Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÍ LUẬN

2.4.5.Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau

2.4. Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung

2.4.5.Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau

1. Định hướng giải

1. Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

2. d là một đường thẳng thuộc ( ) , d không thuộc ( ) , ta chứng minh

d song song với ( ) .

3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

4. Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a' lần lượt lấy các điểm , A B,C và A', B',C' sao cho . ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B  B C  C A

Khi đó, ba đường thẳng AA', BB', CC' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. (Định lý Ta-lét đảo trong không gian).

5. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

6. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

7. Giải hệ gồm các phương trình xác định hai mặt phẳng. Nếu hệ này vô nghiệm thì đường thẳng và mặt phẳng song song.

8.M là một điểm tùy ý thuộc ( ) , ta chứng minh khoảng cách từ M đến ( ) là khơng đổi.

2. Ví dụ

Bài 2 [12,bài2.22,tr.73] Cho tứ diện ABCD. Gọi G1,G2,G3, lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G G G1 2 3)// (BCD).

Định hướng giải

Ta chứng minh mặt phẳng (G G G1 2 3) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (BCD).

Muốn vậy ta chứng minh G G1 2,G G2 3

song song với mặt phẳng (BCD). Ta cần chỉ ra G G1 2,G G2 3 song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD).

Ta chứng minh G G1 2 song song với ,

IK G G2 3 song song với JK với I,J K, lần lượt là trung điểm của BC,CD, DB.

Ta có G G1, 2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD nên

1 2 2

AJ 3

AG AG

AI   nên G1G2 song với IJ.

Tương tự, ta có G2G3 song song với JK .

Bài 3 [21,bài56,tr.61] Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Gọi P,Q, R,S lần lượt là tâm các mặt bên ABB A' ', BCC B' ', CDD' ',C DAA'D'. Chứng minh rằng (PQRS) song song với (ABCD).

Định hướng giải

Ta có thể chứng minh cho (PQRS) và (ABCD) cùng song song với mặt phẳng ( ' ' 'A B C D') hoặc ta có thể chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (PQRS) cùng song song với mặt phẳng ABCD.

+ Để chứng minh cho PQRS và

ABCD cùng song song với mặt phẳng ( ' ' 'A B C D') ta chỉ cần chứng minh (PQRS) song song với ( ' ' 'A B C D'). Như vậy, ta cần chứng minh cho PQ,

QR song song với mặt phẳng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

A B C D' ' ' '. Ta chỉ cần chỉ ra PQ

song song với A C' ', QR song song với

' '

B D .

Mà P, Q là tâm của các mặt bên ABB A' ', BCC B' ' nên 1

' ' 2

BP BQ

BA  BC  . Vậy PQ song song với A C' '. Tương tự ta có QR song song với B D' '.

+ Để chứng minh cho (PQRS) song song với (ABCD) ta làm tương tự như trường hợp (PQRS) song song với ( ' ' 'A B C D').