Khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này. Để giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I / ĐẶT VẤN ĐỀ Như biết Hình học mơn học khó nhiều học sinh, mà đặc biệt hình học không gian, đa số em nối kết hình học tổng hợp với hình học giải tích Mặc dù lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao em cịn yếu hình học Cụ thể để giải số tốn khó chương trình Hình học nâng cao 12 , chương III “Phương pháp toạ độ khơng gian”, địi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Qua nhiều năm giảng dạy, nhân thấy em thường áp dụng cách máy móc cách giải số toán mà sách tập trình bày, chưa biết kết nối hình học tổng hợp với hình học giải tích Vì vậy, gặp phải tốn “Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau”, em thường lúng túng giải tốn có học sinh làm cịn mơ hồ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau, khơng nối kết kiến thức đường vng góc chung học mơn Hình học 11 vào tốn Chính vậy, tơi xin trình bày số cách để giải tốn “Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định hướng giải toán cách hợp lý tùy theo điều kiện cụ thể II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP: Lý thuyết a Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Đường thẳng D cắt d1 d2 đồng thời vng góc với d1 d2 gọi đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 b Các định lý : b.1- Hai đường thẳng chéo có đường vng góc chung b.2- Nếu d1, d2 hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Bài toán Trong không gian cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Lập phương trình đường thẳng D đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Bài giải: r Trong ta giả sử đường thẳng d1 qua A(xA ;yA ;z A) có vectơ phương (VTCP) a , r đường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) có VTCP b a Trường hợp đặc biệt : d1 ^ d Ta có cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 sau: d2 + Dựng mp (P): (P) É d1 (P) ^ d M + Dựng MN : MN ^ d1 N + Đường thẳng MN đường vng góc chung d1 d2 P M N d1 Chứng minh : “Đường thẳng MN đường vuông chung hai đường thẳng chéo d1 d2” Ta có: d1 ^ MN N d ^ MN M nên MN đường vuông chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Nên ta có cách lập phương trình đường vng góc chung trường hợp d1 ^ d là: d2 B1: Lập phương trình mp(P) : (P) É d1 (P) ^ d r u B2: Tìm M: M = (P) Ç d r r r B3: Khi D đường thẳng qua M có VTCP u = éëa, b ùû M P d1 b Trong trường hợp khác ta sử dụng cách sau Cách 1: r r B1 Tìm vectơ phương (VTCP) đường thẳng d1 a , VTCP d2 b r r r r r r r B2 Tìm u = éëa, b ùû u ^ a u ^ b d1 B3 Lập phương trình : d2 r r Mặt phẳng (P) cho :(P) É d1 (P) có cặp VTCP ( a, u ) r r Mặt phẳng (Q) cho :(Q) É d2 (Q) có cặp VTCP ( b, u ) · · r u P Q B4 Ta có : D = (P) Ç (Q) Phương trình đường thẳng D lập từ giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Ta chứng minh D đường vng góc chung d1 d2 r r r Ta có : u ; a ; b vectơ phương đường thẳng D , d1 d2 r r r r Mà u ^ a u ^ b nên d1 ^ D d ^ D r r D = (P) Ç (Q) (P) É d1 nên d1 D đồng phẳng mà u ; a không phương nên D cắt d1 r r D = (P) Ç (Q) (Q) É d2 nên d2 D đồng phẳng mà u ; b không phương nên D cắt d2 Vậy D đường vng góc chung d1 d2 Cách 2: B1 Lấy điểm M ( x M ; y M ; z M ) Ỵ d1 , lấy điểm N ( x N ; y N ; z N ) Ỵ d uuuur Khi MN = (x N - x M ; y N - y M ; z N - z M ) d1 M r a B2: Đường thẳng MN đường vng góc chung d1 d2 uuuur r uuuur r ìïMN ^ a ìïMN.a = Û í uuuur r Û í uuuur r ïỵMN ^ b ïỵMN.b = Giải hệ tìm toạ độ hai điểm N M B3: Đường thẳng D đường thẳng MN N d2 r b Ta chứng minh D đường vng góc chung d1 d2 uuuur r ìï MN ^ a Ta có í uuuur r nên d1 ^ D d ^ D ïỵ MN ^ b D Ç d1 = M D Ç d = N Vậy D đường vuông góc chung d1 d2 Cách 3: r r r r r r r B1: Tính u = éëa, b ùû u ^ a u ^ b r r B3: Tìm M: M = d Ç (P) d1 D B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):(P) É d1 (P) có cặp VTCP ( a, u ) P r u r r r B4: Khi D đường thẳng qua M có VTCP u = éëa, b ùû d2 M Ta chứng minh D đường vng góc chung d1 d2 r r r r Vì u ^ a u ^ b nên d1 ^ D d ^ D D Ç d2 = M r r D đường thẳng qua M có VTCP u M Ỵ (P) , (P) có VTCP u nên D Ì (P) r r d1 , D đồng phẳng u ; a không phương nên d1 cắt D Vậy D đường vng góc chung d1 d2 Cách 4: ìd1 Ì (P) ỵd / /(P) B1: Lập phương trình mp(P): í D d2 B2: Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d2 lên (P) B3: Tìm M = d 'Ç d1 r r u r r B4: Khi D đường thẳng qua M có VTCP u = éëa, b ùû P M d1 d’ Cách có từ cách dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Hình học 11 + Do d1 d2 chéo nên có mp(P) chứa d1 song song với d2 + d’ hình chiếu vng góc (d2) lên (P) nên d’ // d2 r r + d’ d1 đồng phẳng có VTCP u ; a vectơ không phương nên d1 cắt d’ M r r r + D đường thẳng qua M có VTCP u = éëa, b ùû + D , d2 d’ đồng phẳng D Ç d’ = M nên D cắt d2 M r r r r + Vì u ^ a u ^ b nên d1 ^ D d ^ D Vậy D đường vng góc chung d1 d2 Cách 5: d2 B1: Lấy A bất kì: A Ỵ d1 B2: Lập phương trình mặt phẳng (P): (P) ' A, (P) ^ d1 d1 M B3: Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d2 lên (P) B4: Tìm H hình chiếu A lên d’ c A B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H song song với d1 Khi đó: c Ç d = M uuur B6: Khi D đường thẳng qua M có VTCP AH Ta chứng minh D đường vng góc chung d1 d2 + (P) ^ d1 Þ AH ^ d1 + H hình chiếu A lên d’ Þ AH ^ d ' Þ AH ^ d uuur + D đường thẳng qua M có VTCP AH Þ AH / / D Suy : d1 ^ D d ^ D + D cắt d2 M + AH D , d1 đồng phẳng , AH / /D , AH cắt d1 nên D cắt d1 D P d’ H Vậy D đường vng góc chung d1 d2 Ví dụ minh họa Trong không gian cho hai đường thẳng chéo d1 d2 có phương trình lần Ví dụ1: lượt là: ìx = + t ï d1: í y = + 2t ïz = - t ỵ x - y -1 z -1 = = -7 d2 : Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng Bài giải Cách r Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) có vectơ phương a = (1; 2; -1) ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ r phương b = (-7; 2;3) r r Ta có : éëa, b ùû = (8; 4;16) Gọi D đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 d2 D có vectơ phương r u = (2;1; 4) r r Mặt phẳng (P) : (P) É d1 (P) có cặp VTCP ( u, a ) Suy (P) qua A có vectơ pháp tuyến uur r r là: n1 = éë u, a ùû = (-9; 6;3) Phương trình mp(P): 3x - 2y - z - = r r Mặt phẳng (Q) :(Q) É d2 (Q) có cặp VTCP ( u, b ) Suy (Q) qua B có vectơ pháp tuyến uur r r n = éë u, b ùû = (-5; -34;11) , phương trình mp (Q): 5x + 34y - 11z - 38 = ì x = + 2t ï Khi : D = (P) Ç (Q) , phương trình tham số D : í y = t ïz = -3 + 4t ỵ Cách 2: Gọi : M Ỵ d1 ; N Ỵ d ta có: M(8 + t;5 + 2t;8 - t); N(3 - 7t ';1 + 2t ';1 + 3t ') uuuur MN = (-5 - 7t '- t; -4 + 2t '- 2t; -7 + 3t '+ t) uuuur Giả sử đường thẳng MN đường vuông góc chung d1 d2 MN đồng thời vng r r góc với hai vectơ phương a b nên ta có: uuuur r ì-5 - 7t '- t + 2(-4 + 2t '- 2t) - (-7 + 3t '+ t) = ïìMN.a = Ûí í uuuur r ỵ-7(-5 - 7t '- t) + 2(-4 + 2t '- 2t) + 3(-7 + 3t '+ t) = ïỵMN.b = ì-6t '- 6t = ìt ' = Ûí Ûí ỵ62t '+ 6t = -6 ỵ t = -1 Vậy M(7;3;9) , N(3;1;1) Suy đường vng góc chung d1 d2 có phương trình tham ì x = + 2t ï số là: í y = + t ïz = + 4t ỵ Cách 3: r Đường thẳng d1 có vectơ phương a = (1; 2; -1) , đường thẳng d2 có vectơ phương r r r b = (-7; 2;3) Ta có éëa, b ùû = (8; 4;16) Gọi D đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 d2 D có vectơ phương r u = (2;1; 4) r r Mặt phẳng (P): (P) É d1 (P) có cặp VTCP ( u, a ) Suy (P) qua A có vectơ pháp tuyến uur r r n1 = éë u, a ùû = (-9; 6;3) , phương trình mặt phẳng (P): 3x - 2y - z - = Gọi M = d Ç (P) ì x = - 7t ' ìt ' = ï y = + 2t ' ïx = ï ï Toạ độ điểm M nghiệm hệ: í Ûí ïz = + 3t ' ïy = ïỵ-3x + 2y + z + = ïỵz = Vậy M(3;1;1) r Khi D qua M có vectơ phương u = (2;1; 4) , nên ta có phương trình tham số đường ì x = + 2t ï thẳng D là: í y = + t ïz = + 4t ỵ Cách 4: r Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) có vectơ phương a = (1; 2; -1) , đường thẳng d2 r qua B(3;1;1)có vectơ phương b = (-7; 2;3) ì(P) É d1 ỵ(P) / /d Lập phương trình mp(P): í r r Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ phương ( a, b ) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến r r r n = éëa, b ùû = (8; 4;16) Khi mp(P) có phương trình là: 2x + y + 4z - 53 = Gọi đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d2 lên mặt phẳng (P) Nên đường thẳng d’ giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), (Q) mp chứa d2 vng góc với mp (P) r r Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) có cặp vectơ phương ( b, n ) nên mp(Q) có vectơ pháp uur r r tuyến n ' = éë b, n ùû = (5;34; -11) , mp (Q) có phương trình là: 5x + 34y - 11z - 38 = ìx = + t ì t = -1 ï y = + 2t ïx = ïï ï Gọi M = d 'Ç d1 , toạ độ điểm M nghiệm hệ : íz = - t Ûí ï2x + y + 4z - 53 = ïy = ï ïỵz = ïỵ5x + 34y - 11z - 38 = Vậy M(7;3;9) r r r uur Khi D đường thẳng qua D có VTCP u = éëa, b ùû = (8;4;16) hay u ' = (2;1; 4) Vậy phương trình tham số đường thẳng ì x = + 2t ï D : íy = + t ï z = + 4t ỵ Cách 5: r Đường thẳng qua điểm A(8;5;8) có vectơ phương a = (1; 2; -1) ; d2 qua B(3;1;1)có r vectơ phương b = (-7; 2;3) + Gọi (P) mặt phẳng qua A(8;5;8) vng góc với d1, (P) có vectơ pháp tuyến r a = (1; 2; -1) (P) : x + 2y - z - 10 = + Gọi d’ hình chiếu vng góc d2 lên (P) ị d ' = (P) ầ (Q) Vi (Q) mặt phẳng chứa r r d2 vuông góc với (P) Þ (Q) qua B(3;1;1) có cặp VTCP ( a, b ) (Q): 2x + y + 4z - 11 = Vậy d’ giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) nên có phương trình tham số là: ì x = + 3t ï í y = - 2t ïz = - t ỵ + Gọi H hình chiếu vng góc A lên d’ uur (R) mặt phẳng qua A vng góc (d’) nên (R) có vectơ pháp tuyến n R =(3;-2;-1) (R): 3x - 2y - z - = ì x = + 3t ï y = - 2t ï Khi : H = d 'Ç (R) Toạ độ điểm H nghiệm hệ : í ïz = - t ïỵ3x - 2y - z - = ìx = ï Û íy = ïz = ỵ Vậy H(4; 3; 0) + Gọi c đường thẳng qua H c // d1 nên đường thẳng c có phương trình tham số : ìx = + t ï í y = + 2t ïz = - t ỵ + Gọi M = d Ç c Þ M(3;1;1) uuur uur + Khi D đường thẳng qua M có VTCP HA =(4;2;8) hay u ' = (2;1; 4) , phương trình tham số đường thẳng D : ì x = + 2t ï íy = + t ïz = + 4t ỵ Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d1 d2 có phương trình: ìx = t ï d1: í y = ïz = + t ỵ ì x = + t¢ ï d2: í y = - t ¢ ï z = - t¢ î a Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo vng góc với b Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d1 vng góc với d2 c Lập phương trình đường thẳng vng góc chung d1 d2 Hướng dẫn: r a Đường thẳng d1 qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP a = (1; 0;1) , d2 qua điểm B(2; 1; r ) có VTCP b = (1; -1; -1) r r Ta thấy hai vectơ a = (1; 0;1) b = (1; -1; -1) không phương hệ gồm hai phương hai đường thẳng d1 d2 vơ nghiệm d1 d2 chéo rr Ta có a.b = 1.1 + 0.(-1) + 1.(-1) = nên hai đường d1 d2 vng góc với r b Măt phẳng (P) qua điểm A(0; 3; 6) có VTPT b = (1; -1; -1) , (P) có phương trình : x - y - z + = c (Khi làm câu c ta nên chọn trường hợp đặc biệt để giải) Gọi D đường thẳng vng góc chung d1 d2 -2 11 14 Đường thẳng d2 cắt mp(P) im M ổỗ ; ; ửữ ố 3 3ứ r r Ta có éë a, b ùû = (1; 2; -1) ỉ -2 11 14 ; ; ÷ có VTCP è 3 3ø -2 ì ïx = + t ï 11 ï phương trình tham số là: í y = + 2t ï ï 14 ïz = - t ỵ Đường thng D i qua im M ỗ r r ộ a, b ù = (1; 2; -1) có ë û Một số tập rèn luyện Bài Viết phương trình đường vng góc chung cặp đường thẳng chéo sau: a) ì x = -1 + 2t ï d1: í y = + 3t ïz = + t ỵ d2 : x-2 y+2 z = = -2 b) ìx = t ï d1: í y = + t ïz = + 2t ỵ c) ì x = - 4t ï d1: í y = -2 + t ï z = -1 + t ỵ ìx = t ' ï d2 : í y = -6 + 3t ' ï z = -1 + t ' ỵ ì x = -6t ' ï d2 : í y = + t ' ïz = + 2t ' ỵ Bài Cho hai đường thẳng d1 d2 ìx = - t ï d1: í y = + 2t ï z = -1 ỵ d2 : x -3 y-3 z -4 = = 2 a) Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa d1 song song với d2 b) Lập phương trình hình chiếu d2 lên mp(P) c) Lập phương trình đường vng góc chung d1 d2 III./ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Trước trình giảng dạy tơi nhận thấy, gặp tốn “viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau” em thường lúng túng để xác định cách giải toán Trong năm học 2009 – 2010 thân áp dụng phương pháp vào giảng mình, giúp em học sinh định hướng chọn phương pháp cụ thể giải toán viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau, cho kiểm tra lớp 12A2 12B1 có kết sau: Kiểm tra 15 phút Đề Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình ìx = + t ï d1 : í y = + 2t ïz = - t ỵ d2 : - x y -1 z -1 = = a) Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo nhau.(2 điểm) b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 (8 điểm) ì x = + 2t ï Đáp số câu b : D : í y = + t ï z = + 4t î Cho hai lớp kiểm tra ta thu kết sau: Lớp 12A2 sĩ số: 43 Điểm 10 Số lượng 10 8 5 0 2.Lớp 12B1 sĩ số: 40 Điểm 10 Số lượng 5 Kiểm tra 20 phút Đề Cho hai đường thẳng d1 d2 có phương trình ìx = 1+ t ï d1 : í y = -2 + t ïz = - t ỵ d2 : x y -1 z - = = a) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2 Tính góc chúng.(3 điểm) b) Lập phương trình mp(P) chứa d1 vng góc với d1.(2 điểm) c) Lập phương trình đường vng góc chung d1 d2.(5 điểm) Đáp số: a) Hai đường thẳng chéo Góc chúng 90o b) (P): x+y-z+5=0 c) Phương trình đường vng góc chung d1 d2 x +1 y +1 z - = = -4 Sau cho hai lớp kiểm tra ta thu kết sau: Lớp 12A2 sĩ số: 43 Điểm 10 Số lượng 10 2 Lớp 12B1 sĩ số 40 Điểm 10 Số lượng IV./ KẾT LUẬN: Trên tích luỹ kinh nghiệm tìm hiểu số cách viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo thân Trong q trình giảng dạy tơi áp dụng vào lớp 12A2 lớp 12B1 nhận thấy em phần hiểu cách giải, em biết vận dụng chọn lựa cách giải phù hợp toán Với kinh nghiệm cịn ít, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến q thầy Xin chân thành cảm ơn Ninh sơn, ngày tháng 05 năm 2010 NGƯỜI VIẾT LÊ THỊ TUYẾT TRÂM ... với đường thẳng Bài tốn Trong khơng gian cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Lập phương trình đường thẳng D đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Bài giải: r Trong ta giả sử đường thẳng d1... gọi đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 b Các định lý : b.1- Hai đường thẳng chéo có đường vng góc chung b.2- Nếu d1, d2 hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường. .. + Đường thẳng MN đường vng góc chung d1 d2 P M N d1 Chứng minh : ? ?Đường thẳng MN đường vuông chung hai đường thẳng chéo d1 d2” Ta có: d1 ^ MN N d ^ MN M nên MN đường vuông chung hai đường thẳng