chuyền đề sáng kiến kinh nghiệm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

    " Cho . Tìm GTLN, GTNN của A = " (Câu III Đề 83 - BGD) Hầu hết lời giải của Xét bài toá các sách cho đáp số: minA = -1. n sau: x y x y y x 2 2 1 1 1 + = + + + Kết quả đúng là minA = - . 38 6 2 1 27 - <-       ( ) Xác lập bất đẳng thức dạng: ( ) ( ) ; .≤ ≥ ∀ ∈f x M f x m x D Xét xem đẳng thức xảy ra khi nào. Kết luận max (min) theo yêu cầu. Muốn tìm GTLN-GTNN của hàm số ( ) trên miền , ta thực hiện các bước: y f x D=   ( ) Từ đònh nghóa max ( ),min ( ),với ( ) trên ta suy ra BĐT sau: m in ( ) ( ) max ( ), x x D D D x D x f f x f x f x f x x f x liên tục D D x ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ∗ ( ) Giả sử tồn tại max ( ),min ( ). Khi đó: 1) Để chứng minh ( ) , ch Từ ta suy ra kế ỉ cần chứng minh Mệnh : 2) Để chứng minh ( ) , t đề: quả sau: x D x D f x f x f x x D f x ∈ ∈ ∗ ≥ α ∀ ∈ ≤ β chỉ cần chứng minh: 3) Phương trình ( ) có nghiệm x D f x m x D ∀ ∈ = ∈ min ( ) . x D f x ∈ ≥ α max ( ) . x D f x ∈ ≤ β min ( ) max ( ). x D x D f x m f x ∈ ∈ ⇔ ≤ ≤   ( ) , max ( ) PT: ( ) coù nghieäm . ( ) , min ( ) PT: ( ) coù nghieäm . x D x D f x M x D f x M f x M x D f x m x D f x m f x m x D ∈ ∈  ≤ ∀ ∈ ∗ = ⇔  = ∈   ≥ ∀ ∈ ∗ = ⇔  = ∈    ( ) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số: Một HS đã giải như sau: ; Vậy min y x x y x y x y = + + = + + ⇒ ≥ ∀ ∈ = 2 2 4 2 2 4 4 5 1 4 ¡ ¡ . . .   Từ gt suy r Cho , và . Tìm GTNN của . Một HS đã lập luận như sa a > 0. Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương và ta có: 2. Vậy m u: in . x y x y P xy xy xy P P y x x y 0 1 1 2 1 > + = = + ³ = g KQ đúng la Cách giả ø:min i trên sai k . hi .P x y 17 1 4 2 = = = * [...]... có nghiêêm: gBPT f ( x) ≥ α có nghiệm x ∈ D ⇔ max f ( x) ≥ α x∈D gBPT f ( x) ≤ β có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ β x∈D 2 x2 + 7 x + 23 1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x + 2 x + 10 2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1 − x2 )3 khi x ∈  −1;1   3) Cho hàm số: y = sin 4 x + cos4 x + m.sinx.cosx, x ∈ ¡ Biện luận theo m GTLN, GTNN của hàm số 4) Tìm m để pt sau có nghiệm: m ( ) 1 + x2 − 1 − x 2...1 Cho hàm số y = x + x Tìm giá trò nhỏ nhất của y khi x Ỵ é ; +¥ ) 6 ë 2 Một HS đã giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có: 1 2 1 y = x + ³ 2 x = 2 x ,mà x ³ 6 Þ y ³ 2 6 x x 2 Vậy é min y = 2 6 6 ê ;+¥ ë ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = sin x + cos x Giải: g hàm số có chu kì 2p nên ta chỉ cần xét Do é pù x Ỵ é ; 2pù Điều... hơn Tìm GTLN-GTNN của hàm số 1 + sin x + cos x y= 4 4 1 + sin x + cos x 6 6 (1) Bảng biến thiên t 4 f ′( t ) f ( t) 5 6 Sau bước 2) có thể dùng Quy tắc (SGK) Bài toán trên có thể được cho dưới cá c dạng: 1) Đònh m để phương trình y = m có nghiệm 2) Tìm miền giá trò của hàm số (1) 5 3) Chứng minh rằng: ≤ y ≤ 1; ∀x ∈ ¡ 6 4) Cho hàm số: y = sin 6 x + cos6 x − m(sin 4 x + cos4 x) + 1 − m (m là tham số) ...  a = −4 gVậy  và  là các giá trò cần tìm b = 3 b = 3 Muốn tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f ( x) trên miền D, ta thực hiện các bước: Lập BBT của hàm số trên D Căn cứ vào BBT rồi kết luận max f ( x),min f ( x) x∈D (nếu có) x∈D 1) GTLN-GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn bao giờ cũng tồn tại; trên một khoảng hoặ c nửa khoảng thì chưa chắc 2) Khi D =  a; b thì không nhất thiết lập BBT (Quy tắc-SGK)... 1 ⇔  x = 1  x, y ≥ 0    y = 0  2 1 + min P = khi x = y = 3 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) gTập xác đònh: D =  −3;6    gĐổi biến số: Đặt t = 3 + x + 6 − x , tìm miền giá trò của t ? gHàm số đã cho trở thành: 1 2 g( t ) = ( − t + 2 t + 9 ) 2 t ∈ 3;3 2    gKhảo sát chiều biến thiên của g(t) trên 3;3 2    Bảng biến thiên t g′( t ) g( t ) 1 3 3 2 3... đạo hàm thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn nhiều ∗ Bài tập tương tự: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin x + 3.cos x ( Dự bò Đại học- Khối A-2003) 5 6 5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = cos x - sin x Giải: gTa có: y = cos x − sin x ≤ cos x + sin x 6 5 6 ⇒ y ≤ cos2 x + sin 2 x = 1 gVậy -1 ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ ¡ π gMặt khác: y(0) = 0 và y  ÷ = −1 2 gVậy max y = 1 và min y = −1 x∈¡ x∈¡ 5 ax + b Cho hàm số. .. 1) Tìm miền giá trò của hàm số 2) Đònh m để pt: 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m có nghiệm 3) Chứng minh bất đẳng thức: 6 2 −9 ≤ y ≤ 3, ∀x ∈  −3;6    2 1 1 Chứng minh rằng: 1+cosx + cos2 x + cos3 x > 0; ∀x ∈ ¡ 2 3 1 1 gXét hàm số: f ( x) = 1+cosx + cos 2 x + cos3 x 2 3 Để chứng minh f ( x) > 0; ∀x ∈ ¡ ta chỉ cần chứn g minh min f ( x) > 0 x∈¡ gĐổi biến: Đặt t = cosx; t ∈  −1;1   Hàm số. .. ë ê 2ú ë û *Tìm min y : ì sin x ³ sin 2 x ï ï Ta có í Þ y ³ 1 Mà y( 0) = 1 ï cos x ³ cos2 x ï ï ỵ Vậy minù y = 1 é p xỴ ê ; ú 0 ê 2ú ë û *Tìm max y : B.C.S Ta có y = 1 sin x + 1 cos x £ p 4 Hay y £ 2 2 cos( x - ) £ 8 4 ỉư 4 çp÷ 8 Mà y ç ÷ = ÷ ç4 ø è ÷ Vậy max y = 8 4 é pù xỴ ê ; ú 0 ê 2ú ë û (1 + 1)(sin x + cos x) Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = sin x cos x + cos x sin x Giải: g hàm số có chu kì... miền giá trò của hàm số (1) 5 3) Chứng minh rằng: ≤ y ≤ 1; ∀x ∈ ¡ 6 4) Cho hàm số: y = sin 6 x + cos6 x − m(sin 4 x + cos4 x) + 1 − m (m là tham số) Đònh m để hàm số xác đònh với mọi x thuộc ¡ Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1 x y Tìm GTLN, GTLN của P = + y +1 x +1 x + x + y + y ( x + y) − 2 xy + ( x + y) gP = = xy + x + y ( x + y) + 1 + xy 2 − 2 xy Vậy P = 2 + xy 2 2 2 2  x+ y 1 gĐặt t = xy,vì 0 ≤ xy... và min y = −1 x∈¡ x∈¡ 5 ax + b Cho hàm số y = 2 Tìm a, b sao cho: x +1 max y = 4 và min y = −1 x∈¡ x∈¡ Giải:  y ≤ 4, ∀x ∈ ¡ g max y = 4 ⇔  x∈¡ PT y = 4 có nghiệm 4 x2 − ax + (4 − b) ≥ 0, ∀x ∈ ¡  ⇔ PT: 4 x2 − ax + (4 − b) = 0 có nghiệm   ∆1 ≤ 0  ⇔ ⇔ ∆1 = a2 − 16(4 − b) = 0 (1) ∆1 ≥ 0   y ≥ −1, ∀x ∈ ¡ g min y = −1 ⇔  x∈¡ PT y = −1 có nghiệm ⇔ ∆ 2 = a2 − 4( b + 1) = 0 (2) gGiải HPT .  ( ) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số: Một HS đã giải như sau: ; Vậy min y x x y x y x y = + + = + + ⇒ ≥ ∀ ∈ = 2 2 4 2 2 4 4 5 1 4 ¡ ¡ . . .   Từ gt suy r Cho , và . Tìm GTNN của . Một.  = = −   = =   ¡ ¡ g g g là các giá trò cần tìm.   Muốn tìm GTLN-GTNN của hàm số ( ) trên miền , ta thực hiện các bước: y f x D= Lập BBT của hàm số trên .D Căn cứ vào BBT rồi kết luận. .P x y 17 1 4 2 = = = *   ) A Ù p dụn Cho hà g bất m số . đẳng t Tìm giá trò hức Cauchy ch nhỏ nhất của khi ; . o hai số dương, ta có: . ,mà Một HS đã giải như . Vậy sau : min y