SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Đề tài “Rèn luyện kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử ” A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề: - Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung mục tiêu tầm quan trọng môn Toán nói riêng - Giáo dục phổ thông nhằm giáo dục học sinh phát triển toàn diện, nâng cao hiểu biết kiến thức văn hoá mà phát huy khiếu khác - Xuất phát từ yêu cầu việc đổi phương pháp phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh Có em có điều kiện khắc phục khó khăn tiếp nhận kiến thức - Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh lứa tuổi nhạy cảm hiếu động ham chơi Nếu giáo viên gây hứng thú dạy tạo cho học sinh phấn chấn, hào hứng để tiêp thu học cách có hiệu - Từ thực tiễn giảng dạy thực tiễn học sinh nông thôn có điều kiện để tiếp nhận tri thức Nếu giáo viên tạo hưng thú giảng dạy học tập giúp cho học sinh say mê học tập Từ lý nói trên, thân nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinh học tập môn Toán giải pháp quan trọng việc nâng cao chất lượng việc dạy học Vì động lực giúp sâu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm Trong trình thực hiểu phần khó khăn chung học sinh nông thôn hoàn cảnh mà cần chung tay để khắc phục Thực trạng vấn đề a Thực trạng chung *Ảnh hưởng phát triển xã hội theo chế thị trường : - Xã hội phát triển điêù đáng mừng, phát triển theo chế thị trường kéo theo phận không lành mạnh khác dịch vụ giải trí không lành mạnh, phim ảnh bạo lực, tình cảm lứa đôi trớn … - Hiện nay, quản lí không chặt chẽ nhà nước, dịch vụ bida, internet, karaokê … tổ chức gần trường học, lôi cuốn, hấp dẫn em vào trò chơi vô bổ Các em lao vào trò chơi dẫn đến bỏ trốn học vi phạm khác Đồng thời kênh truyền hình chiếu số phim có mang hình ảnh bạo lực làm cho em dễ dàng bắt chước Ngoài tụ điểm ăn chơi hàng ngày nhan nhãn, đập vào mắt em làm cho em không tự chủ, tham gia ý thức tiêm nhiễm dẫn đến việc học sa sút *Ảnh hưởng môi trường giáo dục gia đình: - Thời gian HS học tập, sinh hoạt nhà trường từ 4-5 ngày, việc sinh hoạt học tập có quản lí hướng dẫn GVCN, GVBM, cán lớp, nhà trường, điều kiện để em học tập tốt rèn luyện nhân cách Nhưng phần lớn thời gian em sinh hoạt gia đình: tự học, lao động, vui chơi Với thời gian hầu hết HS có thời khóa biểu học tập nhà, ý thức việc học tập nhà thời gian giúp em ghi nhớ lại cũ, luyện tập nghiên cứu mới, chuẩn bị cho Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ngày học hôm sau, đồng thời tham gia giúp đỡ công việc gia đình Đó HS thực tự giác học tập quản lí giáo dục gia đình - Nếu em chưa ý thức việc học tập, đồng thời gia đình không quan tâm không tạo điều kiện cho em học tập việc học tập em không đến nơi đến chốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, em học tập yếu, thua sút bạn bè *Gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn: - Từ khó khăn đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, không quan tâm đến việc học tập em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc phải lao động, làm cho em thời gian học tập nhà soạn bài, học cũ, đến lớp việc tiếp thu khó khăn, không làm kiểm tra, lo lắng sợ sệt thầy cô giáo kiểm tra cũ *Gia đình lo làm ăn, không quan tâm đến việc học cái: - Nhiều gia đình kế sinh nhai, vợ chồng làm ăn xa, phó mặc cho ông bà chị em chăm sóc lẫn nhau, số HS chưa tự giác thiếu quản lí chặt chẽ người lớn nên nảy sinh tư tưởng không lành mạnh - Có gia đình không khó khăn kinh tế có tham vọng làm giàu, bỏ mặc cái, không quan tâm đến việc học tập kể thói hư tật xấu cái, cha mẹ để răn dạy *Gia đình có cha mẹ bất hòa, hạnh phúc: - Lứa tuổi em nhạy cảm, cải vả cha mẹ, to tiếng quát nạt, bạo lực người cha làm cho em bị ảnh hưởng, từ nẩy sinh việc làm không lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà chơi không thíêt tha đến việc học b Thực trạng cụ thể Qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy gặp dạng tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích em gặp nhiều lúng túng Qua thấy phần lớn học sinh mắc phải số sai lầm sau: *Sai lầm nhận dạng đặc trưng kỹ xếp toán: *Ví dụ 1: - Phân tích đa thức x2 – + y2 + 2xy thành nhân tử Sai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu cho có dạng đẳng thức A2 – B2 nhóm hai hạng tử cuối cho nhân tử chung y Học sinh thực hiện: x2 – + y2 + 2xy = (x2 – 4) + (y2 + 2xy) = (x + 2)(x - 2) + y(y + 2x) thực tiếp Lời giải mong muốn: x2 – + y2 + 2xy = (x2 + 2xy + y2 ) – = (x + y)2 – 22 = (x + y + )(x + y -2) - Hay phân tích đa thức x – y2 + 4x + thành nhân tử, nhiều học sinh đưa lời giải sau: x2 – y2 + 4x + = (x2 – y2)+ (4x + 4) = (x – y)(x + y) + 4(x + 1) bế tắc Lời giải mong muốn: x2 – y2 + 4x – = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x+ y +2)(x – y +2) Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT *Ví dụ 2: - (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán tập 1)) Khi giáo viên đưa tập Yêu cầu x − xy − x + y học sinh rút gọn phân thức: x + xy − x − y Sai lầm: Nhiều học sinh cho ba hạng tử có nhân tử chung x Học sinh đưa lời giải sau: x − xy − x + y x( x − y − 1) + y = (lời giải sai- phân thức chưa rút gọn) x + xy − x − y x( x + y − 1) − y Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) - Hay phân tích đa thức x – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử nhiều học sinh hai hạng tử có nhân tử chung x, hai hạng tử có nhân tử chung 3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa lời giải sau: x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y) = x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích nữa) Lời giải đúng: x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y) = (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x +y)(x + y + 1)(x +y – 1) *Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu - Hoặc trường hợp phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1) – (x + 3)2 Nhiều học sinh biết áp dụng đẳng thức vào phân tích đa thức chưa phương pháp đưa lời giải sau (2x - 1)2 – (x + 3)2 = 4x2 – 4x – – x2 – 6x – = 3x2 – 10x – 10 (đây lời giải sai) Lời giải mong muốn: (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = (2x – – x - 3)(2x – + x + 3) = (x - 4)(3x + 2) 2 *Ví dụ 4: Phân tích đa thức 15x y – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Sai lầm cách viết hạng tử lại ngoặc, Học sinh bỏ sót số (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x 2y hạng tử thứ ngoặc lại số 0) Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + ) *Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai - Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Khi đứng trước toán phân tích đa thức thành nhân tử em chưa có khả nhận dạng, nhận định xem toán nên giải nào, áp dụng phương pháp để giải cho phù hợp trình phân tích em gặp nhiều sai sót lời giải cách trình bày *Phương pháp hình thành kỹ cho học sinh: - Nhận dạng đặc trưng(bài toán thuộc dạng nào) - Mục đích việc nhóm hạng tử, sử dụng đẳng thức cho toán *Sai lầm vận dụng kiến thức cho toán: *Ví dụ 6: - Phân tích đa thức 2x2 - – 4x + 14 thành nhân tử Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm dấu nhóm hạng tử nên thực sau: 2x2 - – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x + 14) = x(2x – 7) – 2(2x + 7) không phân tích Lời giải móng muốn: 2x2 - – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x – 14) = x(2x – 7) – 2(2x – 7) = (2x – 7)(x – 2) - Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinh đưa lời giải sau: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết sai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) - Trường hợp phân tích đa thức 15x 2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số học sinh đưa lới giải sau 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT = 3x y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) *Ví dụ 8: Hay phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử Học sinh thường mắc sai lầm tách (b1x + b2x = bx) b1x.b2x = acx2 Trong thực hành học sinh thường giải sau: x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x+ = (x2 – 2x) – (3x + 6) = x(x – 2) – 3(x + 2) không phân tích Lời giải đúng: x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x+ = (x2 – 2x) – (3x – 6) = x(x – 2) – 3(x – ) = (x -2)(x - 3) - Hay tìm ĐKXĐ phương trình: Học sinh gặp nhiều lúng x − 4x + túng chưa tìm cách giải Vì để giải toán học sinh cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo Nhưng việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử thông thường đa số em gặp nhiều khó khăn Do em quên kiến thức chưa biết vận dụng kiến thức cách hợp lý Các em biết vận dụng phương pháp riêng lẻ vào giải toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp phương pháp vào giải toán khó với yêu cầu cao *Phương pháp hình thành kỹ cho học sinh: - Khi nhóm hạng tử cần ý dấu hạng tử (nếu trước dấu ngoặc dấu “– ” đổi dấu hạng tử bên dấu ngoặc) - Định hướng cho học sinh thấy mối quan hệ nhóm - Định hướng cho học sinh hiểu thực tách hạng tử bx = (b1 + b2)x =b1x + b2x *Sai lầm vận dụng kiến thức giải toán ứng dụng: *Ví dụ 9: Giải phương trình 2x3 + 6x = x2 + 3x (bài 25a tr17 SGK) Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm chuyển vế không đổi dấu dẫn đến phương trình có nghiệm sai thực sau: 2x3 + 6x = x2 + 3x 2x3 + 6x + x2 + 3x =0 (2x + x ) + (3x+ 6x) =0 x (2x + ) + 3x(1+ 2x) =0 x(x + 3)(2x + 1) =0  x = x =     x = −  x + =  2x + 1= x = −    Vậy tập nghiệm phương trình: S= -3; − ;  lời giải sai   Lời giải mong muốn: 2x3 + 6x = x2 + 3x Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT 2x + 6x - x - 3x (2x3 - x2 ) + (6x -3x) x2(2x - ) + 3x(2x -1) x(x + 3)(2x - 1)  x = x =0    x = −  x + =  2x -1= x =  =0 =0 =0 =0   Vậy tập nghiệm phương trình: S= -3; ;0    *Ví dụ 10: Giải phương trình (3x - 1)(x + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (bài 25b tr17 SGK) Sai lầm thứ nhất: Chia hai vế phương trình cho đa thức 3x -1 dẫn đến phương trình nghiệm thực sau: (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10) x2 + = 7x - 10 x2 - 7x +12 = x2 - 3x - 4x +12 = x(x - 3) - 4(x- 3) = (x - 3)(x - 4) = x −3= x =3   x −4=0 x = Vậy tập nghiệm phương trình s= { 3;4} lời giải sai Sai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu hai nhân tử (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1) - (7x - 10) = toán sai Lời giải đúng: (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1)(7x - 10) = (3x - 1)(x2 - 7x +12) = (3x - 1)(x2 - 3x - 4x +12) = (3x - 1)(x - 3)(x - 4) =  x = 3x -1=     x =  x − = x =  x − =   1  Vậy tập nghiệm phương trình s=  ;3;4  3  *Phương pháp hình thành kỹ cho học sinh: - Nhắc lại cho học sinh hai quy tắc biến đổi phương trình(quy tắc chuyển vế quy tắc nhân với số) - Biến đổi phương trình có bậc lớn dạng phương trình tích(phân tích vế trái thành nhân tử) Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT - Chuyển vế hạng tử đổi dấu hạng tử, chuyển vế tích nhân tử cần đổi dấu nhân tử *Sai lầm việc phân tích toán chưa triệt để: *Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3 (x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2) + (x – 9)] = x[x2(x – 9) + (x – 9)] = x(x – 9)(x2+ 1) Trong chương trình sgk Toán giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử với phương pháp có tập học sinh gặp khó khăn trình giải Ví dụ 52,57 sgk tr 24,25 (Toán tập 1) Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử Với đa thức ta áp dụng phương pháp học để phân tích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x tách = - + 6, từ đa thức dễ dàng phân tích tiếp Vậy với đa thức khác, có dạng tương tự ta làm nào? Vấn đề đặt cách tách ngẫu nhiên hay có phương pháp dựa quy luật nào, vấn đề chương trình sách giáo khoa chưa đề cập đến chưa đưa phương pháp giải tổng quát, thực tế trình giải toán, học sinh lại gặp nhiều tập dạng (như đề cập ví dụ trên) Qua khảo sát thực trạng học sinh trường THCS Mỹ Cát môn Toán nhóm toán tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau số tiết dạy “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Qua trình giảng dạy, nghiên cứu dự đồng nghiệp, trao đổi học sinh, nhóm toán đánh giá rút số thực trạng việc dạy học giáo viên học sinh trường THCS Mỹ Cát Từ thực trạng vừa nêu chứng tỏ năm qua kết học tập môn Toán học sinh trường THCS Mỹ Cát chưa tốt, có số học sinh giỏi, so với mức độ học sinh trường THCS Vậy lại có kết trên, theo chủ yếu nguyên nhân sau * Nguyên nhân khách quan: - Trường THCS Mỹ Cát trường nằm vùng điều kiện kinh tế phát triển - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập nhà * Nguyên nhân chủ quan Môn Toán môn học khó, khô khan để học tốt môn toán đòi hỏi học sinh phải có tư nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện Tồn nhiều học sinh yếu tính toán, thiếu kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Ý nghĩa tác dụng giải pháp Giúp học sinh phân tích tốt đa thức thành nhân tử, vận dụng giải số phương trình dạng toán có liên quan Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát phân tích toán cách phù hợp nhằm đưa cách giải hợp lý Phạm vi nghiên cứu đề tài - Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” - Đối tượng: học sinh khối - Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định II Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận thực tiễn: a Cơ sở lí luận: - Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu - Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực tư toán học Phát huy trí lực học sinh điều vô quan trọng, sở vững để em học tập toán học tốt Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề dặc biệt quan tâm Vì sử dụng nhiều giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh - Việc học toán học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân tử” dạng toán quan trọng (của môn đại số 8) đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau Nhất học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … - Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua ví dụ cụ thể, việc phân tích không phức tạp không ba nhân tử - Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ như: quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán Tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT - Học sinh thường lĩnh hội kiến thức cách thụ động, chưa tìm cách giải cho dạng toán cụ thể, tính sáng tạo làm bài, không làm tập tương tự dù dễ giáo viên chữa - Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm phương pháp thích hợp cho lời giải toán ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức học giải toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan như: Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung, thủ thuật toán học để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức - Trong việc dạy học môn toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt tự tìm tòi kiến thức mới, không với phương pháp bản, thông thường mà phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng toán khó Đây thuận lợi cho giáo viên học sinh đổi cách dạy học - Xuất phát từ thực tế trên, xếp dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử cho em giải tập phân tích đa thức thành nhân tử cách dễ dàng nhất, giúp em hệ thống dạng loại tập, theo mức độ khó dần, nâng cao lực tư sáng tạo giải toán đối tượng học sinh b Cơ sở thực tiễn: - Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi Tôi nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Cộng trừ phân thức không mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ để giải dạng toán cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử - Tồn nhiều học sinh yếu tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu - Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà - Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan công việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Để phân tích đa thức thành nhân tử có phương pháp là: Đặt nhân tủ chung, nhóm hạng tử, dùng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (sgk – Toán tập 1) với phương pháp học sinh gặp khó khăn trình giải toán( có chưa thể giải phương pháp tổng quát để giải) Vì dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác (ngoài sách giáo khoa) như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt học sinh giỏi, giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp gặp dạng toán khó - Hiểu điều này, kinh nghiệm dạy học toán Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với môn toán nói chung toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp mới: - Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên tiết dạy theo yêu cầu mức độ khác - Lựa chọn tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo học sinh - Thông qua tiết tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp phân tích, suy luận, tìm tòi… từ giáo viên giao công việc, tập nhà để học sinh tìm tòi cách giải nhanh hơn, gọn hơn… - Qua tiết ôn tập cần cho thêm tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức đồng thời móc xích đơn vị kiến thức - Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt dạng toán… gắn vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Tổ chức lồng ghép tiết dạy khoá tự chọn có liên quan đến dạng loại - Đưa chuyyên đề thực tiết học tự chọn, tiết thao giảng để đồng nghiệp dự góp ý rút kinh nghiệm - Thảm khảo ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm trình giảng dạy để xây dựng, hoàn thiện đề tài - Lựa chọn tập liên quan đến phần phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa, sách tập lớp 6,7,8,9 số đề thi học sinh giỏi toán 8, số tài liệu khác - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Toán, tài liệu có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu hệ thống kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở như: Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, Sách giáo viên 6, 7, 8, Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008 Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất GD Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 10 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Hệ thành: a+c=-6 ac = a + bc = -14 2c = -14 + = - c = - 4; a = - Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải toán sau: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) c) Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + ; c) x4 − 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 *Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa (x – y) chứa (y – z) (z – x) Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với ∀ x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z)  Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử *Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ : Rút gọn biểu thức: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Giải: Ta có Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 34 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN A= TRƯỜNG THCS MỸ CÁT x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5) A= ( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x + 5) ( x − 2)( x − 4) A= ( x + 1)( x + 4) A= Do *Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhóm toán trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n2 n3 + số nguyên n n n 2n + n + + = Ta có: + 6 n A= + Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 35 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN Ta có: 2n + 3n + n TRƯỜNG THCS MỸ CÁT = n (2 + 3n + n ) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 +x+1 = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B Ví dụ 4: 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 CMR: n + n + n = n với n lẻ a b c a + bn + cn 1 1 bc + ac + ab => = Ta có: + + = a b c a+b+c abc a+b+c Ví dụ 6: Cho => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 36 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình, bất phương trình a) Giải phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = x + 2y = (II) (I) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = x + 2y = 12 (III) (IV) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = Ta có: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = x=1 x=1 => 2x + y = y=5 => x=7 x=7 => Hoặc 2x2 + y =1 y = - 97 x=-1 x=-1 => 2x + y =-7 y-9 Hoặc x=-7 x=-7 => 2x + y = - y = -99 Hoặc Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Vì x > y > Trang 37 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ( 3x - ) -( x - ) = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 = ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) = ( 4x - 6)(2x - 4) = 4x - = x = 3/2 2x - = x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + = x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = x = -1 (x2 + 2x + 2) = giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 c) Giải toán giải bất phương trình * Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trò quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường * Ví dụ: Giải bất phương trình x − >1 x − x −3 −2 ⇔ >0 ( x − 2)( x − 3) Nhận xét: (- 2) < ⇒ (x- 2)(x - 3) < ⇒ < x< 3x2 - 10x - > (3x+ 2)( x- 4) > Ta lập bảng xét dấu tích Kết x < −2 x > Dạng 4: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán chứng minh biểu thức dương, âm, không âm a) Đường lối: Bài toán kích thích tư học sinh phải tìm đường lối giải giải phải nắm kiến thức: - Biểu thức dương ( lớn ) tử thức mẫu thức dấu - Biểu thức không âm ( lớn ) biểu thức cho luỹ thừa bậc chẵn biểu thức khác - Bên cạnh cần ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dương âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu dấu nguyên b) Ví dụ: Ví dụ 1: Cho biểu thức P = 4x - 12x + Chứng minh P không âm với x Giải: 2 Ta có P = 4x -12x + = (2x) -2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 ≥ Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 38 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Vậy P ≥ với ∀ x Hay biểu thức P không âm với ∀ x x4 − x3 − x + Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức M = x + x + 3x + x + không âm với x Giải x − x − x +1 x ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x − 1) = = x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) = = ( x + 2)( x + x + 1) ( x + 2) 3 Vì x2 +x +1 = x2 +x + + =(x+ )2 + >0 ∀ x 4 2 Mặt khác (x-1) ≥ ∀ x x +2 > ∀ x Vậy M ≥ ∀ x Hay M không âm ∀ x Ta có : M = *Với toán em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em rèn luyện phát triển với kỹ giải toán khác Dạng 5: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ a)Đường lối giải: Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức A2 + m , A2 - m , A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối b)Ví dụ: ví dụ 1: Chứng tỏ x2+x+1 > ∀ x Ta viết : x2+x+1 = x2+2 x+ + 3 = (x+ )2 + ≥ >0 ∀ x 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y ) Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y 59 y - 3y) + 2005 -16 4 59 36 = (x+ y+4)2+ ( y2 - y+ )+19892 59 3481 59 117342 117342 59 = (x+ y+4)2+ (y- )2+ ≥ 59 59 59 59 Vì (x+ y+4)2≥ , (y- )2 ≥ 0.Dấu " =" xảy 59 239    x = − 59  x + y + = 117342 ⇔ ⇔  Vậy A(x,y) đạt GTNN 59 y − = y = 59 59   = (x2+ y2+16+xy+8x+4y) + ( Phần B ta làm cách tách tương tự Dạng 6: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán chứng minh đẳng thức - Loại toán đường lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế có ta phải biến đổi Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 39 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán toán rút gọn biểu thức Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : 5x + 5 = x + 8x + x + Giải: Biến đổi VT ta có : VT = 5( x + 1) 5x + 5 = = =VP x + x + ( x + 1)( x + 7) x + Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau x3 + −2−x = x − (1 − x)( x − x + 4) Giải: x +8 ( x + 2)( x − x + 4) x + Biến đổi VP ta có : VP = = = (1 − x)( x − x + 4) (1 − x)( x − x + 4) − x − − x − ( x + 2) x + Biến đổi VT ta có : VT = = = x −1 x −1 1− x VT =VP Vậy đẳng thức chứng minh *Với học sinh em thích thú với dạng tập em cho dạng toán cho sẵn kết Dạng 7: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên - Để giải toán đường lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản ( Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ước tử thức Từ ta tìm giá trị biến Ví dụ: Cho P = 5x + x + 8x + Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên Giải: 5( x + 1) 5x + 5 = = x + x + ( x + 1)( x + 7) x + P đạt giá trị nguyên ⇔ x+7 ước ( ± 1; ± 5) Do x+7 =-1 ⇒ x=-8 x+7 = ⇒ x=-6 x+7 =-5 ⇒ x=-12 x+7 = ⇒ x=-2 Ta có: P= Vậy biến số nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyên  Biện pháp *Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: *Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, *Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần: Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 40 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT - Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) - Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) - Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán  Lưu ý: Kinh nghiệm giải toán phân tích đa thức thành nhân tử * Trong toán phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức  Chý ý: - Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền - Phương pháp nhóm sử dụng liên tiếp hai bước liền - Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá toán xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau, cho trường loại hình Lợi ích kinh tế - xã hội - Trong trình thực thử nghiệm đề tài, thấy hiệu bước đầu trình giảng dạy: em đa phần hứng thú học tập, biết suy nghĩ phân tích tìm tòi lời giải, trình bày cách cẩn thận sai sót nhỏ Từ tạo điều kiện cho giáo viên thuận lợi công tác quản lý giáo dục học sinh, có thời gian tìm hiểu việc áp dụng vào trình giảng dạy - Bước đầu em hình thành kĩ giải toán nói chung ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng Với phương pháp Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 41 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT mà em áp dụng đề tài tạo cho em tự tin sáng tạo giải toán - Sau dạy học theo hướng phát triển đề tài thấy chất lượng học tập học sinh có tiến triển trước, học sinh có ý thức làm việc cẩn thận, có tinh thần đoàn kết giúp đỡ học tập - Qua đề tài, giúp học sinh thấy quan trọng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh hiểu việc tiếp thu kiến thức học giáo dục nhà trường làm điều có ích cho xã hội, có ý thức vận động gia đình tham gia giữ gìn vệ sinh chung xã hội, tích cực tham gia buổi lao động công ích vừa sức học sinh nhằm tạo môi trường lành đem lại sức khỏe tốt cho người Từ giúp học sinh hiểu việc giúp đỡ người khác niềm vui, hạnh phúc thân nguồn động viên tích cực đem lại hạnh phúc thực việc làm có ích cho xã hội C KẾT LUẬN I Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp Điều kiện để thực tốt đề tài Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 42 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT - Có lãnh đạo, đạo cụ thể sát quan tâm mức Đảng quyền xã, ban ngành đoàn thể nhân dân địa phương - Có đủ sở vật chất, trang bị tối thiểu phục vụ cho dạy học - Tăng cường quản lý, giáo dục học sinh, cải tiến phương pháp giảng dạy, trọng nâng cao công tác đoàn đội nhà trường Xây dựng tốt mối quan hệ giáo viên học sinh - Xây dựng chế hợp lý công tác thi đua khen thưởng động viên khuyến khích học sinh giỏi Quan tâm giúp đỡ học sinh có hoàn cảnh khó khăn - Đội ngũ giáo viên đủ số lượng, đồng chuyên môn, có tinh thần nhiệt tình trách nhiệm, có chuyên môn vững vàng hết lòng học sinh thân yêu - Giáo viên chuyên trách phải nhiệt tình, tích cực có tâm huyết với công việc Cần có tính cẩn thận, tỉ mỉ công việc, đặc biệt việc cập nhật, thống kê số liệu - Giáo viên chuyên trách phải nắm rõ đầy đủ, khoa học tiến trình thực hồ sơ sổ sách phương pháp để thống kê số liệu kết học tập học sinh cách xác - Tích cực tham mưu cho nhà trường, Ban đạo, phối kết hợp với ban ngành đoàn thể thực tốt vận động “Ngày toàn dân đưa trẻ đến trường”, trì sỉ số lớp quy nhiều cách mở nhiều lớp phổ cập THCS để nâng cao trình độ dân trí địa phương - Giáo viên phải giúp học sinh khai mở tri thức người thầy thực thụ Học sinh có thái độ động học tập đắn em trả lời câu hỏi: Học để làm gì? Giáo viên gắn bó với nghề không nhu cầu đồng lương mà nhu cầu giao tiếp, nhu cầu học tập nhu cầu tự khẳng định mình; - Giáo viên chủ nhiệm người thay Hiệu trưởng quản lý toàn diện tập thể học sinh lớp học Người hiệu trưởng quản lý, nắm diễn biến trình phát triển nhân cách học sinh trường giúp GVBM nắm tình hình học tập đối tượng học sinh nhằm đưa cách truyền đạt kiến thức phù hợp với học sinh - Tổ chuyên môn thực vai trò giao tiếp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy giúp GVBM hoàn thành tốt nhiệm vụ - Gia đình nguồn động viên tinh thần quý giá, nơi kiểm tra, quản lý sát nơi cung cấp phương tiện học tập cho em Do đó, không CBGV nhà giáo dục mà phụ huynh, nhân viên trường phải nhà giáo dục Khi nhà giáo dục có trách nhiệm tương quan lẫn trách nhiệm có tác động tốt đến HS Người lớn văn hóa (nhất bậc cha mẹ học sinh) ảnh hưởng trực tiếp đến trẻ nhỏ cháu Người lãnh đạo tìm chế quản lý để phát huy khả cá nhân, phận Kinh nghiệm áp dụng sử dụng tốt giải pháp * Đối với giáo viên: - Phải có tâm huyết với nghề, luôn nghiên cứu SGK, SGV, tài liệu tham khảo đồ dùng trực quan có liên quan đế nội dung học - Luôn học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, nâng cao nghiệp vụ chuyên môn - Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 43 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán - Đầu tư nhiều vào việc soạn theo tinh thần dạy học thông qua tổ chức hoạt động học tập cho học sinh Giáo viên phải thể rõ ràng mục tiêu ,nội dung học, hệ thống câu hỏi lôgic, phân chia thời gian hợp lý - Đẩy mạnh việc đổi hoạt động dạy học lớp, giáo viên người đạo, hướng dẫn, học sinh người chủ động, sáng tạo chiếm lĩnh kiến thức - Chú trọng việc cố phát triển học sinh kỷ năng: Kỹ sử dụng đồ, biểu đồ, lược đồ, kỹ phân tích bảng số liệu thống kê, kỹ xác lập mối quan hệ nhân - Vận dụng linh hoạt PPDH tích cực vào tiết dạy Hình thành phát triển kỹ làm việc với thiết bị học tập môn Toán học sinh - Tạo niềm tin, hứng thú, ham mê học tập môn Toán học sinh - Có thái độ cởi mở, thân thiện học sinh, biết khen thưởng động viên kịp thời, phê bình cách tế nhị để giúp học sinh tự tin tự nhiên hoạt động học tập, hạn chế tính tự ti, lười hoạt động học sinh - Thường xuyên kiểm tra việc học bài, làm tập, chuẩn bị học sinh, quan tâm nhiều đến học sinh yếu có biện pháp khắc phục kịp thời * Đối với học sinh yếu kém: Cần có trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK * Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức * Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em *Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp với phương pháp khác, dạng toán khác tạo lên lôgíc chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức *Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 44 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT tài không tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao II Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp - Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao) - Đề tài nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt - Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường làm sở để bồi dưỡng thi cấp III Đề xuất, Kiến nghị - Muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức mình, phát huy tính độc lập sáng tạo học tập – người thầy cần dạy cho em cách nghiên cứu, tìm tòi kiến thức Chúng ta cần sớm hướng dẫn em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề” Có sau em hiểu sâu sắc nội dung học, lưu giữ kiến thức mãi Và quan trọng giúp em biết gặp dạng toán phải dùng phương pháp đề giải, gặp dạng toán phải dùng phương pháp để giải - Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình môn toán số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu tiết (5 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Với lượng thời gian đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn Vì xin kiến nghị với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy - Do thời gian có hạn, chuyên đề viết chương trình đại số 8, nên không mở rộng nhiều không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý đồng chí, đồng nghiệp bổ sung phần thiếu sót chưa hoàn chỉnh chuyên đề Để chuyên đề viết hoàn thiện việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu Xin chân thành cảm ơn ! Mỹ Cát, ngày 03 tháng năm 2012 Người thực Phạm Đình Trưởng Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 45 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NHẬN XÉT CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 46 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT MỤC LỤC Nội Dung Trang A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề: Thực trạng vấn đề a Thực trạng chung b Thực trạng cụ thể Ý nghĩa tác dụng giải pháp Phạm vi nghiên cứu đề tài II Phương pháp tiến hành: Cơ sở lý luận thực tiễn Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp 1 8 8 10 B.NỘI DUNG I Mục tiêu: II Mô tả giải pháp đề tài: Thuyết minh tính Công tác giáo dục học sinh Giải pháp đề tài Khả áp dụng a Thời gian áp dụng b Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung Phương pháp 2: Dùng đẳng thức Phương pháp 3: Nhóm hạng tử Phương pháp 4: Phối hợp phương pháp Phương pháp 5: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp 6: Thêm bớt hạng tử Phương pháp 7: Đặt ẩn phụ Phương pháp 8: Tìm nghiệm đa thức Phương pháp 9: Hệ số bất định Phương pháp 10: Xét giá trị riêng *Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Dạng 2: Chứng minh chia hết Dạng 3: Áp dụng giải phương trình, bất phương trình Dạng 4: Chứng minh biểu thức dương, âm, không âm Dạng 5: Áp dụng tìm GTLN, GTNN Dạng 6: Áp dụng chứng minh đẳng thức Dạng 7: Áp dụng tìm giá trị nguyên Lợi ích kinh tế - xã hội 12 12 13 13 14 15 15 16 16 18 19 22 25 27 29 30 32 33 34 34 36 37 38 39 39 40 C KẾT LUẬN I Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng giải pháp: Điều kiện để thực tốt đề tài Kinh nghiệm áp dụng sử dụng tốt giải pháp II Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp III Đề xuất, kiến nghị Giáo viên: Phạm Đình Trưởng 42 42 42 44 44 Trang 47 www.huongdanvn.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN Giáo viên: Phạm Đình Trưởng TRƯỜNG THCS MỸ CÁT Trang 48