SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháphoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo khoa chưa đề cậpđến và chưa đưa ra phương ph

Đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ”

- Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh là lứa tuổi nhạy cảm hiếu động hamchơi Nếu giáo viên gây được hứng thú trong bài dạy sẽ tạo cho học sinh sự phấn chấn,hào hứng để tiêp thu bài học một cách có hiệu quả

- Từ thực tiễn giảng dạy cũng như thực tiễn của học sinh nông thôn ít có điềukiện để tiếp nhận tri thức Nếu giáo viên tạo được hưng thú trong giảng dạy và học tập

sẽ giúp cho học sinh say mê học tập

Từ những lý do nói trên, bản thân tôi nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinhtrong học tập môn Toán là một trong những giải pháp hết sức quan trọng trong việcnâng cao chất lượng trong việc dạy và học Vì vậy nó là động lực giúp tôi đi sâunghiên cứu đúc rút kinh nghiệm này Trong quá trình thực hiện tôi đã hiểu được phầnnào khó khăn chung của học sinh nông thôn và những hoàn cảnh mà chúng ta cầnchung tay để khắc phục

1 Thực trạng vấn đề.

a Thực trạng chung.

*Ảnh hưởng của sự phát triển xã hội theo cơ chế thị trường :

- Xã hội phát triển là điêù đáng mừng, nhưng khi phát triển theo cơ chế thịtrường nó kéo theo một bộ phận không lành mạnh khác như dịch vụ giải trí không lànhmạnh, phim ảnh bạo lực, tình cảm lứa đôi quá trớn …

- Hiện nay, do sự quản lí không chặt chẽ của nhà nước, các dịch vụ bida,internet, karaokê … được tổ chức gần trường học, lôi cuốn, hấp dẫn các em vào các tròchơi vô bổ Các em lao vào các trò chơi đó dẫn đến bỏ giờ trốn học và những vi phạmkhác Đồng thời các kênh truyền hình chiếu một số bộ phim có mang những hình ảnhbạo lực làm cho các em dễ dàng bắt chước Ngoài ra những tụ điểm ăn chơi hàng ngàynhan nhãn, đập vào mắt các em làm cho các em không tự chủ, tham gia không có ýthức dần dần tiêm nhiễm dẫn đến việc học sa sút

*Ảnh hưởng của môi trường giáo dục gia đình:

- Thời gian HS học tập, sinh hoạt ở nhà trường chỉ từ 4-5 giờ trong ngày, việcsinh hoạt học tập đều có sự quản lí hướng dẫn của GVCN, GVBM, cán bộ lớp, nhàtrường, đó là điều kiện để các em học tập tốt và rèn luyện nhân cách Nhưng phần lớnthời gian các em sinh hoạt ở gia đình: tự học, lao động, vui chơi Với thời gian đó đốivới hầu hết HS đều có thời khóa biểu học tập ở nhà, ý thức được việc học tập ở nhà làthời gian giúp các em ghi nhớ lại bài cũ, luyện tập và nghiên cứu bài mới, chuẩn bị cho

ngày học hôm sau, đồng thời tham gia giúp đỡ công việc gia đình Đó là những HSthực sự tự giác trong học tập và được sự quản lí giáo dục của gia đình

- Nếu các em chưa ý thức được việc học tập, đồng thời gia đình không quan tâm

và không tạo điều kiện cho các em học tập thì việc học tập các em không đến nơi đếnchốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, các em học tập yếu, thua sút bạn bè

*Gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn:

- Từ những khó khăn về đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, khôngquan tâm đến việc học tập của con em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc concái phải lao động, làm cho các em không có thời gian học tập ở nhà như soạn bài, họcbài cũ, do đó khi đến lớp việc tiếp thu bài mới rất khó khăn, không làm được bài kiểmtra, lo lắng sợ sệt khi thầy cô giáo kiểm tra bài cũ

*Gia đình chỉ lo làm ăn, không quan tâm đến việc học của con cái:

- Nhiều gia đình vì kế sinh nhai, cả vợ chồng đều đi làm ăn xa, phó mặc con cáicho ông bà hoặc chị em chăm sóc lẫn nhau, một số HS chưa tự giác và thiếu sự quản líchặt chẽ của người lớn nên nảy sinh những tư tưởng không lành mạnh

- Có gia đình tuy không khó khăn về kinh tế nhưng có tham vọng làm giàu, bỏmặc con cái, không quan tâm đến việc học tập của con cái kể cả những thói hư tật xấucủa con cái, cha mẹ cũng không biết để răn dạy

*Gia đình có cha mẹ bất hòa, không có hạnh phúc:

- Lứa tuổi các em rất nhạy cảm, những cuộc cải vả của cha mẹ, sự to tiếng quátnạt, bạo lực của người cha làm cho các em dần dần bị ảnh hưởng, từ đó nẩy sinhnhững việc làm không lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà

đi chơi không thíêt tha đến việc học

b Thực trạng cụ thể.

Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấykhi gặp các dạng bài tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu,tìm tập xác định, giải phương trình tích các em gặp rất nhiều lúng túng Qua đó tôithấy được phần lớn học sinh mắc phải một số sai lầm như sau:

*Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp bài toán:

*Ví dụ 1:

- Phân tích đa thức x2 – 4 + y2 + 2xy thành nhân tử

Sai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu vì cho rằng có dạng hằngđẳng thức A2 – B2 và nhóm hai hạng tử cuối vì cho rằng nhân tử chung là y

Học sinh thực hiện:

x2 – 4 + y2 + 2xy = (x2 – 4) + (y2 + 2xy)

= (x + 2)(x - 2) + y(y + 2x) không thể thực hiện tiếp

Lời giải như mong muốn:

Sai lầm: Nhiều học sinh cho rằng ba hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x

Học sinh đưa ra lời giải như sau:

y x xy

x

y x xy

) 1 (

(lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừađược học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)

- Hay phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử nhiều họcsinh hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x, hai hạng tử tiếp theo có nhân tử chung3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa ra lời giải như sau:

*Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6)

Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2

= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc

(2x - 1)2 – (x + 3)2

= 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9

= 3x2 – 10x – 10 (đây là lời giải sai)

Lời giải như mong muốn:

(2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]

= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = (x - 4)(3x + 2)

*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử

Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y

= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót

số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2y thì hạng tử thứ 3 trongngoặc còn lại là số 0)

Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1

= 3x2y ( 5y - 3x + 1)

*Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử

Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai

(y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến:

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai

- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]

= (x – y)(10y – x) Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khảnăng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phươngpháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sóttrong lời giải cũng như cách trình bày

*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Nhận dạng đặc trưng(bài toán thuộc dạng nào)

- Mục đích của việc nhóm hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức cho bài toán

*Sai lầm về vận dụng kiến thức cho bài toán:

*Ví dụ 6:

- Phân tích đa thức 2x2 - 7 – 4x + 14 thành nhân tử

Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm về dấu khi nhóm các hạng tử nên thực hiện nhưsau:

2x2 - 7 – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x + 14)

= x(2x – 7) – 2(2x + 7) không phân tích được

Lời giải như móng muốn:

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)

= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

*Ví dụ 8: Hay khi phân tích đa thức x2 – 5x + 6 thành nhân tử Học sinh thường mắcsai lầm khi tách (b1x + b2x = bx) và b1x.b2x = acx2 Trong thực hành học sinh thườnggiải như sau:

*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Khi nhóm hạng tử cần chú ý dấu của mỗi hạng tử (nếu trước dấu ngoặc là dấu

“– ” thì đổi dấu hạng tử bên trong dấu ngoặc)

- Định hướng cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các nhóm

- Định hướng cho học sinh hiểu được khi thực hiện tách hạng tử

bx = (b1 + b2)x =b1x + b2x

*Sai lầm về vận dụng kiến thức trong giải bài toán ứng dụng:

*Ví dụ 9: Giải phương trình 2x3 + 6x = x2 + 3x (bài 25a tr17 SGK)

Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế không đổi dấu dẫn đến phươngtrình có nghiệm sai và thực hiện như sau:

2



Lời giải như mong muốn:

2x3 + 6x = x2 + 3x

Vậy tập nghiệm của phương trình là s= 3;4  lời giải sai

Sai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu cả hai nhân tử

3

*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Nhắc lại cho học sinh hai quy tắc biến đổi phương trình(quy tắc chuyển vế vàquy tắc nhân với một số)

- Biến đổi phương trình có bậc lớn hơn 2 về dạng phương trình tích(phân tích

vế trái thành nhân tử)

- Chuyển vế các hạng tử thì đổi dấu các hạng tử, chuyển vế tích các nhân tử chỉcần đổi dấu một trong các nhân tử.

*Sai lầm về việc phân tích bài toán chưa triệt để:

*Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x

TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3 (x – 9) + x(x – 9 )

= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)

Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x

= x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2) + (x – 9)]

= x[x2(x – 9) + (x – 9)]

= x(x – 9)(x2+ 1)

Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tửnhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăntrong quả trình giải Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)

Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử

Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích SGKhướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó đa thức dễ dàngđược phân tích tiếp Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm như thế nào?

Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháphoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo khoa chưa đề cậpđến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực tế trong quá trình giảitoán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã đề cập ở ví dụ trên)

Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Mỹ Cát về bộ môn Toánnhóm toán đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng nghiệp, trao đổicùng học sinh, nhóm toán đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như trên trong việcdạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Mỹ Cát

Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên chứng tỏ trong những năm qua kết quảhọc tập bộ môn Toán của học sinh trường THCS Mỹ Cát là chưa tốt, chỉ có một số họcsinh giỏi, khá so với mức độ học sinh ở các trường THCS Vậy tại sao lại có kết quảtrên, theo tôi chủ yếu do các nguyên nhân sau

* Nguyên nhân khách quan:

- Trường THCS Mỹ Cát là một trường nằm ở vùng điều kiện kinh tế kém phát triển

- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con emmình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà

* Nguyên nhân chủ quan

Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học sinh phải

có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi

và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa

chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại,trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bàitập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụngphương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất,hướng giải nào là tốt nhất

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Giúp học sinh phân tích tốt một đa thức thành nhân tử, vận dụng giải một sốphương trình và các dạng toán có liên quan Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát

và phân tích bài toán một cách phù hợp nhằm đưa ra cách giải hợp lý

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài.

- Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử”

- Đối tượng: là học sinh khối 8

- Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định

II Phương pháp tiến hành.

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn:

a Cơ sở lí luận:

- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duynhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Làgiáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủnhững yêu cầu đó

- Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ,rèn luyện năng lực tư duy toán học Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quantrọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt Trong chương trìnhtoán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm

Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quyđồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minhđẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh

- Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập

do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn

đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân

tử” là một dạng toán rất quan trọng (của môn đại số 8) đáp ứng yêu cầu này, là nền

tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này Nhất là khi học về rút gọnphân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, …

- Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà màchương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thứcthành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp vàkhông quá ba nhân tử

- Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điềunày, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như: quan sát, nhậnxét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán Tuỳtheo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở cácphương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

- Học sinh thường lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giảicho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được cácbài tập tương tự dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.

- Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm raphương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa họchay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vàoviệc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phương pháp đểphân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vậndụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phân tích đathức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như:Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức.Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòihỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo cáckiến thức đó

- Trong việc dạy và học bộ môn toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tưduy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉvới các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phươngpháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thúhọc tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học

- Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập phân tích đa thứcthành nhân tử sao cho các em có thể giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử mộtcách dễ dàng nhất, cũng như giúp các em hệ thống được các dạng loại bài tập, theomức độ khó dần, nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán ở mỗi đối tượnghọc sinh

b Cơ sở thực tiễn:

- Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ giữa các giáo viên trong trường,đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi Tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹnăng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùngmẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức cácphân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ vì để giảiđược các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

- Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhậnxét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong họctập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tậpyếu kém

- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khigặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết

áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào

là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập củacon em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà

- Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹnăng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan làcông việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làm được điều này thì người thầy

phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đathức thành nhân tử

- Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân

tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp(sgk – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặpkhó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không cóphương pháp tổng quát để giải) Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác(ngoài sách giáo khoa) như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng mộthạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt là đối với họcsinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạngtoán khó

- Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán Tôi mạnh dạn

lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”

với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thứcthành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung

và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp mới:

- Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên trong mỗi tiết dạy theo các yêu cầu

- Qua mỗi tiết ôn tập cần cho thêm các bài tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thứcđồng thời móc xích được các đơn vị kiến thức

- Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt được cácdạng toán… có thể gắn vào việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

- Tổ chức lồng ghép trong mỗi tiết dạy chính khoá cũng như tự chọn có liênquan đến từng dạng loại

- Đưa chuyyên đề trên thực hiện trong các tiết học tự chọn, trong tiết thao giảng

để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm

- Thảm khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

để xây dựng, hoàn thiện đề tài

- Lựa chọn các bài tập liên quan đến phần phân tích đa thức thành nhân tử ởsách giáo khoa, sách bài tập lớp 6,7,8,9 một số đề thi học sinh giỏi toán 8, một số tàiliệu khác

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu

có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân

tử Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:

Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

Sách giáo viên 6, 7, 8, 9

Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GDNâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD

Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GDPhương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản ĐHSP

Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP

- Thời gian: Thực hiện từ năm học 2008 - 2012

- Trong qua trình như vây, tôi sử dụng các phương pháp trong qua trình thựchiện đề tài:

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp khảo sát thực tiễn

Phương pháp phân tích

Phương pháp tổng hợp

Phương pháp khái quát hóa

Phương pháp quan sát

Phương pháp kiểm tra

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toánnày

- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Phát triển ở học sinh lòng ham thích, hứng thú, say mê học toán

- Giúp học sinh khái quát hóa, hệ thống hóa, có khả năng tự giải nhiều dạng bàitập Gây hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác tiết học nhẹ nhàngcho cả thầy và trò Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nótrong cuộc sống

- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở cácdạng khác nhau

- Qua đó học sinh thấy được vai trò và ứng dụng của việc phân tích đa thứcthành nhân tử trong giải toán, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh và góp phầnnâng cao chất lượng giáo dục của môn toán 8

II Mô tả giải pháp của đề tài.

*Bản đồ tư duy mô tả kết quả tìm hiểu về sai lầm của học sinh trong giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm đưa ra các phương pháp giải quyết và ứng dụng trong giải toán:

1 Thuyết minh tính mới.

Nhằm giúp học sinh học tập tốt tất cả các môn học nói chung và môn Toán nóiriêng chúng ta phải làm tốt công tác giáo dục học sinh Từ đó áp dụng các giải phápdạy học theo hướng tích cực mới đạt hiệu quả tốt Điều quan trong là sự kết hợp chặtchẽ giữa công tác giáo dục học sinh cùng với giải pháp mới trong đề tài mới đem lạihiệu quả trong quá trinh ứng dụng vào giảng dạy

 Công tác giáo dục học sinh.

* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường:

- Tổ chức cho HS thảo luận nội qui nhà trường và hướng dẫn cho các em thựchiện nội qui, có chế độ khen chê công bằng, khách quan

- Trong buổi chào cờ đầu tuần, cần phải đánh giá nhận xét chu đáo, nêu gươngngười tốt, việc tốt để các em noi theo, hạn chế những vi phạm nội qui lớp học , trườnghọc

* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt lớp:

Ngoài việc giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường, giờ sinh hoạt lớp(SHL) cũng rất quan trọng trong vấn đề này Bởi vì thông qua giờ SHL, GVCN, CBlớp kịp thời uốn nắn những sai trái khuyết điểm của HS khi bị vi phạm, lấy tình cảmbạn bè, lấy nghĩa thầy trò làm cho các em thấy được khuyết điểm của mình Đồng thờivới sự chân thành của GVCN, HS trong lớp, HS khi vi phạm sẽ sớm nhận ra lỗi lầmcủa mình mà sửa chữa

Trong khi giáo dục các em, GVCN không nên nặng về kiểm điểm, phê bình, màphải tìm ra và xác định đúng nguyên nhân đã tác động đến các em làm cho các em mắcsai lầm, vi phạm, vận dụng những điều khoản trong nội qui, trong qui định xếp loạicủa TT40 làm cho các em thấy được phạm vi vi phạm ở mức độ nào và nêu ra hướngcho các em khắc phục GVCN nêu những việc làm tốt, những cố gắng nổ lực của cácthành viên trong lớp để xây dựng tập thể lớp thành lớp tiên tiến … với thành tích nhưvậy thì không được bất cứ thành viên nào trong lớp phá vỡ

* Kết hợp với Hội PHHS để giáo dục HS:

- Hội PHHS là cầu nối giữa nhà trường, GVCN với gia đình HS Tổ chức Hộingoài việc giúp nhà trường xây dựng CSVC còn góp phần cùng nhà trường giáo dụcHS.

- Thực tế, những năm qua Thường trực Hội PHHS đã giúp cho nhà trường,GVCN bằng cách tác động với PH để giáo dục HS từ chỗ bỏ học, trốn học đến đihọc chuyên cần và học tập nghiêm túc Mặt khác, TT Hội PHHS đã tác động đến giađình các em để cha mẹ các em quan tâm và có trách nhiệm đối với con cái của họ hơn,

từ đó sẽ hạn chế được HS hoang nghịch

* Phối hợp với các Đoàn thể và các lực lượng khác trong xã hội:

Hiện nay ở địa phương đã hình thành các khu dân cư và nhiều nơi đã xây dựngkhu dân cư, thôn văn hóa, đó là điều kiện tốt để các Đoàn thể cùng với nhà trường, qua

đó giáo dục HS Các đoàn thể, chính quyền địa phương giúp cho các thành viên xâydựng gia đình văn hóa, hạn chế tình trạng cha mẹ bỏ mặc con cái đi làm ăn, những mốibất hòa trong gia đình dần dần chấm dứt, từ đó cha mẹ sẽ có điều kiện chăm sóc giáodục con cái tốt hơn

* Dùng phương pháp kết bạn:

Thường lứa tuổi HS dễ bị ảnh hưởng những thói hư tật xấu nhưng cũng dễ tiếpthu những điều hay lẽ phải, dễ hòa mình vào những trò chơi có tính tập thể, tính giáodục cao Do đó GVCN nên phân công một nhóm bạn tốt, cùng hoàn cảnh, cùng sởthích, uớc mơ sinh hoạt, học tập với đối tượng này dần dần lôi kéo các em hòa nhậpvào các cuộc chơi bổ ích, từ đó xóa bỏ các mặc cảm là HS hư để rồi cùng với cácthành viên trong lớp xây dựng tập thể vững mạnh

Mặt khác, thông qua nhóm bạn tốt, GVCN giao cho HS thực hiện một số côngviệc, tạo những điều kiện để những HS hoàn thành và động viên khích lệ Ngoài ra cóthể vận động gia đình của nhóm bạn tốt tham gia vào việc giúp đỡ những HS này bằngcách tạo cho các em tâm lý xem gia đình của bạn như gia đình mình, tạo điều kiện chocác em cùng tham gia học tập với con em mình để tách dần ra khỏi nhóm bạn chưangoan Việc làm này cả là một cố gắng trong đó vai trò của GVCN rất quan trọng và

sự tham gia của Hội PHHS là rất cần thiết

Giải pháp mới của đề tài

 Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

+ Phương pháp Đặt nhân tử chung

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):

- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả cáchạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử

Dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phântích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:

- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức nếu có

- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc làhằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử

+ Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

+ Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành

+ Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

+ Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)

 Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)

Bước 1: Lập tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

+ Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)

+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức

+ Phương pháp hệ số bất định

+ Phương pháp xét giá trị riêng

Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình độnhận thức của học sinh Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất cả các phươngpháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1,2,3,4)và thêm haiphương pháp nâng cao (phương pháp 5,6) Các phương pháp còn lại (phương pháp7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu

2 Khả năng áp dụng.

a Thời gian áp dụng.

- Sau khi thực hiện đề tài GV thấy các em làm bài tập toán với một phong cáchnghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải Đặc biệt là với mỗibài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau Từ đó tìm được phương

án tối ưu để giải toán

- Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải dễdàng hơn và hệ thống được kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy toán học linh họathơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dạy của giáo viên Và điều dễ thấy nhất là kếtquả thu được qua các bài kiểm tra Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bàikiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sángtạo

- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi dưỡng cho

một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt

- Hình thành cho học kỹ năng giải quyết một vấn đề có phương pháp, làm việc

có khoa học

- Đối với việc giải các bài toán nâng cao, học sinh quen dần việc vận dụng và

mở rộng các kiến thức, hình thành và khái quát thành những phương pháp giải, để giảitoán có hiệu quả

- Các tiết học toán ngày càng có chất lượng khi giáo viên biết phối hợp, lồngghép các kiến thức, các phương pháp giải toán, nhàm phát triển tư duy cho học sinh

- Mong rằng đây sẽ là một tài liệu để GV tham khảo khi dạy phần phân tích đathức thành nhân tử sao cho có một kết quả tốt nhất

- Tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học sinh thường lúng túng khôngbiết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào mặc dù rất dễ Sau khi được học vàgiới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được cách giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử tăng lên rất rõ rệt Điều đó chứng tỏ việc phân dạng các bài tập phântích đa thức thành nhân tử là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS

- Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm dạy học theo đề tài đã thực hiện, tôi nhậnthấy như sau:

+ Về tâm lý: Đã từng bước tạo được sự hứng thú, khơi dậy lòng say mêhọc tập môn Toán ở học sinh Chính vì vậy mà các em không còn xem nhẹ trong việchọc tập

+ Về kiến thức: Học sinh hoạt động tích cực chủ động hơn, đa phần họcsinh đã chiếm lĩnh được kiến thức một cách nhanh chống và chắc chắn

+ Về kỷ năng: Kỹ năng trực quan, tư duy, phân tích, tổng hợp của họcsinh được nâng cao hơn và hoàn thiện hơn Đồng thời học sinh vận dụng được các liếnthức vào cuộc sống thực tiễn một cách dễ dàng và hiệu quả

Chính vì vậy mà sau khi tiến hành vận dụng một số kinh nghiệm dạy họctheo PP mới trong năm học 2011-2012 thu được kết quả như sau: c k t qu nh sau: ết quả như sau: ả như sau: ư

2008-2009 155

Đại số8

- Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủđộng lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ranhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới

*Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy họcsinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinhnghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phântích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năngthực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhauthông qua một chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện

tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằmphát huy khả năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh tronghọc toán.

*Trong HKI năm học 2011 – 2012, tôi và các đồng nghiệp trong nhóm tôi đãvận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấyrằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất Số họcsinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụngđược vào các bài tập tương đối tốt

b Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tửvào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng)

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):

- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả cáchạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử

- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và

ƯCLN(15, 9, 3) = 3 Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3

- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3 Lũy thừabằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x là 2 và của y

là 1 Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x 2 y

Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 3 x 2 y

Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử

Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định nhân tửchung Giái viên có thể đưa gợi ý:

? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)

? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?

(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định được )

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiệnnhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ 2 được giải như sau:

Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))

1 Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

2 Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số

tử Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:

- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A2 và

B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc

(– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ 2.1;2.2)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà haihạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về dạng hiệuhai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 2.3)

- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phântích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thểphân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng hằngđẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 2.4; 2.5)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai biểuthức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về dạng lậpphương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7) (Ví dụ 2.6; 2.7)

Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức

Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:

Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)

=[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2

c) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử.

Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân

tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

b)Ví dụ

* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:

Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )

x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )

= x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y)

b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)

= y(x - 5) + 2(x - 5)

= (x - 5)(y + 2)

c Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có

2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)

Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

*Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:

Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)

(Đa thức không thể phân tích tiếp )

Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau

khi nhóm

ở ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh cóthể đưa ra lới giải sau

Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là:

- Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ở

ngoặc thứ hai sau khi nhóm)

Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên

Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

-Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấungoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm

-Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú

ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm

* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích

thành nhân tử phải được tiếp tục nếu không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong quá trình nhóm, phải thực hiện lại (Ví dụ 3.1c Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)

*Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp

a) Phương pháp

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt

nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách

cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp

Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:

- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức nếu có

- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳngthức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử

b) Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 4.1: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy

=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) ( Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

Khai thác ví dụ:

Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung Ta sửdụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung ta thấy cáchạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm các hạng tử thíchhợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ 4.3 ta thấy các hạng tử không

có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng

tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng

tử trước, tiếp đó tiến hành phân tích từng nhóm( bằng phương pháp đặt nhân tử chung

và hằng đẳng thức ) xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp Các ví dụcòn lại làm tương tự

Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợpnhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào Cácphương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bài toán cụ thể

* Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó một

1) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

 Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:

1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên

2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)

Hướng dẫn:

Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0;  x + y = – z

3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6)

Hướng dẫn: Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y)

Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,