Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường PT nguyễn mộng tuân tiếp cận và vận dụng có hiệu quả phương pháp quy nạp toán học

`MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Khái quát chung quy nạp 2.1.2 Nguyên lí quy nạp 2.1.3 Giai đoạn quy nạp giả thiết qui nạp 2.1.4 Phương pháp quy nạp toán học N* 1 2 2 3 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Không thực đầy đủ hai bước qui nạp 2.2.2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp 2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức 2.3.2 Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức 2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết 2.3.4 Một vài ứng dụng khác 2.4 Hiệu SKKN KẾT LUẬN……………………………………………………………………… 9 10 11 11 12 14 14 15 18 20 Tài liệu tham khảo 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Tốn học mơn khoa học suy diễn Các kết luận Toán học chứng minh cách chặt chẽ Nhưng trình hình thành, trước có kết luận mang tính tổng quát, toán học phải tiến hành xét trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta phải đối chiếu quan sát được, suy điều tương tự, phải thử thử lại, để từ dự đoán định lý toán học, trước chứng minh chúng Bên cạnh đó, ta phải dự đốn ý phép chứng minh trước vào chứng minh chi tiết Phương pháp quy nạp toán học phương pháp đặc biệt, hiệu lực công cụ hữu hiệu để chứng minh mệnh đề có liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * Sự phát huy hiệu lực thể rõ nét tốn liên quan đến dãy số (hay nói chung toán liên quan đến số tự nhiên) Đặc biệt chương trình tốn lớp 11, phương pháp quy nạp toán học áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức; tìm số hạng tổng quát cấp số cộng , cấp số nhân; ứng dụng hình học; nhiều toán chia hết phương pháp qui nạp cho ta cách giải hữu hiệu Tuy nhiên, thực tế q trình giảng dạy tốn 11 đặc biệt “Phương pháp quy nạp toán học” tơi thấy q trình vận dụng học sinh thực lúng túng mơ hồ cịn mắc sai lầm thực bước chứng minh phương pháp qui nạp chí cịn khơng kiểm tra bước Với toán chứng minh đẳng thức học sinh phân biệt đâu giả thiết quy nạp, đâu kết luận trình chứng minh em khơng biết đâu, làm để vận dụng giả thiết qui nạp Cịn tốn chứng minh bất đẳng thức chứng minh chia hết gặp nhiều khó khăn hơn, viết giả thiết qui nạp học sinh làm cách để thấy mối liên quan với kết luận Trong chương trình tốn lớp 11 cịn có dạng tốn tìm số hạng tổng quát dãy số, cấp số cộng , cấp số nhân bắt buộc học sinh phải dự đốn cơng thức tổng qt chứng minh phương pháp quy nạp, dạng tốn khó đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp quy nạp toán học rèn kĩ chứng minh nhiều giải tốn cách thành thạo Ngồi có vơ số ví dụ mơn học chương trình phổ thông dùng phương pháp quy nạp để diễn giải mô tả Nhưng để hiểu thấu đáo kĩ thuật áp dụng học tập, sáng tạo gặp nhiều khó khăn Hơn nữa, chương trình sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11học sinh tiếp cận hiểu biết phương pháp quy nạp mức độ định; chưa hiểu sâu nguyên lí quy nạp; chưa rèn luyện nhiều kĩ giải toán phương pháp quy nạp Chính vậy, tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “phương pháp quy nạp toán học” với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu vể phương pháp rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, lí chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường PT Nguyễn Mộng Tuân tiếp cận vận dụng có hiệu Phương pháp quy nạp tốn học” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi , tập hợp giảng lại viết chuyên đề nhằm mục đích: - Cung cấp số kiến thức phép quy nạp nguyên lý quy nạp toán học - Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác - Cung cấp thêm số tập cách giải qua củng cố mở rộng thêm kiến thức học - Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây hứng thú học toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm học sinh lớp 11 trường PT Nguyễn Mộng Tuân 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) - Phương pháp tiếp cận vấn đề - Phương pháp phân tích, bình luận - Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa - Phương pháp thực nghiệm 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.1.1 Khái quát chung quy nạp: Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào loạt khẳng định riêng biệt a) Quy nạp hoàn toàn mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập : “ Mỗi số chẵn n khoảng [ 4;100] biểu diễn dạng tổng số nguyên tố ” Muốn phân tích: = 2+2 = 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, thực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng số ngun tố b) Quy nạp khơng hồn tồn: Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn Quy nạp khơng hồn tồn vận dụng nhiều khoa học thực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên định luật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác Trong tốn học, quy nạp khơng hồn tồn không xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vô hạn trường hợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vơ hạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố Đương nhiên, quy nạp khơng hồn tồn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1 mà = 12 + với n=2 : 1+3=4 mà = 2 + với n=3 : 1+3+5=9 mà = + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà 16 = + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà 25 = Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = n (1) tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp n ” Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 6) chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: S n = 13 + + 33 + + n Ta xét trường hợp riêng biệt: S1 = 13 = = 12 S = 13 + = = (1 + 2) S = 13 + + 33 = 36 = (1 + + 3) S = 13 + + 33 + = (1 + + + 4) Do nảy kết luận tổng quát : S n = (1 + + + + n) (2) Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2) Chúng ta cần ý rằng, suy luận quy nạp dẫn đến kết luận sai, ví dụ sau: Ví dụ Khi xét số có dạng 2 n + nhà toán học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số ngun tố Từ ơng đưa giả thiết tất số có dạng ( với n ∈ N * ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số 32 + số ngun tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa kết luận nhà tốn học Fecma sai lầm Ví dụ Xét số S n = n + n + 17 với n ∈ N * với trường hợp n = 1, 2, 3; ; 15 ta thấy S n số nguyên tố Từ kết luận S n số nguyên tố với số n ∈ N * hay không? Với n =16 ta số S16 = 16 + 16 + 17 = 17 S16 khơng phải số nguyên tố, tức kết luận quy nạp S n số nguyên tố với số n ∈ N * sai c) Phương pháp quy nạp tốn học Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến kết sai Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn, ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường hợp riêng mà kết luận khơng ( ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ) Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ Ví dụ : Xét lại cơng thức (1) ví dụ S n = + + + + (2n − 1) = n Giả sử ta chứng minh cơng thức với n =7, chứng minh công thức với n = 8, ta khơng cần phải tính tổng số hạng đầu tổng : S = + + + + + 11 + 13 + 15 mà ta biết S = + + + + + 11 + 13 = 2 2 viết ngay: S = + 15 = + 2.7 + = (7 + 1) = Tổng quát, sau chứng minh công thức với n = k (nghĩa ta có S k = k ), ta chứng minh với n ' = k + cách: S n ' = S k +1 = S k + ( 2(k + 1) − 1) = k + 2k + = ( k + 1) = (n ' ) Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét S1 = = 12 ; việc chuyển từ đẳng thức khác : S2 = + = 22 S = + + = ; v v trường hợp riêng phép tính Khái qt điều nói trên, phát biểu quy tắc tổng quát sau: Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số n ∈ N * , ta cần: a) Xác lập mệnh đề với n =1 b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( k ∈ N * ) mệnh đề với n = k+1 Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” khơng phải chứng minh chặt chẽ Người ta chứng minh mệnh đề tổng quát chứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, thừa nhận tiên đề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng nguyên lý quy nạp mà trình bày đây, coi ngun lý quy nạp tốn học tiên đề mức độ “ hợp pháp ” ngang 2.1.2 Nguyên lí qui nạp Định lí 2.1 Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n ≥ n0 Nếu a) P( n0 ) b) Nếu P(k) P(k+1) với số tự nhiên k ≥ n0 , mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ≥ n0 2.1.3 Giai đoạn qui nạp giả thiết qui nạp Để hiểu cách áp dụng phương pháp qui nạp cho đầy đủ, ta xem xét số ví dụ sau phép « suy luận có lí » mà G Polya đề cập Ví dụ 7: Chứng minh : 1 n + + + = ,đúng với n∈N* 1.2 2.3 n.(n + 1) n +1 Bước : Kiểm chứng với n = : 1 = : đẳng thức với n = 1.2 + Bước : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : Với n = k + ta cần cm : 1 k + + + = 1.2 2.3 k.(k + 1) k+1 1 1 k +1 + + + + = 1.2 2.3 k.(k + 1) (k + 1)(k + + 1) k +1+1 1 1 k(k + 2) + k + + + + = + = 1.2 2.3 k.(k + 1) (k + 1)(k + + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+1 * k + 2k + (k + 1) k +1 = = = Suy : đẳng thức với n = k + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+2 Kết luận : 1 n + + + = , với n∈N* 1.2 2.3 n.(n + 1) n +1 Ví dụ : Cho trước số tự nhiên n Hãy tìm tổng số tự nhiên 1, 2, , n Lời giải : Ta kí hiệu S n tổng phải tìm, nghĩa S n = + + + n (3) Ta hi vọng tìm cơng thức ngắn gọn để tính tổng trên, cơng thức giúp ta tính nhanh, gọn phải thực phép cộng tổng Ta minh hoạ trình áp dụng nguyên lí qui nạp vào tính tổng Ta tính tổng S n từ đẳng thức (3) với vài số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn bắt đầu Những kết tính tốn trường hợp riêng xếp vào bảng n Sn 1 3 10 15 21 Mục đích ta tìm qui luật chung, với bảng ta dễ thấy qui luật : Tích hai số tự nhiên hàng hai lần số tương ứng hàng dưới.Thật vậy, 1.2=2.1 ; 2.3=2.3 ; 3.4=2.6 ;4.5=2.10 ; 5.6=2.15 Như giai đoạn qui nạp thành công với trường hợp n= 1, 2, 3, 4, 5, ; tiếp tục cách tự nhiên mở rộng qui luật cho bảng số với số tự nhiên Ta đưa giả thiết thích hợp với qui luật vừa tìm Đặt + + + n = n(n + 1) (3) Một giả thiết ta làm gọi giả thiết quy nạp Nhưng câu hỏi đặt đẳng thức (3) có với n = 1, 2, hay không ? Rõ ràng (3) với số tự nhiên cách thay n n+1 ta có đẳng thức + + + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) (3’) Trái lại, giả thiết (3) với n = 1, , 1) với n= 2) với số k suy với k+1 Điều khơng có cách khác phải áp dụng ngun lí quy nạp tốn học Nghĩa ta phải kiểm tra điều kiện a) b) định lí 2.1 Bước sở : Với n = 1, công thức (3) Bước qui nạp :Bây chứng minh công thức (3) cho điều kiện b) Với mục đích ta giả thiết công thức (3) với n = k ≥ chứng minh với n = k + ta biến đổi + + + k + ( k + 1) = k ( k + 1) (k + 1)( k + 2) + (k + 1) = 2 kết (3) với n = k + Theo ngun lí qui nạp tốn học cơng thức (3) với n = 1, 2, Tóm lại qua ví dụ đơn giản ta thấy bước q trình tìm tịi chứng minh ngun lí qui nạp toán học 2.1.4 Phương pháp qui nạp toán học N* Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * với n mà thử trực tiếp làm sau : • Bước : Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước : Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết qui nạp), chứng minh với n = k + ⇒ Khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n ∈ N * *) Chú ý : Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) : • Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề với n = p • Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p chứng minh với n = k + 2.2 Thực trạng vấn đề Bài toán chứng minh phương pháp qui nạp dạng khó trừu tượng học sinh chương trình tốn lớp 11 THPT, hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, nghiên cứu số sai lầm, khó khăn vận dụng phương pháp quy nạp tốn học 2.2.1 Khơng thực đầy đủ hai bước qui nạp Trong trình vận dụng qui nạp học sinh chưa hiểu kĩ ngun lí qui nạp, cho bước đơn giản nên bỏ qua, dẫn đến kết luận sai lầm Đối với học sinh phương pháp qui nạp khó vận dụng vào giải nhiều loại tốn, nhiên chương trình cấp học tơi đưa số ví dụ cho thấy rõ sai lầm mắc phải trình bày Ví dụ 9: Chứng minh số tự nhiên số tự nhiên liền sau Lời giải Giả thiết mệnh đề khẳng định với số tự nhiên n = k đó, nghĩa k = ( k + 1) (4) Chúng ta chứng minh đẳng thức sau ( k + 1) = ( k + ) (5) Thật vậy, theo giả thiết qui nạp (4) cộng hai vế đẳng thức với 1, ta nhận k + = ( k + 1) + = k + Như khẳng định với n = k với n = k+1, mệnh đề toán với n, nghĩa số tự nhiên nhau, điều vơ lí Vậy cách chứng minh 10 sai đâu ? Dễ dàng thấy chứng minh áp dụng nguyên lí qui nạp toán học bỏ qua bước kiểm tra n =1 Ví dụ 10 : Chứng minh với số tự nhiên n bất đẳng thức sau n > 2n + (6) Lời giải Giả thiết bất đẳng thức (6) với n = k,với k số tự nhiên đó, nghĩa ta có k > 2k + (7) Ta chứng minh bất đẳng thức (6) với n = k + 2k +1 > 2(k + 1) + (8) Thật vậy, 2k ≥ (*) với n ∈ N* Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (7) (*) ta nhận k + k > 2k + + Nghĩa 2k +1 > 2(k + 1) + Bài tốn giải xong Tuy nhiên ví dụ mắc sai lầm ví dụ trước khơng qua bước sở 2.2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp Một thực trạng cho thấy học sinh lúng túng việc vận dụng giả thiết quy nạp Ví dụ 11 : Chứng minh với n ∈ N* ta có đẳng thức : + + + + 3n − = n ( 3n + 1) (9) Lời giải : Ở bước 2, giả sử đẳng thức với n = k , học sinh biết viết giả thiết qui nạp + + + + 3k − = k ( 3k + 1) , viết đẳng thức kết luận vế trái học sinh viết + + + + ( k + 1) − , nên chứng minh gặp khó khăn, khơng thấy vế trái đẳng thức giả thiết vế trái đẳng thức kết luận học sinh viết thiếu số hạng thứ k ( 3k − ) 11 2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp Ngoài chứng minh bất đẳng thức phương pháp qui nạp học sinh gặp nhiều khó khăn tìm mối liên quan hai bất đẳng thức giả thiết kết luận Ví dụ 12 : Chứng minh với số tự nhiên n ≥ , ta có bất đẳng thức : 3n > 3n + Lời giải : bước ta có bất đẳng thức giả thiết 3k > 3k + bất đẳng thức kết luận 3k +1 > ( k + 1) + học sinh tìm mối liên quan giả thiết kết luận 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Trong chương trình tốn phổ thơng, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp chiếm mảng lớn chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do phương pháp chứng minh quy nạp” góp phần vào việc thực chương trình dạy học theo phương pháp “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp người giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo sở vững để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo bồi dưỡng nhân tài” Để giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trang bị cho học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Đồng thời nêu lên số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu nắm kiến thức, biết áp dụng vào giải tốn Từ u cầu học sinh giải tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh rèn luyện nắm kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo chất lượng giải toán nâng cao 2.3.1 Vận dụng quy nạp chứng minh đẳng thức Chứng minh đẳng thức : u ( 1) + u ( ) + + u ( n ) = f(n) , với n ∈ N* Học sinh thường lúng túng thiết lập u ( 1) + u ( ) + + u ( n ) ứng với n = , n = k , n =k+1 12 Trước tiên học sinh phải hiểu tổng n số hạng u ( 1) + u ( ) + + u ( n ) Hướng dẫn cho học sinh hiểu thực sau : VT = u ( 1) + u ( ) + + u ( n ) tổng n số hạng ,với: + n = : VT có số hạng u(1) + n = : VT tổng số hạng u(1) + u(2) + n = : VT tổng số hạng u(1) + u(2) + u(3) + n = : VT tổng số hạng u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + n = k : VT tổng k số hạng u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + + u(k) + n = k + 1: VT tổng k + số hạng u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + +u(k) +u(k + 1) Hướng dẫn học sinh thực động tác phân tích ngồi nháp để hiểu ý nghĩa để áp dụng dễ dàng vào giải Các bước giải : Bước : Kiểm chứng với n = , tức u(1) = f(1) mđ Bước : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + + u(k) = f(k) (gt quy nạp) Với n = k + ta cần chứng minh u(1) + u(2) + u(3) + u(4) + + u(k) + u(k + 1) = f(k + 1) Ta có u(1) + u(2) + + u(k) + u(k + 1) = f(k) + u(k + 1) Biến đổi f(k) + u(k + 1) = f(k + 1) tức ta chứng minh đẳng thức với n = k + Kết luận : đẳng thức với n ∈ N* Bài toán Chứng minh : + + 11 +16 + … + (5n – 4) = n(5n - 3) , với n∈N* Đặt A(n) = + + 11 +16 + … + (5n – 4) Ta thực bước phân tích ngồi nháp : + n = : A(1) = = 5.1 – + n = : A(2) = + = +(5.2 – 4) + n = : A(3) = + + 11 = + + (5.3 – 4) + n = : A(4) = + + 11 + 16 = + + 11 + (5.4 – 4) …… + n = k : A(k) = + + 11 + 16 + … + (5k – 4) + n = k + : A(k + 1) = + + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4) 13 • Sau bước phân tích học sinh dễ dàng thực bước giải : Bước : Kiểm chứng với n = : = 1.(5.1 - 3) : đẳng thức với n = Bước : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : + + 11 + 16 + … + (5k – 4) = k(5k - 3) Với n = k + ta cần cm : + + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4) = (k + 1)(5(k + 1) - 3) * + + 11 + 16 + … + (5k – 4) + (5(k + 1) – 4) = = k(5k - 3) + 5k + k(5k - 3) + 10k + 2 5k(k+1)+2(k+1) (k + 1)(5k + 2) (k + 1)(5(k + 1) - 3) 5k -3k+10k+2 5k +5k+2k+2 = = = = = 2 2 Suy : đẳng thức với n = k + Kết luận : + + 11 +16 + … + (5n – 4) = n(5n - 3) , với n∈N* Bài toán tương tự Chứng minh với n ∈ N* ,ta có : a) + + + ………….+ 3n-1 = n(3n + 1) ; 1 1 2n − b) + + + + n = n ; 2 2 2 c) + + + + n = n( n + 1)(2n + 1) ; n(4n − 1) d) + + + + (2n − 1) = ; e) 2 1 n + + + = 1.2 2.3 n.(n + 1) n +1 2.3.2 Vận dụng quy nạp chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức với n∈ N n ≥ a (a ∈ N) 14 Ở toán học sinh lúng túng bước thực chứng minh bđt với n = k + Giáo viên hướng dẫn cho hoc sinh sử dụng tính chất bắc cầu bất đẳng thức để chứng minh Bài toán Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có 3n > n + 4n + (9) Lời giải : Bước :Với n = 3, vế trái 27, vế phải 26 Bất đẳng thức (9) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ , tức 3k > k + 4k + (9’) Ta phải chứng minh với n = k + , tức 3k +1 > (k + 1) + 4(k + 1) + Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (9’) với ta có 3k +1 > 3k + 12k + 15 = ( k + 1) + 4( k + 1) + + k + 6k + Vì 2k + 6k + > nên 3k +1 > (k + 1) + 4(k + 1) + Bất đẳng thức (4) chứng minh Bài toán tương tự 1) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ,ta có bất đẳng thức a) 3n >3n+1 ; b) 2n+1 >2n+3 2) Chứng minh với n ∈ N* ta có bất đẳng thức : n + > 2n + 2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết Chứng minh biểu thức u(n) chia hết cho m (m ∈ N*\{1}) , với n∈ N n ≥ a (a ∈ N) Ở toán học sinh phải lúng túng biến đổi biểu thức u(k+1) theo u(k) để sử dụng giả thiết quy nạp , phần cịn lại chia hết cho m Ta hướng dẫn học sinh cách phân tích sau : ghi phần u(k) vào biểu thức biến đổi , phần lại ta thực động thái « thêm , bớt » Bài tốn Chứng minh 2n - 3n + n chia hết cho , với n∈N* 15 Lời giải : Đặt u(n) = 2n - 3n + n Bước : Kiểm chứng với n = : u(1) = 2.1 – 3.1 + = Suy u(1) chia hết cho Bước : Giả sử với n = k (k ≥ 1) có : u(k) = 2k - 3k + k chia hết cho Với n = k + ta cần cm : u(k + 1) = 2(k + 1)3 - 3(k+1) + k+1 chia hết cho Ta có u(k + 1) = 2k + 6k + 6k + - 3k − 6k − + k +1 = 2k - 3k + k + 6k2 = u(k) + 6k2 Theo giả thiết quy nạp u(k) = 2k - 3k + k chia hết cho ; 6k2 chia hết cho Suy u(k + 1) = 2(k + 1)3 - 3(k+1) + k+1 chia hết cho Kết luận : 2n - 3n + n chia hết cho , với n∈N* Bài toán tương tự Chứng minh với n ∈ Ν ∗ , ta có : a) n3 + 3n + 5n chia hết cho ; b) 4n + 15n − chia hết cho ; c) n3 + 11n chia hết cho ; d) n − n chia hết cho e) 5.23n − + 33n −1 chia hết cho 19 2.3.4 Một vài ứng dụng khác Phương pháp quy nap tốn học cịn có vài ứng dụng như: Phát quy luật chứng minh quy luật đó; vận dụng vào chứng minh hình học Bài toán Cho tổng S n = 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 (2n −1)(2n + 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy dự đốn cơng thức tính S n chứng minh phương pháp qui nạp Lời giải : a) Ta có 16 1 = 1.3 1 S2 = + = 3.5 S3 = + = 5.7 S4 = + = 7.9 S1 = b) Từ kết câu a) ta dự đoán sn = n 2n + Ta chứng minh công thức (7) phương pháp quy nạp Bước : với n = 1, theo a) (7) Bước : Giả sử với n = k ≥ ta có sk = k 2k + Ta phải chứng minh với n = k+1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có Sk +1 = S k + [ 2(k + 1) − 1] [ 2(k + 1) + 1] = Sk + (2k + 1)(2k + 3) = k k (2k + 3) + + = 2k + (2k + 1)(2k + 3) (2 k + 1)(2k + 3) = 2k + 3k + ( k + 1)(2k + 1) k +1 = = (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2( k + 1) + tức (7) với n = k + Vậy công thức (7) chứng minh Bài toán tương tự: Tìm cơng thức tính tổng chứng minh : 2 2 n −1 a) S n = − + − + + (−1) n n −1 HD: Dự đoán : S n = (−1) b) S n = + + + + n HD: Dự đoán : S n = n(n + 1) với ∀n ∈ N * n(n + 1) 17 Bài toán Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n − 3) Lời giải : * Với n = số đường chéo tứ giác = 4(4 − 3) Mệnh đề với n = * Giả sử mệnh đề với đa giác n = k cạnh ( k>4), nghĩa số đường chéo đa giác lồi k cạnh k ( k − 3) Với đa giác lồi (k+1) cạnh : A1 A2 Ak Ak +1 Nối A1 Ak Theo giả thiết qui nạp đa giác A1 A2 Ak có k ( k − 3) đường chéo Số đường chéo A1 A2 Ak Ak +1 số đường chéo A1 A2 Ak cộng với đường chéo A1 Ak k – đường chéo tạo Ak +1 với k -2 đỉnh từ A2 đến Ak −1 Vậy số đường chéo đa giác k+1 cạnh : k ( k − 3) k − 3k + 2k − + 14 + k − = 2 (k + 1) − 3k − (k + 1) [ (k + 1) − 3] = = 2 Vậy mệnh đề với n = k + đướng với n ≥ Bài toán Chứng minh tổng góc n-giác lồi ( n – ) 1800 Lời Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên Tổng góc tam giác ( – ).1800 = 180 * Giả sử mệnh đề tất k-giác, với k < n Ta chứng minh với n – giác.Ta nhận thấy n – giác chia thành đa giác đường chéo, số cạnh đa giác m + số cạnh đa giác n – m + số nhỏ n Do tổng góc đa giác tương ứng ( m – ).1800 ( n – m - ) 1800 Khi tổng góc n – giác tổng góc đa giác đó, tức bằng: ( m – + n – m - ).1800 = ( n – ) 1800 Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với n ≥ 18 Nhận xét : Phương pháp quy nạp dùng để giải loại toán sau : Loại : Chứng minh kết luận cho sẵn Loại : Tìm điều kiện để kết luận đúng, cách sử dụng qui nạp khơng hồn tồn để dự đốn kết quả, sau chứng minh phương pháp qui nạp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong giai đoạn giáo dục nay, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội nguồn nhân lực thực thụ Bản thân mong muốn làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh nên ln cố gắng tìm tịi ứng dụng vào việc giảng dạy cở sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp Loại toán chứng minh phương pháp qui nạp tài liệu tham khảo thường đề cập cách sơ sài nhỏ lẻ, nên cố gắng tập hợp, giải toán chứng minh phương pháp qui nạp cách đơn giản để học sinh dễ hiểu Qua ứng dụng SKKN giảng dạy cho học sinh tơi nhận thấy tốn chứng minh phương pháp qui nạp học sinh thông hiểu nhiều Như vậy, với SKKN dù hay nhiều giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy tơi, góp phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt phương pháp qui nạp vào giải toán, nâng cao chất lượng học mơn tốn trước Đối với thân tơi, giáo viên đứng lớp viết SKKN giúp ích nhiều việc tự học trau dồi chun mơn, nghiệp vụ Mặc dù SKKN tơi viết tập chung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn lớp 11 việc áp dụng vào giảng dạy có tác dụng tốt, thời gian tới tơi phát triển thêm SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi với toán nâng cao Từ q trình áp dụng SKKN tơi thấy học kinh nghiệm rút giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng tự nhiên, khơng nên gị ép, áp đặt, phải đưa phương pháp giải loại tốn có học sinh hứng thú học tập u thích mơn tốn 19 Tr¶i qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến SKKN có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dy đà thu đợc số kết định sau : - Học sinh yếu hiểu biết vận dụng tốt phương pháp qui nạp vào giải toán - Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc phơng pháp biết vận dng thnh tho v linh hoạt - Với học sinh giỏi , sau thực hành toán , em cịn tự liên hệ giải tốn mức độ khó Kết khảo sát chất lượng học sinh lớp 11A2 ; 11A3 - Trước thực SKKN: Khơng có học sinh đạt điểm khá, giỏi; điểm trung bình chưa đạt 40%, cịn lại yếu, Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán yếu Cụ thể: Lớp TS Giỏi Khá T bình SL % SL % SL 11A2 44 0 0 16 11A3 42 0 0 15 Tổng 86 0 0 31 Sau thực đề tài SKKN : có học Yếu Kém % SL % SL % 36,4 18 40,9 10 22,7 35,7 16 38,1 11 26,2 36 34 39,5 21 24,4 sinh đạt điểm khá, giỏi Điểm yếu, giảm Cụ thể: Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 11A2 44 0 15,9 27 61,4 18,2 4,5 11A3 42 4,8 19 25 59,5 14,3 2,4 Tổng 86 2,3 15 17,4 52 60,5 14 16,3 3,5 Như vậy, chất lượng kiểm tra tăng lên rõ rệt Một số học sinh khá, giỏi cịn biết vận dụng vào tốn mức độ khó Việc thực nghiệm biện pháp sư phạm cho thấy biện pháp sư phạm có tính khả thi, bước đầu đem lại hiệu tốt KÊT LUẬN 3.1 KẾT LUẬN : 20 Sáng kiến kinh nghiệm thu kết sau đây: - Chỉ số sai lầm ví dụ cụ thể vận dụng phương pháp quy nạp vào giải tốn: Khơng thực đầy đủ hai bước qui nạp ; Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp ; Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp - Đưa cách giải, toán mẫu, tập tương tự cho dạng toán vận dụng phương pháp quy nạp toán học: Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức ; Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức ; Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết ; Một vài ứng dụng khác - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu dạng toán đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận 3.2 KIẾN NGHỊ: 2.1 Đối với trường PT Nguyễn Mộng Tuân Nhà trường nên tạo điều kiện cho tổ chuyên môn tổ chức buổi thảo luận số chuyên đề phương pháp giảng dạy Giáo viên mở lớp bồi dưỡng, phụ đạo ôn tập cho học sinh để em có khả tìm hiểu sâu kiến thức 2.3 Đối với Sở GD&ĐT: mở nhiều lớp tập huấn công tác bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên trường Mặc dù thân cố gắng nhiều, song sáng kiến kinh nghiệm đưa tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp Đông Sơn, ngày 10 tháng 07 năm 2020 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG TÔI CAM ĐOAN KHÔNG COPPY Phan Thị Quỳnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp qui nạp toán học Nguyễn Hữu Điển NXB Giáo dục, 2000 21 [2] Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT - SỐ HỌC Hà Huy Khoái NXB Giáo dục, 2008 [3] Chuyên đề chọn lọc - DÃY SỐ VÀ ÁP DỤNG Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn NXB Giáo dục, 2008 [4] Một số vấn đề SỐ HỌC CHỌN LỌC Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận NXB Giáo dục, 2008 [5] 460 toán bất đẳng thức, Trần Văn Kỉ NXB.Trẻ TPHCM [6] Đại số giải tích 11, Ngơ Thúc Lanh- Vũ Tuấn- Ngô Xuân Sơn : Nhà xuất giáo dục1998 DANH MỤC 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phan Thị Quỳnh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường PT Nguyễn Mộng Tuân Kết TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp đánh loại giá xếp loại Số, ngày, tháng, năm định công nhận, quan ban hành QĐ Dạy học tự chọn – bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 trường THPT Quan Sơn Quyết định số Ngành GD cấp tỉnh C 904/QĐ- phương pháp giải SGD&ĐT, ngày vấn đề 14 tháng 12 năm 2010 Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Một số biện pháp khắc phục khó khăn sai lầm thường gặp giải Toán Quyết định số Ngành GD cấp tỉnh C 753/QĐ- tổ hợp – Xác Suất cho học SGD&ĐT, ngày sinh trường THPT Quan 03 tháng 11 năm Sơn 2014 Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 trường Quyết định số 23 THPT Quan Sơn với Ngành GD cấp tỉnh C 972/QĐ- chuyên đề “sử dụng SGD&ĐT, ngày phương pháp véctơ để giải 24 tháng 11 năm số tốn hình học 2016 Giám không gian” đốc Sở Giáo dục Đào tạo 24 ... Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường PT Nguyễn Mộng Tuân tiếp cận vận dụng có hiệu Phương pháp quy nạp tốn học? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi , tập... giải, toán mẫu, tập tương tự cho dạng toán vận dụng phương pháp quy nạp toán học: Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức ; Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức ; Vận dụng qui nạp vào giải toán. .. Bài toán chứng minh phương pháp qui nạp dạng khó trừu tượng học sinh chương trình tốn lớp 11 THPT, hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh quy