NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TỐN THCS Trong tốn học có rất nhiều bài tốn có rất nhiều cách giải. Với bài viết này tác giả xin được đề cập đến một số cách giải bài tốn cấp THCS thơng qua việc vẽ đường phụ, Đây là các cách giải được khai thác theo các hướng khác nhau trên cơ sở tính chất đường trung bình của tam giác, nhằm phát huy tính sáng tạo cho học sinh nhằm giúp các em hứng thú hơn trong việc học và làm tốn. Tác giả bài viết mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thầy cơ, bạn đọc trong cả nước nhằm ngày càng hồn thiện hơn. Bài tốn : Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng CD = CK (1) 2 Giải:Ở đây xin được giới thiệu 10 cách giải bài tốn trên. A Cách 1: (Hình 1) Gọi E là trung điểm của AC. Có BE là đường trung bình của D AKC => BE = KC (1) 2 Xét D BDC và D CEB có: 1 BD = CE (vì BD = AB; CE = AC mà AB = AC); Cạnh BC chung; 2 2 · · DBC = ECB (vì D ABC cân tại A); Vậy D BDC = D CEB (c.g.c); Suy ra CD = BE (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra CD = CK (đ.p.c.m) 2 Cách 2: (Hình 2) E D B C K H.1 A D Gọi H là trung điểm của KC. BH là đường trung bình của D AKC => BH = AC 2 Xét D BDC và D BHC có: 1 BD = BH (vì BD = AB; BH = AC mà AB = AC); 2 2 · (do so le trong, BH//AC) ; · · · · = HBC · HBC = DBC vì DBC = ACB mµ ACB B C H BC cạnh chung; Vậy D BDC = D BHC (c.g.c) Suy ra CH = DC (hai cạnh tương ứng); (1) Mà H là trung điểm của KC nên CH = CK (2). 2 Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK. 2 K H A D Cách 3: (hình bên) Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CA = CM; CD là đường BM (1) Xét D KBC và D MCB có: 2 · (cùng bù với ABC · ); · = MCB BC cạnh chung; KBC B C trung bình của D ABM => DC = (1) Trích Nâng cao và phát triển tốn 7 Nhà xuất bản Giáo dục 1 K M KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC); Vậy D KBC = D MCB (c.g.c) => KC = MB (hai cạnh tương ứng) (2). Từ (1) và (2) suy ra DC = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 4: (hình 4) Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB = CN; Ta có: DC là đường trung bình của D ABN => CD = AN (1); 2 Xét D KBC và D ACN có: · · = ACN BC = CN; KBC B 0 · · · · · · (v × KBC = 180 - ABC; ACN = 180 - ACB mµ ABC = ACB) KB = AC (cùng bằng AB); Vậy D KBC = D ACN (c.g.c) => CK = AN (hai cạnh tương ứng) (2); Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK. (đ.p.c.m); K 2 Cách 5: (hình 5) Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của BC và BK; 1 Có DP là đường trung bình của D ABC => DP = AC = AB = DB ; 2 · · = ACB · · · DP // AC => DPB = ACP (cùng bù với DPC ); Theo giả thiết ABC · mà · = DBP ( D ABC cân tại A); DPB · · => QBP · = 1800 - DPB · = 180 - DBP · ; DPC · = DPC QBP Xét D QBP và D DPC có: · (chứng minh trên); BP = CP (cùng bằng BC); · = DPC QB = DP; QBP 2 Vậy D QBP = D DPC (c.g.c) => DC = QB (1); K Mặt khác QP là đường trung bình của D KBC nên QP = CK (2); 2 Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK (đ.p.c.m); 2 Cách 6: (Hình 6). Gọi E; O lần lượt là trung điểm của AC và KC; OE là đường trung bình của D ACK nên OE = AK mà AK = 2AB = 2AC => OE = AB = AC; 2 Xét D CDA và D OCE có: · (đồng vị, OE // AD); · = CEO AD = CE (cùng bằng AC); OE = CA; DAC 2 Vậy D CDA = D OCE (c.g.c) => OC = CD; (1) Mặt khác O là trung điểm CK nên OC = CK (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 7: (hình 7) Gọi P; O lần lượt là trung điểm của BC và CK; DP là đường trung bình của D ABC nên DP = AC 2 2 A D N C H.4 A D C P B Q H.5 A E D C B H.6 O A K D P B O K C H OP là đường trung bình của D CBK nên OP = BK 2 Theo bài ra, ta có BK = AC nên DP = OP; · = DPC · · vµ ACP · = DPB · = DBP · Þ OPB · = DPB · Þ OPC · (so le trong, OP//DB); DBP · = ACP OPB Xét D DPC và D OPC có: DP = OP (c/m trên); · = DPC · (c/m trên); OPC Cạnh PC chung 1 Vậy D DPC = D OPC (c.g.c) => OC = CD mà OC = CK => CD = CK. (đ.p.c.m). 2 2 Cách 8: (hình 8) F Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = DC; Xét D BDF và D ADC có: · (hai góc đối đỉnh); · = CDA DF = DC; DA = DB; FDB D suy ra: D BDF = D ADC (c.g.c) => BF = AC mà AC = BK nên BF = BK; Ta lại có: B · = 180 (BF // AC nªn hai gãc cïng phÝa bï nhau); · + ACB FBC · + ABC · = 1800 (hai gãc kÒ bï) KBC · · = FBC · = ACB à (DABC cân A) => KBC m ABC Xét D FBC và D KBC có: FB = KB (c/m trên); · ; · = FBC KBC BC cạnh chung; A C H K Vậy D FBC = D KBC (c.g.c) => FC = CK => 2CD = CK => CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 9: (hình 9); Từ B kẻ đường thẳng song song với CK cắt AC tại O; Từ C kẻ đường thẳng song song với BK cắt BO kéo dài tại R; Dễ dàng chứng minh được CR = BK = AB; BR = CK; Xét D ROC và D BOA có: · = ABO · (so le trong, CR//AB) ; CR = AB; CRO · = BAO · (so le trong, CR//AB) Suy ra: D ROC = D BOA (g.c.g); RCO 1 1 => OA = OC = AC = = AB; OB = OR; => OR = BR = CK; (1); 2 2 2 2 Xét D ADC và D COR có: · (so le trong, CR//AB) ; · = DAO AD = OC (cùng bằng AB); RCO 2 CR = AC (cùng bằng AB); Vậy D ADC = D COR (c.g.c); => OR = CD (2); Từ (1) và (2) => CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách 10: (hình 10) 3 A D R O B C H K A Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BC; Nối FK; Gọi I là trung điểm của FK; Xét D FBK và D CBA có: · = CBA · (hai gãc ®èi ®Ønh); AB = KB (giả thiết); FB = CB; FBK F nên D FBK = D CBA (c.g.c) => FK = AC 1 mà AB = AC => FK = AB => FK = AB 2 2 I => FI = DB; (1) · Þ BFI · = ABC · mµ ACB · = DBC · = ABC · = BFI · Theo bài ra, ta có: ACB K (2) Xét D FBI và D BCD có: FB = BC; · (theo (2)); · = DBC BFI FI = BD (theo (1)); Vậy D FBI = D BCD (c.g.c) => BI = CD (3); Mặt khác do I; B lần lượt là trung điểm của FK và FC => IB là đường trung bình của D KFC 1 => BI = CK (4); Từ (3) và (4) suy ra: CD = CK. (đ.p.c.m); 2 2 D B C H 10 Chú ý: Trong các cách vẽ đường phụ, có thể lập luận theo nhiều cách khác nhau để chứng minh được CD = CK. 2 Nguyễn Văn Chương Trường THCS Nguyễn Hàm Ninh Ba Đồn Quảng Trạch Quảng Bình Điện thoại: 0935187009 4 ... Mặt khác QP là đường? ?trung? ?bình của D KBC nên QP = CK (2); 2 Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK (đ.p.c.m); 2 Cách? ?6: (Hình 6). Gọi E; O lần lượt là? ?trung? ?điểm của AC và KC; OE là đường? ?trung? ?bình của... Mặt khác O là? ?trung? ?điểm CK nên OC = CK (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra CD = CK. (đ.p.c.m); 2 Cách? ?7: (hình 7) Gọi P; O lần lượt là? ?trung? ?điểm của BC và CK; DP là đường? ?trung? ?bình của... (2); Từ (1) và (2) suy ra: CD = CK. (đ.p.c.m); K 2 Cách? ?5: (hình 5) Gọi P; Q lần lượt là? ?trung? ?điểm của BC và BK; 1 Có DP là đường? ?trung? ?bình của D ABC => DP = AC = AB = DB ; 2 · · = ACB