KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11

MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1 1.1. Cơ sở lí luận ............................................................................................... 1 1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................... 2 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................... 2 2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2 3. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 5. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3 PHẦN 2: NỘI DUNG ....................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ....................................................................... 4 1.1. Những lí luận chung về giải toán và kỹ năng giải toán ............................ 4 1.1.1. Khái niệm giải toán ................................................................................ 4 1.1.2. Phương pháp chung để giải một bài toán ................................................ 5 1.1.3. Kỹ năng ................................................................................................... 8 1.1.4. Kỹ năng giải toán .................................................................................... 9 1.1.5. Kỹ năng định hướng giải toán ............................................................. 11 1.2. Một số định hướng để rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán đối với học sinh ..................................................................................................... 11 1.2.1. Nắm vững hệ thống khái niệm, vận dụng để tìm định hướng giải ..... 11 1.2.2. Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải .. 12 1.3. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán đối với học sinh lớp 11 .......................................................................................... 13 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 ................................................................ 15 2.1. Một số kiến thức cơ bản để định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” ......... 15 2.1.1. Các tính chất thừa nhận ....................................................................... 15 2.1.2. Cách xác định mặt phẳng ..................................................................... 15 2.1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian..................... 15 2.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ... 16 2.1.5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ..................................................... 16 2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” ......................................................................................................................... 16 2.2.1. Biện pháp 1: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các khái niệm để tìm hướng giải bài toán ............................................................................. 16 2.2.2. Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí tính chất để tìm định hướng giải bài toán ..................................................... 19 2.4. Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng toán ................................................. 24 2.4.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ...................................................... 24 2.4.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ................................... 26 2.4.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng ......................................................... 27 2.4.4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .......................... 30 2.4.5. Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau ................................. 32 2.4.6. Xác định thiết diện................................................................................ 34 CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 38 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 38 3.2. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 38 3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 38 3.4. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 38 3.5. Tiến hành thử nghiệm ............................................................................. 39 3.6. Đánh giá kết quả thử nghiệm .................................................................. 39 3.6.1. Về phương pháp dạy ............................................................................ 39 3.6.2. Về khả năng lĩnh hội của học sinh ....................................................... 39 3.6.3. Về kết quả kiểm tra .............................................................................. 39 PHẦN 3: KẾT LUẬN..................................................................................... 42 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Cơ sở lí luận Tìm định hướng giải một bài toán là một kỹ năng rất quan trọng của việc giải toán, kỹ năng này không chỉ giúp học sinh có tầm nhìn từ khi đọc bài toán mà còn có tác dụng trong suốt quá trình giải toán. Có thể thấy việc hình thành rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài toán có tính chất quyết định đến toàn bộ công việc giải toán. Khi gặp một bài toán mà ta không tìm được định hướng giải thì ta sẽ không hoàn thành được công việc giải bài toán đó. Hoặc nếu ta có định hướng rồi nhưng định hướng chưa tốt thì bài toán đó cũng sẽ khó có lời giải tốt. Còn nếu ta tìm được định hướng tốt không đồng nghĩa với việc bài toán đó có được lời giải tốt nhưng đó là bước đầu tiên để có dược lời giải tốt. Khi rèn luyện được kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài toán ta có thể phát huy tính sáng tạo, khả năng làm việc độc lập, tư duy các vấn đề toán học một cách logic. Vì thế chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng này ngay từ những nội dung đầu tiên của việc giải toán để tạo hứng thú ngay từ đầu cho học sinh, vừa hình thành khả năng tự hình thành khă năng tự học, tự nghiên cứu trong giải toán cho học sinh. Nội dung hình học không gian của lớp 11 là một nội dung tương đối khó và trừu tượng. Nếu như ở lớp 10 các em được làm quen với điểm, đường thẳng, vec-tơ, trong mặt phẳng thì lớp 11 các em sẽ được làm quen với các yếu tố trên trong không gian. Từ đó học sinh sẽ chuyển từ nghiên cứu các đối tượng trực quan sang các đối tượng trừu tượng, có sự mở rộng từ mặt phẳng (không gian hai chiều) sang không gian (không gian ba chiều). Sự mở rộng từ mặt phẳng sang không gian về cơ bản là sự tương tự hóa. Khi nghiên cứu trong không gian: Các kiến thức về điểm, đường thẳng, mặt phẳng, vectơ…đã biết trong mặt phẳng vẫn được bảo tồn đúng khi các điểm, đường thẳng, vectơ thuộc cùng một mặt phẳng. Vì thế các bài tập về phần đường thẳng và mặt phẳng trong không gian mang tính tổng hợp đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tính chất hình học phẳng: hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng … đã được học trước đó. Khi giải quyết các bài tập về phần này giúp học sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp. Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và hình học không gian sẽ giúp các em giải quyết bài toán một cách tốt nhất. 2 1.2. Cơ sở thực tiễn Chương trình môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ở bậc THPT rất phong phú và đa dạng. Chính vì thế học sinh cũng gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập đặc biệt là kiến thức hình học không gian lớp 11. Không ít học sinh rất e ngại khi phải đối mặt với nội dung này bởi độ khó và trừu tượng. Học sinh gặp khó khăn khi tìm định hướng lời giải. Vì thế học sinh muốn học tốt được môn Toán nói chung và hình học không gian 11 nói riêng thì không những cần phải biết nhiều dạng toán và nắm vững cách giải các dạng bài tập đó mà còn phải có kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán. Vì những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11”. Với đề tài này tôi mong muốn nó có thể trở thành tài liệu để tham khảo cho các bạn sinh viên sư phạm Toán và giúp các giáo viên ở các trường THPT trong việc giảng dạy. 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán cho học sinh lớp 11. Nội dung được chọn là chương: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Nghiên cứu lí luận về giải toán và định hướng lời giải trong hoạt động giải toán. 2. Nghiên cứu và chỉ ra một số biện pháp để rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài tập để tìm lời giải, cụ thể là một số bài tập thuộc nội dung “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” của hình học lớp 11. 3. Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra. 3. Giả thuyết khoa học Nếu rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng lời giải bài toán tốt giúp học sinh học và giải toán tốt hơn. Từ đó năng lực giải toán của học sinh được nâng lên. 4. Phương pháp nghiên cứu 1. Nghiên cứu lí luận: Hệ thống quan điểm về năng lực giải toán và định hướng giải bài toán trong sách, báo, tài liệu có liên quan về phương pháp dạy học. 2. Nghiên cứu thực tiễn: Điều tra khảo sát.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DƯƠNG THỊ MAI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG”

CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

DƯƠNG THỊ MAI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG”

CHO HỌC SINH LỚP 11

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Vũ Quốc Khánh

Sơn La, năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Em hoàn thành được khóa luận này là nhờ có sự động viên giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Toán – Lí – Tin, các thầy cô giáo trường THPT Mường Bi và các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo, thư viện và một số Phòng, Ban, Khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy thầy giáo chủ nhiệm – Tiến sĩ

Vũ Quốc Khánh là người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ để giúp em hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em mong được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đọc Mong rằng khóa luận này là tài liệu tham khảo hữu ích với những bạn sinh viên ĐHSP Toán và các giáo viên giảng dạy tại các trường THPT

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013

Sinh viên Dương Thị Mai

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

1.1 Cơ sở lí luận 1

1.2 Cơ sở thực tiễn 2

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 3

PHẦN 2: NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 4

1.1 Những lí luận chung về giải toán và kỹ năng giải toán 4

1.1.1 Khái niệm giải toán 4

1.1.2 Phương pháp chung để giải một bài toán 5

1.1.3 Kỹ năng 8

1.1.4 Kỹ năng giải toán 9

1.1.5 Kỹ năng định hướng giải toán 11

1.2 Một số định hướng để rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán đối với học sinh 11

1.2.1 Nắm vững hệ thống khái niệm, vận dụng để tìm định hướng giải 11

1.2.2 Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải 12

1.3 Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán đối với học sinh lớp 11 13

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 15

2.1 Một số kiến thức cơ bản để định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” 15

2.1.1 Các tính chất thừa nhận 15

2.1.2 Cách xác định mặt phẳng 15

2.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 15

2.1.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 16

2.1.5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 16

2.2 Biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” 16

2.2.1 Biện pháp 1: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các khái niệm để tìm hướng giải bài toán 16

2.2.2 Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí tính chất để tìm định hướng giải bài toán 19

2.4 Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng toán 24

2.4.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 24

2.4.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 26

2.4.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 27

2.4.4 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 30

2.4.5 Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau 32

2.4.6 Xác định thiết diện 34

CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 38

3.1 Mục đích thực nghiệm 38

3.2 Phương pháp thực nghiệm 38

3.3 Nội dung thực nghiệm 38

3.4 Tổ chức thực nghiệm 38

3.5 Tiến hành thử nghiệm 39

3.6 Đánh giá kết quả thử nghiệm 39

3.6.1 Về phương pháp dạy 39

3.6.2 Về khả năng lĩnh hội của học sinh 39

3.6.3 Về kết quả kiểm tra 39

PHẦN 3: KẾT LUẬN 42

sẽ khó có lời giải tốt Còn nếu ta tìm được định hướng tốt không đồng nghĩa với việc bài toán đó có được lời giải tốt nhưng đó là bước đầu tiên để có dược lời giải tốt Khi rèn luyện được kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài toán ta có thể phát huy tính sáng tạo, khả năng làm việc độc lập, tư duy các vấn đề toán học một cách logic Vì thế chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng này ngay từ những nội dung đầu tiên của việc giải toán để tạo hứng thú ngay từ đầu cho học sinh, vừa hình thành khả năng tự hình thành khă năng tự học, tự nghiên cứu trong giải toán cho học sinh

Nội dung hình học không gian của lớp 11 là một nội dung tương đối khó và trừu tượng Nếu như ở lớp 10 các em được làm quen với điểm, đường thẳng, vec-tơ, trong mặt phẳng thì lớp 11 các em sẽ được làm quen với các yếu tố trên trong không gian Từ đó học sinh sẽ chuyển từ nghiên cứu các đối tượng trực quan sang các đối tượng trừu tượng, có sự mở rộng từ mặt phẳng (không gian hai chiều) sang không gian (không gian ba chiều)

Sự mở rộng từ mặt phẳng sang không gian về cơ bản là sự tương tự hóa Khi nghiên cứu trong không gian: Các kiến thức về điểm, đường thẳng, mặt phẳng, vectơ…đã biết trong mặt phẳng vẫn được bảo tồn đúng khi các điểm, đường thẳng, vectơ thuộc cùng một mặt phẳng Vì thế các bài tập về phần đường thẳng và mặt phẳng trong không gian mang tính tổng hợp đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tính chất hình học phẳng: hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng … đã được học trước đó Khi giải quyết các bài tập về phần này giúp học sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và hình học không gian sẽ giúp các em giải quyết bài toán một cách tốt nhất

1.2 Cơ sở thực tiễn

Chương trình môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ở bậc THPT rất phong phú và đa dạng Chính vì thế học sinh cũng gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập đặc biệt là kiến thức hình học không gian lớp 11 Không

ít học sinh rất e ngại khi phải đối mặt với nội dung này bởi độ khó và trừu tượng Học sinh gặp khó khăn khi tìm định hướng lời giải Vì thế học sinh muốn học tốt được môn Toán nói chung và hình học không gian 11 nói riêng thì không những cần phải biết nhiều dạng toán và nắm vững cách giải các dạng bài tập đó mà còn phải có kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán

Vì những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng

định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11” Với đề tài này

tôi mong muốn nó có thể trở thành tài liệu để tham khảo cho các bạn sinh viên

sư phạm Toán và giúp các giáo viên ở các trường THPT trong việc giảng dạy

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán cho học sinh lớp 11 Nội dung được chọn là chương: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song”

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu lí luận về giải toán và định hướng lời giải trong hoạt động giải

toán

2 Nghiên cứu và chỉ ra một số biện pháp để rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài tập để tìm lời giải, cụ thể là một số bài tập thuộc nội dung “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” của hình học lớp 11

3 Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra

3 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng lời giải bài toán tốt giúp học sinh học và giải toán tốt hơn Từ đó năng lực giải toán của học sinh được nâng lên

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lí luận: Hệ thống quan điểm về năng lực giải toán và định hướng giải bài toán trong sách, báo, tài liệu có liên quan về phương pháp dạy học

2 Nghiên cứu thực tiễn: Điều tra khảo sát

3 Thực nghiệm sư phạm: Biện pháp cụ thể rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải toán cho học sinh lớp 11 và bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi hiệu quả của những lí thuyết đã đề ra

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Những lí luận chung về giải toán và kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm giải toán

Giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã cho và cái phải tìm Là vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết các vấn

đề bài toán đặt ra

Trong dạy hoạt động giải toán, giải bài tập là hoạt động quan trọng được thực hiện thường xuyên liên tục trong các giờ lên lớp của giáo viên, mặt khác có thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập là hoạt động cụ thể có tác dụng trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực giải toán Giải bài tập có tác dụng phát triển năng lực giải toán trên nhiều góc độ khác nhau tùy theo ta chọn góc độ nào mà thôi Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim: Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

+ Trên bình diện mục tiêu:

Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+ Trên bình diện nội dung dạy học:

Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào

đó được trình bày trong phần lý thuyết

+ Trên bình diện phương pháp dạy học:

Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định

và trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác nhau Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động Bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập trong giao lưu [8,tr.412-413]

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào

để giải được bài toán Để giải được bài toán trước hết cần tìm được con đường, hướng đi cho bài toán Vì vậy khi dạy giải bài tập cần tập cho học sinh kỹ năng định hướng tìm lời giải để từ đó các em có các hướng đi đúng đắn trong việc giải bài tập Việc định hướng lời giải sẽ giúp học sinh xác định được hướng đi, nội dung kiến thức liên quan và các kỹ thuật cần thiết để tìm ra lời giải bài toán Khi đã xây dựng hướng đi đúng đắn rõ rệt các em có thể vận dụng kiến thức, kinh nghiệm có sẵn vào hoàn cảnh mới liên kết các kinh nghiệm cũ đã được tích lũy vào việc giải quyết yêu cầu mới trong những tình huống mới

1.1.2 Phương pháp chung để giải một bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, Nguyễn

Bá Kim đã nêu lên phương pháp chung để giải một bài toán như sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dung công thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việc diễn

tả đề bài

Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trong bước này Theo Polya, người giải toán phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìm hiểu: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phải hiểu rõ nội dung bài toán người học mới có khả năng vận dụng các tri thức toán học vào việc định hướng lời giải của bài toán Cụ thể là khả năng nắm bắt và vận dụng những tri thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính chất, mệnh đề, định lí và hệ quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải bài toán

Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học có thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán Từ đó xác định các kiến thức liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các thao tác

kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng đi tốt nhất cho lời giải

 Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh Liên hệ cái đã cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được Đối chiếu kết quả với một số tri thúc liên quan…

- Tìm tòi những cách giải khác So sánh chúng để chọn được cách giải hợp

lí nhất

Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy để tìm ra cách giải bài toán Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Việc định hướng tìm lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên quan đến bài toán Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải bài toán Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho lời giải được thể hiện rõ ràng hơn Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu không định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ không thể đi đến lời giải bài toán dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác Nhờ việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả Mặt khác, đối với những bài toán

mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ yếu thuộc về kỹ năng thuật giải Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướng lời giải đòi hỏi người giải toán không ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt động của mình Sự sáng tạo nói trên còn thể hiện ở việc học sinh biết chọn thao tác kỹ thuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thể hiện lời giải tối ưu

Một bài toán thông thường không chỉ có duy nhất một cách giải Vì thế, sau khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tòi các cách giải khác Từ

đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu Điều này sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhau trong giải một bài toán, giúp học sinh mở rộng tầm nhìn về toàn bộ hệ thống kiến thức của bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trong các kiến thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán

 Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải bài toán thể hiện ở khả năng sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giải chính xác của bài toán Thông thường quá trình suy nghĩ tìm tòi lời giải của bài toán là quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải của bài toán lại

là quá trình “phân tích đi xuống” Thực tế cho thấy có nhiều học sinh mặc dù đã hiểu và nghĩ ra lời giải của bài tập nhưng không thể trình bày và hoàn thiện chính xác lời giải đó Điều đó ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của học sinh Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cách trình bày lời giải những bài toán tương tự không những giúp học sinh định hướng được cách trình bày lời giải mà còn giúp học sinh biết biết chọn ra cách giải nhanh nhất, lời giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả các lời giải khác nhau của bài toán học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài toán Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập

Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung của một lời giải: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước suy luận hợp logic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không thiếu Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiên cứu tình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự

Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ với nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới Việc tìm bài toán liên quan cần vận dụng thường xuyên khi giải bài tập Vì khi giải một bài toán nào

đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp với kiến thức nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng những kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho Từ đó cũng góp phần rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết (tuy không dễ) nhưng rất bổ ích

1.1.3 Kỹ năng

“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó khả năng được hiểu là “Sức đã có” (về mặt nào đó) để có thực hiện một việc gì.[5, tr548]

Trong tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”

Các nhà giáo dục cho rằng “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người để đạt được mục đích Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[2, tr99]

Trong thực tế cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải các bài tập, cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực hiện nguyên lý của trường phổ thông là:

“Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

1.1.4 Kỹ năng giải toán

Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa nhận được “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…)” [5, tr12]

Theo Polya: Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Như vậy, kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức

Trong toán học thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán

Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các bước giải của một bài tập Toán học Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt động

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vứng kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tùy theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng Trong chương trình Toán phổ thông, cụ thể là khi rèn luyện kỹ năng giải bài tập về hình học không gian ta có thể chỉ ra một số

kỹ năng sau:

+ Kỹ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm + Kỹ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng tính toán vì nó

có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán, rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này Kỹ năng này đòi hỏi sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng

bước tính toán của một lời giải

+ Kỹ năng vận dụng các định lý, tính chất, hệ quả, mệnh đề Về mặt kỹ năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc + Kỹ năng vận dụng các tri thức đã có vào giải các bài toán cụ thể về hình học không gian: Học sinh phải rèn luyện kỹ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình giải toán của Polya gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung đề toán: Xây dựng chương

trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Đặc biệt cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng định hướng lời giải bài toán dựa vào những tri thức đã có

+ Kỹ năng chứng minh Toán học Theo Hoàng Chúng, để có kỹ năng chứng minh Toán học học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

+ Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều; là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng kiến thức, đồng thờinó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của Toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều

và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

+ Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kỹ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có tính thẩm mĩ

+ Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức + Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt

động nghiên cứu tương ứng

+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Polya) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó của lời giải là một thành công của người học toán

Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những

nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm

về kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức sạch đẹp, Việc hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

1.1.5 Kỹ năng định hướng giải toán

Kỹ năng định hướng giải toán chủ yếu nằm trong giai đoạn đầu tiên của việc giải toán

Định hướng tìm lời giải là việc tìm ra con đường để giải toán, tìm ra những lối đi đúng Vì vậy tìm định hướng giải toán là khâu có vai trò quan trọng quyết định đến toàn bộ lời giải bài toán

Muốn có định hướng tốt để tìm ra lời giải cho bài toán trước hết phải xác định đúng thể loại bài toán Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán

đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu bài toán và các dữ liệu cho trong bài toán để xác định đúng thể loại bài toán Từ các giả thiết và kết luận của bài toán người giải toán phải xác định được nội dung kiến thức sinh ra bài toán và các kiến thức cần thiết để có thể áp dụng giải bài toán đó Từ các kiến thức này người giải xác định được những kỹ năng, thao tác kỹ thuật tương ứng cần sử dụng khi giải bài toán

Việc rèn luyện kỹ năng định hướng lời giải đòi hỏi học sinh phải có khả năng đón nhận được kiến thức mà tác giả bài toán đã sử dụng để tạo ra bài tập

Từ biến đổi phù hợp học sinh tạo ra các bài tập tương tự hoặc các bài tập mới và nắm vững cách thức giải chúng nhằm nâng cao sự hiểu biết của chính mình Rèn luyện tìm định hướng lời giải bắt buộc học sinh phải đọc lập trong suy nghĩ, phải tự chủ nhiều hơn Đó chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng độc lập, sáng tạo Học sinh từ vai trò tiếp thu kiến thức trở thành chủ thể sáng tạo ra tri thức cho bản thân Như vậy, rèn luyện kỹ năng định hướng lời giải là một yêu cầu cần thiết trong đổi mới phương pháp dạy học ở THPT

1.2 Một số định hướng để rèn luyện kỹ năng định hướng giải bài toán đối với học sinh

1.2.1 Nắm vững hệ thống khái niệm, vận dụng để tìm định hướng giải

Trong việc dạy học Toán cũng như việc dạy học bất cứ một môn khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là phải hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh

(qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học) [5, tr.116]

Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn là một trong những yêu cầu của dạy học khái niệm Muốn vận dụng một khái niệm trước tiên phải hiểu rõ về khái niệm, vị trí, vai trò tác dụng của khái niệm đó trong hệ thống các tri thức có liên quan đến bài toán Hiểu rõ hệ thống khái niệm liên quan tới bài toán là cơ sở để hình thành và nâng cao khả năng vận dụng các khái niệm trong định hướng lời giải Việc vận dụng khái niệm toán học để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm

mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm Cần chú trọng khai thác

hệ thống bài tập nhận dạng và thể hiện khái niệm chính, khái niệm liên quan, bài tập tìm điều kiện tương đương định nghĩa định ra hướng giải

Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng Mỗi khái niệm

có dấu hiệu bản chất riêng Vì thế, dựa vào các dấu hiệu bản chất của khái niệm

ta có thể định hướng được lời giải Có nhiều biện pháp sử dụng hình thức dạy học khái niệm để định hướng giải:

- Xem xét hướng giải bài tập qua nội hàm của khái niệm chính sinh bài tập

đó Mở rộng ra ta có thể tìm hướng giải qua nội hàm của các khái niệm có liên quan đến bài tập Nếu phát hiện trong bài tập chỉ chứa các thuộc tính bản chất của một khái niệm thì ta chọn đó là một hướng suy nghĩ để định hướng giải Nếu phát hiện trong bài tập có chứa các thuộc tính bản chất của nhiều khái niệm thì

có thể chọn nhiều khái niệm khác nhau Tuy nhiên trước tiên nên chọn thuộc tính của khái niệm mà ta hiểu rõ nhất để xem xét hướng giải, sau đó mới chuyển sang xem xét các thuộc tính khác hay khái niệm khác

- Xem xét ngoại diên của khái niệm đã phát hiện từ bài tập Ta có thể dựa vào đối tượng chính của bài tập để xác định hướng giải Hoặc mở rộng ra ta xem xét lớp đối tượng xác định khái niệm của bài tập để định hướng giải

- Khai thác hình thức dạy học khám phá khái niệm tương đương với khái niệm chính trong bài tập Mỗi khái niệm được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau tạo nên các khái niệm tương đương Ta có thể xem xét các thuộc tính của bài tập trong hệ thống các khái niệm tương đương tìm định hướng giải Mỗi khái niệm tương đương chứa thuộc tính bản chất của bài tập cho ta một định hướng giải

1.2.2 Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải

Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả

năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức

Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn là một trong những yêu cầu của dạy học định lí Việc vận dụng định lí để giải bài tập toán, kể cả những bài tập chứng minh, và giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí Bám sát định lí, tính chất cũng là một trong những định hướng để rèn luyện

kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán Điều đó thể hiện ở việc hiểu rõ hệ thống các tính chất, mệnh đề, định lí cơ bản trong chương trình có liên quan đến bài toán Cần chú trọng khai thác hệ thống bài tập nhận dạng và thể hiện định lí chính, định lí liên quan, bài tập về điều kiện tương đương định lí định ra hướng giải

Có nhiều cách khai thác dạy học định lí nhằm định hướng lời giải bài toán:

- Nắm rõ kiến thức của hệ thống định lí liên quan tới bài toán, xác định định lí chính gắn với dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải

- Nắm rõ quan hệ chính trong bài tập với quan hệ của hệ thống định lí, xác định quan hệ chính gắn với định lí quan trọng phù hợp với dữ kiện dữ liệu của bài toán để định hướng giải

- Nắm rõ các suy luận trong chứng minh của hệ thống định lí có liên quan, đối chiếu dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải

- Sử dụng khả năng suy luận, suy diễn đi từ các dấu hiệu của bài toán tới các

dữ kiện, dữ liệu của hệ thống định lí có liên quan với bài toán để định hướng giải

- Vận dụng suy đoán từ các dấu hiệu của của các định lí đã biết, đối chiếu với dữ kiện, dữ liệu của bài toán để định hướng giải

1.3 Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán đối với học sinh lớp 11

Rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán cung cấp cho học sinh cách nhìn về bài toán Biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy mẫu mực Thể hiện một cách nhìn vào đặc điểm cụ thể của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối Qua đó người giải mới biết cách khai thác mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán Biết cách nhìn bài toán trong những bối cảnh chung nhưng lại phải nhìn bài toán trong trường hợp cụ thể hoặc trong tương quan với những bài toán khác

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng giải toán giúp cho người giải thấy rõ hướng đi của bài toán Thông qua việc phân tích các giả thiết, kết luận, các điều kiện của bài toán giúp cho người giải toán thấy rõ quá trình xảy ra

có tính chất quy luật của mọi bài toán Hay nói cách khác người giải toán sẽ biết được với các giả thiết và các điều kiện đã cho, như vậy thì tất yếu kết quả, diễn

ra như thế nào Làm quen với mặt này thì người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mà mình đã tiến hành và hy vọng vào mọi thao tác, biến đổi

Quá tình suy nghĩ tìm hướng giải cho bài toán giúp học sinh có thể tự kiểm tra vốn kiến thức sẵn có, mức độ tiếp thu kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Quá trình này cũng rèn luyện cho học sinh tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống Qua đó rèn luyện trí thông minh, phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

Đối với học sinh lớp 11, đối tượng được các em nghiên cứu là các yếu tố của hình học không gian mang tính trừu tượng: mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, điểm trong không gian…Ở đây không gian được mở rộng từ hai chiều lên ba chiều, các đối tượng nghiên cứu cũng chuyển từ trực quan sang trừu tượng Các bài toán hình học không gian cũng vì thế mà thêm độ trừu tượng Độ khó cũng vì thế mà nâng lên Mặt khác công việc giải toán sẽ gặp nhiều khó khăn nếu không tìm được hướng đi ngay từ ban đầu cho bài toán Yêu cầu đặt ra

là phải làm cho học sinh có được kỹ năng tìm, xác định được hướng đi cho bài toán để công việc giải toán được thực hiện dễ dàng hơn Muốn vậy, các em phải được rèn luyện kỹ năng tìm định hướng lời giải để có thể hoàn thành tốt công

sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và hình học không gian sẽ giúp các em giải quyết bài toán một cách tốt nhất Từ đó các em có hứng thú đối với môn Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng

Học sinh khi tìm ra lời giải bài toán đặc biệt là bài toán khó, phương pháp giải mới sẽ có nhiều hứng thú Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê toán học và ước mơ vươn tới chiếm lĩnh những đỉnh cao tri thức

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ

SONG SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11

Từ kết quả chương 1 nội dung chương 2 của khoá luận hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song Tiến hành nghiên cứu một số biện pháp rèn luyện kỹ năng định hướng giải cho học sinh lớp 11

2.1 Một số kiến thức cơ bản để định hướng giải bài toán thuộc nội dung:

“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song”

2.1.1 Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn

có một điểm chung khác nữa

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

2.1.2 Cách xác định mặt phẳng

Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết:

1 Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng

2 Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua nó

3 Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau

2.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Xảy ra ba khả năng sau:

2.1.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

2.1.5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

2.2.1 Biện pháp 1: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các khái niệm

để tìm hướng giải bài toán

a, Cơ sở lí luận của biện pháp

Kiến thức của môn học có tính chất dãy Ứng với mỗi hệ thống kiến thức

cụ thể là hệ thống khái niệm có một hệ thống bài tập

Hệ thống các khái niệm toán học là cơ sở toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học)” [10, tr.116]

Khái niệm 1

khái

Mỗi định khái niệm đều có dấu hiệu bản chất riêng nên dựa vào dấu hiệu bản chất của mỗi khái niệm sẽ cho chúng ta những định hướng giải khác nhau

Ví dụ: muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, nếu dựa vào định nghĩa thì

ta cần phải chỉ ra chúng không có điểm chung

Một khái niệm có thể có nhiều cách định nghĩa, dựa vào mỗi cách định nghĩa ta lại có những định hướng giải khác nhau.Với mỗi cách định nghĩa cho ta một hướng giải

Nếu không nắm vững hệ thống khái niệm thì không xác định được hướng giải, không biết được cách giải trực tiếp và gián tiếp Một bài tập có thể liên quan đến một dãy các khái niệm

Như vậy, việc nắm vững hệ thống các khái niệm cùng với dấu hiệu bản chất của chúng, hệ thống các khái niệm tương đương là rất cần thiết cho việc rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán

Trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song, các em cần nắm được hệ thống các khái niệm: mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng, hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt phẳng song song với mặt phẳng… để định hướng giải bài tập

b, Ý nghĩa, mục đích của biện pháp

- Ý nghĩa:

+ Có ảnh hưởng quyết định đến hiệu quả, chất lượng định hướng lời giải + Giúp học sinh củng cố, nâng cao năng lực nhận thức, vận dụng kiến thức liên quan đến bài tập để tìm định hướng giải

Làm cho học sinh dần dần đạt được những mục tiêu sau:

1 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

2 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

3 Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm

4 Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

5 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

c, Tổ chức thực hiện

- Bước 1: Sắp xếp các dấu hiệu của bài toán theo trình tự bài tập hoặc theo thứ tự quan trọng

- Bước 2: So sánh hệ thống dấu hiệu với hệ thống khái niệm đã biết

- Bước 3: Dùng suy luận để phát hiện, làm rõ mối quan hệ của dữ kiện với

hệ thống khái niệm tàng ẩn

- Bước 4: Tổng hợp các hướng cơ bản từ ba bước trên

d, Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

Để chứng minh hai đường thẳng không có điểm chung ta có thể chứng minh theo các hướng:

- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai đường thẳng

và chứng minh hệ này vô nghiệm

0 '0

Ví dụ 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song

song song nếu chúng không có điểm chung

Ta có thể chứng minh theo một số hướng:

- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai mặt phẳng Nếu hệ này vô nghiệm thì đường thẳng và mặt phẳng song song

- Định hướng 4: Chứng minh phản chứng: Giả sử hai mặt phẳng có điểm chung, ta chứng minh điều giả sử đó là sai

2.2.2 Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí tính chất để tìm định hướng giải bài toán

a, Cơ sở lí luận của biện pháp

Từ tính chất dãy của khái niệm ta có hệ thống các tính chất định lý của môn học Ứng với mỗi hệ thống định lí, tính chất có một hệ thống bài tập tương ứng

Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn đặc biệt là khả năng suy luận, chứng minh

Mỗi định lý, tính chất cũng có những dấu hiệu bản chất riêng biệt nên dựa vào các dấu hiệu bản chất đó, học sinh sẽ tìm được định hướng giải

Nếu chỉ nắm vững hệ thống khái niệm mà không nắm vững hệ thống định lí thì khó xác định được hướng giải bài toán Vì nếu chỉ dựa vào định nghĩa để

định hướng giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn Chẳng hạn, muốn chứng minh

tìm số giao điểm của chúng Tuy nhiên việc tìm số giao điểm này không hề dễ dàng, không phải lúc nào cũng tìm được Vì vậy ta cần tìm hướng giải cho bài toán dựa vào các định lý, tính chất

Một bài tập có thể liên quan đến một dãy các định lí Như vậy, việc nắm vững hệ thống các định lí, tính chất cùng với dấu hiệu bản chất của chúng, hệ thống các định lí tương đương là rất cần thiết cho việc rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán

Trong chương này, các em cần nắm được các tính chất thừa nhận và hệ thống các định lý, tính chất thuộc từng bài học như: các định lý, tính chất liên quan đến đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt phẳng song song với mặt phẳng… để định hướng giải bài tập

c, Ý nghĩa, mục đích của biện pháp

- Ý nghĩa:

+ Có ảnh hưởng quyết định tới hiệu quả chất lượng định hướng lời giải + Giúp học sinh củng cố, nâng cao năng lực nhận thức, vận dụng kiến thức liên quan đến bài tập để tìm định hướng giải

- Mục đích:

+ Rèn luyện được khả năng định hướng lời giải dựa vào các định lí, tính chất đã biết

+ Giúp cho học sinh nâng cao khả năng nhận thức về các dạng kiến thức cơ bản dưới nhiều hướng giải khác nhau

+ Học sinh có thể nhìn bài tập liên quan đến một hệ thống định lí, tính chất

cơ bản

c, Tổ chức thực hiện

- Bước 1: Sắp xếp các dấu hiệu của bài toán theo trình tự bài tập hoặc theo thứ tự quan trọng

- Bước 2: So sánh hệ thống dấu hiệu với hệ thống định lí, tính chất đã biết

- Bước 3: Dùng suy luận để phát hiện mối quan hệ của dữ kiện với hệ thống định lí, tính chất tàng ẩn

- Bước 4: Tổng hợp các hướng cơ bản từ ba bước trên

d, Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Chứng minh hai đường thẳng song song

Dựa vào hệ thống định lí, tính chất ta có thể chứng minh hai đường thẳng song song theo một số hướng sau:

- Định hướng 1: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.)

- Định hướng 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

- Định hướng 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

- Định hướng 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó

- Định hướng 5: Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

- Định hướng 7: Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một căp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau

- Định hướng 8: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau

- Định hướng 9: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác (Định lý Ta-lét đảo trong mặt phẳng)

Ví dụ 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Ta có các hướng chứng minh:

,

- Định hướng 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một

và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

- Định hướng 3: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

.' ' ' ' ' '

song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng (Định lý Ta-lét đảo trong không gian)

- Định hướng 5: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

- Định hướng 6: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

(Định hướng 5, 6 học sinh sẽ được học ở chương “Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian.”)

*Ngoài ra do giới hạn về phạm vi của khóa luận nên chúng tôi chỉ nêu

ra hai biện pháp khác nhằm giúp định hướng lời giải

Biện pháp 3: Rèn luyện khả năng phân tích, kết hợp các dữ kiện của bài toán để tìm định hướng giải bài toán

Nếu học sinh chỉ nắm vững hệ thống các khái niệm, định lý, tính chất thì chưa đủ để rèn luyện cho học sinh kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán Từ phân tích bài toán, ta có thể tìm được định hướng giải Chẳng hạn, đối với bài toán dựng thiết diện song song với một đường thẳng sau:

“Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm

Ta đi phân tích bài toán:

- Bài toán cho các dữ kiện:

+ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD

+ O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD + M là trung điểm của cạnh bên SA

Để định hướng giải được bài toán trên học sinh cần nắm được các khái niệm: hình chóp, hình bình hành, trung điểm, đường thẳng song song với mặt phẳng, thiết diện Học sinh cũng phải nắm được các tính chất của hình bình hành, giao điểm hai đường chéo của hình bình hành, trung điểm M, tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng Ngoài ra, học sinh còn phải nắm được một số kiến thức liên quan như: đường trung bình của tam giác, định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng

Sau khi phân tích bài toán, ta có định hướng giải:

(ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD

giao tuyến song song với SC

Từ các định hướng trên ta sẽ có lời giải cho bài toán

Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng vẽ hình để tìm định hướng giải bài toán

Để định hướng lời giải tốt học sinh cần được rèn luyện kỹ năng vẽ hình Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, hình học không gian rất trừu tượng, vì thế hình vẽ góp phần làm giảm độ trừu tường và tăng thêm phần trực quan cho bài toán Nếu vẽ hình tốt, thì dựa vào hình vẽ học sinh có thể nhanh chóng tìm ra được định hướng giải Ngược lại, nếu vẽ hình không tốt thì sẽ gây khó khăn trong việc phán đoán tìm định hướng giải Vì thế, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có tính thẩm mĩ

2.4 Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung

“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng toán

2.4.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1 Định hướng giải

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của hai mặt phẳng Như vậy muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ ra đường thẳng chung của hai mặt phẳng Ta có thể đi theo các hướng sau:

1 Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng

2 Giải hệ gồm phương trình xác định hai mặt phẳng

3 Khoảng cách từ ba điểm phân biệt không thẳng hàng thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia là khác nhau

4 Chứng minh hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng không cùng phương

5 Vectơ chỉ phương của hai mặt phẳng không cùng phương

6 Xét vectơ chỉ phương của phương trình tham số

7 Dùng phản chứng

Tuy nhiên với nội dung “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” thì ta thường làm theo hướng 1

2 Ví dụ

Bài 1[15,bài 7,tr.54]: Cho bốn điểmA B C D, , , không đồng phẳng GọiI K, lần

Nhận xét và định hướng giải

Để giải bài toán chúng ta tìm điểm chung của

(DMN)

Tương tự ta tìm được điểm chung thứ hai của chúng là điểm I.

(IBC) và (DMN)

Bài 2 [15,bài8,tr.54]: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm

Nhận xét và định hướng giải

như vậy ta đi tìm 2 điểm chung của chúng