây khâu quan trọng kiến thức sở cho việc giải tốn hình giải tích khơng gian sau - Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng toán bản, tốn dể dàng suy từ lý thuyết dễ dàng giải Giáo viên phải hướng dẫn em giải hiểu cận kẻ toán (Các toán trình bày phần sau) - Khi giải tốn hình giải tích khơng gian, giáo viên trọng nhiều đến khâu phân tích Dành khoảng thời gian định để tổ chức cho em phân tích, chia nhỏ tốn đánh giá giải học sinh lớp giáo viên dành phần điểm cho khâu phân tích này, (Nên chiếm khoảng 30% số điểm tồn bài) - Khi phân tích toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ hình minh họa để em thấy rõ vấn đề - Từ kết phân tích học sinh tiến hành chia nhỏ tốn (nếu có thể) theo tốn bản, sau tiến hành giải - Để lớp học trở nên sinh động học sinh tích cực khâu hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải quan trọng Giáo viên hướng dẫn cụ thể, rõ ràng để em làm vài ban đầu từ em tự tin vào thân mình, em tích cực - Hãy để học sinh trình bày hết suy nghĩ tốn ( giáo viên phát sai từ ban đầu) Từ giáo viên thấy rõ nguyên nhân dẫn đến suy nghỉ sai lầm học sinh giáo viên dẫn sau em không sai lầm Đây giải pháp góp phần lấy học sinh làm trung tâm, đổi phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực - Nếu giáo viên nên tổ chức lại tập cho chúng có tính kế thừa, tập từ dễ đến khó Như tiếp cận tốn em khơng bở ngở, ngán ngại - Sau giải xong, khuyến khích học sinh tự trả lời câu hỏi: Tại với toán ta lại giải thế? Đây khâu kiểm tra lại bước phân tích tìm cách Trang giải Trả lời câu hỏi này, sau em gặp lại toán tương tự em có ấn tượng dễ tìm lời giải Các toán nhiều, chùng tơi xin trình bày số toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng xin phép khơng trình bày lời giải Bài tốn Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Bài toán Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Bài tốn Lấy điểm từ đường thẳng, mặt phẳng cho trước Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng cho trước điểm hai vectơ không phương mà giá chúng song song nằm mặt phẳng cần tìm (tạm gọi cặp vectơ phương) Bài tốn Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng Ví dụ Cho M(1;4;2) (P): x + y + z − = Tìm hình chiếu vng góc M (P) Hình minh họa Phân tích Gọi H hình chiếu vng góc M (P) ta có MH vng góc với (P) Gọi d đường thẳng qua M vng góc với (P) Vậy H giao điểm đường thẳng d (P) Chia nhỏ: Bài toán chia thành 02 toán nhỏ sau: - Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với (P) (Bài tốn 3); - Tìm giao điểm d (P) (Bài toán 1) Tiến hành giải: Để cho ngắn gọn nêu kết Trang  x = 1+ t  Đường thẳng d:  y = + t , t ∈ R z = 2+ t  Giao điểm H(-1;2;0) điểm cần tìm Ví dụ Tìm điểm M’ đối xứng với M(2;-3;1) qua mp(P): x+3y-z+2=0 Hình minh họa Phân tích Vì M’ đối xứng với M qua (P) nên MN vng góc với (P) Và MM’ cắt (P) I I trung điểm MM’ Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 tốn sau: - Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vuông góc với (P) (Bài tốn 3) - Tìm giao điểm I d (P) (Bài tốn 1) - Tìm N cho I trung điểm MN (Đã có cơng thức) Tiến hành giải: x =2+t  Phương trình tham số d :  y = −3 − 3t , t ∈ ¡ :  z = 1− t  28 −15   ; ÷ Giao điểm H: H  ;  11 11 11  34 −1   Điểm cần tìm N  ; ; ÷  11 11 11  x = + t  Ví dụ Cho điểm A(1;0;0) đường thẳng d :  y = + 2t Tìm H hình chiếu z = t  vng góc A d Hình minh họa Phân tích Trang Giả sử ta dựng điểm H hình vẽ Vì AH vng góc với d nên AH thuộc mặt phẳng (P), với (P) qua A vng góc với d Mặt khác H thuộc d nên H giao điểm d (P) Chia nhỏ: toán chia thành 02 tốn nhỏ sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d (Bài tốn 4) - Tìm giao điểm (P) d (Bài toán 1) Tiến hành giải: Mặt phẳng (P): x + y + z − = −1   Điểm cần tìm H  ;0; ÷  2 x = + t  Ví dụ Cho điểm A(1;0;0) đường thẳng d :  y = + 2t Tìm B điểm đối xứng z = t  A qua d Hình minh họa Phân tích Kế thừa ví dụ 3, Ta cần tìm điểm B sau cho H trung điểm AB Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 toán nhỏ sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d (Bài tốn 4) - Tìm giao điểm H (P) d (Bài tốn 1) - Tìm B cho H trung điểm AB (Đã có cơng thức) Tiến hành giải: Mặt phẳng (P): x + y + z − =  −1  Điểm H  ;0; ÷  2 Trang Điểm cần tìm B(2;0; −1) Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau:  x = + 2t  d :  y = + 4t ,  z = 4+t  Hình minh họa x = 2+t'  d':  y = − t ' ,  z = + 2t  Phân tích Vì mặt phẳng cần tìm (P) chứa d d’ nên điểm cần tìm điểm d d’ mp(P) có cặp vectơ phương hai vectơ phương d d’ Chia nhỏ: Bài toán chia thành 04 tốn sau: - Tìm điểm M đường thẳng d d’ (Bài toán 5) r - Tìm vectơ phương u d (Dễ dàng) r - Tìm vectơ phương v d’ (Dễ dàng) r r - Viết phương trình mặt phẳng qua M có cặp vecto phương u, v (Bài toán 6) Tiến hành giải: Điểm M(1;2;3) r u = (2; 4;1) r v = (1;1; 2) mp(P): x − y − z + = Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d’ Với   x = − − 4t  x = 2+t'   d : ; d ' :  y = −1 + 2t ' y = − − 7t   z=3    z = −6t Phân tích: Bài tốn giống với ví dụ khác chổ điểm M phải lấy đường thẳng d Trang Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;3;1) chứa đường thẳng  x = 2+t  d :  y = 1− t  z = −1 + 2t  Hình minh họa Phân tích Lấy điểm B d, ta có uuur cặp vectơ phương AB VTCP d Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 toán sau: uuur - Lấy điểm B d, lập AB (Bài toán 5) r - Tìm VTCP u d (Dễ dàng) r uuu r - Viết phương trình mặt phẳng qua A có cặp VTCP u, AB (Bài tốn 6) Tiến hành giải: uuur Điểm B(2;1;-1) AB = (1; −2; −2) r Vectơ phương d: u = (1; −1; 2) Mặt phẳng cần tìm −6 x − y + z + = Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;-1;1) cắt hai  x = + 2t  x = −2 + t '   đuờng thẳng sau: d :  y = t ; d ':  y = − 2t '  z = 3− t z = t '   Hình minh họa Phân tích Gọi a đường thẳng cần tìm Vì a qua M cắt d nên thuộc mp(M,d) Tương tự a thuộc mp(M,d’) Vậy a giao tuyến (M,d) (M, d’) Chia nhỏ: kế thừa toán toán chia thành 03 tốn sau - Viết phương trình mặt phẳng (M,d) (Ví dụ 7) - Viết phương trình mặt phẳng (M,d) (Ví dụ 7); Trang - Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến mp( M; d) mp( M; d') (Bài toán 7) Tiến hành giải: mp(M,d): 3x − y + z + = ; mp(M,d’): x + y + z − =  x = −11 − 6t  Vậy : a :  y = −t  z = 12 + 7t  Ví dụ Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc d (P) biết:  x = 1+ t  d :  y = −1 − t ,  z = + 2t  ( P) : x + y + z − = Hình minh họa Phân tích Giả sử ta dựng d’ hình chiếu vng góc d (P) Dễ thấy d d’ nằm mp(Q) mà (Q) chứa d vng góc với (P) Vậy d’ giao tuyến (P) (Q) Để giải ta cần viết phương trình mặt phẳng (Q) Chia nhỏ: Bài toán chia thành 05 toán nhỏ: - Lấy điểm M d (Bài toán 5) r - Tìm vectơ phương u d (Dễ dàng) r - Tìm pháp vectơ n (P) (Dễ dàng) r r - Viết phương trình (Q) qua M có cặp vectơ phương u, n (Bài tốn 6) - Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến (P) (Q).(bài toán 7) Tiến hành giải: Diểm M(1;-1;2) r r Ta có u = (1; −1; 2) ; n = (2;1;1) Trang Ta có (Q) : − x + y + z =  x =    Vậy phương trình tham số đường thẳng cần tìm  y = − 3t  z = t    x = + 2t  Ví dụ 10 Cho A(1;1;-6) d :  y = −1 − t Viết phương trình tham số đường  z = + 2t  thẳng qua A vng góc với d cắt d Hình minh họa Phân tích Gọi đường thẳng cần tìm d’, d’ qua A vng góc với d nên d’ nằm mặt phẳng (P) với (P) chứa A vng góc với d Gọi H giao điểm d (P) Để d’ cắt d d’ phải qua H Vì đường thẳng cần tìm AH Chia nhỏ: Bài tốn chia thành 03 toán nhỏ sau: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d (Bài tốn 4) - Tìm giao điểm H (P) d (Bài tốn 1) - Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A H (Bài toán 2) Tiến hành giải: mp( P ) : x − y + z + 11 = ; giao điểm H(-3;1-2)  x = + 4t  Vậy d ' :  y =  z = −6 − 4t  Ví dụ 11 Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng  x = 1− t  x = 2−t'   (P): y+2z=0 cắt hai đường thẳng sau: d :  y = t , d ' :  y = + 2t '  z = 4t  z =1   Trang Hình minh họa Phân tích Gọi a đường thẳng cần tìm, a nằm (P) cắt d d’ nên a phải qua giao điểm hai đường thẳng d d’ với (P) Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 toán nhỏ sau: - Tìm giao điểm A d (P) (Bài tốn 1) - Tìm giao điểm B d’ (P) (Bài tốn 1) - Viết phương trình đường thẳng qua A B (Bài toán 2) Tiến hành giải: Điểm A(1;0;0); điểm B(5;-2;1)  x = − 4t  Phương trình tham số đường thẳng cần tìm: a :  y = 2t  z = −t  Ví dụ 12 Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1;1) vng góc với  x = −1 x −1 y + z  d: = = cắt đường thẳng d ' :  y = −t 1 z = − t  Hình minh họa Phân tích Phân tích: Gọi a đường thẳng cần tìm Vì a qua M vng góc với d nên a thuộc (P) với (P) qua M vuông góc với d Vì a qua M cắt d nên a thuộc (Q) với (Q) qua M chứa d’ Vậy đường thẳng cần tim giao tuyến (P) (Q) Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 tốn sau: - Viết phương trình (P) qua M vng góc với d (Bài tốn 4) Trang 10 - Viết phương trình (Q) qua M chứa d’ (Ví dụ 7) - Viết phương trình tham số a giao tuyến (P) (Q) (bài tốn 7) Tiến hành giải: Ta có ( P) : x + y + z − = Ta có (Q) : x − y + z =  x = 2t  Vậy phương trình tham số đường thẳng cần tìm:  y = − 2t  z = − 4t  Ví dụ 13 Cho (P) đường thẳng d có phương trình: (P) x + y + z − =  y =1 d : Viết phương trình tham số đường thẳng qua giao điểm d (P),  z = −1 nằm (P) vng góc d Hình minh họa Phân tích Gọi a đường thẳng cần tìm Gọi I giao điểm d (P).Vì a qua I vng góc với d nên a thuộc (Q) với (Q) qua I vng góc với d Mặt khác theo đề ta có a thuộc (P) Vậy a giao tuyến (P) (Q) Chia nhỏ: Bài toán chia thành 03 tốn nhỏ sau: - Tìm giao điểm I d (P) (Bài toán 1) - Viết phương trình (Q) qua I vng góc với d (Bài tốn 4) - Viết phương trình tham số đường thẳng a giao tuyến (P) (Q) (bài toán 7) Tiến hành giải: Điểm I(1;1;-1); mp (Q) : x − = x =1  Vậy phương trình tham số đường thẳng cần tìm a :  y = t  z = −t  3.3 Khả áp dụng giải pháp: Trang 11 - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng có hiệu lớp 12 chúng tơi giảng dạy; - Sáng kiến tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên giảng dạy Tốn tổ chun mơn; 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: - Sáng kiến giúp em học sinh tự tin hơn, tích cực học tập Mỗi học sinh có điều kiện thể kiến Qua em tự đánh giá lực thân - Sau áp dụng sáng kiến chất lượng học tập học sinh tăng lên đáng kể - Sáng kiến phù hợp để ôn tập cuối chương cuối năm học Bến Tre, ngày 15 tháng năm 2018 Nhóm tác giả: Nguyễn Thị Bích Loan Lê Vĩnh Phúc Trần Văn Dũng Phạm Văn Dũng Trường THPT Lê Hồng Chiếu, huyện Bình Đại Trang 12 ... khâu phân tích này, (Nên chiếm khoảng 30% số điểm toàn bài) - Khi phân tích tốn giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ hình minh họa để em thấy rõ vấn đề - Từ kết phân tích học sinh tiến hành chia nhỏ. .. phần sau) - Khi giải tốn hình giải tích khơng gian, giáo viên trọng nhiều đến khâu phân tích Dành khoảng thời gian định để tổ chức cho em phân tích, chia nhỏ tốn đánh giá giải học sinh lớp giáo... tượng dễ tìm lời giải Các tốn nhiều, chùng tơi xin trình bày số toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng xin phép khơng trình bày lời giải Bài tốn Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Bài tốn Viết