skkn một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móc cách

Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”

Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường

áp dụng một cách máy móc cách giải của một số bài toán màcác sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình họctổng hợp với hình học giải tích Vì vậy, khi gặp phải bài toán

“Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bàitoán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ vềđường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học

ở môn Hình học 11 vào bài toán này

Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bàitoán “Viết phương trình đường vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh địnhhướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từngđiều kiện cụ thể.

II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:

1 Lý thuyết

d 2 Đường thẳng cắt cả d 1 và d 2 đồng thời vuông góc với cả

d 1 và d 2 được gọi là đường vuông góc chung của hai đường

2 Bài toán

Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và

d2 Lập phương trình đường thẳng  là đường vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2

Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai

đường thẳng chéo nhau d1 và d2”

Ta có: d 1  MNtại N và d 2  MNtại M nên MN là đường vuôngchung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2

d2

M

N

Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chungtrong trường hợp d 1  d 2 này là:

Phương trình của đường thẳng  được lập từ giao tuyến của

b

hai mặt phẳng (P) và (Q)

Ta chứng minh  là đường vuông góc chung của d 1 và d 2

Ta có : u ;a ;b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ,

d 1 và d 2

Mà u a và u b nên d   1 và d   2

=(P) (Q)  và (P)d 1 nên d 1 vàđồng phẳng mà u ;a  không cùngphương nêncắt d 1

=(P) (Q)  và (Q)d 2 nên d 2 và đồng phẳng mà u ; b  không cùngphương nên cắt d 2

Vậy  là đường vuông góc chung của d 1 và d 2

N

1

d , đồng phẳng và u ;a  không cùng phương nên d1 cắt 

Vậy  là đường vuông góc chung của d1 và d2

+ Do d 1 và d 2 chéo nhau nên có duy nhất mp(P) chứa d 1 và

song song với d 2

+ d’ là hình chiếu vuông góc của (d2) lên (P) nên d’ // d 2

u 

B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’

B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với

d1

Khi đó: c d  2  M

B6: Khi đó  là đường thẳng qua M và có VTCP AH 

Ta chứng minh  là đường vuông góc chung của d 1 và d 2

d’

Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương là

a (1; 2; 1)  ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là b ( 7;2;3) 

Ta có : a, b   (8; 4;16)

Gọi  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và

d2 thì có vectơ chỉ phương u (2;1; 4)

Mặt phẳng (P) : (P)d1 và (P) có cặp VTCP (u,a ) Suy ra (P)qua A có vectơ pháp tuyến là: n 1  u,a   ( 9;6;3)

Mặt phẳng (Q) :(Q)d2 và (Q) có cặp VTCP (u, b ) Suy ra (Q)qua B có vectơ pháp tuyến n 2  u, b   ( 5; 34;11)

Giả sử đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và

d2 thì MN đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương a và

b nên ta có:

MN.a 0 5 7t ' t 2( 4 2t ' 2t) ( 7 3t ' t) 0

7( 5 7t ' t) 2( 4 2t ' 2t) 3( 7 3t ' t) 0 MN.b 0

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là a (1; 2; 1)  , đường thẳng

Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là

a (1; 2; 1)  , đường thẳng d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là

b ( 7;2;3) 

Lập phương trình mp(P): 1

2

(P) d (P) / /d









Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ chỉ phương (a, b ) nên

mp (P) có vectơ pháp tuyến n  a, b  (8; 4;16)

 

Khi đó mp(P) cóphương trình là: 2x y 4z 53 0    

Gọi đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên mặtphẳng (P) Nên đường thẳng d’ là giao tuyến của hai mặtphẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là mp chứa d2 và vuông gócvới mp (P)

Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương (b, n )nên mp(Q) có vectơ pháp tuyến n ' b, n  (5;34; 11)

 

  

, mp (Q) cóphương trình là: 5x 34y 11z 38 0    

Gọi M =d ' d  1, toạ độ điểm M là nghiệm của hệ :



Vậy phương trình tham số của đường thẳng

x 7 2t : y 3 t

Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là

a (1; 2; 1)  ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là b ( 7;2;3) 

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua A(8;5;8) và vuông góc với d1, (P)

có vectơ pháp tuyến a (1; 2; 1) 

(P) : x 2y z 10 0    

+ Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên (P) d ' (P) (Q)   Với (Q) là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với (P)  (Q) quaB(3;1;1) có cặp VTCP (a, b )

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d’

(R) là mặt phẳng qua A và vuông góc (d’) nên (R) có vectơpháp tuyến nR =(3;-2;-1)

+ Gọi c là đường thẳng qua H và c // d1 nên đường thẳng c cóphương trình tham số là :

a Đường thẳng d1 đi qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP

(1;0;1)

a  , d2 đi qua điểm B(2; 1; 2 ) và có VTCP b    (1; 1; 1)

Ta thấy hai vectơ a  (1;0;1) và b    (1; 1; 1) không cùng

phương và hệ gồm hai phương của hai đường thẳng d1 và

d2 vô nghiệm do đó d1 và d2 chéo nhau

Ta có a b   1.1 0.( 1) 1.( 1) 0      nên hai đường d1 và d2 vuông góc với nhau

b Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và có VTPT là

Bài 1 Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp

đường thẳng chéo nhau sau:

b) Lập phương trình hình chiếu của d2 lên mp(P)

c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và

của hai đường thẳng chéo nhau” các em thường lúng túng đểxác định các cách giải quyết bài toán này Trong năm học

2009 – 2010 bản thân tôi đã áp dụng các phương pháp trênvào trong bài giảng của mình, giúp các em học sinh địnhhướng và chọn một phương pháp cụ thể khi giải quyết bàitoán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau, và cho kiểm tra trên các lớp 12A2 12B1 cókết quả như sau:

Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Số

dạy tôi đã áp dụng vào trong các lớp 12A2 và lớp 12B1 tôinhận thấy các em phần nào hiểu được các cách giải, các em

đã biết vận dụng và chọn lựa cách giải phù hợp trong từng bàitoán Với kinh nghiệm còn ít, chắc chắn không tránh khỏithiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quí thầy

cô Xin chân thành cảm ơn

Ninh sơn, ngày tháng 05 năm

2010

NGƯỜI VIẾT

LÊ THỊ TUYẾT TRÂM

XẾP LOẠI VÀ XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH