Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.
Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Phần thứ I/ Đặt vấn đề Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực t toán học Phát huy trí lực học sinh điều vô quan trọng, sở vững để em học tập toán học đợc tốt Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề dặc biệt quan tâm Vì đợc sử dụng nhiều giải toán ®a thøc, rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm phơng pháp thích hợp cho lời giải toán đợc ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thc vµo viƯc tiÕp thu vµ vËn dơng kiÕn thøc học sinh Khi lựa chọn phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức đà học giải toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung, thủ thuật toán học để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức Để giúp đỡ em học sinh tiếp cận khai thác lời giải toán phân tích đa thức thành nhân tử toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trình giải, nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt môn toán đồng thời phát huy đợc trí tuệ học sinh Qua trình giảng dạy môn Toán mạnh dạn đa vài kinh nghiệm giải pháp thực việc Hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp em nắm vững số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, số tập nâng cao, số tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc công cụ đắc lực giải số loại toán Và qua ®ã cịng nh»m ph¸t huy trÝ lùc cđa häc sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học II/ Mục tiêu 1/ Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm đợc phơng pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải toán loại nhằm phát tiển lực t duy, lực sáng tạo học sinh 2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo ngời nghiên cứu khoa học c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức phân tích đa thức học sinh thấy đợc tác dụng nhiều kiến thức Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử giải số dạng tập, đồng thời qua phát triển trí tuệ học sinh, kĩ vận dụng kiến thức đà học kiến thức tiếp theo, t logic toán học, tính sáng tạo III Phạm vi, giới hạn Một số phơng pháp, số toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử môn toán lớp Phần thứ hai A Các phơng pháp I Phơng pháp đặt nhân tử chung Khi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thờng làm nh sau: - Tìm nhân tử chung - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, nhân tử khác - Viết nhân t chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng Khi phân tích phơng pháp ta dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) II Phơng pháp dùng đẳng thức áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức : Bình phơng tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2 Bình phơng mét hiÖu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2 Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) LËp ph¬ng cđa mét tæng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3 LËp ph¬ng cđa mét hiƯu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3 Tæng hai lËp ph¬ng : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 ) HiƯu hai lËp ph¬ng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13 Gi¶i 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - ).(4x2y4 + 2xy2 + 1) VÝ dô 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Giải 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 y + y2 = ( 5x2 + y)2 III phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Khi sử dụng phơng pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử kết hợp hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng dẳng thức xuất nhân tử chung nhóm dùng phơng phap đà biết để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tư : 4x2+8xy - 3x - 6y Gi¶i 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) VÝ dô 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2 Gi¶i x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z) IV Phối hợp nhiều phơng pháp Thờng đợc tiến hành theo trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức lại đơn giản dễ nhận xét + Nhóm hạng tử + Dùng đẳng thức Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz Gi¶i x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z) VÝ dô 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy Gi¶i 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) = 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)] NguyÔn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử = 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) B Các phơng pháp đặc biệt I phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Trong số trờng hợp phơng pháp đà học giải đợc mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng đợc phơng pháp đà biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Giải Cách : x2- 6x + = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4) 4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(xC¸ch : x2- 6x + = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4) Cã nhiỊu c¸ch tách hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong có cách thông dụng : Cách : Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 Giải 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Hc: =9x2-6x+1 – =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Nh vËy tam thøc bËc hai :a x2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thùc hµnh ta làm nh sau : - Tìm tích a.c - Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 + TÝch a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số b»ng 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chän hai thõa sè cã tæng 6, -6 12 Từ ta ph©n tÝch 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) VÝ dụ : Khi phân tích đa thức x x -6 thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích -6 thành tÝch hai thõa sè kh¸c dÊu cho thõa sè âm có giá trị tuyệt đối lớn b=-1 < (®Ĩ tỉng hai thõa sè b»ng -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chän hai thõa sè cã tổng -1, : -3 Từ ®ã ta ph©n tÝch x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chó ý : Trong trêng hỵp tam thøc bËc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, không bình phơng số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách hai II Phơng pháp thêm bớt hạng tử Khi đa thức đà cho mà hạng tử ®a thøc ®ã kh«ng chøa thõa sè chung, kh«ng cã dạng đẳng thức nh nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng đợc phơng pháp phân tích đà biết Ví dụ : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Ta thÊy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ®ã ta thêm bớt vào đa thức đà cho h¹ng tư 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ®ã ta cã thĨ thêm bớt vào đa thức đà cho hạng tử 16a2b2 Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tö 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) III Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy đặt x2 + x = y có đa thức đơn giản y2 + 4y -12 lµ tam thøc bËc hai cđa biÕn y Ta cã : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2) =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ] =(x2 + x+6)(x+2)(x-1) *Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc phạm vi số hữu tỉ (vì tÝch a.c = = 1.6 =2.3 kh«ng cã hai thừa số có tổng - cách phần I) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- thµnh nhân tử Giải Đặt (x2+ 3x + 1) = y Ta cã : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- =y(y + ) - = y2 + y - = y2 + 3y - 2y - = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + +3)( x2+ 3x + -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1) IV Ph¬ng pháp tìm nghiệm đa thức ( phơng pháp hạ bậc đa thức ) Tổng quát : cho đa thức f(x); a lµ nghiƯm cđa f(x) nÕu f(a) = nh vËy nÕu f(x) chøa nh©n tư x - a a phải nghiệm đa thức Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử x-1 Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức chứa nhân tư x + VÝ dơ : Ph©n tÝch đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân Nếu đa thức có nghiệm a nhân tử lại cã d¹ng x2 + bx +c Suy ra: a.c = -4, tức a phải ớc -4 ( ± 1; ± 2; ± 4) KiÓm tra thÊy nghiện đa thức Nh đa thức chứa nhân tử x Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1) =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 ë vÝ dụ ta nhận thấy tổng hệ số đa thức 1+3-4 = nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử Các ớc -3 lµ : ± ; ± mµ ± 1; không nghiệm đa thức Nh đa thức nghiệm nguyên Nhng đa thức có thĨ cã nghiƯm h÷u tØ p *Chó ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q với p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao Nh đa thức nghiệm hữu tØ nÕu cã chØ cã thĨ lµ : -1 ; KiĨm tra thÊy x= ;-3;2 lµ nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tư x- hay 2x-1 Do ®ã ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xt hiƯn nh©n tư chung 2x-1 Ta cã: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3) V Ph¬ng pháp hệ số bất định Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Đồng đa thức với đa thức đà cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc: 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Suy : Nguyễn Thị Hải Lý Bình a.c = ; ad+bc =-5 ; am+bd = ; b.m = -3 THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Có thể giả thiết a>0 (vì a b Xét b=-1 m=3 => d=-2 thoả mÃn điều kiƯn trªn => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3 Vậy 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3) VI Phơng pháp xét giá trị riêng Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta cã NÕu ta thay a bëi b th× P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nªn p chia hÕt cho a-b vai trò a,b,c nh đa thức nên p chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a) Trong phÐp chia ®ã, ®a thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp biến số nên thơng số k ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức cho ta biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2) = -2k => k=-1 VËy P = (a-b)(b-c)(c-a) Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bëi -b th× Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 VËy Q chia hÕt cho (a+b) vai trò a,b,c nh đa thøc nªn Q chia hÕt cho (a+b)(b+c)(c+a) Trong phÐp chia ®ã, ®a thøc bÞ chia Q cã bËc ®èi với tập hợp biến đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp biến số nên thơng số k (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Cho biến nhận giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta cã : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) Ngun ThÞ Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử 18 = k => k=3 VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chó ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trò biến nh đa thức ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh C, Phát huy trí lực học sinh qua việc Phân tích đathức thành nhân tử I Bài toán chøng minh sù chia hÕt VÝ dô : Chøng minh r»ng : x3 - x chia hÕt cho3 víi số nguyên x Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1) Vì x nguyên nên x+1,x-1 số nguyên Do đó: P = (x+1) x (x-1) tích số nguyên liên tiÕp sÏ chia hÕt cho VËy P 3 ∀ x ∈ Z VÝ dô : Chøng minh r»ng : x5 - 5x3 + 4x chia hÕt cho 120 với số nguyên x Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x = x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4) =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) M Lµ tÝch cđa số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5 Vì M M nên M ( BCNN 2và 4) Vậy M 8.3.5 =120 ( 3;8;5nguyên tố đôi ) Ví dụ : Chøng minh ®a thøc x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải toán đà phân tích đa thức bị chia thành nhân tử (sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) ®Ĩ biÕn ®a thøc chia thµnh tÝch sau ®ã tiÕp tơc sư dơng c¸c kiÕn thøc vỊ tÝnh chia hÕt suy điều phải chứng minh Khi chứng minh ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc kh¸c ta cã nhiỊu c¸ch chøng minh ë vÝ dơ ta cã thĨ chøng minh b»ng c¸ch thùc hiƯn phÐp chia, số d dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d ) Hoặc chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Nhng cách làm dài, đơn điệu phức tạp so với cách làm (áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử) Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi ®a thøc thµnh tÝch ®ã biĨu thøc ®· cho chia hết cho nhân tử cho tích đà làm cho phép giải toán nhanh lời giải thông minh II Bài toán chứng minh biểu thức dơng, âm, không âm Bài toán kích thích t học sinh phải tìm đờng lối giải giải phải nắm đợc kiến thức: - Biểu thức dơng (lớn 0) tư thøc vµ mÉu thøc cïng dÊu - BiĨu thức không âm (lớn 0) biểu thức cho luỹ thừa bậc chẵn biểu thức khác - Bên cạnh cần ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dơng âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu dấu nguyªn VÝ dơ : Cho biĨu thøc P = 4x - 12x + Chøng minh r»ng P không âm với x Giải : Ta có P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 ≥ VËy P ≥ víi ∀ x Hay biểu thức P không âm với x VÝ dơ : Chøng minh r»ng biĨu thøc M = x4 − x3 − x + x + x + 3x + x + không âm với x Giải Ta có : M = = 3 x4 − x3 − x + = x ( x − 1) −2 ( x − 1) = ( x3− 1)( x2 − 1) x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + x + x + 3x + x + ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) = ( x + 2)( x + x + 1) ( x + 2) V× x2 +x +1 = x2 +x + 3 + =(x+ )2 + >0 ∀ x 4 Mặt khác (x-1)2 x vµ x2 +2 > ∀ x VËy M ≥ x Hay M không âm x Với toán em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em đợc rèn luyện phát triển với kỹ giải toán khác III Bài toán rút gọn và tính số trị biểu thức Đây toán áp dụng gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đờng lối giải vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau rút gọn thành nhân tử chung rèn kỹ phân tích Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà 10 Bình Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đa thức thành nhân tử bên cạnh ®ã sư dơng mét sè tÝnh chÊt to¸n häc kh¸c để giải Sự kết hợp có tác dụng rèn trÝ t cho häc sinh gióp c¸c em thÊy sù liên hệ chặt chẽ kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh t logickhoa häc ë c¸c em VÝ dơ : Cho P = 5x + x + 8x + a/ Rót gän P Gi¶i P = 5( x − 1) 5( x − 1) 5x + 5 = = = x + x + ( x + x ) + (7 x + 7) x( x + 1) + 7( x + 1) x + ( víi x ≠ -1; x ≠ -7) b/ TÝnh giá trị P với x=2001 Giải P= 5 = = x + 2001 + 2008 IV Bài toán chứng minh đẳng thức Loại toán đờng lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế nhng có ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán to¸n rót gän biĨu thøc VÝ dơ 1: Chøng minh đẳng thức sau : Giải Biến đổi VT ta có : VT = 5x + 5 = x + 8x + x + 5( x + 1) 5x + 5 = = =VP x + x + ( x + 1)( x + 7) x + Vậy đẳng thức đợc chứng minh x3 + −2−x VÝ dô 2: Chøng minh đẳng thức sau = x (1 x)( x − x + 4) Gi¶i x3 + ( x + 2)( x − x + 4) x + BiÕn ®ỉi VP ta cã : VP = = = (1 − x)( x − x + 4) (1 − x)( x − x + 4) − x BiÕn ®æi VT ta cã : VT = − − x − ( x + 2) x + = = x −1 x −1 1− x VT =VP VËy đẳng thức đợc chứng minh Với học sinh em thích thú với dạng tập em cho dạng toán đà cho sẵn kết Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà 11 Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử V Bài toán tìm giá trị biến số để biểu thức có giá trị nguyên Để giải toán đờng lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản (Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản hơn) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ớc tử thức Từ ta tìm đợc giá trị biến Ví dụ : Cho P = Giải: 5x + x + 8x + Theo VD1 IV -3 ta có: P= Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên 5x + 5 = x + 8x + x + P đạt giá trị nguyên x+7 íc cđa ( ± 1; ± 5) Do ®ã x+7 =-1 ⇒ x=-8 x+7 = ⇒ x=-6 x+7 =-5 ⇒ x=-12 x+7 = ⇒ x=-2 VËy biến số nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyên phần thứ ba Kết luận Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chủ yếu chơng trình toán 8, muốn phát huy đợc trí lực học sinh ta cần sử dụng nhiều phơng pháp khác Trong trình giảng dạy, đà vận dụng phơng pháp để phát huy trí tuệ học sinh thông qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, thấy kết qu¶ häc sinh cã tiÕn bé râ rƯt, nhiỊu em đà say mê học toán Trên vài sáng kiến mà đà áp dụng năm học này, mong đóng góp đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Tuân Đạo, ngày 18 tháng 05 năm 2010 Ngời thực Nguyễn Thị Hải Lý Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà 12 Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà 13 Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thị Hải Lý Bình THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà 14 ... phơng pháp, số toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử môn toán lớp Phần thứ hai A Các phơng pháp I Phơng pháp đặt nhân tử chung Khi phân tích đa thức thành nhân. .. chøa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải toán đà phân tích đa thức bị chia thành nhân tử (sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành tích sau tiếp tục sử dụng kiến thức. .. Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đa thức thành nhân tử bên cạnh sử dụng số tính chất toán học khác để giải Sự kết hợp có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh