Phân tích đường lối, tìm tòi lời giải,ren luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách của hai đường thắng chéo nhau cho học sinh lớp 11

MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học đề tài Phương pháp nghiên cứu Dự báo đóng góp đề tài Kết cấu đề tài B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý thuyết II Quy trình giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Các bước giải Phương pháp giải Nhận xét III Các toán minh hoạ Các tốn giải phương pháp tính trực tiếp Các toán giải phương pháp tính gián tiếp IV Một số tập vận dụng V Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm Nội dung thực nghiệm Kết thực nghiệm C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 02 02 02 02 03 03 03 04 04 04 04 04 04 07 08 08 12 19 20 20 20 20 21 22 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong đề thi học sinh giỏi đề thi THPT Quốc gia (những năm gần đây) tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn khó, mức độ vận dụng vận dụng cao Để giải tốn thơng thường có hai phần: Định tính (chỉ khoảng cách đoạn thẳng nào) định lượng (tính độ dài đoạn thẳng đó), phần định tính khó quan trọng Trong nhiều năm thực tế giảng dạy cho đội tuyển thi HSG thi ĐH trước thi THPTQG năm gần đây, thấy hầu hết học sinh, kể học sinh giỏi, thường lúng túng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo (trong cách giải trực tiếp), nên qui khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (trong cách giải gián tiếp) Với mong muốn giảm bớt khó khăn cho học sinh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, xin đề cập phương pháp giải toán học sinh lớp 11 Với học sinh lớp 12, chủ yếu dùng phương pháp trên, ngồi dùng thêm phương pháp toạ độ không gian phương pháp thể tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài tơi nghiên cứu tốn hình học khơng gian, tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo chương trình mơn tốn trung học phổ thông - Phạm vi đề tài: Là hỗ trợ cho học sinh trung học phổ thông việc giải tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nói riêng Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu: a) Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài rèn luyện kĩ giải toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cho học sinh lớp 11 nói riêng, học sinh trung học phổ thơng nói chung nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường phổ thơng b) Nhiệm vụ nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài bao gồm: + Xác định lý luận thực tiễn phương pháp giải toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo + Xây dựng phương pháp giải hệ thống tập điển hình tốn tính khoảng cách hai đường chéo học sinh lớp 11 Giả thuyết khoa học đề tài: Đề tài hướng đến giả thuyết khoa học: Với việc làm rõ quy trình, phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo sở hệ thống tập phù hợp, có định hướng rõ ràng giúp học sinh nâng cao kĩ giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nói riêng kĩ giải tốn hình học khơng gian nói chung Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa tài liệu có liên quan đến hình học khơng gian, đến tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo chương trình tốn trung học phổ thơng + Nghiên cứu thực tiễn: Qua thực tiễn dạy học phần hình học khơng gian học sinh lớp 11, lớp 12 qua đề thi HSG đề thi Đại học-Cao đẳng(trước đây) đề thi THPTQG năm gần đây, thấy việc rèn luyện kĩ giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thực cần thiết + Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số tiết lớp 11B5 ( lớp khối A) để xem xét tính khả thi, hiệu đề tài Dự báo đóng góp đề tài: + Trong thực tiễn dạy học áp dụng đề tài vào dạy lớp khối A đội tuyển thi HSG trường THPT Lê Hồng Phong thu kết thật khả quan, hầu hết em hứng thú say mê học chuyên đề Từ giúp em phát huy tính tích cực, tư sáng tạo trình học tập + Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi câu mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPTQG thi vào số trường ĐH tốp (có tổ chức thi riêng) Kết cấu đề tài: A Phần mở đầu B Phần nội dung C Kết luận kiến nghị B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song (SGK Hình học 11) 2) Định nghĩa nhận xét khoảng cách hai đường thẳng chéo (SGK Hình học 11) a Định nghĩa: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng b Nhận xét: - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng cịn lại - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng II QUY TRÌNH GIẢI BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a VÀ b Các bước giải: - Bước 1: Xác định khoảng cách (định tính) - Bước 2: Tính khoảng cách (định lượng) Phương pháp giải: a) Phương pháp 1: Tính trực tiếp Xác định đoạn vng góc chung tính Để tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b, có cách sau: x * Cách 1: - Dựng mặt phẳng (P) chứa a (P) // b - Dựng b’ hình chiếu b (P) Gọi A = a ∩ b’ b B - Dựng Ax ⊥ (P), gọi B = Ax ∩ b Khi AB đoạn vng góc chung a b b’ A a P * Cách 2: - Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a (tại điểm O ∈ a) a b - Dựng b’ hình chiếu b (P) - Kẻ OH ⊥ b’ (H ∈ b’) A - Từ H, dựng đường thẳng song song với a O (hay vuông góc (P)), cắt b tạiB - Từ B dựng đường thẳng song song B b’ H P với OH,cắt a A Khi AB đoạn vng góc chung a b * Trong trường hợp a ⊥ b cách thực đơn giản sau: - Dựng mặt phẳng (P) chứa b ⊥ a A a - Dựng AB ⊥ b B Khi AB đoạn vng góc chung a, b b A P B * Đặc biệt, số trường hợp ta dùng bổ đề (về tứ diện có cặp cạnh đối nhau): Tứ diện có hai cặp cạnh đối đường vng góc chung cặp cạnh đối lại đường thẳng nối trung điểm hai cạnh Chứng minh bổ đề: + Giả sử tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD Gọi I, J trung điểm BC, AD Ta có: ABD = CAD (c.c.c) ⇒ BJ = CJ (Hai trung tuyến tương ứng nhau) A ⇒ IJ ⊥ BC (Do JBC cân J) J Tương tự, ta có: IA = ID ⇒ IJ ⊥ AD + Ngược lại, giả sử IJ ⊥ BC, IJ ⊥ AD B D I Do I, J trung điểm BC, AD nên IAD cân I; JBC cân J C Suy IA = ID; JB = JC (1) Theo công thức đường trung tuyến: AB + AC BC − ; BD + CD BC ID = − ; IA2 = AB + BD AD − 2 AC + CD AD JC = − JB =    ( 2)    AB + AC = BD + DC Từ (1), (2) ⇒   AB + BD = AC + CD Cộng vế theo vế, ta có: AB = CD ⇒AC = BD b Phương pháp 2: Tính gián tiếp Tính qua khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song (hoặc khoảng cách mặt phẳng song song) Từ qui khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Tìm mặt phẳng (P) chứa b (P) song song với a + Chọn điểm M a cho dễ dàng xác định khoảng cách từ M đến (P) + d (a; b) = d (a; (P)) = d (M; (P)) + Tính d (M; (P)) Nhận xét: 1) Trong hai phương pháp trên, phương pháp tính trực tiếp khó sử dụng Thông thường ta dùng phương pháp hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, vận dụng tính chất tứ diện có cặp cạnh đối Phương pháp tính gián tiếp sử dụng rộng rãi, đa dạng đơn giản, dễ xác định gần gũi với học sinh 2) Đứng trước tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, học sinh thường phân vân nên đâu, lựa chọn phương pháp nào: Trực tiếp hay gián tiếp Để giúp học sinh giải toán khoảng thời gian định, cần định hướng cho em bước suy nghĩ để tìm lời giải cách nhanh, gọn Theo tơi bước suy nghĩ sau: - Nếu tốn có u cầu xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo thiết phải dùng phương pháp Khi ta xem xét mối quan hệ hai đường thẳng để lựa chọn cách xác định phương pháp - Nếu toán yêu cầu tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b trước hết xét xem từ giả thiết tốn có suy a ⊥ b hay khơng? - Nếu a ⊥ b nên chọn phương pháp 1: Tính trực tiếp - Nếu a khơng vng góc với b nên chọn phương pháp 2: Tính gián tiếp Khi đó: + Để ý xem hình vẽ sẵn có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng không Nếu khơng sẵn có, thường ta phải vẽ thêm đường phụ để tạo mặt phẳng Thông thường, chọn điểm thích hợp đường thẳng (ví dụ: đường thẳng b), kẻ song song với đường thẳng (đường thẳng a) cho mặt phẳng (P) tạo có gắn kết với hình vẽ cho + Tìm điểm M thích hợp đường thẳng a để qui tính d (M; (P)) Thơng thường ta qui khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt bên 3) Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), với học sinh lớp 11, ta dùng cách sau: M - Xác định hình chiếu H M (P) Khi d (M; (P)) = MH H - Giả sử có đường thẳng MN cắt (P) P I K I MI = k d (M; (P)) = k.d (N; (P)) IN N Như vậy, trường hợp này, thay cho việc tính d (M; (P)), ta tính d (N; (P)) - Dùng tính chất tứ diện vuông Nếu O ABC tứ diện vuông đỉnh O (OA ⊥ AB; OB ⊥ OC; OC ⊥ OA) đường cao OH tứ diện O ABC tính theo cơng thức: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC III CÁC BÀI TỐN MINH HOẠ Các tốn phần chủ yếu tập trung vào phương pháp 2: Tính gián tiếp Vấn đề khó khăn phương pháp chỗ: - Tìm mf (P) chứa đường thẳng (b) song song đường thẳng (a) - Chọn điểm đường thẳng a để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) Trong nhiều tốn đây, tơi trọng đến việc phân tích tìm hướng giải để qua đó, học sinh rèn luyện kĩ lựa chọn, nhận biết phương pháp thích hợp tốn, đồng thời hiểu rõ cách giải vấn đề Ở toán khác, phần định hướng giải thay lời bình để giúp học sinh nắm điểm cốt lõi lời giải đưa Các tốn giải phương pháp tính trực tiếp Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH ⊥ (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a * Phân tích tìm hướng giải : - Dựa vào tính chất hình vng, ta có DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ (SNC) DM ⊥ SC Ta nên chọn phương pháp 1: Xác định đoạn vng góc chung tính - Mặt phẳng chứa SC vng góc với DM (SCN) Trong SHC, kẻ đường cao HK HK đoạn vng góc chung SC, DM - Tính HK dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông SHC * Lời giải: - Xác định: Ta có: ADM = DCN (c.g.c) ⇒ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN Mà DM ⊥ SH nên DM ⊥ (SCN) Hạ HK ⊥ SC (K∈ SC) ⇒ HK đoạn vng góc chung DM SC Do d (DM, SC) = HK - Tính: HC = CD 2a SH HC 3a 2a = ; HK = = Vậy d (DM;SC) = CN 19 19 SH + HC Bài Cho lăng trụ ABC A1B1C1 có tất cạnh a Góc cạnh bên mặt đáy (A1B1C1) 300 Hình chiếu H A mặt phẳng (A1B1C1) nằm đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách đường thẳng AA1, B1C1 theo a * Lời giải: - Xác định: Góc AA1 (A1B1C1) AA1H = 300 A1H = AA1sin600 = a Mà A1B1C1 cạnh a nên H trung điểm B1C1 Từ B1C1 ⊥ A1H B1C1 ⊥ AH nên B1C1 ⊥ AA1 Kẻ đường cao HK AA1H d (AA1, B1C1) = HK - Tính: Từ HK.AA1 = AH A1H ⇒ HK = a Vậy d (AA1, B1C1) = a 4 * Lời bình: Nhờ tính A1H, ta xác định vị trí H B 1C1 Từ suy B1C1 ⊥ (AHA1) Do B1C1 ⊥ AA1 việc xác định đường vng góc chung AA1 B1C1 trở nên đơn giản Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B; BC song song với AD, cạnh bên SA vng góc với đáy; AB = BC = a; AD = 2a; SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) AB SD; b) AC SD; * Lời giải: a) - Xác định: Nhận xét: AB ⊥ (SAD) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD) ⇒AH đường vng góc chung AB SD - Tính: 2a 1 = 2+ = ⇒AH = 2 AH SA AD 4a b) - Xác định: Ta có SA= CD = a Trong SAC: SC2 = AC2 + SA2 = 4a2 ⇒ SC = 2a = AD Xét tứ diện SACD có: SA = CD; SC = AD Vậy đường vng góc chung SD AC đoạn thẳng IJ nối trung điểm cạnh - Tính: Trong SAI: SI = SA + AI = 2a + a = a 10 2 2 Trong SIJ: IJ = SI − SJ = 10a − 6a = a Vậy d (AC;SD) = a 4 * Lời bình: - Câu a, AB ⊥ SD nên việc đường vng góc chung AB SD thật dễ dàng - Ở câu b ta tạo mặt phẳng chứa SD song song với AC cách: Kẻ Dx // AC; Ay // CD Gọi E = Ay ∩ Dx ⇒ (SDE) mặt phẳng chứa SD // AC ⇒ d (AC; SD) = d (A; (SDE)) lời giải dài Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Xác định tính độ dài đường vng góc chung AB’ A’C’ * Lời giải: - Xác định: Gọi O, O’ tâm hình vng ABCD A’B’C’D’ Ta thấy A’C’⊥ (BDD’B’) BD’ ⊥ (ACB’) Hình chiếu AB’ (BDD’B’) OB’ Kẻ OH // BD’ (H ∈ OB’);HJ // AC (J∈ AB’); JK // HO’ (K∈ A’C’) ⇒ JK đường vng góc chung AB’ A’C’ - Tính: Gọi E = BD’ ∩ B’O Ta có JK = HO’ = 1 a ED' = BD' = 2 3 10 * Lời bình: - Đây ví dụ tiêu biểu cho việc xác định đường vng góc chung đường thẳng chéo trường hợp tổng quát - Do dùng tính chất hình lập phương: BD’ ⊥ (ACB’) nên kẻ O’H // BD’, ta có O’H ⊥ B’O việc tính tốn JK dễ dàng Bài Cho đường trịn (C) đường kính AB = 2a; C điểm thuộc (C) (C ≠ A, C ≠ B), S điểm không gian cho SA vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (C) SA = a a) Xác định đường vng góc chung AC SB b) Gọi I, J trung điểm AC SB Hãy xác định vị trí điểm C đường trịn để IJ đường vng góc chung AC SB Khi đó, tính khoảng cách AC SB * Lời giải: a) Gọi D điểm xuyên tâm đối C Ta có ADB = 900 ⇒ BD // AC AC ⊥ AD Mà AC ⊥ SA nên AC ⊥ (SAD) Kẻ AH ⊥ SD (H∈ SD); HM // BD (M∈ SB); MN // AH (N∈ AC) ⇒ MN đường vng góc chung AC,SB b) - Xác định: Cách 1: Ta có BC ⊥ AC; BC ⊥ SA nên BC ⊥ SC SAB vuông A; SBC vuông C, mà J trung điểm SB nên AJ = CJ Mặt khác IA = IC nên IJ ⊥ AC Từ IJ đường vng góc chung AC SB ⇔ IS = IB ⇔ SAI = BCI ⇔ SA = BC Vậy điểm C thuộc đường tròn (C) cho BC = a IJ đường vng góc chung AC; SB 11 Có điểm C thoả mãn u cầu tốn Cách 2: Dựa vào tính chất tứ diện có cặp cạnh đối Xét tứ diện SABC với I, J trung điểm AC, SB Ta có: IJ đường vng góc chung cặp cạnh đối AC SB cặp cạnh đối lại: SA = BC SC = AB Xét tam giác vuông SAC ABC, ta thấy đẳng thức xảy ⇔SA = BC hay BC = a - Tính: Khi đó, dễ dàng tính AC = a ⇒AI = SB = a ⇒ AJ = a a a ⇒ IJ = AJ − AI = 2 * Lời bình: - Ở câu a, hai đường thẳng chéo AC SB khơng vng góc với Ta tạo mặt phẳng (SAD) ⊥ AC làm theo bước dựng (ở cách 2-phương pháp 1), ta đường vng góc chung AC SB MN - Ở câu b, việc vận dụng tính chất tứ diện có cặp cạnh đối cho ta cách giải thật nhanh đơn giản Các tốn giải phương pháp tính gián tiếp Trong toán đây, dễ dàng nhận hai đường thẳng chéo kết luận toán khơng vng góc với Vì vậy, ta nên chọn cách tính gián tiếp tính khoảng cách chúng Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB SCD vng S.Tính khoảng cách đường thẳng AB, SC theo a * Phân tích tìm hướng giải:- Dễ thấy mp (SCD) chứa SC // AB - Vai trò hai điểm A, B mp (SCD) Nếu chọn tính theo d (A; (SCD)) việc xác định khoảng cách khó khăn - Từ giả thiết SAB đều, SCD vuông S, ta nghĩ đến điểm đặc biệt trung điểm I, J AB; CD Dễ dàng tính SI, SJ, IJ nên nhẩm thấy SI ⊥ SJ ⇒ SI ⊥ (SCD) Từ xác định d (I; (SCD)) = SI * Lời giải: - Do AB // CD nên d (AB; SC) = d (AB; (SCD)) - Gọi I, J trung điểm AB, CD 12 Ta có: IJ = a; SI = a a ; SJ = 2 ⇒ SIJ vuông S hay SI ⊥ SJ Mặt khác: CD ⊥ (SIJ) nên SI ⊥ CD Do SI ⊥ (SCD) Vậy d (AB; SC) = d (I; (SCD)) = SI = a Bài 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD=600; SO⊥ (ABCD) SO= 3a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB * Phân tích tìm hướng giải:- Sẵn có mp (SBC) chứa SB // AD - SO ⊥ đáy (ABCD) Nhờ AC = 2.OC nên khoảng cách từ A đến mp (SBC) qui khoảng cách từ O (chân đường vng góc) đến mặt bên SBC - Tứ diện OSBC vng đỉnh O nên tính d (O; (SBC)) a * Lời giải: Từ giả thiết ta có: OB = ; OC = a - Xác định: Vì AD//(SBC) nên d (AD; SB)=d (AD; (SBC))=d (A; (SBC)) Do CA = nên d (A;(SBC)) = d (O; (SBC)) CO - Tính: Tứ diện O.SBC vng O nên đặt d (O;(SBC))= h thì: 1 1 16 4 64 = + + = 2+ 2+ = 2 2 h OS OB OC 9a a 3a 9a ⇒h= 3a 3a Vậy d(AD; SB) = 2.h = Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng C , CB = a; CA = a ; cạnh SA = a SA ⊥ (ABC) Gọi D trung điểm cạnh AB Tính: a) Khoảng cách AC SD b) Khoảng cách BC SD 13 a) * Phân tích tìm hướng giải:- Với hai đường thẳng AC, SD, khơng sẵn có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng - Do SA ⊥ đáy (ABC), ta tạo mặt bên chứa SD // AC cách kẻ Dy // AC - d (AC; SD) qui khoảng cách từ A (chân đường vng góc) tới mặt bên (SD; Dy) * Lời giải:- Xác định: Kẻ Ax / /BC; Dy / /AC Gọi E = Ax ∩ Dy Vì AC // (SDE) nên d (AC;SD) = d (AC; (SDE)) = d (A; (SDE)) Dễ thấy DE ⊥ (SAE) nên (SDE)⊥ (SAE) ⇒ Kẻ đường cao AH tam giác vng SAE AH ⊥ (SDE) ⇒ d (AC; SD) = AH SA AE - Tính: AH = SE = Vậy d (AC; SD) = a =a a2 2a + a a b) * Phân tích tìm hướng giải: - Vì D trung điểm AB nên ta dễ thấy mp (SDI) chứa SD // BC (với I trung điểm AC) Do d (BC; SD) = d (BC; (SDI)) - Khoảng cách từ B (hoặc C) đến mp (SDI) qui khoảng cách từ A (chân đường vng góc) tới mặt bên (SDI), D trung điểm AB (hoặc I trung điểm AC) * Lời giải:- Xác định: Gọi I trung điểm AC BC // (SDI) ⇒ d (BC; SD) = d (BC; (SDI)) = d (C; (SDI)) = d (A; (SDI) = AK (với AK đường cao SAI) - Tính: Từ AK.SI = SI.AI ⇒AK = a 66 Vậy d (BC; SD) = a 66 11 14 11 Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a * Lời giải: Ta có: SCH góc SC (ABC) ⇒ SCH = 600 - Xác định: Kẻ Ax // BC Gọi N, K hình chiếu H Ax, SN Vì BC//(SAN) BA = HA nên d (SA, BC) = d(B; (SAN)) = d ( H ; ( SAN )) Ax ⊥ (SHN) nên Ax ⊥ HK Do HK ⊥ (SAN) ⇒ d (SA; BC) = - Tính: Dễ dàng tính HC = AH = a a 21 ; SH = HC tan 60 = ; 3 2a a , HN = AH sin 600 = , HK = Vậy d (SA, BC) = HK SH HN SH + HN 2 = a 42 12 a 42 * Lời bình: Ta kẻ Ax // BC để tạo mặt phẳng (SA; Ax) chứa SA // BC Khi việc tính d (BC; SA) quy tính khoảng cách từ H (chân đường vng góc) tới mặt bên (SA; Ax) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a * Lời giải: - Xác định: Từ giả thiết ta có SA ⊥ (ABC); SBA = 600 nên SA = AB tan 600 = 2a 3; AM = MN = a Kẻ đường thẳng Nx // AB; Ay // BC Gọi I = Ay ∩ Nx x 15 ⇒ d (AB; SN) = d (AB; (SNI))= d (A; SNI)) Kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒AH ⊥ (SNI) (do IN ⊥ (SAI) nên AH ⊥ IN) ⇒ d (A; (SNI) = AH - Tính: Trong SAI: Vậy d (AB; SN) = 1 1 13 2a 39 = 2+ = + = ⇒ AH = 2 AH SA AI 12a a 12a 13 2a 39 13 * Lời bình: - Kẻ Nx // AB để tạo mặt phẳng (SN; Nx) chứa SN //AB Khi d (AB;SN)= d (AB; (SNx)) Trong điểm A,M,B đường thẳng AB, việc xác định khoảng cách từ A (chân đường vng góc) đến mặt bên (SN; Nx) dễ dàng nhiều so với điểm M,B Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a; AD=2a; Cạnh SA ⊥ (ABCD), cạnh SB tạo với đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M với AM = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SC * Phân tích tìm hướng giải: - Dễ dàng tạo mặt phẳng chứa BM // SC cách kẻ MN // SC (N ∈ AC) - Khoảng cách d (SC; (BMN)) qui khoảng cách từ A (chân đường vng góc) tới mặt bên (BMN) nhờ tỉ số MS MA - Kéo dài BN cắt AD I, ta có d (A; (BMN)) = d (A; (BMI)) Khoảng cách dễ dàng tính nhờ tính chất tứ diện vng đỉnh A: ABMI * Lời giải: - Xác định:Kẻ MN // SC (N ∈ AC) ⇒ SC // (BMN) Gọi I = BN ∩ AD Ta có: d (BM; SC) = d (SC; (BMN)) = d (S; (BMN)) = 2.d (A; (BMI) (do MS = 2.MA) - Tính: AI NA MA 1 = = = ⇒ AI = BC = a BC NC MS 2 Tứ diện A.BMI vuông A nên đặt d (A; (BMI))= h, ta có: a 1 1 1 a = + 2+ = + + = ⇒h= Vậy d (BM; SC) = 2 h AB AI AM a a a a 5 16 Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=BC=a; cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM; B’C * Lời giải: - Xác định: Gọi E trung điểm BB’ ⇒ B’C// (AME) ⇒ d (B’C; AM)= d (B’C; (AME)) = d (B’; (AME)) = d (B; (AME))= h - Tính: Vì tứ diện B.AME vng B nên ta có: 1 1 a = + + = ⇒h = 2 2 h BA BE BM a Vậy d (B’C; AM) = a 7 * Lời bình: Do M trung điểm BC nên dễ nhận mp (AME) chứa AM // BC Khoảng cách từ B’ (hoặc C) tới mp (AME) khoảng cách từ B (chân đường vng góc) tới mặt bên AME Bài 13 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA’, BB’ Tính khoảng cách hai đường thẳng B’M; CN * Lời giải: - Xác định: Gọi O,O’ trung điểm BC, B’C’; P=OO’ ∩ CN Vì B’M // (CAN) nên d (B’M; CN) = d (B’M; (ACN)) = d (B’; (ACN)) = d (B; (ACN)) (do N trung điểm BB’) = 2.d (O; (ACN)) (do BC = 2.OC) =2.d (O; (ACP)) - Tính: Dễ tính được: OA = a a a ; OC = ; OP = 2 Tứ diện O.ACP vuông O nên đặt d (O; (ACP))= h, ta có: 1 1 64 a a = + + = ⇒h= Vậy d (B’M; CN) = 2 2 h OA OC OP 3a 17 * Lời bình: Dễ dàng nhận mặt phẳng (ACN) chứa CN // B’M thật khó khăn tính trực tiếp d (B’; (ACN)) Việc ta khéo léo tạo tứ diện vng O.ACP qui tính d (O; (ACP)) giúp cho lời giải trở nên thật đơn giản Bài 14:Cho hình lập phương ABCD, A’B’C’D’ có cạnh a Gọi K trung điểm DD’ Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A’D * Phân tích tìm hướng giải: - Nhờ tính chất hình lập phương ta dễ dàng tạo mặt phẳng chứa A’D // CK (A’DM) (với M trung điểm BB’) - Khoảng cách d (CK; A’D) qui khoảng cách từ C (hoặc K) tới mp (A’DM) - Do AA’ ⊥ đáy (ABCD) tỉ số NK tính nên ta chọn d (K; (A’DM)) NA để qui khoảng cách từ A (chân đường vng góc) tới mặt bên (A’DM) hay (A’DP) (với P = A’M ∩ AB) - Dùng tính chất tứ diện vng AA’DP để tính d (A; (A’DP)) * Lời giải: - Xác định: Gọi M trung điểm BB’; P = A’M ∩ AB Ta có: CK // A’M nên d (CK; A’D) = d (CK; (A’DP)) = d (K; (A’DP)) Gọi N = A’D ∩ AK ⇒ NK KD = = NA AA' ⇒ d ( K ; ( A' DP ) ) = d ( A; ( A' DP) ) - Tính: Tứ diện A.A’DP vuông A nên đặt d (A; (A’DP) = h, ta có: 1 1 2a = + + = ⇒h= 2 2 h AA AD AP 4a Vậy d (CK; A’D) = a Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a; AD= a ; Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB, AC theo a 18 * Phân tích tìm hướng giải:- Do O trung điểm BD nên dễ dàng tạo mp (MAC) chứa AC // SB (với M trung điểm SD) - Khoảng cách từ S (hoặc B) đến mp (MAC) khoảng cách từ D đến mp (MAC) - Vì SO ⊥ (ABCD) để xem D chân đường vng góc, (MAC) mặt bên, ta dựng đường thẳng Dx // SO gọi E = OM ∩ Dx Khi khoảng cách d (D; (MAC)) dễ dàng tính nhờ tính chất tứ diện vng D MAC * Lời giải: - Xác định: Gọi O=AC ∩ BD Từ giả thiết ta có SO ⊥ (ABCD); SDO = 600 ; SO = OD tan 600 = a Gọi M trung điểm SD Ta có: SB // OM ⇒ SB // (MAC) ⇒d (SB; AC) = d (SB; (MAC)) = d (B; (MAC)) = d (D; (MAC) ) Kẻ DE//SO DE = SO Ta có SODE hình chữ nhật nên O, M, E thẳng hàng - Tính: Tứ diện D.EAC vuông D nên đặt h = d (D; (EAC))= d (D; (MAC)) thì: a 15 1 1 a 15 = + + = ⇒h= Vậy d (SB; BC) = 2 2 h DE DA DC 3a 5 IV MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ⊥ BC tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a (Đ/s: a ) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC có AB = AC = a; BAC=1200 Góc SC mặt phẳng (SAB) 30 0, I trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng AI SB theo a (Đ/s: 19 a 66 ) 11 x Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Chân đường vuông hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) điểm thuộc cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA, biết SA=a SA tạo với mặt phẳng đáy góc 300 (Đ/s: a ) Bài 4:Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có AA1= a , đường thẳng B1C tạo với mặt phẳng (ABB1A1) góc 450 Tính khoảng cách AB1 BC (Đ/s: a 30 ) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA vng góc với đáy SA = a Gọi M, N trung điểm AB CD Tính d a 22 ) 11 (SM; BN) (Đ/s: Bài Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a Â=600 Xác định đường vng góc chung AC’ BB’ Tính khoảng cách hai đường thẳng (Đ/s: a ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = AA’ = a; AC’ = 2a a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD’) b) Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách AC’ CD’ (Đ/s: a) a a 10 ; b) ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = h SA vng góc với đáy Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng: (Đ/s: a) a) SC AB; ah a +h 2 ; b) b) AC SD a ) V THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Nội dung thực nghiệm: 20 - Triển khai đề tài: “Phân tích đường lối, tìm tịi lời giải,rèn luyện kĩ giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cho học sinh lớp 11” - Đối tượng áp dụng đề tài: Học sinh lớp 11 B5 gồm HS trung bình, khá, giỏi mơn tốn - Thời gian triển khai đề tài: buổi Kết thực nghiệm: Tôi phân công giảng dạy lớp khối A, D dạy đội tuyển thi HSG nhiều năm Hầu em khó để xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau, tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này, song song với đường thẳng chọn điểm đường thẳng để từ xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong năm học qua, triển khai đề tài cho học sinh lớp 11B5, sau em học xong khoảng cách Kết thật khả quan, em hiểu nhanh, biết phân tích lựa chọn phương pháp thích hợp để giải khơng cịn cảm thấy sợ loại toán Kết khảo sát cụ thể lớp 11B5, sau dạy xong chuyên đề sau: - 60% học sinh làm tốt tất tập vận dụng - 25% học sinh làm 80% số - 15% học sinh làm 60% số - Điều đáng nói có số học sinh khơng làm tập (3 em học yếu hình lớp) C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Trong trình giảng dạy nhiều năm, đúc rút cách dạy cách hiệu toán khoảng cách hai đường thẳng chéo trình bày Điều quan trọng giáo viên phải rèn luyện cho học sinh kĩ nhìn nhận, phân tích, lựa chọn phương pháp giải thích hợp tốn Tơi thấy hầu hết em sau học xong chuyên đề tỏ hứng thú, tự tin trước loại tốn coi khó Đặc biệt phương pháp gián tiếp-là phương pháp thường sử dụng - em biết cách chọn mặt phẳng thích hợp chứa đường thẳng này, song song với đường thẳng kia, biết chọn điểm đường thẳng cho dễ xác định khoảng cách từ điểm 21 đến mặt phẳng thơng thường quy khoảng cách từ chân đường vng góc tới mặt bên Qua góp phần phát triển tư phân tích, sáng tạo cho học sinh, tạo nên hứng thú, say mê học sinh mơn tốn nói chung tốn khó khoảng cách đường thẳng chéo nói riêng Kiến nghị: Phần hình học khơng gian địi hỏi người học phải có tư trừu tượng, có óc tưởng tượng nên việc rèn luyện kĩ cho học sinh cần thiết Tuy nhiên điều bắt buộc giáo viên khơng cung cấp lời giải toán cho học sinh mà phải đầu tư suy nghĩ đưa hệ thống câu hỏi, phân tích cho học sinh tự nhận hướng giải để từ em giải toán khác Phạm vi ứng dụng đề tài rộng rãi cần thiết HS dự thi HSG thi THPTQG (có mục đích tuyển vào trường ĐH) Đề tài tơi kiểm nghiệm tính hiệu giảng dạy Ngày 20 tháng năm 2020 Người thực Ngô Thị Xuân 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Một số thông tin lấy trên: www.google.com 2) Các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng mơn tốn từ năm 2003 đến năm 2014 3) Báo Toán học tuổi trẻ 4) Tuyển tập đề thi thử Đại học ba miền Bắc-Trung-Nam 5) Tuyển tập đề thi thử Đại học trường THPT chuyên Hà Tĩnh, Vinh, Amsterdam 6) Giới thiệu dạng toán luyện thi Đại học Phan Huy Khải-NXB Hà Nội 7) Giải tốn hình học khơng gian -NXB giáo dục 23 ... - Triển khai đề tài: ? ?Phân tích đường lối, tìm tịi lời giải, rèn luyện kĩ giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cho học sinh lớp 11? ?? - Đối tượng áp dụng đề tài: Học sinh lớp 11 B5 gồm... lại - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng II QUY TRÌNH GIẢI BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a VÀ b Các bước giải: ... tiếp) Với mong muốn giảm bớt khó khăn cho học sinh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, tơi xin đề cập phương pháp giải toán học sinh lớp 11 Với học sinh lớp 12, chủ yếu dùng phương pháp trên,