Sáng kiến kinh nghiệm tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp song song

Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG " A ĐẶT VẤN ĐỀ I GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lý chọn đề tài - Trong chương trình Tốn học THPT kiến thức Hình học không gian nhiều học sinh mảng kiến thức mà em cảm thấy gặp nhiều khó khăn đơi cịn thấy băn khoăn có làm hay chưa Nội dung chương sách Hình học lớp 11 "Quan hệ vng góc" gây khó khăn cho khơng học sinh vng góc vẽ hình biểu diễn khơng thấy vng góc trực tiếp, mối quan hệ yếu tố vng góc, góc, khoảng cách khơng cịn dễ thấy Hình học phẳng - Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, Tốt nghiệp THPT 2015 kỳ thi HSG, tốn tính khoảng cách dạng xuất thường xuyên vấn đề mà nhiều học sinh cảm thấy không tự tin kết chưa cao Một phần em cịn bỡ ngỡ với Hình học khơng gian trước phần Hình học phẳng, Hình học khơng gian trừu tượng hơn, khó hình dung, đặc biệt "dễ gây hiểu nhầm", ví dụ nối đường thẳng cắt thực chất không cắt nhau, vị trí chéo nhau, đường thẳng vng góc hay cần chứng minh vng góc hình vẽ biểu diễn khơng thấy vng góc Dẫn đến học sinh làm mà không chắn hay sai cảm thấy Hình học khơng gian "khó học" hay thấy thích học phần kiến thức - Qua đề tài này, tơi muốn giới thiệu tốn phương pháp thường dùng để học sinh có cách giải tương đối tổng quát cho lớp tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo Từ có thêm mối liên hệ cho tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nội dung đề tài: " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG " - Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 11A1 năm học 2014 – 2015 - Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “ Chương 3: Đường thẳng mặt phẳng khơng gian Quan hệ vng góc ” sách giáo khoa hình học 11 ban bản, nâng cao số toán khoảng cách đề thi Tuyển sinh Đại học, thi tốt nghiệp THPT 2015 Mục đích phương pháp nghiên cứu - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số kỹ bản, phương pháp tìm khoảng cách đường thẳng chéo cách tạo đường thẳng song song - Cung cấp cách giải mang tính khái quát, mối liên hệ với khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Hơn nữa, phương pháp giải cách thông thường, cách giải tổng qt cho dạng tốn, mà đơi để giải tốn ta cịn phải vận dụng linh hoạt tổng hợp cách khác - Phương pháp nghiên cứu: khảo sát điều tra thực tế dạy học, tổng hợp so sánh, rút kinh nghiệm, trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp II NỘI DUNG SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG " Phương pháp chung - Để tính khoảng cách đường thẳng chéo ta vận dụng tính chất thường gặp: " Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia" - Vận dụng tính chất cách tạo đường thẳng song song nên tự đặt tên "phương pháp song song" giúp học sinh dễ nhớ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin Nội dung phương pháp đưa - Từ toán bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên hình chóp (hay mặt phẳng chứa đỉnh chiều cao) Từ chuyển sang tốn rộng " Tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau" B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP I BÀI TỐN CƠ BẢN: Là tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên (hay mặt phẳng chứa đỉnh chiều cao) Minh hoạ: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Xác định khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC) S K A B H C Tính d[A; (SBC)] = ? Bước 1: Tìm giao tuyến mp (SBC) mp đáy, tức (SBC) Ç (ABC) = BC Bước 2: Từ chân đường cao kẻ đoạn vuông góc đến giao tuyến, tức kẻ AH ^ BC (H Ỵ BC) Bước 3: Nối xiên lên đỉnh, tức nối H với S Bước 4: Kẻ đoạn vng góc từ chân đường cao, tức kẻ AK ^ HS (K ẻ HS) ị d[A; (SBC)] = AK *** u cầu: Trong q trình tính khoảng cách cần phải nắm vững quy trình tốn II KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Khoảng cách đường thẳng song song, mặt phẳng song song, đường thẳng mặt phẳng song song - Khoảng cách đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tuỳ ý đường thẳng đến đường thẳng - Khoảng cách mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm tuỳ ý mặt phẳng đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm tuỳ ý đường thẳng đến mặt phẳng Tính chất trung điểm đoạn thẳng liên quan đến khoảng cách - Tính chất 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm A thuộc mp (P) Khi khoảng cách từ trung điểm M đến mp (P) nửa khoảng cách từ đầu mút B đến mp (P) Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Tốn - Tin - Tính chất 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm M thuộc mp (P) Khi khoảng cách từ đầu mút A B đến mp (P) B B M A' M B' A B' M' P P A d [M ,(P)] = Tính chất 2: d[A, (P)] = d[B, (P)] d [B,(P)] Tỉ lệ khoảng cách Cho đoạn thẳng AB có điểm A thuộc mp (P) Khi tỉ số khoảng cách từ M đến mp (P) khoảng cách từ B đến mp (P) tương ứng tỉ lệ với đoạn thẳng AM AB Tính chất 1: B M A M' B' P d [M ,(P)] MM ' AM = = =k d [B,(P)] BB ' AB Khoảng cách đường thẳng chéo Cách 1: Là độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: Bằng khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song chứa đường thẳng Cách 3: Bằng khoảng cách mặt phẳng song song chứa đường thẳng Từ dẫn đến trường hợp để tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau: TH1: đường thẳng chéo vng góc -> Ta thường dùng cách TH2: đường thẳng chéo khơng vng góc -> Ta thường dùng cách 2, cách Tính chất: III BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1) Tính khoảng cách đường thẳng chéo vng góc: * Phương pháp: Xác định đoạn vng góc chung ** Bài tốn: Tính khoảng cách đường thẳng chéo a, b a ^ b Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin a M b H P b1) Chứng minh a ^ b b2) Tìm mp (P) chứa b (P) ^ a b3) Gọi giao điểm a (P) M b4) Kẻ MH ^ b (H Ỵ b) Khi MH đoạn vng góc chung a b b5) Tính d(a, b) = MH 2) Tính khoảng cách đường thẳng chéo (có thể đường thẳng chéo vng góc) - Ta vận dụng kết quả: Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song chứa đường thẳng ** Ý tưởng giải: - Tìm hay vẽ thêm đường thẳng song song với đường thẳng cắt đường thẳng - Thường dùng: ưu tiên vẽ đường thẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng đáy -> Xuyên suốt tập cần nắm vững ý tưởng giải 3) Nhận xét: Trong nhiều tốn để tính khoảng cách đường thẳng chéo việc tìm đoạn vng góc chung khó khăn, việc chuyển hố sang khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng cách làm khả thi nhiều IV VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG 1) VÍ DỤ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, đáy hình vng cạnh a Biết SA = 3a Tính khoảng cách đường thẳng: a) SA BC; b) SA BD; c) SC BD S A D Sáng kiến kinh nghiệm B C Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin Lời giải: a) d(SA, BC)? - Nhận xét: Cách 1: Chỉ đoạn AB đoạn vng góc chung cách đơn giản cho câu - Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? Ý tưởng: Nhận thấy AB thuộc đáy nên ta tìm đường thẳng song song với AB cắt SA Ta có: BC//AD Þ BC // (SAD) Þ d(BC, AD) = d[BC, (SAD)] = d[B, (SAD)] = BA = a (vì AB ^ (SAD) S H B A O C D b) d(SA, BD)? - Nhận xét: Cách (tốt nhất) Gọi O tâm hình vng, AO đoạn vng góc chung SA BD - Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? Ý tưởng: Nhận thấy BD thuộc đáy nên ta tìm đường thẳng song song với BD cắt SA b1) Kẻ AH // BD, AH = BD ( H Ỵ BC) b2) Ta có BD // (SAH) Þ BD // (SAH) Þ d(BD, SA) = d[BD, (SAH)] = d[O, (SAD)] = OA = a (vì OA ^(SAH) c) d(SC, BD)? S I H B K A O D C b) d(SC, BD)? - Nhận xét: Cách (tốt nhất) Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Tốn - Tin Gọi O tâm hình vng, OK đoạn vng góc chung SC BD - Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? S I B K A E O C D Ý tưởng: Nhận thấy BD thuộc đáy nên ta tìm đường thẳng song song với BD cắt SC b1) Kẻ CE // BD, CE = BD (với BDCE hình bình hành) b2) Ta có: BD // (SCE) Þ d(BD, SC) = d[BD, (SCE)] = d[B, (SCE)] = d[A, (SCE)] (theo tính chất trung điểm) 1 d[A, (SCE)] = AI 2 1 1 11 3a 22 Xét tam giác vng SAC, ta có: = + = 2+ 2= Þ AI = 2 2 AI AS AC 9a 2a 18a 11 3a 22 Vậy: d(BD, SC) = 22 * Nhận xét chung qua ví dụ 1: Tuy phương pháp song song có dài dịng cách giải mạnh cho câu Ta thấy cách giải mạnh cho tốn sau (các dạng khơng dễ tìm đoạn vng góc chung) Dễ thấy AC ^ CE nên kẻ AI ^ SC Þ AI ^ (SCE) Þ d(BD, SC) = 2) VÍ DỤ (Câu - TN THPT năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD), góc SC đáy 450 Tính khoảng cách đường thẳng SB AC S K H B A D Sáng kiến kinh nghiệm C E Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Tốn - Tin *Nhận xét: AC thuộc đáy nên ta vẽ BE //AC (phương pháp song song) ** Lời giải: Dễ thấy SA = AC = a Vẽ BE //AC, BE = AC (hay hình bình hành ACBE) Ta có: AC // (SBE) Þ d(AC, SB) = d[AC, (SBE)] = d[A, (SBE)] (1) Kẻ AH ^ BE, kẻ AK ^ SH Dễ thấy: d[A, (SBE)] = AK (2) a a 10 Ta có AH = , xét tam giác vng SAH, tính được: AK = a 10 Vậy: d(AC, SB) = 3) VÍ DỤ (Trích đề thi ĐH khối A - 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc SC mp đáy 600 Tính khoảng cách đường thẳng SA BC theo a S E E A I C C A K K H H B B Ý tưởng tìm lời giải: Trong đường thẳng SA BC có BC thuộc mp đáy, nên ta vẽ đoạn thẳng AE song song BC (phương pháp song song) Lời giải: - Kẻ AE // BC, AE = BC (hay có hình bình hành ABCE) - Ta có: BC // (SAE) Þ d(BC, SA) = d[(BC, (SAE)] = d[B, (SAE)] = d[H, (SAE)] (1) AE) - Kẻ HK ^ AE, kẻ HI ^ SK, ta có HI ^ (SAE) Þ d[H, (SAE)] = HI 2a a a 42 a 42 - Tính AH = , HK = , HI = Vậy d(BC, SA) = 3 12 (Theo tính chất tỉ lệ khoảng cách, AB = 4) VÍ DỤ (Trích đề thi ĐH khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; SA vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB; mp qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc mp (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách đường thẳng AB SN theo a Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin S K H A C N E M B * Ý TƯỞNG PHÂN TÍCH BÀI TỐN: Trong đường thẳng SN AB có AB thuộc mp đáy nên ta vẽ đường thẳng song song với AB (phương pháp song song) ** Lời giải: - Dễ thấy N trung điểm AC - Qua N kẻ đường thẳng NE cho NE //AB (với E trung điểm BC, - Ta có: AB // NE Þ AB // (SNE) Þ d(AB, SN) = d[AB, (SNE)] = d[A; (SNE)] (1) - Kẻ AH ^ NE, kẻ AK ^ SH nên AK ^ (SNE) Þ d[A; (SNE)] = AK (2) 39 · * Tính AK =? Dễ dàng tìm được: SBA = 600 , SA = 2a xét D SAH, tìm AK = 2a 13 39 Vậy d(AB, SN) = 2a 13 5) VÍ DỤ (Trích đề thi ĐH khối D - 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách đường thẳng AM B'C theo a A' B' C' E A B K M A B H H F M C C Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin * Ý TƯỞNG PHÂN TÍCH LỜI GIẢI: Cách 1: Trong đường thẳng AM B'C có AM thuộc đáy nên từ C ta vẽ đoạn thẳng CF song song MA Cách 2: Trong đường thẳng AM B'C có M trung điểm BC, nên ta vẽ đường trung bình ME // B'C lời giải dễ dàng ** LỜI GIẢI (THEO CÁCH 2) - Gọi E trung điểm BB', ta có ME // B'C - Ta có: B'C//ME Þ B'C // (AME) Þ d(B'C, AM) = d[B'C, (AME)] = d[C; (AME)] = d[B, (AME)] (1) (Theo tính chất trung điểm) - Kẻ BH ^ AM, kẻ BK ^ EH nên BK ^ (EMA) Þ d[B; (EMA)] = BK (2) - Tính BK? 1 1 a = + + Þ BK = 2 BK BE BM BA a Vậy d(B'C, AM) = V BÀI TỐN KHÁC VỀ KHOẢNG CÁCH 6) VÍ DỤ (Trích đề thi ĐH khối A - 2014) 3a , hình chiếu vng góc S mp (ABCD) trung điểm H cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = S B C E K B C H H O K A A D D * PHÂN TÍCH BÀI TỐN: Do tốn tính d[H, (SBD)] nên ta quy d[A, (SBD)] theo d[H, (SBD)] ** LỜI GIẢI: - Vì AH Ç (SBD) = B AB nhận H trung điểm Þ d[A, (SBD)] = d[H, (SBD)] (1) (Theo tính chất trung điểm) ^ ^ Þ ^ - Kẻ HK BD, HE SK HE (SBD) Þ d[H, (SBD)] = HE (2) a 2a a Xét tam giác phù hợp, ta tính được: SH = a, HK = , HE = Vậy: d[H, (SBD)] = 3 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin Nhận xét chung: Các toán khoảng cách thường quy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ chân đường cao điển hình, phương pháp song song hay sử dụng tính chất trung điểm, tỉ lệ khoảng cách kỹ thuật biến đổi, qua giúp học sinh thêm linh hoạt tự tin C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Qua trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lơgíc,…Ngồi cần giúp cho học sinh tư hình ảnh, rèn kỹ vẽ hình Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần - Trong trình giảng dạy lớp, đặc biệt năm học 2014 - 2015 áp dụng cho lớp 11A1 12B3 trường THPT Chu Văn An - huyện Đức Trọng, thấy lúc đầu chưa tổng hợp thành phương pháp trên, tơi dạy theo cách thức Sách giáo khoa nhiều em khó hiểu, khơng hình dung kết kiểm tra thấp Sau tổng hợp thành phương pháp với tính chất định hướng rõ nhiều em nắm tốn, từ kiểm tra 70 % em làm (lớp 11A1), lớp 12B3 khoảng 20% (đương nhiên tốn vừa phải, cịn tốn q khó khác, hay tốn có tính chất "mưu mẹo" chưa khảo sát Kết thực nghiệm: Kết kiểm tra đánh giá trước sau hướng dẫn nội dung toán cho lớp 11 A1, 12B3 năm học 2014 – 2015 sau: (tính kiểm tra 15 phút) Lớp Sĩ số 11A1 38 12B3 33 Tỉ lệ Trên TB Trước: HS (20%) Sau: 26 (70%) Trước: HS (3%) Sau: (20%) Dưới TB Trước: 30 (79%) Sau: 12 HS (30%) Trước: 32 (97%) Sau: 26 HS (80%) - Tỉ lệ dành cho tốn có mức độ thi khó thi Đại học, cịn tỉ lệ giải cho tốn khoảng cách đa số em giải được, lớp 12B3 tỉ lệ thấp lớp mà đa số em có thiên hướng học mơn KHXH, kiến thức tảng mơn Tốn chưa mạnh D KẾT LUẬN Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm - Giúp em học sinh có phương hướng cho tốn hình học khơng gian cụ thể hơn, khơng cảm thấy Hình học khơng gian khó hình dung, khó tưởng tượng ban đầu Từ giúp em có thêm thích thú học tập mơn Hình học khơng gian, qua thấy thêm vẻ đẹp Hình học không gian - Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung Khả ứng dụng - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11, 12 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề - Kết hợp với hình vẽ phần mềm: Cabri, Geometer's Sketchpad tăng cường tính trực quan hình vẽ khả tư học sinh nhiều Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian giáo viên cần phải có số kỹ sau: Sáng kiến kinh nghiệm 10 Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Tốn - Tin - Kỹ vẽ hình trình bày lời giải - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề, giúp học sinh biết tư trực quan hình vẽ - Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh Ln tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Kiến nghị, đề xuất - Giáo viên nên tăng cường sử dụng Công nghệ thông tin với phần mềm Sử dụng hình ảnh, video minh hoạ - Cần hình thành cho học sinh kỹ vẽ hình Nắm vững yếu tố giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt Từ góp phần nâng cao hiệu giảng dạy Trao đổi, học tập - Các phương pháp song song chưa phải cách tổng quát chưa phương pháp giải tốt nên mong muốn q Thầy, Cơ đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tập tốt kiến thức Hình học khơng gian phần giúp em tìm vẻ đẹp ẩn chứa hình vẽ, kiến thức Hình học khơng gian Đức Trọng, ngày 22 tháng 01 năm 2016 Người viết ĐỖ THANH MINH Sáng kiến kinh nghiệm 11 Giáo viên: Đỗ Thanh Minh Trường THPT Chu Văn An Tổ Toán - Tin MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ .Trang I GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang II NỘI DUNG SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG " PHƯƠNG PHÁP SONG SONG" Trang B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Trang I BÀI TOÁN CƠ BẢN: Trang II KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Trang III BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Trang IV VẬN DỤNG CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG Trang V MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ KHOẢNG CÁCH Trang Nhận xét chung Trang 10 C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 10 D KẾT LUẬN Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm 12 Giáo viên: Đỗ Thanh Minh