Trong chương trình toán cấp II hiện nay các thể loại rất đa dạng, phong phú nhưng không ít phức tạp, rắc rối mà học sinh học gặp nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Một bài toán có thể coi là công cụ của nhiều dạng bài toán khác đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử. Để giúp học sinh có được kiến thức cơ bản này, qua thực tế giảng dạy và tiếp xúc với học sinh từ lớp 8 đến lớp 12 tôi mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm Giúp học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử bởi một số lý do sau: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở của rất nhiều bài toán khác như: Biến đổi đồng nhất các biểu thức; Rút gọn biểu thức; Giải phương trinhg đưa về phương trình tích.... Để giải được bài tập dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết và vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích suy đoán. Học sinh phải tư duy và nắm chắc các kiến thức liên quan đã học, đồng thời phải có kỹ năng lựa chọn các phương pháp thích hợp trước một bài toán cụ thể. Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I MỞ ĐẦU - Đặt vấn đề: Trong thời đại ngày nay, ngành khoa học đặc biệt quan tâm, đó, tốn mơn khoa học trí tuệ, đỉnh cao, chìa khố mở cửa cho tất nghành khoa học khác, bốn môn khoa học công cụ nghành Giáo dục Trong chương trình tốn cấp II thể loại đa dạng, phong phú khơng phức tạp, rắc rối mà học sinh học gặp nhiều khó khăn q trình học tập nghiên cứu Một tốn coi cơng cụ nhiều dạng tốn khác là: Phân tích đa thức thành nhân tử Để giúp học sinh có kiến thức này, qua thực tế giảng dạy tiếp xúc với học sinh từ lớp đến lớp 12 tơi mạnh dạn trình bày số kinh nghiệm "Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử" số lý sau: - Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử sở nhiều toán khác như: Biến đổi đồng biểu thức; Rút gọn biểu thức; Giải phương trinhg đưa phương trình tích - Để giải tập dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức, từ rèn luyện kỹ phân tích suy đốn - Học sinh phải tư nắm kiến thức liên quan học, đồng thời phải có kỹ lựa chọn phương pháp thích hợp trước tốn cụ thể - Xây dựng cho học sinh thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển lực tư duy, sáng tạo học sinh Đó lý tơi chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử" –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG I - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN Định luật phân phối phép nhân với phép cộng quy tắc dấu để sử dụng phương pháp: Đặt nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích thành tích a 10x2y - 5x3 =5x2 2y - 5x2.x = 5x2 (2y - x) b 3x2 (y - 2z) - 15x (2z - y) = = 3x [x (y - 2z) + (y - 2z)] = = (y - 2z) (3x2 + 5) Các đẳng thức đáng nhớ Các toán liên quan Định lý nghiệm đa thức * Nếu x0 nghiệm đa thức f(x) thì: f(x) = (x - x0) g(x) * Đặc biệt: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 f(x) = ax2 + bx + c = a (x- x1) (x - x2) * Nếu đa thức có tổng hện số chia hết cho: x - * Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chắn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho: x + Ví dụ: a f(x) = x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2) b f(x) = 2x2 + 5x + = (x + 1) (x+ 3/2) CHƯƠNG II - CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN I - Các phương pháp bản: Phương pháp đặt nhân tử chung: Trước hết hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử viết đa thức thành dạng tích nhân tử Vấn đề đặt biểu thức khơng thể phân –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử tích được, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thức phân tích được, biểu thức khơng phân tích được, sau ta sử dụng định luật phân phối quy tắc dấu để phân tích: Ví dụ 1: phân tích thành tích: A = 5a2 (b - 2c) - 15a (b - 2c)2 Ta biết: A = 5a (b - 2c) [a - (b - 2c)] = 5a (b - 2c) (a - 3a + 6c) Chú ý: Một biểu thức bậc phân tích Ví dụ 2: B = 2x (y - z) + (z - y) (x + y) Nhận xét: y - z = - (z - y) Từ đó: B = 2x (y - z) - (y - z) (x + y) = (y - z) [(2x - (x+ y)] = = (y - z) (x - y) Ví dụ 3: C = x3 - 2x2 + 2x = x (x2 - 2x + 2) * Biểu thức x2 - 2x + = (x - 1)2 + ≥ > ∀ x nghĩa đa thức x2 - 2x + khơng có nghiệm nên khơng thể phân tích (ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh x - 2x + khơng thể phân tích nữa) Phương pháp đẳng thức Ví dụ 4: Phân tích thành tích D = 4x2 + 12x + * Nhận xét: D khơng có nhân tử chung nên ta viết: D = (2x2 + (2x) + 32 Áp dụng: (b + a)2 = a2 + 2ab + b2 Với a = 2x; b = ta có: D = (2x)2 + (2x).3 + 32 = (2x + 3)2 Ví dụ 5: E = - 8x6y3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử ta viết = 12 = 13 = 1n (n Chú ý: Khi E = 13 - (2x2y)3 Áp dụng: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) E = (1 - 2x2y) (1 + 2x2y + 4x4y2) Hướng dẫn thực hiện: * Nếu đa thức nhân tử chung ta nhận định xem áp dụng đẳng thức F = - x4y2 - 8x2y - 16 Ví dụ 6: F = [(x2y)2 + 2.4x2y + 42] = - (x2y) + 4)2 * Trước tiên ta xét hạng tử bậc cao kết hợp với số hạng tự (nếu có) luỹ thừa bậc để nhận định dùng đẳng thức Chẳng hạn: D = 4x2 + 12x + Hạng tử cao nhất: 4x2 có dạng (2x)2 số hạng tự = 32 nên ta dùng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 E = - 8x6y3 Hạng tử bậc cao nhất: 8x 6y3 có dạng (2x2y)3 viết: = nên ta dùng đẳng thức: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Phương pháp nhóm hạng tử * Một đa thức không dùng phương pháp đặt nhân tử chung, không dùng phương pháp đẳng thức ta xét hạng tử, hạng tử có nhân tử chung đẳng thức ta nhóm lại với Ví dụ 7: G = xy - 5y + 2x - 10 Rõ ràng G không phân tích phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức Trong hạng tử xuất hiện: xy - 5y = y (x - 5) 2x - 10 = (x - 5) xy + 2x = x (y + 2) - 5y - 10 = - (y + 2) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử Cả hai hướng cho ta kết quả: G = (x - 5) ( y + 2) = (y + 2) (x - 5) Việc chia nhóm phải đạt mục đích sau xuất nhân tử chung nhóm H = x2 + 2x + - y2 Ví dụ 8: Trong hạng tử có: x2 + 2x = x (x + 2) - y2 = (1 + y) (1 - y) Giữa hai nhóm khơng có nhân tử chung ta nhận thấy: x2 + 2x + = (x + 1)2 Khi đó: H = (x + 1)2 - y2 hiệu bình phương nên H = (x + + y) (x + - y) I = 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 Ví dụ 9: Ta có: - 6yz - 9y2 = - 3y (2z + 3y) 81x2 - 9y2 = (9x + 3y) (9x - 3y) khơng có nhân tử chung Ta nhận thấy - (9y2 + 6yz + z2) = - (3y + z)2 nên I = 81x2 - (9y2 + 6yz + z2) = 81x2 - (3y + z) = (9x + 3y + z) (9x - 3y - z) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Khi phương pháp đặt nhân tử chung, đẳng thức kể nhóm hạng tử khơng có kết ta tách hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất nhân tử chung nhóm hạng tử đẳng thức Thơng thường ta tách hạng tử chứa đa số thừa số cịn lại để xuất nhóm có nhân tử chung tách hạng tử tự để xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ 10: K = x2 + 5x + Vì K có hạng tử nên việc nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung Ta tách: 5x = 3x + 2x Khi đó: K = x2 + 3x + 2x + –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử K = (x2 + 3x) + (2x +6) = x (x + 3) + (x + 3) = (x + 3) (x + 2) hoặc: K = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (x + 3) Ví dụ 11: L = x2 - x - L = x2 - 3x + 2x - = x (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x + 2) hoặc: L = x2 - x - - = (x2 - 4) - (x - 2) = (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x - - 1) = (x + 2) (x - 3) Phương pháp thêm bớt hạng tử Đa thức có dạng tổng quát bình phương ta thêm bớt hạng tử cho xuất bình phương tổng hay hiệu Ví dụ 12: M = x4 + Rõ ràng tổng bình phương khơng phải hiệu bình phương nên khơng thể sử dụng cơng thức hiệu bình phương Ta thấy: M = (x2)2 = 22 nên M = (x2)2 + 4x2 + 22 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Chú ý: x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x + 1)2 + x2 - 2x + = x2 - 2x + + = (x - 1)2 + Đều ≥ > ∀ x nên khơng tiếp tục phân tích Ví dụ 13: Giải phương trình x2 - 4(x2 - 2x + 1) - Cách 1: x2 - 4(x2 - 2x + 1) - = ⇔ (x2 - 1) - 4(x2 - 2x + 1) - = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử ⇔ (x - 1) [5 (x + 1) - (x - 1) ] = ⇔ (x - 1) (5x + - 4x + 4) = ⇔ (x - 1) (x + 9) = ⇔ x=1 x=-9 Ta áp dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích vế trái thành tích x2 - 4(x2 - 2x + 1) - = Cách 2: ⇔ x2 - 4x2 + 8x - - = ⇔ x2 + 8x - = ⇔ x2 + 9x - x - = ⇔ x2 (x + 9) - (x + 9) = ⇔ (x + 9) (x - 1) = ⇔ x=-9 x=1 CHƯƠNG III - CÁC BƯỚC GIẢI Qua thực tế giảng dạy nghiên cứu tốn phân tích đa thức thành nhân tử sơ ví dụ phần tơi mạnh dạn đưa trình tự bước giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử sau: Bước 1: - Nhận xét toán thấy tất hạng tử có nhân tử chung đặt nhân tử chung - Nếu tất hạng tử nhân tử chung kiểm tra phương pháp đẳng thức - Nếu không sử dụng phương pháp đẳng thức nhóm số hạng để xuất nhân tử chung đẳng thức - Nếu việc nhóm số hạng khơng xuất nhân tử chung đẳng thức ta sử dụng phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt hạng tử Bước 2: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử Tuỳ theo phần đa thức lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng phương pháp thực bước Một vấn đề học sinh lúng túng nhiều thời gian đólà: Khi kết thúc q trình phân tích Do kiến thức đa thức lớp dừng mức độ khái niệm bản, em chưa trang bị đa thức bất khả quy nên: + Q trình phân tích kết thúc phân tử nhị thức bậc nhất, biểu thức từ bậc hai trở lên chúng ln khác (hoặc lớn nhỏ ∀ x) Trên bước tiến hành giải toán: phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên áp dụng đa thức đơn giản, đặc biệt sử dụng phương pháp học lớp Cịn nói chung đa thức phức tạp trình bày tỉ mỉ phần dành cho học sinh giỏi Trong khuôn khổ đề tài này, muốn đưa vấn đề cụ thể, thiết đơn giản nhằm giúp em giải tốn "Phân tích đa thức thành nhân tử" áp dụng vào dạng toán khác cách linh hoạt, thực tế CHƯƠNG IV - CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 5x + Bài tốn 1: Cho A = ––––––––– x2 + 8x + Rút gọn P Tính giá trị P với x = 1999 Hướng dẫn giải: Để rút gọn P trước hết ta tìm tập xác định A Rõ ràng A xác định ⇔ x2 + 8x + ≠ có nghĩa ta phải phân tích x2 + 8x + thành tích: x2 + 8x + ≠ ⇔ x2 + x + 7x + ≠ ⇔ x (x +1) + 7(x + 1) ≠ ⇔ (x +1) (x + 7) ≠ ⇔ ⇔ x ≠ -1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử x≠ -7 5(x + 1) Khi A = ––––––––––– = ––––– (x + 1) (x + 7) x+7 Thay x = 1997 vào A ta có A = ––––– 2006 Từ tốn ta có tốn 1' sau: 5x + 5 Chứng minh A = ––––––––– = –––– x2 + 8x + x+7 (x ≠ - 1; x ≠ - 7) Bài tốn 2: Giải phương trình x3 + 8x2 + 17x + 10 = Hướng dẫn giải: Rõ ràng phương trình bậc ba đầy đủ mà học sinh khơng có lời giải tổng qt, đưa phương trình tích x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10 = x2 (x + 1) + 7x (x + 1) + 10 (x + 1) = = (x + 1) (x2 + 7x +10) = = (x + 1) (x2 + 2x + 5x + 10) = = (x + 1) [x (x + 2) + (x + 2)] = = (x + 1) (x + 2) (x +5) x3 + 8x2 + 17x + 10 = ⇔ (x + 1) (x + 2) (x +5) = x=-1 x = -2 x = -5 PHẦN III HIỆU QUẢ –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– SKKN: Giúp học sinh giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử Sau áp dụng bồi dưỡng em theo đề tài thấy có kết rõ rệt, năm học trước đa số em chưa giải toán phải sử dụng phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt hạng tử Trước em gặp nhiều khó khăn khơng có hứng thú giải loại tốn này, song sau học theo phương pháp trình bày em ham mê khơng phân tích đa thức thành nhân tử mà nghiên cứu, thực giải toán liên quan –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 10 SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN IV KẾT LUẬN Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử thực suất q trình học tập, liên quan kết hợp với phương pháp giải toán khác tạo nên lơgic chặt chẽ tốn học Với thao tác đơn giản, bản, giúp học sinh dễ dàng nhận biết hướng lời giải toán, rìu cho em có kĩ phân tích lơgic, phát huy trí tuệ em qua giải tập Đồng thời giúp em tiếp thu kiến thức cách có hệ thống sâu sắc, rèn luyện tính chun cần, xác, phân tích phán đốn tổng hợp, tạo hứng thú cho em giải tập Mặc dù kinh nghiệm thực tế thân chưa nhiều qua trao đổi đồng nghiệp có kinh nghiệm, việc tiếp xúc với tất em tơi cố gắng mạnh dạn trình bày kinh nghiệm ỏi khn khổ đề tài này, chắn có nhiều điều bất cập mong đóng góp, bảo cấp lãnh đạo đồng nghiệp để kinh nghiệm ỏi góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu xã hội Tôi xin chân thành cảm ơn ! Văn Nghĩa, ngày 10 tháng 05 năm 2008 NGƯỜI THỰC HIỆN Đinh Thị Thu Hiền –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 11 SKKN: Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 12 ... phân tích đa thức thành nhân tử sơ ví dụ phần tơi mạnh dạn đưa trình tự bước giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử sau: Bước 1: - Nhận xét toán thấy tất hạng tử có nhân tử chung đặt nhân tử. .. cứu, thực giải tốn liên quan –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 10 SKKN: Giúp học sinh giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN IV KẾT LUẬN Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử thực... Giúp học sinh giải tốn Phân tích đa thức thành nhân tử tích được, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thức phân tích được, biểu thức khơng phân tích được, sau ta sử dụng định luật phân