Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Các kiến thức liên quan 2.3.2.Các dạng toán phương pháp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Kết thực nghiệm 2.4.2 Kết chung KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.1 Kiến nghị Trang 1 1 2 2 11 11 11 12 12 12 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình mơn tốn trường THPT, phần hình học khơng gian giữ vai trò quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: Cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính sáng tạo, tính bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư cho học sinh Khơng hình học khơng gian lại phần quan trọng nội dung thi đại học Bộ giáo dục Đặc biệt phần quan hệ vuông góc khơng gian chiếm phần lớn nội dung hình học Các câu hỏi phần vận dụng cao thường rơi vào tốn xác định thiết diện tính diện tích thiết diện có yếu tố vng góc toán mà lâu đa số em học sinh thấy nản lòng Qua thực tế giảng dạy mơn Toán trường THPT DTNT Ngọc Lặc, nhiều học sinh đứng trước tốn tìm thiết diện, đặc biệt thiết diện có yếu tố vng góc khơng gian thường có tâm trạng hoang mang, khơng xác định phương hướng, khơng biết phải làm để tìm lời giải cho tốn Học sinh đọc phần hướng dẫn SGK, sách tập hay gợi ý giáo viên dễ hiểu để tự làm tốn tìm thết diện lúng túng khó khăn Xuất phát từ lý q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi gom dạng tốn thiết diện có yếu tố vng góc cách giải cụ thể để học sinh dễ hình dung loại tốn này, với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng có yếu tố vng góc khơng gian” tơi mong muốn học sinh hứng thú học hình hơn, giáo viên có phương pháp dạy học hiệu nâng cao chất lượng giáo dục THPT nói chung Trường THPT DTNT Ngọc Lặc nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Ôn tập, củng cố kiến thức cách hệ thống phần quan hệ song song - Rèn luyện kỹ dựng thiết diện phần quan hệ song song - Học kĩ tính chất quan hệ vng góc thuộc “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vng góc” 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu hoạt động dựng thiết diện học sinh cho toán thiết diện có yếu tố vng góc - hình học khơng gian lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu thơng qua tài liệu có sẵn - Tự nghiên cứu thơng qua ý tưởng tốn học thân 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Hình học khơng gian mơn học khó học sinh lớp 11 nhiều em không làm tập Vấn đề xác định thiết diện đặc biệt thiết diện có yếu tố vng góc gặp nhiều khó khăn: Về thời gian, phương pháp, trí tưởng tượng khơng gian, vẽ hình, lập luận, trình bày Qua tiết dự giờ, quan sát dạy học mơn hình học lớp 11 phần quan hệ vng góc đồng thời thăm dò ý kiến giáo viên học sinh trường THPT DTNT Ngọc Lặc thấy cần phải đưa phương pháp xác định cho loại thiết diện nói chung thiết diện có yếu tố vng góc nói riêng nhằm tháo gỡ khó khăn mà đa phần học sinh khơng nắm vững 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Qua kết điều tra thực trạng học sinh học hình nhà trường THPT DTNT Ngọc Lặc: + Rất học sinh có hứng thú mơn hình học, chưa có phương pháp học tập hiệu môn học + Các kiến thức hình học nói chung hình học khơng gian lớp 11 nói riêng hạn chế + Kỹ tư phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian yếu + Kỹ vẽ hình khơng gian chưa tốt + Kỹ dựng thiết diện nói chung thiết diện có yếu tố vng góc nói riêng chưa thành thạo mơ hồ 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Các kiến thức liên quan * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu a / /( ) � � a �(  ) � � ( ) �(  )  b � a // b *Tính chất 3: (SGK trang 101) b � a �   � b) � a b � a/ /  �  b   � a a  * Hệ 1(SGK trang 109): 2.3.2.Các dạng toán phương pháp * Dạng Xác định thiết diện qua điểm vng góc với đường thẳng Bài tốn: Dựng thiết diện hình chóp cắt mp(P) qua điểm M vng góc với đường thẳng a cho trước Phương pháp giải Bước Tìm đường thẳng vng góc với đường thẳng a, áp dụng tính chất 3(trang 101 SGK) đường thẳng song song với (p), áp dụng định lý 2(trang 61 SGK) để tìm giao tuyến Bước Nếu tốn khơng tìm thấy đường thẳng vng góc với đường thẳng a, tìm chưa đủ giao tuyến với hình chóp từ điểm M ta dựng MH vng với a để tìm tiếp giao tuyến lại Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , cạnh bên SA   ABC  Mặt phẳng ( P ) qua trung điểm M AB vng góc với SB cắt AC , SC , SB N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang vng B Hình thang cân C Hình bình hành D Hình chữ nhật Phân tích: Theo bước ta tìm đường thẳng vng góc với SB, ta dễ dàng thấy BC  SB từ áp dụng Tính chất 3(SGK trang 101) BC / /( P) Từ áp dụng Định lý 2(SGK trang 61) để tìm giao tuyến Lời giải �AB  BC � BC  SB � SA  BC � Ta có: �BC  SB �  P  / / BC � P   SB  � Vậy (1)  Mà    (2) � MN / / BC Từ (1) (2) Tương tự ta chứng minh PQ / / BC , MN/ / BC, BC  (SAB) Mà SA  BC � PN  NM Vậy thiết diện hình thang MNPQ vng M , Q Chọn A Ví dụ (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông P � ABC  MN góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45 Một mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện tứ giác AHKL có diện tích bằng: a2 A a2 B a2 C  a2 D Phân tích: Giống với VD1 ta làm bước theo cách làm, ta dễ thấy BD  SC � BD / /( ) Nhưng SC A lại không thuộc mặt phẳng nên trước sử dụng định lý (SGK trang 61) ta phải tìm điểm vừa thuộc  mp( ) vừa thuộc mặt phẳng với BD Do ta phải sử dụng bước trước dựng AK vng góc với SC, gọi I giao điểm SO AK I điểm cần tìm quay lại bước để tìm giao tuyến Lời giải SAC  Gọi K hình chiếu A SC Trong  gọi I  SO �AK �BD  SA � BD   SAC  � BD  AC � Ta có     SC � BD  SC nên BD / /    mặt khác �I �   � SBD  � �BD � SBD  � BD / /    Ta có � �    � SBD   HL / / BD, H �SD, L �SB Thiết diện tứ giác AHKL �HL / / BD � HL  AK � BD  AK � Ta có HL SL a 1 a    � HL  a AK HL AK  BD SB 2.a 2 Suy Mà S AHKL  AK HL  a Vậy Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a S AHKL   SA  SB  SC  b a  b  Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xét mặt phẳng ( P) qua B vng góc với SC điểm I nằm S C Diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P ) là? a 3b2  a S 2b A a 3b  a S 4b B S a 3b  a 2b S a 3b  a 4b C D Phân tích: Theo bước ta tìm đường thẳng vng góc với SC, khơng có đường thẳng vng góc với SC, Do ta sử dụng bước từ B hạ đường thẳng vng góc với SC, từ tìm giao tuyến lại Lời giải Kẻ AI  SC �  AIB   SC Thiết diện tam giác AIB �a  b  b � a AI  AC sin � ACS  a  cos � ACS  a  � 4b  a � ab b � � Ta có Gọi J trung điểm AB AIB cân I suy IJ  AB a a 3b  a 3b  a � S  AB.I J  2b 4b Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A , đáy SA   ABCD  SA  lớn AD  8, BC  , , Gọi M trung điểm AB ( P) mặt phẳng qua M vng góc với AB Thiết diện ( P) hình chóp có IJ  AI  AJ  diện tích bằng? A 10 Lời giải B 20 C 15 D 16  P   AB �  P  / / SA Gọi I , J , K trung điểm SB, CD, SC Thiết diện hình thang MNKI vng M S MNKI  IK  MN 3 MI   15 2 Chọn C *Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, O trung điểm đường cao AH tam giác ABC , SO vng góc với đáy Gọi I điểm tùy ý đoạn thẳng OH (không trùng với O H ), mặt phẳng ( P ) qua I vng góc với OH Thiết diện ( P) hình chóp hình gì? A Hình thang vng B.Hình thang cân C Hình bình hành D Tam giác vng SA   ABCD  SA  a Bài Cho hình chóp S ABCD , , , mặt ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a M điểm thuộc cạnh AB , đặt AM  x   x  a  Mặt phẳng  qua M vng góc với AB cắt CD, SC , SB N , P, Q Thiết diện ( P) hình chóp hình gì? A Hình thang vng B Hình thang cân C Hình bình hành D Hình vng Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a  12 , AP đường cao tam giác ACD Mặt phẳng  P  qua B vng góc với AP cắt  ACD  theo giao tuyến có độ dài bằng? A B C D Bài 4: Cho hình chóp S ABCD ,có đáy ABCD hình vng tâm O , SA   ABCD  P P  BC Gọi M trung điểm BO ,   mặt phẳng qua M   Thết diện hình gì? A Hình thang cân B Hình thang vng C Hình bình hành D Tam giác vng S ABC ABC Bài 5: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân tai B , AB  a, SA  a AM  x   x  a  SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB  mặt phẳng   qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện  hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ Tìm x để thiết diện MNPQ lớn nhất? A x a B x a C x 3a D x  a * Dạng Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tốn: Dựng thiết diện hình chóp cắt mp(P) chứa đường thẳng a vng góc với mp(Q) Phương pháp giải Bước 1: Từ điểm A đường thẳng a cho qua A dựng đường thẳng b vng góc với mp(Q) cách dễ Bước 2: đó, mp(a,b) mp(p) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến (P) với mặt hình chóp cách biết B, SA   ABC  Ví dụ Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác vuông Gọi E trung điểm cạnh SC , M điểm cạnh AB Gọi    mặt phẳng  Xác định thiết diện   tứ diện chứa EM vng góc với  A Hình thang B Hình thang vng C Hình bình hành D Tam giác Phân tích: Theo cách làm, bước từ điểm ME dựng đường thẳng vng góc với (SAB), ta thấy điểm thuộc mp(SAB) nên từ E ta dựng EF vuông góc với (SAB), ta lại dễ thấy BC vng góc với (SAB) nên EF//BC Từ ta có lời giải Lời giải SAB Ta có:  �BC  AB � BC   SAB  � �BC  SA �      SAB  � �    P BC � BC   SAB  � Ta lại có: Kẻ MN PBC ; EF PBC Nối MF,NE ta thiết diện cần tìm hình thang MNEF Chọn A Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình chữ nhật, SA  ( ABCD ) Gọi I , J P trung điểm AB, CD Gọi   mặt phẳng qua IJ vng góc với mặt  Lời giải SBC  P Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng   IJ  AB � �� IJ   SAB  � IJ  SB IJ  SA � Ta có Từ I kẻ đường thẳng vng góc với SB K P � KIJ  Do    Ta có  P  � SAB   KI  P  � ABCD   IJ  P  �IJ P BC �  P  � SBC   KN P BC  P  � SCD   NI Vậy giao tuyến hình thang KNIJ Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA= a , vng góc với đáy, gọi (  ) mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (  ) Phân tích: Trong tốn ta cần tìm giao điểm (  ) với hai cạnh SC SD Vì (SCD) vng góc với (  ) nên chắn (SCD) chứa đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (  ) Dễ nghi ngờ đường thẳng SD ta có SD  AB �( ) Bây ta giả sử (  ) cắt SD H Nếu ta chọn H cho SD  AH lúc đó, kết hợp với SD  AB , ta có SD  ( ABH ) Suy ( SCD)  ( ABH ) Như ta có (ABH) Chứa AB vng góc với (SCD) Điều buộc ( ABH ) �   Vậy mấu chốt giúp ta xác định (  ) điểm H Lời giải Trong tam giác SAD kẻ AH  SD (1) �AB  CD � AB   SCD  � SD  AB � Do �SA  AB (2) SD   AHB  �  SCD    AHB  Từ (1) (2) suy AHB  �   góc với (SCD) nên  Do CD / / AB �   Vì (ABH) chứa AB vng  � SCD   HK \ \CD nên    Với K thuộc SC Vậy thiết diện cần tìm hình thang ABKH Mặt khác AB   SCD  � AB  AH , mà 10 HK / / CD � HK / / AB � HK  (SCD ) � HK  AH Vậy hình thang ABKH hình S ABKH  AH ( HK  AB) thang vuông A H Ta có Trong AB=a, Vì a HK  2, SA=AD=a nên HK đường trung bình tam giác SCD, nên 1 1  2   � AH  a 2 AH SA AD a a Vậy S ABKH 1 a �a � 2a  AH ( HK  AB )  �  a � 2 �2 � (đvdt) *Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật tâm O Gọi (P) mặt phẳng qua SO vng góc với mặt phẳng (SAD) Hãy tìm thiết diện hình chóp S ABCD mặt phẳng (P) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  ( ABCD) Gọi O  tâm hình vuông ABCD , M trung điểm cạnh SD Một mặt phẳng   ABCD  qua O, M vng góc với mặt phẳng  Hãy xác định thiết diện tạo   hình chóp S ABCD Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua A, B vng góc với mặt phẳng (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E, F trọng tâm hai tam giác SBC SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vng góc với (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA  ( ABCD) gọi I điểm đoạn SA cho 2AI = SI J điểm đoạn CD cho DJ = JC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua I,J vng góc với (SBD)  11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Kết thực nghiệm Để hiểu rõ hiệu sáng kiến kinh nghiệm tiến hành thực nghiệm sử dụng phương pháp sáng kiến kinh nghiệm dạy lớp 11A3 dạy theo giáo án bình thường lớp đối chứng 11A6 sau tơi cho học sinh thực kiểm tra 15 phút kết sau: TB trở Giỏi Khá T Bình Yếu Kém SĨ lên STT LỚP SỐ SL % SL % SL % SL % SL % SL % Lớp thực 11A3 30 16 53,3 6,7 23,3 10 6,7 0 nghiệm Lớp đối 11A6 chứng 30 26,7 0 16,7 10 33,2 16,7 6,7 Nhận xét: * Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết kiểm tra trước thực nghiệm * Tỉ lệ học sinh đạt loại không chênh lệch so với kết kiểm tra trước thực nghiệm * Tỉ lệ học sinh trung bình lớp thực nghiệm nhiều so với kết kiểm tra trước thực nghiệm nhiều * Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu giảm rõ lớp thực nghiệm so với kết kiểm tra trước thực nghiệm lớp đối chứng Qua số liệu bảng, chứng tỏ phương pháp đưa giúp đỡ học sinh tìm thiết diện hình chóp có yếu tố vng góc Tuy chưa làm tăng tỉ lệ học sinh giỏi, làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh trung bình làm giảm tỉ lệ học sinh yếu Và qua số liệu bảng, thấy tự tin 12 mừng giúp đỡ em học sinh thích học tốn chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp em tự tin làm tập phần xác định thiết diện 2.4.2 Kết chung Sáng kiến kinh nghiệm giải vấn đề sau: + Học sinh chủ động tập tìm thiết diện có yếu tố vng góc + Giúp em hứng thú học đến dạng tốn này, từ hứng thú học mơn hình học khơng gian, nâng cao hiệu dạy KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng có yếu tố vng góc không gian” thu số kết quả: + Đề tài phân loại dạng tập phương pháp giải toán dựng thiết diện có yếu tố vng góc cách rõ ràng +Dựa kinh nghiệm thực tế giáo viên qua kết thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết đề tài chấp nhận được, có tính hiệu mục đích nghiên cứu hoàn thành 3.2 Kiến nghị Đối với giáo viên dạy học mơn tốn cần tách lọc đối tượng học sinh để từ có phương pháp dạy học phù hợp + Đối với học sinh mức trung bình trung bình trang bị cho em phương pháp tập dạng đơn giản để em thực hành + Đối với học sinh giỏi ngồi kiến thức cần trang bị them cho em kiến thức rộng tập có tính tư nhiều XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Trịnh Thị Hạnh 13 Tài liệu tham khảo [1] Bài tập Hình học 11 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban - Tạ Mân, Nhà xuất Gáo dục [2] Bài tập Hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất Giáo dục [3] Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 11, Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất Giáo dục [4] Các giảng luyện thi mơn Tốn, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất Giáo dục [5] Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2002 đến 2013, Mơn Tốn [6] SGK Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Nhà xuất Giáo dục [7] SGK Hình Học 11 Nâng cao, Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Nhà xuất Giáo dục [8] Đề thi quốc gia năm 2015 đến 2018, mơn Tốn 14 15 DANH MỤCCÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Thị Hạnh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT DTNT Ngọc Lặc TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số để giải toán thực tế mang tính tối ưu SỞ GD&ĐT C 2016-2017 ... diện có yếu tố vng góc cách giải cụ thể để học sinh dễ hình dung loại toán này, với đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng có yếu tố vng góc khơng gian tơi... khơng gian, nâng cao hiệu dạy KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng có yếu tố vng góc khơng gian ... hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật tâm O Gọi (P) mặt phẳng qua SO vuông góc với mặt phẳng (SAD) Hãy tìm thiết diện hình chóp S ABCD mặt phẳng (P) Bài Cho hình