Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11

“Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học khơng gian chiếm vai trò quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung hình học khơng gian trình bày tồn chương trình hình học 11 hình học 12, hình học khơng gian túy trình bày tồn chương trình hình học 11 học kỳ I hình học 12 Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi khảo sát trường, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm gần hình học khơng gian ln phần kiến thức trọng tâm thiếu Đây câu hỏi phân loại mức độ tư học sinh giỏi Để làm tốn đó, học sinh cần nắm kiến thức mà phải có hệ thống liên kết chặt chẽ kiến thức, phải có khả tư sáng tạo Trong tài liệu giáo khoa hành (Sách giáo khoa Sách tập nâng cao), kiến thức góc khoảng cách hình học khơng gian trình bày học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11 Vấn đề góc hai mặt phẳng khơng gian, tài liệu giáo khoa sách tham khảo trình bày khái niệm cách xác định góc hai mặt phẳng, cơng thức diện tích hình chiếu Tuy nhiên nhiều tập, việc tính số đo góc hai mặt phẳng khơng gian (trong trường hơp giao tuyến chúng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình chóp, hình lăng trụ) theo cách nêu sách gặp khó khăn việc xác định góc hai mặt phẳng, tính tốn nhiều bước phức tạp, thời gian, dễ nhầm lẫn dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến kết thi đặc biệt bối cảnh thi hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi tập phải làm cách nhanh xác Ln trăn trở trước việc “làm để học sinh có cách giải ngắn nhanh làm tập dạng này”, từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ôn thi trung học phổ thông quốc gia tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn internet, tơi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” nhằm góp phần nâng cao chất lượng, hiệu trình dạy học trường THPT Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mong muốn giúp đỡ em học sinh khắc phục điểm yếu nêu hình học khơng gian, nhận dạng biết cách giải dạng tốn “tính số đo góc hai mặt phẳng khơng gian mà giao tuyến chúng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình chóp, hình lăng trụ” sau em biết cách làm toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, nhằm góp phần nâng cao nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi mơn Tốn trường trung học phổ thông, tạo tự tin, hào hứng học tập mơn Tốn từ hình thành phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Ngồi ra, đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đồng nghiệp Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu quỹ thời gian cho phép hồn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải tốn Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu toán xác định góc hai mặt phẳng trường hợp giao tuyến chúng đường thẳng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình chóp, hình lăng trụ - Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 11B 1, 11B5, 11B6 trường THPT Bỉm Sơn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 1.2 Cách xác định góc hai mặt phẳng Khi hai mặt phẳng  P   Q  cắt theo giao tuyến    , để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng  � vng góc với    , cắt  P   Q  theo giao tuyến p q Lúc đó, góc  P   Q  góc hai đường thẳng p, q (Trang 104 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11) 1.3 Cho tứ diện vng OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H hình chiếu điểm O mp  ABC  Khi ta có 1 1    2 OH OA OB OC (Trang 103 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11) 1.4 Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng    khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu M mặt phẳng    (Trang 113 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11) Thực trạng vấn đề trước áp dụng Những khóa trước, sau dạy xong “Hai mặt phẳng vng góc”, tơi cho học sinh kiểm tra chun đề “góc hai mặt phẳng”, thấy tập tìm góc hai mặt phẳng mà giao tuyến chúng đường nằm mặt phẳng đáy phần lớn em làm tốt đến tập mà giao tuyến khơng nằm mặt phẳng chứa đáy đa số em không làm được, làm số đặc biệt, số làm làm dài khơng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Trong tập dạng xuất đề thi học sinh giỏi thi trung học phổ thông Quốc gia mức độ vận dụng vận dụng cao Bản thân trao đổi với giáo viên trường số trường bạn dạy khối 11 tập dạng trả lời “dựng cổ điển hết tính toán dài” Đề tài mong muốn giúp em học sinh đồng nghiệp giải vấn đề bổ sung thêm cách tính góc hai mặt phẳng Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Giải pháp thực - Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt: quan hệ vng góc, song song; định lí, hệ thức tam giác vuông, tam giác thường - Rèn luyện tốt kỹ tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trường hợp - Hướng dẫn học sinh tìm cơng cơng thức để “tính số đo góc hai mặt phẳng khơng gian mà giao tuyến chúng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình chóp, hình lăng trụ” - Yêu cầu học sinh vận dụng lớp sau trình bày trước lớp hướng giải lời giải chi tiết tập nhà để học sinh ghi nhớ phương pháp rèn luyện kỹ làm - Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm 3.2 Tổ chức thực Dựa vào cách xác định góc hai mặt phẳng học tơi đưa cơng thức tính góc hai mặt phẳng sau: Cho hai mặt phẳng  P  � Q   d Từ điểm A � P  , dựng AK  d ; AH   Q  Vì AH   Q  , d � Q  � AH  d � d   AKH  � d  KH     � AK , HK  � AKH   nên  P  ;  Q   � AH AK d  A;  Q   hay sin   với A � P  d  A; d  Khi sin   Chú ý: Khi làm không cần dựng điểm H mà cần tính độ dài AH  d  A ;  Q   Như tốn tính góc hai mặt phẳng ta quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà em học Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a , đáy ABCD hình thang vng A B với AB  BC  a , AD  2a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Cách mới: Phân tích: Ta có  SBC  � SCD   SC Chọn điểm D � SCD  Ta cần tính d  D ;  SBC   d  D ; SC  Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Lời giải + Kẻ AE  SB E �SA  BC � BC   SAB  � BC  AE Ta có � AB  BC � Do AE   SBC  � d  A;  SBC    AE  AD / /  SBC  ) a a � d  D ;  SBC    (Vì 2 + Gọi M trung điểm AD � ABCM hình vng cạnh a � CM  AD � ACD vuông C � CD  AC � CD   SAC  � CD  SC � d  D ; SC   CD  a + Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  d  D ;  SBC   �sin    �   300 d  D ; SC  Cách cũ: + Ta có  SBC  � SCD   SC Kẻ BN  SC N , NP  SC cắt SD P �, NP Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  �   BN �SA  BC � BC   SAB  � BC  SB + Ta có � �AB  BC Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn   “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” � BN  BC.SB a.a a   a SB  BC + Gọi M trung điểm AD � ABCM hình vng cạnh a � CM  AD � ACD vuông C � CD  AC � CD   SAC  � CD  SC CD  SC � � CD / / NP � NP  SP  SN  SB  Trong mp  SCD  có � CD SD SC SC �NP  SC 5a 2a SP  � NP  3 SB  SD  BD 2 2 2 �  + BP  SB  SP  2.SB.SP.cos BSP  SB  SP  2.SB.SP 2SB.SD 20 5a 2a  5a  5a 26 a 26  2a  a   a � BP  9 a 6a 8a 26a   BN  NP  BP 9  �  + Khi cos   cos BNP  BN NP a 2a 3 �   30 Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy: + Cách cần tính d  A;  SBC   d  D ; SC  , hai phép tính đơn giản + Cách cũ phải tính độ dài cạnh BN , NP, BP Đặc biệt tính BP dài, dễ tính tốn sai Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Tính sin với  góc hai mặt phẳng  SBD   SCD  Cách mới: Phân tích: Ta có  SBD  � SCD   SD Chọn điểm C � SCD  Ta cần tính d  C ;  SBD   d  C ; SD  Lời giải Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” + Do S.ABD tứ diện vuông nên 1 1 a     � d A, SBD    a d  A,  SBD   AB AD AS   � d C, SBD   a (Vì AC � SBD trung điểm I AC )   �SA  CD � SD  CD � d  C , SD   CD  a + Ta có � �AD  CD a d C , SBD     + Vậy sin     d  C , SD  a Cách cũ: + Ta có  SBD  � SCD   SD Gọi M , N trung điểm cạnh SD, SC Do SB  SD  BD  a � SBD � BM  SD �SA  CD �, MN � SD  CD mà MN / /CD � MN  SD �   BM Vì � �AD  CD  + Ta có BM   6a MN  CD  a , a 2 2 2 �SA  BC � SB  BC � SC  a + Vì � AB  BC � BN  BS  BC SC 2a  a 3a 3a a     � BN  4 6a a 3a   BM  MN  BN � 4  cos   cos BMN   + Khi 2.BM MN 6a a 2 � sin   Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy: + Cách cần tính d  A;  SBD   d  C ; SD  Khoảng cách d  A;  SBD   tính đơn giản dựa vào cơng thức tính khoảng cách hình tứ diện vng + Cách cũ phải tính độ dài cạnh BN , MN , BN Đặc biệt tính BN phải dùng công thức độ dài đường trung tuyến, học sinh dễ tính tốn sai Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Cách mới: Phân tích: Ta có  SBC  � SCD   SC Chọn điểm D � SCD  Ta cần tính d  D ;  SBC   d  D ; SC  Lời giải + Do ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD nên AC  CD mà SA  CD � SC  CD � d  D, SC   CD  a + Qua A dựng đường thẳng AH  BC  H �BC  , lại có SA  BC � BC   SAH  Dựng AK  SH  K �SH  � AK  BC � AK   SBC  � d  A,  SBC    AK � d  D,  SBC    AK (Vì AD / /  SBC  ) 1 15 a� a    � AK  AK AS AH 3a + Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Có AH  AB.sin 600    d  D,  SBC    Ta có sin   d  D, SC  AK DC 15  510 Cách cũ: Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” + Ta có  SBC  � SCD   SC Kẻ BM  SC M , MN  SC cắt SD N �, MN Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  �   BM   SB  SC  BC  2.SB.SC �  10 � BM  SB.sin BSC �  2a 10  10a � sin BSC 8 + Do ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD nên AC  CD mà SA  CD � SC  CD mà MN  SC � MN / /CD �  2a  6a � MN  SN  SM  SM  SB.cos BSC CD SD SC 3a 7a � MN  , SN  4 2 2 2 �  SB  SD  BD  SB  SN  BN + cos BSD 2.SB.SD 2.SB.SN �  + Ta có SB  2a, SC  6a, BC  a � cos BSC 10a 9a 31a   BM  MN  BN 16 16 16  10 �  + Khi cos   cos BMN  2.BM MN 10a 3a 4   51 Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy rõ ràng cách đơn giản nhiều Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, AD  2a Mặt bên  SAB  tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng  SAD   SCD  Tính sin  Cách mới: Phân tích: Ta có  SAD  � SCD   SD Chọn điểm A � SAD  Ta cần tính d  A;  SCD   d  A; SD  Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Lời giải + Gọi H , K trung điểm AB CD SH  AB HK  CD Kẻ HF  SK F �  SAB    ABCD  � SH  ABCD � SH  CD �   Ta có � mà HK CD �SH  AB � CD   SHK  � CD  HF mà HF  SK � HF   SCD  � d  H ,  SCD    HF � d  A,  SCD    HF (Vì AH / /  SCD  ) 1 1 2a 15    2  � HF  Ta có 2 2 HF HS HK 3a 12a 12a + Vì SH   ABCD  � SH  AD mà AB  AD � SA  AD 1 1 1 �      SA AD 4a 12a 3a � d  A, SD   a d  A, SD  15 a d A , SCD     + Khi sin     d  A, SD  a Cách cũ: + Gọi H trung điểm AB SH  AB Kẻ CM  HD  M �AD  �  SAB    ABCD  � � Ta có � SAB  � ABCD   AB � SH   ABCD  � SH  CM mà CM  HD � �SH  AB Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 10 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” � CM   SHD  � CM  SD  � , CI Kẻ MI  SD  I �SD  � SD  CM �   MI  2S 39a + Ta có: DH  a 13  CH � S DHC  S ABCD  3a � OC  DHC  HD 13 13a � OD  CD  OC  13 13a a MO AH OD AH 39a 39 Lại có  � MO   13  � CM  OD AD AD 39 3a 3a � DM  CM  CD  + Vì SH   ABCD  � SH  AD mà AB  AD � SA  AD �  AD  � ID  MD.cos SDA �  a � MI  a � cos SDA SD 2 a a 15 + CI  CD  ID  4a   2 IM  IC  MC 5 � cos   cos MIC   � sin   + Khi 2.IM IC 5 Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy rõ ràng cách cũ phải tính tốn qua nhiều bước phức tạp, dễ nhầm lẫn Hơn nữa, việc xác định góc hai mặt phẳng không đơn giản Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính sin  với  góc hai mặt phẳng  AB ' D '  BA ' C '  Cách mới: Phân tích: Ta có  AB ' D '  � A ' BC '   IK Chọn điểm A ' � AB ' D ' Ta cần tính d  A ';  AB ' D '  d  A '; IK  Lời giải + Gọi I  A ' C '�B ' D ', K  A ' B �AB ' � IK   AB ' D ' � BA ' C '  + Vì A ' AB ' D ' tứ diện vuông nên Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 11 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” 1 1 1        � A' H  a 2 2 A' A A' B ' A' D ' a a a a d  A ',  AB ' D '  a a nên tam giác A ' IK � d  A ', IK   a d  A ',  AB ' D '  2   + Khi sin   d  A ', IK  a Cách cũ: + Vì IK  A ' I  A ' K  + Gọi I  A ' C '�B ' D ', K  A ' B �AB ' � IK   AB ' D ' � BA ' C '  mà AD '/ / BC ' � IK / / AD '/ / BC ' mặt khác AD '   A ' B ' CD  � IK   A ' B ' CD  lại  A ' B ' CD  � AB ' D '  B ' M ,  A ' B ' CD  � BA ' C '   A ' N  � �  B ' M , A' N  + Ta có A ' B ' NM hình chữ nhật nên MN  A ' B '  a, A ' B '2  B ' N 6a MO  ON   OM  ON  MN � � cos   cos MON   � sin   2 2.OM ON 3 Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy rõ ràng làm theo cách cũ nhiều học sinh cảm thấy lúng túng nhìn hình thấy rối, nhiều học sinh khơng thể tìm mặt phẳng vng góc với giao tuyến Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng C , AC  BC  2a, AA '  4a Tính góc hai mặt phẳng  AB 'C   ABC ' Phân tích: Ta thấy  AB ' C  � ABC '  AO Để tìm mặt phẳng vng góc với AO trường hợp khó khăn ta lựa chọn cách để làm bài: Chọn điểm C � AB ' C  , ta cần tính d  C ;  ABC '  d  C ; AO  Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 12 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Lời giải + Gọi O  B ' C �C ' B �  AB ' C  � ABC '  AO 1 1 + Do CABC ' tứ diện vuông nên d C; ABC '  CA2  CC '2  CB    � 1 1 21 4a 21     d  C;  ABC '  a 4a 16a 16a � d  C;  ABC '   21 + Ta có AC   BCC ' B ' � AC  CO � ACO vuông C 1 1 �     � d  C; AO   a 30 2  d  C ; AO  AC AO 5a a 5a d  C ;  ABC '  70 ABC ' ;  AB ' C    + Khi sin � d  C ; AO  35   Bài 7: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  3, � AD  4, BAD  1200 Cạnh bên SA  vng góc với mặt đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA, AD, BC Tính góc hai mặt phẳng ( SBC ) (MNP) Phân tích: Ta thấy  SBC  � MNP   PI Để tìm mặt phẳng vng góc với PI trường hợp khó khăn ta lựa chọn cách để làm Lời giải Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 13 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” + Ta có : ( SAD) �(SBC )  Sx // AD // BC �MI / / NP / / AB � �  SBC  � MNP   PI Gọi I trung điểm SB � � NP MI  � � Dễ dàng chứng minh IP, MN , Sx đồng quy J I , M trung điểm JP JN d (M ,(SBC )) + Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) (MNP) � sin   d (M , IP) + Hạ AK  BC , AE  SK � AE  (SBC ) � d ( A,(SBC ))  AE AK  AB.sin � ABK  3 1 1 75 �      � AE  2 2 AE AS AK 12 27 324 � d (M ,( SBC ))  d ( A,( SBC ))  3 + Ta có AC  AB  CB  AB.CB.cos 600  13 � AC  13 JP  SC  13  12  , JN  2MN  SD  , PN  AB  � S JPN  6 � d ( M , PI )  d ( N , PI )  d ( N , JP).JP � d ( N , JP)   Mà S JPN 2 5 Vậy sin   �   450 Bài 8: Cho chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  4a, BC  3a Lấy H thuộc cạnh AB cho AH  3BH Biết SH   ABCD  SH  a Gọi E , F trung điểm AD; BC Tính cosin góc hai mặt phẳng  SHD   SFE  Phân tích: Ta thấy  SHD  � SEF   SQ Để tìm mặt phẳng vng góc với PI trường hợp khó khăn ta lựa chọn cách để làm Lời giải Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 14 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Gọi Q  HD �EF �  SHQ � SFE   SQ + Gọi  góc hai mặt phẳng  SHD   SFE  � sin   d  H ,  SEF   d  H , SQ  + Kẻ HK  SQ K � d H,SQ  HK Vì E trung điểm AD mà EQ // AH nên Q trung điểm DH 2a 30a � SQ  SH  HQ2  Ta có DH  2a � QH  2 SH.HQ 3a 3a � HK   � d H,SQ  SQ 5 + Kẻ HT  FE T kẻ HG  ST G � HG   SFE  � d H, SFE    HG Xét tam giác SHT vng H có: SH  a 3, HT  Vậy sin   3a 3a � HG  d  H ,  SEF   HG 35 14   � cos   d  H , SQ  HK 7 Bài 9: Cho lăng trụ ABC A��� B C có cạnh đáy , cạnh bên  Gọi M trung điểm CC � Tính sin góc hai mặt phẳng  ACB�  BMA�  Phân tích: Ta thấy  AB ' C  � A ' BM   IJ Để tìm mặt phẳng vng góc với IJ trường hợp khó khăn ta lựa chọn cách để làm Lời giải + Gọi I tâm hình chữ nhật ABB� C A�và J giao điểm BM B�  � BMA�  Suy IJ   ACB�   BMA�  � sin   + Gọi  góc mặt phẳng  ACB� Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn d  A,  A ' BM   d  A, IJ  15 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” + Gọi D  A� M �AC , suy C trung điểm AD � BC  A� A�  �  BDA�    ABB�  vuông B � BD   ABB� AD � ABD B  K �A ' B  � AK   BDA�  � d  A,  A ' BD    AK  Dựng AK  A� 15 + Tam giác B� AC có B� A  B� C  , AC  � cos � AB� C  , SB�AC  S B� I B� J B� IJ   � SB�I J  15 S B� A B� C 12 B� AC �� J  B� C  � IJ  B� I  B� J  B� I B� J cos IB J Ta có: B� I  ; B� 3 � d  A, IJ   d  B ', IJ   2SB�IJ 15 � sin   : 15   IJ Bài 10: Cho hình lăng trụ ABC.A��� B C có BA�  CA�  AA�  2a , BA  BC  a , � A� B�   BCC�  Tính ABC  1200 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABB� sin  Phân tích: Ta thấy  ABB ' A ' � BCC ' B '   BB ' Để tìm mặt phẳng vng góc với BB ' trường hợp khó khăn ta lựa chọn cách để làm Lời giải + Gọi H chân đường vng góc hạ từ A�xuống mặt đáy  ABC  Vì A� A  A� B  A� C nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, tam giác ABC có BA  BC , � ABC  1200 nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm M đoạn AC � � � AA //BB B� B�  //  BCC �  �  BCC�    ABC  + Vì �AH //BC �  AHA� � � d  A,  BCC � B�    d  A, BC   d  H , BC   a Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 16 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” 2SBAA� a 15  AA� d  A,  BCC � B�   Suy sin   d  A, BB�  + d  A, BB�   d  B, AA�  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O; cạnh bên a Gọi M trung điểm CD, H điểm đối xứng O qua SM Tính góc hai mặt phẳng  SCH   SCD  Đáp số: arcsin Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy 2 Gọi M , N trung điểm SA SC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  BMN   BDN  Đáp số: 10 Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; SA   ABCD  , SA  a , AB  a , AD  2a Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  SAC   SCD  Tính sin  Đáp số: sin   Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SAC  42 Đáp số: sin   �  150�, Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� B C có AB  a, AC  a 3, BAC I AA�  a Gọi I trung điểm CC � Tính sin góc mặt phẳng  AB� mặt phẳng  ABC  418 Đáp số: 22 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Năm học 2018-2019, dạy chuyên đề “Góc hai mặt phẳng không gian” chọn lớp 11B1, 11B5 làm lớp dạy học thực nghiệm (lớp sử dụng đề tài dạy sau chuyên đề “khoảng cách”) Đồng thời nội dung chọn lớp 11B2, 11B6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài) (các lớp học chương trình nâng cao; lớp 11B1, 11B2 lớp khối D có lực học tương đương nhau; lớp 11B5, 11B6 lớp khối A có lực học tương đương – đánh giá qua trình trực tiếp giảng dạy qua kết thi học kì hai lớp) Tôi nhận thấy, lớp 11B2, 11B6 đa số em làm tính góc hai mặt phẳng trường hợp giao tuyến chúng nằm Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 17 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” mặt phẳng chứa đáy đa diện, trường hợp giao tuyến không nằm mặt phẳng chứa đáy đa diện học sinh thường lúng túng không xác định góc hai mặt phẳng xác định khơng tính số đo góc dẫn đến chán nản cho hình học khơng gian q khó Ở lớp 11B1,11B5 tơi thấy có hiệu rõ rệt, em có hứng thú, đam mê học tập hẳn, e tự làm sách giáo khoa tiến đến khó hơn; đặc biệt em vui tốn “tính góc hai mặt phẳng” đề thi khảo sát, đề thi thử trung học phổ thơng Quốc Gia đa số em giải cách dễ dàng Sau dạy học thực nghiệm đối chứng, tiến hành cho học sinh bốn lớp làm kiểm tra 45 phút thu kết thống kê theo bảng sau: Lớp Sĩ số Kết Tr.bình SL % 15,6 Giỏi Khá Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 11B1 45 15 33,3 21 46,7 4,4 0 12, 11B2 40 15 37,5 15 37,5 12,5 0 11B5 43 18 14,6 20 24,4 48,8 0 0 11B6 37 8,1 17 45,9 10 27,1 18,9 0 Qua trình thực nghiệm với kết mạnh dạn khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng dạyhọc chủ đề “Góc hai mặt phẳng” hình học khơng gian lớp 11 Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 18 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Bài tốn góc hai mặt phẳng khơng gian tốn khai thác tương đối nhiều đề thi, xuất giả thiết xuất kết luận Để giải hiệu toán dạng học sinh cần nắm vững phương pháp tính góc hai mặt phẳng khơng gian (3 phương pháp nêu sách giáo khoa phương pháp sáng kiến kinh nghiệm) để vận dụng linh hoạt cho tốn cụ thể Tính số đo góc hai mặt phẳng khơng gian trường hơp giao tuyến chúng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình đa diện tốn khó nhiều học sinh, đòi hỏi người học phải vận dụng kiến thức tổng hợp Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải toán, giúp em rút ngắn thời gian làm đặc biệt tạo niềm say mê học tập học sinh trung học phổ thông Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy vấn đề giúp ích cho học sinh việc làm toán, giúp em u thích hình học khơng gian tạo niềm say mê học tập cho em Thực nghiệm cho thấy có khoảng 80% học sinh giải tốt tốn góc hai mặt phẳng sách giáo khoa đề thi Tôi nhận định khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy nhà trường đạt hiệu cao Kiến nghị - Thiết nghĩ đề tài vấn đề mới, giúp học sinh giải nhanh chóng tốn “tính số đo góc hai mặt phẳng không gian trường hợp giao tuyến chúng không nằm mặt phẳng chứa đáy hình đa diện” - dạng khó tốn góc hai mặt phẳng Vì hy vọng đề tài nhân rộng nhà trường đồng nghiệp - Đối với cấp lãnh đạo: + Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng, đề tài sáng kiến kinh nghiệm đạt giải để giáo viên trường học tập vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt + Về phía nhà trường: hỗ trợ mua loại sách tham khảo có tốn nâng cao hình học khơng gian để em HS tham khảo, học tập tốt Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 19 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” Trong q trình biên soạn đề tài tơi cố gắng để hồn thiện, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp hội đồng chuyên môn để đề tài hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN tự viết, không chép nội dung người khác Người viết Phùng Thị Mai Hoa Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 20 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Sách giáo khoa hình học 11 bản, Nhà xuất Giáo dục Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Sách tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Sách tập hình học 11 bản, Nhà xuất Giáo dục Đề thi thử trung học phổ thông Quốc gia nước Mạng Internet Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 21 “Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11” MỤC LỤC Nội dung Trang I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, 17 với thân, đồng nghiệp nhà trường III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận 19 Kiến nghị 19 Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 22 ... Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai. .. cao hình học khơng gian để em HS tham khảo, học tập tốt Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn 19 Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11 Trong. .. Trường THPT Bỉm Sơn Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc hai mặt phẳng hình học 11 Nhận xét: So sánh hai phương pháp vận dụng vào giải tập ta thấy: + Cách cần tính d  A;  SBD