SKKN một số DẠNG về bài TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG VỀ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ thực tiễn dạy học phổ thông học phải đơi với hành chương trình hình học lớp 12 tốn viết phương trình mặt phẳng phương trình đường thẳng dạng tốn hay khơng q khó, nhiên để làm tốn dạng địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ tư lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lơgic Là dạng tốn chiếm tỉ lệ nhiều phần hình học giải tích khơng gian đề thi tốt nghiệp THPT thi đại học, cao đẳng Là giáo viên công tác trường THCS & THPT Bàu Hàm, đa số học sinh mức độ trung bình – yếu, mức độ tư vừa phải, em dễ nhầm lẫn giải toán dạng này, đặc biệt việc tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ phương đường thẳng Do để giúp em khơng bị khó khăn gặp dạng tốn này, thiết nghĩ nên tóm tắt lại phương pháp phân loại lại tập từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp cận cách đơn giản dễ nhớ vận dụng làm tốt II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Cơ sở lý luận Trong thực tế giảng dạy cung cấp kiến thức mà làm tập mà không ý tới dạng tốn học sinh gặp khó khăn gặp dạng tốn phát triển từ dạng tốn ban đầu học sinh găp khó khăn Đặc biệt học sinh thuộc dạng trung binh – yếu, tư em bị hạn chế Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ tốt thiết nghĩ phải nên tổng hợp lại dạng toán cho học sinh sau giúp học sinh giải tập để học sinh vận dụng tốt thi gặp phải dạng toán tương tự Để thực đề tài này, sau học sinh làm tập sách giáo khoa, giao nhiệm vụ cho tổ số dạng để học sinh tổ thảo luận tóm tắt dạng tốn làm ví dụ tơi u cầu, sau tổng hợp tổ lại tiến hành nhận xét chỉnh sữa lại cho hoàn chỉnh Thời gian để thực thiện đề tài tiết tập học tăng tiết buổi ôn thi tốt nghiệp Một số kiến thức cần lưu ý: r r 1) Véctơ n ≠ nằm đường thẳng vng góc với mp( α ) gọi véctơ pháp tuyến mp ( α ) r r 2) Nếu véctơ u, v véctơ không phương có giá song song nằm Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 r r r mp( α ) véctơ n = u, v  véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) 3) Phương trình Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ gọi phương trình tổng r quát mặt phẳng ( α ) Khi mp( α ) có véctơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) r 4) Mặt phẳng ( α ) qua điểm M0(x0;y0;z0) có véctơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) mp( α ) có phương trình A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 5) Nếu ( α ) qua điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc ≠ phương trình mặt phẳng (ABC) x y z + + = (1) Phương trình (1) gọi phương trình mặt a b c phẳng theo đoạn chắn r r r 6) Véctơ a ≠ có giá song song trùng với đường thẳng d a vectơ phương đường thẳng d r 7) Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)∈ d có vectơ phương d a = (a; b ; c ) thì:  x = x0 + at  * Phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt  z = z + ct  * Phương trình tắc d : ;( t tham số) x − x0 y − y0 z − z0 = = ; (a.b.c ≠ ) a b c 8) Cho hai điểm A(xA;yA; zA) B(xB;yB; zB) Ta có: uuur a) AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z A − zB ) x A + xB y A + y B z A + z B  ; ; ÷ 2    b) Tọa độ trung điểm I AB I  r Quy ước: Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng kí hiệu n r Véc tơ phương đường thẳng kí hiệu a Nêu phương pháp chung để giải toán Cần lưu ý cho học sinh: Để viết phương trình đường thẳng d phương pháp chung phải xác định véctơ phương đường thẳng tọa độ điểm mà đường thẳng qua, sau dựa vào cơng thức định nghĩa (trang 83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng Một số dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Viết phương trìnhr tham số phương trình tắc đường thẳng biết véctơ phương a = ( a; b; c) qua điểm M0(x0;y0;z0) Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Hướng dẫn: Năm học: 2011 - 2012  x = x0 + at  * Phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt  z = z + ct  * Phương trình tắc d : ;( t tham số) x − x0 y − y0 z − z0 = = ; (a.b.c ≠ ) a b c Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 1; 3) có véc tơ phương u =(3; -1; -2) b/ d qua góc tọa độ có véc tơ phương u =(3; 1; -2) Lời giải  x = + 3t  a/ Ta có phương trình tham số d :  y = − t ( t tham số )  z = − 2t  phương trình tắc d : x − y −1 z − = = −1 −2  x = 3t  b/ phương trình tham số d  y = t ( t tham số)  z = −2t  phương trình tắc d x y z = = −2 Dạng 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A, B cho trước Hướng dẫn - Véc tơ phương d AB - Chọn điểm A B điểm mà d qua ( Đưa dạng 1) Ví dụ: Viết phương trình tham số d trường hợp sau : a/ d qua A(-2; 1; 5) B(-1; 2; ) b/ d qua M(-1, 2, 3) gốc tọa độ Lời giải a/ Do d qua A B nên véc tơ phương d AB =(1; 1; -5) Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012  x = −2 + t  Lấy A(-2; 1; 5) ∈ d phương trình tham số d  y = + t  z = − 5t  ( t tham số ) b/ Do qua M gốc tọa độ O nên véc tơ phương d OM =(-1; 2; 3)  x = −t  phương trình tham số d là:  y = 2t  z = 3t  ( t tham số) Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước vng góc với mặt phẳng ( α ) Hướng dẫn r B1: Tìm vectơ pháp tuyến n mp( α ) r r B2 : Do d vng góc với ( α ) nên n ( α ) a d r B3: đường thẳng d qua điểm M0 nhận a làm vectơ phương Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua M(2; -1; -3) vng góc với ( α ): x + 2y – 3z + = b/ d qua N(0; 2; -3) vng góc (Oxy) Lời giải uu r r a/ d vuông góc với ( α ) nên ta chọn ad = nα = (1; 2; -3) vectơ phương d uu r đường thẳng d qua M(2;-1; -3) nhận véctơ ad = (1; 2; -3) làm vectơ phương x = + t  có phương trình tham số  y = −1 + 2t (t tham số)  z = −3 − 3t  b/ Do d ⊥ (Oxy) nên vectơ phương d k =(0; 0; 1) x =  phương trình tham số  y =  z = −3 + t  (t tham số) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với đường thẳng ∆ (M∉ ∆ ) Hướng dẫn uu r uu r B1 : Ta có ad a∆ Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 uu r B2: đường thẳng d qua M nhận ad vectơ phương Ví dụ:: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: x = + t  a/ d qua điểm M(2; 2; -1) song song với ∆ :  y = + 2t ( t tham số)  z = − 3t  b/ d qua điểm M(2; 2; -1) song song với ∆ : x − y +1 z = = c/ d qua điểm M(2; 2; -1) song song với trục ox Lời giải r a/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ phương d a = (1; 2; -3) x = + t  ⇒ phương trình tham số đường thẳng d là:  y = + 2t ( t tham số)  z = −1 − 3t  r b/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ phương d a = (3; 2; 4)  x = + 3t  ⇒ phương trình tham số đường thẳng d là:  y = + 2t ( t tham số)  z = −1 + 4t  c/ Do d // Ox ⇒ vec tơ phương d i = (1; 0; 0) x = + t  ⇒ phương trình tham số đường thẳng d là:  y = (t tham số) z =  Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước song song với hai mặt phẳng (P) (Q) cho trước Hướng dẫn uur uur B1: Tìm vectơ nP n Q r B2: Vec tơ phương d a = [ n P, n Q] r B3: Viết phương trình đường thẳng d qua M0 nhận a làm vectơ phương Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua M(3; 1; 5) song song với hai mặt phẳng : (P): 2x + 3y - 2z +1 = Giáo viên: Trần Văn Công (Q): x – 3y + z -2 = Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Lời giải Năm học: 2011 - 2012 Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) r Do d //(P) d//(Q) vec tơ phương d a = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)  x = − 3t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 4t  z = − 9t  ( t tham số) Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước, song song với hai mặt phẳng (P) vng góc với d’ cho trước.(d’ khơng vng góc với (P)) Hướng dẫn uu r uu r B1: Tìm vectơ nP ad' uu r uur B2: Vec tơ phương d ad = [ n P, ad ' ] uu r B3 : Viết phương trình đường thẳng d qua M nhận ud làm vectơ phương Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 0; -1), song song (P): 3x – 2y + z + = vng góc với d’: x −1 y +1 z + = =  x = + 3t  b/ d qua điểm M(-1; 1; 3) song song với(Oxz) vng góc với d’:  y = − t  z = + 2t  Lời giải r a/ Ta có : n P = (3; -2; 1) a d ' = (2; 3; ) uur r Do d//(P) d ⊥ d’ ⇒ vec tơ phương d a = [ n P, ad ' ] = (-11; -10; 13)  x = − 11t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = −10t  z = −1 + 13t  r b/ Ta có : j = (0; 1; 0) a d ' = (3; -1; ) ( t tham số) r r Do d//(Oxz) d ⊥ d’ ⇒ vec tơ phương d a = [ j , a d ' ] = (2; 0; -3)  x = −1 + 2t  ⇒ phương trình tham số d là:  y =  z = − 3t  Giáo viên: Trần Văn Công ( t tham số) Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước, vng góc với hai đường thẳng d1 d2 không phương Hướng dẫn ur uu r B1: Tìm vectơ phương d1 d2 a1 a2 r ur uu r B2: vec tơ phương d a =  a1 , a2  r B3: Viết phương trình đường thẳng d qua M0 nhận a làm vectơ phương Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua M(2; -3; 4) vng góc với d 1:  x = − 3t  y = + t  z = −1 + 2t  ( t tham số ) d2: x +1 y z + = = Lời giải r r Ta có: vec tơ phương d1 d2 a = (-3; 1; 2) a = (2; 5; ) r r r Do d ⊥ d1 d ⊥ d2 ⇒ vec tơ phương d a =[ a 1, a 2]= (-7; 13; -17)  x = − 7t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = −3 + 13t  z = − 17t  ( t tham số) Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cho trước , vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 Phân tích toán : - d ∩ d = N ⇒ N ∈ d N ∈ d ⇒ N ∈ d2 N ∈ d - Khi MN vec tơ phương d ⇒ MN u = ⇒ tọa độ điểm N Hướng dẫn giải : B1: Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2 theo tham số t B2: Lập véc tơ MN =? , xác định vec tơ phương d1 B3: d ⊥ d1 ⇒ MN u = ⇒ toạ độ điểm N B4: d đường thẳng qua M N biết ( dạng 2) Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua M(-2; 1; 3) vng góc với d1: x −1 y z + = = cắt d2 :  x = −3   y = − t ( t tham số) z = + t  Lời giải: Ta có: vec tơ phương d1 : u = (1; 2; 1) Do d cắt d2 ⇒ N(-3; - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-1; – t ; -2 + t ) phương d d ⊥ d1 ⇒ MN u = ⇒ t = -1 ⇒ MN = (-1; 2; -3)  x = −2 − t  ⇒ phương trình tham số d :  y = + 2t  z = − 3t  ( t tham số) Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d song song cách hai đường thẳng song song d1 d2 nằm mặt phẳng chứa d1 d2 Hướng dẫn B1: Chỉ phương d phương d1 d2 (Do song song) B2: Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN ∈ d B3: Viết phương trình thẳng d theo dạng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  x = + 3t  x − y +1 z = = d1:  y = −3 + t ( t tham số ) d2: −2  z = − 2t  Viết phương trình tham số đường thẳng d nằm mặt phẳng chứa d d2 đồng thời cách hai đường thẳng Lời giải Do d1//d2 d cách d1, d2 ⇒ phương d u = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN I(3; -2; 2) ∈ d  x = + 3t  ⇒ phương trình tham số d  y = −2 + t  z = − 2t  Giáo viên: Trần Văn Công ( t tham số ) Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 cho trước Hướng dẫn B1: Giả sử d cắt d1 d2 M N ⇒ dạng toạ độ M N ⇒ MN ? B2 : d vng góc (P) ⇒ pháp tuyến n P (P) phương MN ⇒ toạ độ M, N ( Đưa toán dạng 9) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + = đồng thời cắt hai đường thẳng x = + t  d1:  y = + 3t ;  z = − 2t  x = − t '  d2:  y = + t '  z = + 2t '  ( t t’ tham số ) Lời giải: Giả sử d cắt d1 M ⇒ toạ độ M (3 + t; + 3t; - 2t) d cắt d2 N ⇒ toạ độ N (2- t’; + t’; + 2t’) ⇒ MN =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3) Pháp tuyến (P) n P= (1; 2; 1) Do d vng góc với (P) ⇒ MN n P phương ⇒ − t '−t − t '−3t + 2t '+2t + − t’= − 13 ⇒ t= = = 12 ⇒ M( 11 ; ; ) ∈ d1 , 4 2 MN =( ; ; ) ⇒ phương d u =(1; 2; 1) 3 ⇒ phương trình tham số d 11  x = +t   : y = +2t   z = +t   ; ( t tham số ) Dạng 11: Tìm tọa độ điểm M hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) Hướng dẫn B1: Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P) B2: M = d ∩ ( P ) Giáo viên: Trần Văn Công Trang Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M hình chiếu vng góc A(0, 1, -2) lên mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = Lời giải x = t  Đường thẳng d qua A vng góc với (P) có phương trình  y = − 2t  z = −2 + 2t  Do M hình chiếu vng góc A lên (P) nên tọa độ điểm M = d ∩ ( P ) Xét phương trình : t – 2(1 – 2t) + 2(-2 + 2t) – = t = 7 4 Vậy  ; − ; − ÷ 9 9 Bài tập tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(0; 2; 1) B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng AB Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phương trình tắc đường thẳng MN Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M N Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(-1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : x – 2y + 2z +5 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) Bài 5: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : 2x – 3y + 6z +35 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng ( α ): 2x – 2y + z - = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với ( α) Bài 7: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) Bài 8: Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng Giáo viên: Trần Văn Công Trang 10 Trường THCS&THPT Bàu Hàm x−3 y −3 z −3 = = d1: Năm học: 2011 - 2012 x = − t  d2:  y = 2t z = + t  Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy cắt hai x = + t  đường thẳng d1:  y = + 5t  z = −1 + 4t  (t ∈ R); x = − t '  d2:  y = + 2t ' z = + t'  (t’ ∈ R ) Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y −1 z + = d1: = −1  x = −1 + 2t  d2:  y = + t z =  (t ∈ R) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 cắt hai đương thẳng d1 d2 Bài 11: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz lập phương trình đương thẳng d song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + = cắt hai đường thẳng d1: x + y − z +1 x−4 y z−2 = = = = , d2: −3 −2 Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3; )vng góc với  x = −3 x +1 y + z +  = = đường thẳng d1: cắt đường thẳng d2:  y = − t 1 z = − t  (t ∈ R) Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng d1: x−2 y +2 z −3 = = , −1 d2: x −1 y −1 z +1 = = −1 Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với d1 cắt d2 Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng  x = −3 + 2t  d:  y = − t  z = −1 + 4t  , viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d Giáo viên: Trần Văn Công Trang 11 Trường THCS&THPT Bàu Hàm Năm học: 2011 - 2012 Bài 15: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách d 1, d2 thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1: x+2 y −5 z −9 = = ; −1 d2: x y+3 z+7 = = −1 III Kết thực Đề tài thực Năm học 2010 – 2011 cho hai lớp 12A1và 12A4, nhấn thấy thu kết khả quan, em nắm tốt điểm cao so với hai lớp 12 năm học 2009 – 2010 đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 làm tốt phần hình học giải tích khơng gian Kết kiểm tra 45 phút chương : phương pháp tọa độ không gian hai lớp 12 năm học 2010 – 2011 sau: Mơn Tốn Lớp Giỏi Khá Yếu, Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 12A1 40 10 25 25 62.5 0 12A4 44 11.9 22 52.4 11.9 Qua đề tài này, bước khởi đầu có tính định hướng, gợi mở, cịn việc thực thùy thuộc vào giáo viên đối tượng học sinh trình xây dựng đề tài hạn chế tài liệu nên khơng thể trách khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến q thầy đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện IV TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Hình 12 – chương trình chuẩn – Trần Văn Hạo NXB giáo dục - Sách giáo khoa Hình 12 – Nâng cao – Đoàn Quỳnh NXB giáo dục - Sách tập Hình 12 – NXB giáo dục - Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Tốn 12 – Lê Hồng Đức NXB đại học quốc gia Hà Nôi - Phân dạng phương pháp giải Tốn Hình 12 – Trần Bá Hà NXB đại học quốc gia Hà Nôi Giáo viên: Trần Văn Công Trang 12 ... mà đường thẳng qua, sau dựa vào cơng thức định nghĩa (trang 83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng Một số dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Viết phương trìnhr tham số phương. .. r Véc tơ phương đường thẳng kí hiệu a Nêu phương pháp chung để giải toán Cần lưu ý cho học sinh: Để viết phương trình đường thẳng d phương pháp chung phải xác định véctơ phương đường thẳng tọa... Do d ⊥ (Oxy) nên vectơ phương d k =(0; 0; 1) x =  phương trình tham số  y =  z = −3 + t  (t tham số) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với đường thẳng ∆ (M∉ ∆ ) Hướng