Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÍ LUẬN

2.4. Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung

2.4.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

1. Định hướng giải

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta đi tìm điểm chung của chúng.

Ta có thể chứng minh theo các hướng sau:

1. Giải hệ gồm phương trình xác định đường thẳng và mặt phẳng. Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất.

2. Tồn tại hình chiếu vng góc của vectơ bất kì thuộc đường thẳng xuống mặt phẳng khác vectơ chỉ phương của đường thẳng.

3. Có hai điểm thuộc đường thẳng nằm trong hai miền khác nhau của không gian bị chia bởi mặt phẳng.

4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng không nằm trong tập hợp các vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

5. Vectơ chỉ phương của đường thẳng và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng khơng đồng phẳng.

2. Ví dụ

Bài 1: Cho bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CD lấy điểm P sao cho CP2PD.

a,Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP). b,Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP).

Định hướng giải

a, Ta đi tìm điểm chung của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP). Ta thấy MN và BD không đồng

phẳng, MP và BD cũng khơng đồng phẳng. Vậy muốn tìm điểm chung của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP) ta cần tìm giao điểm của đường thẳng

BD và đường thẳng NP. Ta có 1 2 BN BC  mà 2 3 CP CD  nên

NP không song song với BD. Gọi Q là

giao điểm của NP và BD thì Q là điểm cần tìm.

b, Ta đi tìm điểm chung của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP).

Ta tìm giao điểm của đường thẳng MQ với đường thẳng AD. Gọi R là giao điểm của đường thẳng MQ và AD ta có R là điểm cần tìm.

Bài 3[12,bài2.6,61] Cho hình chóp S ABCD M. , và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng

(AMN).

Định hướng giải

Ta tìm điểm chung của đường thẳng SD

và mặt phẳng (AMN). Muốn vậy ta tìm một mặt phẳng chứa SD, rồi tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt phẳng (AMN). Từ đó tìm giao điểm của của giao tuyến này và SD.

Ta thấy (SBD) là mặt phẳng chứa SD. Ta đi tìm giao tuyến của (SBD) và mặt phẳng (AMN). Gọi LBDAN; ; O ACBD ; K SOSD

Ta có KL là giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (AMN). ;

P KLSD

Ta có P là điểm cần tìm.