Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia sử dụng một số kĩ thuật tìm nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤCHĨA LỤCNĂM 2018 THANH MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU …… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN ……………………………………… 2 3 3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đặt vấn đề …… 2.3.2 Một số kĩ thật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện … Kĩ thuật 1: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác …………………………………… Kĩ thuật 2: Kĩ thuật thử trực tiếp ………………………………… Kĩ thuật 3: Kĩ thuật xét mệnh đề đối lập ………………………… Kĩ thuật 4: Kĩ thuật biểu diễn đường tròn lượng giác …….… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giái dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 4 4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Tài liệu tham khảo - Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 4 12 16 17 18 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Chuyên đề lượng giác đặc biệt phương trình lượng giác phần kiến thức quan trọng chương trình tốn THPT nói chung Đại số Giải tích 11 nói riêng Trong năm học 2017 – 2018 này, Bộ GD & ĐT áp dụng thi phần kiến thức toán 11 vào đề thi trắc nghiệm toán kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia dạng tốn giải phương trình lượng giác, loại phương trình lượng lượng giác có điều kiện thường cho học sinh bối rối Đa số em gặp khó khăn khâu kết hợp nghiệm phương trình hệ với điều kiện phương trình ban đầu Đặc thù phương trình lượng giác thường có vơ số nghiệm cơng thức nghiệm cho phương trình lượng giác có hình thức biểu diễn khác Nội dung kiến thức phần tương đối rộng, số lượng tiết học lớp đảm bảo cho em nắm vững kiến thức Để giải tốt tốn giải phương trình lượng giác có điều kiện mức độ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, học sinh cần tìm tòi thêm; biến đồi lượng giác thành thạo, linh hoạt từ hình thành kỹ xử lí tình nâng cao đề thi Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ tốt việc kết hợp nghiệm với điều kiện phương trình lượng giác có điều kiện, qua có phương án giải tối ưu trọn vẹn cho tốn giải phương trình lượng giác có điều kiện, chọn nghiên cứu chuyên đề : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện ” 1.2 Mục đích nghiên cứu : - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Đại số giải tích 11 nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, môn học coi khô khan, hóc búa, khơng giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức - Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ chọn phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp tốn phương trình lượng giác cụ thể Qua rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh chóng đến kết 1.3 Đối tượng nghiên cứu : Đối tượng nghiên cứu số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác chứa điều kiện Phạm vi : Giới hạn việc giải phương trình lượng giác chứa điều kiện 1.4 Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện - Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học - Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng hoc sinh trình giải tốn phương trình lượng giác có điều kiện Từ đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành học kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN : Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác có điều kiện số kĩ thuật kết hợp nghiệm Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định nên áp dụng kĩ thuật cho toán cụ thể Đề tài ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp số kĩ thuật kết hợp nghiệm với điều kiện tốn phương trình lượng giác NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm : Phương pháp giáo dục đại phải phát huy tính tích cực, chủ động học sinh bồi dưỡng cho học sinh có lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận dựa theo lý luận : bồi dưỡng cho học sinh kiến thức vấn đề sau tạo cho học sinh khả tự học độc lập suy nghĩ, từ học sinh tự phân loại dạng tập theo chuyên đề Có học sinh dễ dàng làm tốt thi kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Trong trình giảng dạy chương trình Đại số Giải tích lớp 11 với ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia phần lượng giác cho học sinh lớp 12, nhận thấy giải phương trình lượng giác có điều kiện học sinh thường lúng túng sau tìm họ nghiệm phương trình hệ khơng biết đối chiếu với điều kiện ban đầu, dẫn đến kết luận họ nghiệm khơng xác Bài viết tơi muốn giới thiệu số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện thơng qua ví dụ cụ thể 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề : 2.3.1 Đặt vấn đề : Phương trình lượng giác có điều kiện ( chủ yếu phương trình chứa ẩn mẫu số chứa ẩn hàm số tan cot ) dạng hay phức tạp ` Đối với giáo viên việc dạy cho học sinh hiểu có kĩ thuật đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện khơng dễ dàng Điều khó khăn số nghiệm phương trình thường vơ hạn biểu diễn dạng   k 2  k ��, n ��* n Hơn phương trình lượng giác dùng phép biến đổi khác nhaucos thể thu phương trình lượng giác khác từ thu số họ nghiệm hình thức họ nghiệm khác Qua trình giảng dạy thực nghiệm sư phạm, để giải phần khó khăn, lúng túng học sinh giải phương trình lượng giác có điều kiện tơi đưa số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện thơng qua số ví dụ cụ thể 2.3.2 Một số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện: Kĩ thuật 1: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cos x  cot x  sin x  (1) sin x Hướng dẫn: Các em thấy điều kiện sinx ≠ Với kĩ thuật này, em không cần làm bước s inx �۹ sinx ≠ x k mà cần viết sin x  1 � cos x  cot x  s inx  Ta có : 2cos x  cot x  sin x sin x � cos x  cot x  s inx   cot x � cos x  sinx  s inx  1 � � � 2sin x  s inx -  � � s inx  � s inx  1 � � Đến em thấy điều kiện sinx ≠ 0, nghiệm � hai s inx  � 2 giá trị sin thỏa mãn tập nghiệm cần tìm là: � �  5 S �   k 2 ;  k 2 ;  k 2 k ��� �2 6 Nhận xét : Trong phương trình (1), ta biến đổi điều kiện nghiệm tìm thơng qua hàm số y = sinx Từ chuyển việc đối chiếu điều kiện x đối chiếu điều kiện y đơn giản nhiều ( giống phương trình đại số ) �   s inx  cos2x  sin � �x  � Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2) � � cosx  tan x cosx �0 sinx ��1 � � �� Hướng dẫn: Điều kiện : � �tanx �-1 �tanx �-1 � � Ta có : PT (2) � cosx   s inx  cos2x  sin �x  � cosx  s inx  cosx  � 4� �   s inx  cos2x   s inx  cosx   s inx  cosx   �  s inx  cosx   s inx  cos2x   �  s inx  cosx  2s in x  sin x+1  � � tan x  1 ( L) s inx  cosx = � � �� �� s inx  ( L)  2sin x  sin x+1= � � s inx   (T / m) � � Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: s inx    7  k 2 Vậy PT(2) có nghiệm : x    k 2 ; x   k �� x� � �  tan x.tan � (3) Ví dụ 3: Giải phương trình sau: cot x  s inx � � � cosx �0 � s inx �۹ Hướng dẫn: Điều kiện : � � x � cos �0 � sin x � Ta có : x� x x� � � s in � cosx.cos  s inx s in � � � cosx s inx  � cosx  s inx 2 4 PT (3) �  s inx � 1 � � � x x s inx s inx � cosx cos � � � cosx.cos � 2� � � cosx s inx �   � sin x  s inx cosx Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: s in2x  Vậy PT(2) có nghiệm : x   5  k ; x   k 12 12 Ví dụ 4: Giải phương trình sau:  k �� 1   (4) cosx sin x sin x Hướng dẫn: Điều kiện : cosx �0 sinx ��1 � � � � s in2x �۹۹۹ s inx � � � � sin x �0 cos2 x �0 � � � sinx ��1 � s inx � �  2sin x �0 � � � sinx ��1 � � s inx � � � sinx �� � � � s inx  1 � s inx  Ta có: PT (4) � 4sin x.cos2x+2cos2x=2 � sin x  2sin x  s inx  1  � � � s inx  � � Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: s inx   Vậy PT(4) có nghiệm : x    k 2 ; x  5  k 2  k �� sin x  cos x  cos 4 x Ví dụ 5: Giải phương trình sau: (5) � � � � tan �  x � tan �  x � �4 � �4 � Hướng dẫn: Điều kiện : � � � � � � � � sin  x � ; cos  x � sin �  x ��0 � � � � � � � � � �4 � � �2 � �۹۹� cos2x sin2x � �    � � � � � � � � sin �  x ��0 ; cos �  x ��0 sin �  x ��0 � � � �4 � � � �4 � �2 � � � � tan �  x � , PT(5) trở thành : Nhận thấy : tan �  x � �4 � �4 � sin x  cos x  cos 4 x �  sin x  cos 4 x sin x  � � 2cos 4 x  cos x   � cos x  � sin x  � � cos2x = � Đối chiếu với điều kiện, ta chọn được: sin2x = Vậy PT(5) có nghiệm : x  k  k �� Bài tập đề nghị : Bài : Phương trình A x    k sin x  cos x   tan x  cot x  có nghiệm : sin x B x    k 2 C x  Bài : Phương trình tan x  cot x  2sin x   12 A x  �  k  B x  �  k Bài : Phương trình 48  A x   k   k  D Vơ nghiệm có nghiệm : sin x  C x  �  k  D x  �  k    cot x.cot x   có nghiệm : cos x sin x B x   k  12 C x   k  16 D x   k  4 Kĩ thuật 2: Kĩ thuật thử trực tiếp Đối với phương trình lượng giác mà điều kiện nghiệm tìm khó đưa hàm số lượng giác, ta tìm nghiệm cụ thể, thay vào điều để kiểm tra lại VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cos3x.tan5x = sin7x (1) Hướng dẫn: Điều kiện: cos5x ≠ Ta có: PT(1) � cos3x.tan5x = sin7x � 2sin5x.cos3x=2sin7x.cos5x � x � � sin x  sin12 x � � � x � � k  k  20 10  k �� Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm vào điều kiện : k 5k k = cos �0 � k  2m  m �� cos5x = cos 2  k � k � * Với x   cos5x = cos �  ��0, k �� 20 10 �4 � * Với x   k  m; k �� Vậy PT(1) có nghiệm : x  m ; x   20 10  s inx  cosx  (1)  tan x  cot x cot x  sin x �0 �tan x  cot x �0 � �� Hướng dẫn: Điều kiện: � cot x  �0 s inx  cosx �0 � � Ví dụ 2: Giải phương trình sau:   Ta có: PT(2) � sin x   s inx � sin x cos x   s inx  � x  k � � � � 3 �� � x  �  k 2 cosx = � �  k �� Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm vào hệ điều kiện : * Với x  k sin x  sin(k 2 )  ( Loại ) 3 �3 �  k 2 sin x  sin �  k 4 � 1 �0 ( Thỏa mãn ) * Với x  �2 � �3 � �3 � s inx  cosx = sin �  k 2 � cos �  k 2 � �0 ( Thỏa mãn ) �4 � �4 � 3 � 3 �  k 2 sin x  sin �  k 4 � �0 ( Thỏa mãn ) * Với x   � � � 3 � � 3 � s inx  cosx = sin �   k 2 � cos �   k 2 � ( Loại ) � � � � 3 Vậy PT(2) có nghiệm : x   k 2  k �� Ví dụ 3: Giải phương trình sau: tan2x.tan3x.tan5x = tan2x - tan3x - tan5x (3) Hướng dẫn: Điều kiện: cos2x ≠ ; cos3x ≠ ; cos5x ≠ Ta có: PT(3) � tan x   tan x.tan x   tan x  tan x + Nếu + tan2x.tan3x =  3 � tan x  tan x Khi  tan 2 x  ( vơ lí ) + Nếu + tan2x.tan3x ≠ tan x  tan x k � tan x  tan   x  � x   3 � tan x   k ��  tan x.tan x Vì hàm số y = cos2x ; y = cos3x ; y = cos5x có chu kì T �2 nên ta cần thử trực tiếp với k ; ; ; ; ; thấy k ; ; thỏa mãn Vậy PT(1) có nghiệm : x  k 2 ; x   2  k 2 ; x   k 2  k �� 3 Nhận xét : Giả sử : - Điều kiện xác định f  x  �0 f(x) hàm số tuần hồn với chu kì T - Phương trình hệ có nghiệm x    k 2 với k �� n số nguyên dương n xác định Khi ta đối chiếu điều kiện sau : + Nếu T �2 ta cần thử trực tiếp cung x ứng với n giá trị tự nhiên k 0, 1, 2, , n – 1 2 T l 2  l �; l  ta cần thử trực tiếp cung x ứng với ln + Nếu  l �γ giá trị tự nhiên k 0, 1, 2, , ln-1 Ưu điểm phương pháp đơn giản, dễ hiểu, phù hợp với đại trà học sinh có lự học trung bình Tuy nhiên, với n lớn việc đối chiếu nhiều thời gian Bài tập đề nghị : Bài 1: Phương trình s inx  cosx   � x    k 2 � �  x   k A � � � k � x � cos2x có nghiệm :  sin x �  x   k 2 � �  x   k B � � � x  k � � Bài 2: Số nghiệm phương trình cos2x + x � 0;   : A B � 3 x  k � �  x    k 2 C � � � x  k 2 � � sin3x - cos3x x  s inx  4sin  với 2sin x  C � � 5 x  k � � 3 x  k D � � � k � x � D sin3x + cos3x � s inx  Bài 3: Số nghiệm phương trình � � cos2x + với x � 0; 2   2sin x � � : A B C D Kĩ thuật 3: Kĩ thuật xét mệnh đề đối lập Đối với phương trình lượng giác mà điều kiện nghiệm tìm khó đưa hàm số lượng giác việc thử nghiệm tìm phương trình hệ vào điều kiện khó khăn, phức tạp, ta xét mệnh đề đối lập với điều kiện ban đầu sau : Giả sử điều kiện x ≠ a , ta xét mệnh đề đối lập x = a thay vào phương trình (*) thu cuối xem có thỏa mãn khơng từ có kết luận nghiệm phù hợp : - Nếu x = a thỏa mãn PT (*) nghiệm PT(*) khơng phải nghiệm phương trình cho - Nếu x = a khơng thỏa mãn PT (*) nghiệm PT(*) nghiệm phương trình cho VÍ DỤ MINH HỌA   sin Ví dụ 1: Giải phương trình sau: tan x    x sin x cos x (1) Hướng dẫn: Điều kiện: cosx ≠ ۹�sinx 4 2 Ta có: PT(1) � sin x  cos x    sin x  sin 3x �   sin x    2sin x   �  sin 2 x  �� � sin x  (  sin 2 x  1, x �� )  2sin x  �   � 3sin x  4sin x  (*) Xét mệnh đề đối lập sinx = ± vào PT (*) không thỏa mãn nên nghiệm PT (*) nghiệm PT (1) Vậy PT(1) có nghiệm : x   k 2 5 k 2  ; x  18 18  k �� Nhận xét : Trong PT(1), điều kiện cosx ≠ biến đổi thành sinx ≠ ± 1, thay sinx = ± vào PT(*) không thỏa mãn dẫn đến nghiệm PT(*) nghiệm PT (1) Như khơng cần tìm nghiệm cụ thể, ta đối chiếu điều kiện Ví dụ 2: Giải phương trình sau:  sin x  cos2x  s inx.sin x (2) 1+cot x Hướng dẫn: Điều kiện: sinx ≠ ۹�cosx Tacó: PT(2) � sin x   sin x  cos2x   2 sin x.cosx � 1+2sinx.cosx+2cos x   2cosx cos x  (T/m ) � � cos x s inx  cosx -  � � s inx  cosx = 2(*) � Xét mệnh đề đối lập sinx = ۱ cosx = thay vào PT(*) không thỏa mãn nên   nghiệm PT (*) nghiệm PT (2) Vậy PT(2) có nghiệm : x     k ; x   k 2  k �� Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3sin x  cos x    tan x   Hướng dẫn: Điều kiện: cosx ≠ ۹�sin x Tacó: PT(2) � cosx  3sin x  cos x   cosx  3sin x  cos x  1 (3) cosx cosx=1 (T/m) � �  3sin x  cos x  1  cosx-1  � 3sin x  cos x   0(*) � Xét mệnh đề đối lập cosx = ۱ sin x = thay vào PT(*) không thỏa mãn nên nghiệm PT (*) nghiệm PT (3) 10 Vậy PT(2) có nghiệm : x  k 2 ; x   �arccos ( Với k ��; cos =  k 2 13 ;sin  = ) 13 13 Ví dụ 4: Giải phương trình sau: tan x  tan x � �  sin �x  �(4) tan x  � 4� Hướng dẫn: Điều kiện: cosx ≠ ۹�sin x 1  s inx  cosx  � sin x  sinx.cosx   s inx  cosx  �  s inx  cosx   2sin x  1  0(*) Xét mệnh đề đối lập cosx = ۱ sin x = thay vào PT(*) không thỏa mãn nên 2 Tacó: PT(4) � cos x  tan x  x   nghiệm PT (*) nghiệm PT (4) Vậy PT(4) có nghiệm : x  3  5  k ; x   k 2 ; x   k 2  k �� 6 Ví dụ 5: Giải phương trình sau: tan x.tan x  (5) �  m x�  � cos5x �0 � � 10 �� Hướng dẫn: Điều kiện: � cos2x �0 � �x �  n �  k � tan5x = cot x � x   Tacó: PT(5) � tan5x = tan x 14  k ��  m  k  m  2m  � k  m : giả sử    10 14 10 5  2m t 1 � m  2t  Do k , m �� nên t ��: t  t 1 � t  2s  Lại t , m �� nên s ��: t   k Từ k = 7s + Suy x   , với k �7 s  thỏa mãn phương trình 14  n  k  n + Xét mệnh đề đối lập x   : giả sử    � 4k  14n  ( Vơ lí ) 14  n Suy điều kiện x �  thỏa mãn  k Vậy PT(4) có nghiệm : x   , với k �7 s   k , s �� 14 + Xét mệnh đề đối lập x  Bài tập đề nghị : Bài : Phương trình   k tan x � �  cot �x  �có nghiệm :  tan x � 4�  k  k  D x   Bài : Nghiệm âm nhỏ phương trình tan x.tan x  :     A x   B x   C x   D x   12 A x  B x   k  12 C x  11 Bài : Phương trình 2sin x  A x    k  1  2cos3x  có nghiệm : s inx cosx B x    k C x  3  k D x   3  k Kĩ thuật 4: Kĩ thuật biểu diễn đường tròn lượng giác Đây kỹ thuật hay thông dụng, ta dùng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm loại nghiệm Ta quy ước : - Biểu diễn đường tròn lượng giác : + Những điểm không thỏa mãn điều kiện ( đánh dấu “×” ) + Những điểm nghiệm tìm ( đánh dấu “○” ) Khi điểm đánh dấu “○” mà không trùng với điểm đánh dấu “×” điểm biểu diễn nghiệm cần tìm Kĩ thuật có hiệu số điểm khơng thỏa mãn điều kiện vị trí đặc biệt, đồng thời kĩ thuật nêu tỏ ta không hiệu - Cách biểu diễn: Mỗi cung ( góc ) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác ( quy định gọi tắt đường tròn ) i) x    k 2 , k �� biểu diễn đường tròn điểm ( thay k = ) ii) x    k , k �� biểu diễn đường tròn hai điểm đối xứng qua gốc O ( thay k = 0, k = ) iii) x    k 2 , k �� biểu diễn đường tròn ba điểm cách nhau, tạo thành ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn (thay k= 0, k= 1, k= 2) Tổng quát: x    k 2 (k  �, n 3) biểu diễn đường tròn n điểm cách n nhau, tạo thành n đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn ( thay k 0; 1; 2; ; n-1 ) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin x  2cos x  s inx   (1) tan x   � x �  m � �tan x � � ��  m, n �� Hướng dẫn: Điều kiện: �  cosx � � �x �  n � Ta có: PT(1) � sin x  cos x  s inx   � cos x  s inx  1   s inx  1   � s inx  1 � x    k 2 � �  s inx  1  cos x  1  � � ��  k �� �  cosx= � x  �  k 2 � � � 12 Trên đường tròn lượng giác : y  2  O    x    + Biểu diễn nghiệm x    k 2 x  �  k 2 điểm ( đánh dấu “○” )  + Biểu diễn x    m x    n điểm ( đánh dấu “×” ) Ta thấy có điểm đánh dấu “○” không trùng với điểm đánh dấu “×” Vậy PT(1) có nghiệm : x    k 2  k �� sin x  cos x  s inx.cosx Ví dụ 2: Giải phương trình sau:    2sin x  (2) �  x �  m2 � �  m, n �� Hướng dẫn: Điều kiện: s inx � � �  �x �  n2 � � �1 6  sin x � sin2x  Ta có: PT(2) �  sin x  cos x   s inx.cosx  � � � �2  � 3sin 2 x  sin x   � sin x  � x   k  k �� 13 Trên đường tròn lượng giác : y 3  O x 5   k điểm ( đánh dấu “○” )  3 + Biểu diễn x   m2 x   n2 điểm ( đánh dấu “×” ) 4 + Biểu diễn nghiệm x  Ta thấy có điểm đánh dấu “○” khơng trùng với điểm đánh dấu “×” Vậy PT(2) có nghiệm : x  5  k 2  k �� Ví dụ 3: Giải phương trình sau: s inx  sin x  1 (3) sin x m  m � Ta có: PT(3) � s inx  sin x  sin 3x  � 2sin x.cosx + sin2x = � k sin x  x � � � � sin x  cos x  1 = � ��  k �� � 2 cosx= � x  �  k 2 � � x Hướng dẫn: Điều kiện: s in3x �۹� 14 Trên đường tròn lượng giác : y  2   O 4   + Biểu diễn nghiệm x  + Biểu diễn x  x   k 2 x  �  k 2 điểm ( đánh dấu “○” ) m điểm ( đánh dấu “×” ) Ta thấy có điểm đánh dấu “○” khơng trùng với điểm đánh dấu “×” Vậy PT(2) có nghiệm : x    k  k �� Bài tập đề nghị : Bài : Phương trình cotx - tanx + 4sin2x  có tập nghiệm biểu diễn sin 2x điểm đường tròn lượng giác ? A B C D � � � � sin �x  � cos �  x � x� Bài : Phương trình  � � 6� �3 � có cosx + sinx.tan � � cos x � 2� cosx họ nghiệm dạng x    k 2 x    k Khi giá trị    : A 5 B  C  Bài 3: Số nghiệm phương trình s inx A B Bài 4: Phương trình A x   k   C  k  5 �7 �  4sin �  x � � 3 � �4 �với x � 0;   sin �x  � � � sin x  sin x  sin x  có nghiệm : cosx  cos2x  cos3x B x  D C x  2 k  D D x  5 k  15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường : * Trước thực đề tài: Tôi cho học sinh lớp 11A1 có lực học trung bình làm kiểm tra sau 15 phút: ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG : Giải phương trình :  cos4x sin x  2sin x  cos4x Kết không khả quan sau : Điểm Lớp 11A1 Giỏi SL % 12% Khá SL 12 TB % 29% SL 16 % 38% Yếu SL % 21% (Sĩ số 42 ) * Sau thực đề tài: Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 11A1 làm đề kiểm tra 15 phút với mức độ nâng cao nội dung giải phương trình lượng giác có điều kiện thuộc dạng có đề tài : ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Giải phương trình :  s inx  tan x  tan x  s inx  cos x  Kết khả quan, cụ thể sau: Điểm Lớp 11A1 Giỏi SL 11 % 26% Khá SL 19 TB % 45% SL 10 % 24% Yếu SL % 5% (Sĩ số 42 ) Rõ ràng có khác biệt trước sau thực đề tài Như việc hướng dẫn cho học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện giúp em tỏ say mê, hứng thú học tập, coi thành công người giáo viên chắn số kĩ thuật mà nêu đề tài giúp em không cảm thấy lúng túng giải phương trình lượng giác có điều kiện, giúp em tự tin học tập thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: * Kết áp dụng: Qua việc thực chuyên đề lớp 11A1 có học lực trung binh khá, kết thu khả quan, học sinh nắm vững kĩ thuật tìm nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện, học tập say mê hứng thú * Tự đánh giá : Sáng kiến có tính khả thi, áp dụng để dạy học tốn chun đề phương trình lượng giác trương THPT Lê Lợi, Thọ Xuân Trong trình nghiên cứu thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế, thân mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ đóng góp ý kiến để đề tài hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy Đồng thời giáo viên tổ Tốn áp dụng cho học sinh lớp 11 lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có thêm kĩ giải phương trình lượng giác 3.2 Kiến nghị: Do thời gian có hạn nên đề tài đề cập đến kĩ thuật kết hợp nghiệm với điều kiện phương trình lượng giác có điều kiện Đề tài nghiên cứu để mở rộng với toán giải phương trình kết hợp hàm số lượng giác hàm số mũ, hàm số logarrit hàm chứa ẩn dấu … XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết SKKN : Đỗ Thị Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học Tuổi trẻ từ năm 2013 đến 17 Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 – NXB Giáo dục Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 – NXB Giáo dục Sách tập Đại số Giải tích 11 – NXB Giáo dục Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số Giải tích 11 – Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng – NXB Giáo dục, 2008 Phương pháp giải phương trình lượng giác – Lê Hồng Đức – NXB Đại học Sư phạm, 2004 Tuyển tập đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2017 – 2018 trường nước qua Internet Giới thiệu đề thi thức Tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng mơn Tốn – NXB Đại học Sư phạm, 2014 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 18 Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi – Thọ Xuân – Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Nhận dạng tam giác phương pháp sử dụng tam thức bậc hai tích vô hướng Hướng dẫn học sinh ôn thi đại học giải số dạng tập cực trị Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2010 – 2011 C 2012 – 2013 C 2014 – 2015 C 2016 - 2017 hình học giải tích lớp 12 Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số tốn Cấp đánh Kết giá xếp đánh giá Năm học loại xếp loại đánh giá (Phòng, (A, B, xếp loại Sở, Tỉnh ) C) Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2008 – 2009 Sở GD&ĐT Thanh Hóa hình học khơng gian Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại số dạng tốn viết phương trình mặt phẳng khơng gian Sở GD&ĐT Thanh Hóa tọa độ Oxyz thường gặp đề thi THPT Quốc gia Rèn luyện cho HS lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ giải số dạng tốn phương trình mặt cầu Sở GD&ĐT Thanh Hóa phương pháp phân loại thơng qua số tập thực hành 19 ... có điều kiện, tơi chọn nghiên cứu chuyên đề : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số kĩ thuật tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện ” 1.2... Lớp 11A1 Giỏi SL 11 % 26% Khá SL 19 TB % 45% SL 10 % 24% Yếu SL % 5% (Sĩ số 42 ) Rõ ràng có khác biệt trước sau thực đề tài Như việc hướng dẫn cho học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp. .. viên tổ Tốn áp dụng cho học sinh lớp 11 lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có thêm kĩ giải phương trình lượng giác 3.2 Kiến nghị: Do thời gian có hạn nên