CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÍ LUẬN
2.4. Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán thuộc nội dung
2.4.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Định hướng giải
Để chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng, ta có thể chứng minh theo các hướng:
1. Ta chứng minh ba điểm cùng thuộc một đường thẳng 2. Chứng minh ba điểm cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
3. Để chứng minh ba điểm A, B C, thẳng hàng, ta chứng minh
ABk AC.
2. Ví dụ
Bài 1 [12,bài2.7,tr.61] Cho tứ diện SABC. Trên SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm D E, và F sao cho DE cắt AB tại I,EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại
.
K Chứng minh ba điểm I, J K, thẳng hàng.
Định hướng giải
Để chứng minh ba điểm I, J K, thẳng hàng ta đi chứng minh chúng thuộc cùng một đường thẳng hoặc thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Trong bài này ta đi chứng minh ba điểm trên cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Theo giải thiết ta đã có DEABI.
Nhận thấy: DE( EF)D nên
EF
I D .
Mặt khác AB(ABC) nên I(ABC).
Vậy I là điểm thuộc hai mặt phẳng ( EF)D và (ABC). Ta cần chứng minh hai điểm J K, cũng thuộc hai mặt phẳng trên.
Việc chứng minh J K, thuộc hai mặt phẳng ( EF)D và (ABC) làm tương tự như đối với điểm I .
Bài 2[12,bài 2.8,tr.61]: Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ) cắt nhau theo giao tuyến d.Trong ( ) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là điểm nằm ngoài ( ) và ( ) sao cho OA và OB lần lượt cắt ( ) tại A' và B'.
Chứng minh ba điểm I, A', B' thẳng hàng.
Định hướng giải
Muốn chứng minh ba điểm I, A', B' thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Ta thấy A'OA( ) nên A' ( ) và A'OA. Mà OA(OAB) nên
' ( )
α
Vậy A' thuộc hai mặt phẳng (OAB) và
. Ta cần chứng minh B', I cũng thuộc hai mặt phẳng trên.
Chứng minh tương tự ta có B' thuộc hai mặt phẳng (OAB) và .
Ta có I ABd. Mà AB(OAB),
d nên I thuộc hai mặt phẳng (OAB) và .
Bài 3 [21,bài6,tr.51] Cho hai điểm cố định A B, nằm về hai phía của mặt phẳng ( )P cố định. Gọi M là điểm chuyển động bất kỳ trong không gia. Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng MA MB, lần lượt cắt ( )P tại hai điểm A', B' phân biệt thì đường thẳng A B' ' đi qua một điểm cố định.
Định hướng giải
Muốn chứng minh A B' ' đi qua một điểm I cố định ta chứng minh
'
A , B', I thẳng hàng. Muốn vậy ta phải chứng minh A', B', I cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Theo bài ra ta đã có A B, nằm về hai phía đối với mặt phẳng ( )P
nên đường thẳng AB cắt ( )P tại một điểm I . Khi đó I cố định.
Có hai trường hợp có thể xảy ra với M :
Nếu M nằm trên đường thẳng AB thì A'B'I.
Nếu M khơng nằm trên đường thẳng AB thì có mặt phẳng (MAB). Khi đó ta cần chứng minh A', B', I cùng thuộc mặt phẳng (MAB).