SKKN MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

lời mở đầu: Để nắm vững và vận dụng đợc các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy ng

a đặt vấn đề MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO PHÂN TÍCH ĐA

THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I lời mở đầu:

Để nắm vững và vận dụng đợc các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn lại không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng nh trong cuộc sống sau này Có nh vậy thì các em mới làm chủ đợc tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng đợc các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là ngời công dân tốt sống có kỷ luật, ngời lao động

có kỹ thuật nhìn nhận đợc đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng

Trong trờng phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em tính toán nhanh, t duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác nh: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phơng pháp toán học cũng cần cho các bạn … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì” (Phạm Văn Đồng)

Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển t duy do tính trừu tợng,

đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ” Để nắm đợc kiến thức và vận dụng đợc các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo

Đối với chơng trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chơng trình Đại số 8 Nó theo suốt quãng đờng học tập của các em Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán đợc nhanh hơn và chính xác Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý

Để học sinh nắm đợc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đòi hỏi học sinh phải thấy đợc cơ sở xây dựng nên bảy hằng đẳng thức Thấy đợc ứng dụng thực tế của

bảy hằng đẳng thức vào giải toán nh thế nào? Có nh vậy các em mới có động lực trong học tập

Để vận dụng đợc một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết t duy, suy luận hợp lôgíc từ

đó mà nó có tác dụng bồi dỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức

II THựC TRạNG vấn đề nghiên cứu:

Qua các tiết luyện tập cũng nh trong quá trình học và làm bài của các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia

Trong quá trình làm bài tập học sinh cha biết dự đoán, nhận dạng mà chủ yếu là giáo viên phải hớng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở dẫn dắt gần

nh làm sẵn

Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán còn chậm, cha linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa các hằng

đẳng thức với nhau

Trong bài kiểm tra 15 phút vừa qua cho thấy với một bài tập rút gọn

(x–2)(x+2) + (x2–5x+4) – 2x2 Khi làm bài nhiều em không biết vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng để viết (x–2)(x+2) = x2 – 22 mà các

em lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với đa thức vừa dài dòng và hay sai sót còn đối với đa thức x2–5x+4 thì các em lại phân tích để đa về dạng hiệu hai bình phơng Hay bài tính (x+2)(x2+1) thay vì các em phải thực hiện nhân đa thức với

đa thức thì các em lại ngộ nhận x2+1 là hằng đẳng thức Việc không tìm ra kết quả dẫn đến các em hoang mang, chán nản

Thự tế nh trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài làm còn thấp

Với thực trạng nh trên để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt các hằng

đẳng thức vào giải bài tập cần có các giải pháp nh sau

b giải quyết vấn đề

I

CáC GIảI PHáP thực hiện:

1 Đối t ợng nghiên cứu:

- Học sinh Lớp 8 diện đại trà

- Học sinh mũi nhọn môn Toán Lớp 8

2 Ph ơng pháp nghiên cứu :

-Phơng pháp vấn đáp gợi mở

-Phơng pháp cụ thể hoá, trìu tợng hoá

-Phơng pháp lập luận , suy diễn logic

-Phơng pháp phân tích , tổng hợp

3 Thời gian nghiên cứu:

- Từ tháng 9 / 2009 đến tháng 3 / 2011

4 Kết quả kiểm tra tr ớc khi áp dụng đề tài :

-Tổng số học sinh tham gia làm bài kiểm tra: 37 học sinh

-Kết quả điểm : Giỏi : 0 / 37 (= 0  )

Khá : 5 / 37 (= 13  )

Trung bình :19 / 37 (= 51  )

Yếu : 10/37 (= 28 )

Kém : 3/37 (= 8  )

I CáC biện PHáP thùc hiện:

– Việc đầu tiên để các em nắm vững đợc bảy hằng đẳng thức là giáo viên phải làm cho học sinh thấy đợc cơ sở để dẫn đến các hằng đẳng thức Các em thấy đợc sự tiện lợi của các hằng đẳng thức đó trong giải toán

– Đối với hai hằng đẳng thức bình phơng một tổng và bình phơng một hiệu nó đều có hạng tử giống nhau chỉ khác nhau về dấu của hạng tử thứ hai, nếu

là bình phơng một tổng thì tất cả các hạng tử đều mạng dấu cộng còn bình phơng một hiệu thì hạng tử thứ hai mang dấu trừ các hạng tử còn lại mang dấu cộng Nên sử dụng các dạng bài tập nh điền khuyết, trắc nghiệm đúng sai đề các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức

Ví dụ:

a/ Điền vào chỗ trống để đợc hằng đẳng thức đúng:

A2+… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì +B2= (… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì+B)2

– 2AB+B

… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì 2= (A +B)2

A2… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì 2AB+B2= (… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì– )2

b/ Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau

+ Bình phơng một tổng bằng tổng hai bình phơng

+ Bình phơng một hiệu bằng hiệu hai bình phơng

+ Tích (a+b)(a+b) là bình phơng một tổng

+ Tích (a+b)(a–b) là bình phơng một hiệu

+ Tích (a–b)(a–b) là bình phơng một hiệu

Trong khi giải bài tập, giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh nhận dạng khi nào thì có thể sử dụng hai hằng đẳng thức này, đó là các đa thức chỉ chứa ba hạng

tử hoặc dùng cách nhóm để trong một nhóm có ba hạng tử thì có thể sử dụng hằng đẳng thức này Khi đó phải xét xem có hạng tử nào có dạng A2, B2 hay không nếu có phải xác định đợc A2=?; B2=?, từ đó mới phân tích xem hạng tử còn lại có ở dạng 2AB hay không? Đối với hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng học sinh phải nắm vững dạng của nó, nếu ta có A2 mà có –B2 thì đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2–4xy+y2.Giáo viên phải h-ớng dẫn học sinh tìm A2=4x2=(2x)2; B2=y2 và sau đó các em phải phân tích

–4xy= –2.2x.y Từ đó các em mới vận dụng thì kết quả tìm đợc là đúng Chẳng hạn đa thức x2+2x+4 nhiều em sẽ ngộ nhận đó là hằng đẳng thức bình phơng một tổng vì A2=x2; B2=4=22 nhng ta thấy 2x không có dạng 2AB nên khi các em làm bài hay vấp phải sai lầm nh trên

– Có khi muốn vận dụng các em phải biết cách nhóm phù hợp

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x2–9y2–16+24y nhiều em sẽ nhóm hai hạng tử đầu để có hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng và hai hạng tử sau để đặt nhân tử chung Nhng nếu các em làm nh vậy thì không có kết quả Đối với bài toán này các em phải biết thay đổi vị trí và nhóm thích hợp nh sau:

4x2–9y2–16+24y=4x2–9y2+24y–16

=4x2–(9y2–24y+16)

=(2x)2–(3y–4)2

=(2x–3y+4)(2x+3y–4) Hay khi phân tích đa thức 2xy–x2–y2+16 thành nhân tử Đa số là các em lúng túng không biết nhóm nh thế nào cho phù hợp có em sẽ thực hiện nh sau:

2xy–x2–y2+16 = (2xy–x2)–(y2–16)

= x(2y–x)–(y+4)(y–4)

Đến bớc này thì các em không thể làm tiếp đợc nữa Đối với bài tập này ngoài việc nhóm các hạng tử, các em phải biết giao hoán các hạng tử và khi nhóm thì phải đặt dấu trừ đằng trớc dấu ngoặc thì mới xuất hiện dạng hằng đẳng thức

Do đó, đòi hỏi các em phải biết suy luận biến đổi :

2xy–x2–y2+16=16–(x2–2xy+y2)

Nếu các em làm đợc bớc này thì coi nh các em đã nắm và vận dụng đợc kiến thức

về hằng đẳng thức bình phơng một hiệu Tiếp theo bớc này thì học sinh phải nhận

ra dạng hằng đẳng thức tiếp theo 16–(x–y)2 là hằng đẳng thức hiệu hai bình

ph-ơng với A2=16 ị A=4; B2=(x–y)2 ị B=x–y Từ đó các em có thể phân tích tiếp : 16–(x–y)2 = 42–(x–y)2

=[4–(x–y)][4+(x–y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Đến đây mới là kết quả phân tích của bài toán

Để làm đợc điều này đối với học sinh khá giỏi thì cũng là một vấn đề đơn giản nhng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em không dễ gì nhìn ra đợc,

do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tơng tự để các em luyện tập,từ đó các em gặp phải các dạng tơng tự các em sẽ biết phân tích lập luận để tìm ra hớng giải quyết Một điều các em thờng vấp phải trong khi làm bài, các em thờng nhầm lẫn giữa bình phơng một hiệu và hiệu hai bình phơng, lập phơng một tổng (hiệu) với tổng (hiệu) hai lập phơng do đó khi hớng dẫn giáo viên phải cho học sinh nhắc lại

Ví dụ: Tính nhanh 1012

Nhiều em sẽ thực hiện nh sau: 1012=(100+1)2=1002+12 = 10000 +1 =10001

Khi sửa bài giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh thấy rõ là (100+1)2

1002+12

– Với hai hằng đẳng thức lập phơng một tổng và lập phơng một hiệu giáo viên cũng cần hớng dẫn cho các em trong những trờng hợp nào thì sử dụng chẳng hạn phân tích những hằng đẳng thức có bốn hạng tử ta có thể liên tởng đến một trong hai hằng đẳng thức này Nếu đa thức có tất cả bốn hạng tử mang dấu cộng thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức lập phơng một tổng còn nếu có cả dấu cộng và dấu trừ thì chỉ có thể rơi vào hằng đẳng thức lập phơng một hiệu Giữa hai hằng đẳng thức này giáo viên cũng cần hớng dẫn cho học sinh cách nhớ là các hạng tử giống nhau nhng đối với lập phơng một hiệu thì dấu cộng, trừ xen kẽ nhau

A B 3 A3 3A B 3AB2  2 B3

Do đó khi vận dụng phải xác định đâu là biểu thức A3, đâu là biểu thức B3 sau đó suy ra A và B từ đó mới phân tích xem có hạng tử 3A2B; 3AB2 hay không?

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 8x3+36x2+54x+27

Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm : A3 = 8x3 = (2x)3  A = 2x

B3 = 27 = 33  B = 3

36x2 = 3 (2x)2 3 = 3A2B

54x = 3 2x 32 = 3AB2

Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng nh vậy sẽ là hằng đẳng thức lập phơng một tổng

Hoặc phân tích đa thức –x3+9x2–27x+27 mặc dù đa thức có bốn hạng tử

và

bậc cao nhất của hạng tử là bậc ba nhng trong trờng hợp này ta ta thấy dấu của các hạng tử không trùng hợp với dấu của hằng đẳng thức nào cả vậy thì câu hỏi

đặt ra là ta làm nh thế nào để đa đợc về hằng đẳng thức lập phơng một hiệu, rõ ràng ở đây chỉ có thể đa về hằng đẳng thức lập phơng một hiệu vì có hạng tử mang dấu trừ Lúc này giáo viên hớng dẫn học sinh cách đa dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc và sau đó tìm A3=? để suy ra A; B3=? để suy ra B và tìm xem có hạng

tử –3A2B và 3AB2 hay kh”ng? Rồi mới yêu cầu học sinh trình bày lời giải Khi

đó lời giải cụ thể là: –x3+9x2–27x+27 = – (x3 – 9x2 + 27x – 27)

= – (x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33) = – (x–3)3

– Còn đối với hai hằng đẳng thức: Tổng hai lập phơng và hiệu hai lập

ph-ơng A 3 ± B 3 = (A B)(A ± 2 m AB B ) + 2 thì giáo viên cũng cần phải làm rõ để học sinh nhìn thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai đa thức này Để từ

đó khi gặp các bài tập các em sẽ vận dụng không bị nhầm lẫn

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 1

8x 8 +

các em phải xác định đợc A3=8x3; B3 1

8

=

từ đó các em mới tìm ra A = 2x; B 1

2

=

và vận dụng đợc hằng đẳng thức A3+B3

– Phân tích một đa thức thành nhân tử dùng hằng đẳng thức là một phơng pháp

đòi hỏi các em phải nắm chắc đợc các hằng đẳng thức

C KếT LUậN

I Kết quả :

Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề nh trên , trong khi truyền thụ cho học sinh tôi thấy học lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái , rõ ràng , có hệ thống

Kết quả cụ thể:

Với những kiến thức đã học và bài tập áp dụng đã làm , học sinh tự giác làm bài tập và tự giải đợc bài tập một cách tự tin Để kiểm nghiệm việc áp dụng đề tài tôi cho học sinh làm các bài kiểm tra theo định kỳ và làm thêm một số bài kiểm tra bất chợt Kết quả thu đợc rất khả quan :

Tổng số học sinh : 37 học sinh

Trong đó : Giỏi : 12/37 ( = 32  )

Khá : 15/37 ( = 41  )

Trung bình : 10/37 ( = 27  )

Yếu : Không

II Bài học kinh nghiệm:

Theo chủ quan của bản thân có thể những giải pháp trên các đồng nghiệp cũng đã sử dụng nhng tôi xin mạnh dạn viết lại để chúng ta cùng thảo luận và tìm

ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn Trong qua trình vận dụng rất mong

sự góp ý của các đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn /

Thanh Hoá, ngày 20 tháng 3 năm 2011

Ngời viết

Ngô Thị Thuỷ

Kớnh chào quý thầy cụ và cỏc bạn

Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp nhất Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã

có thiên hướng làm kinh doanh

Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh Tuy nhiên, có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp Nếu không phải môn học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu của thầy cô Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?

Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn Ngữ Văn vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền lương mỗi tháng thu về sẽ được bao nhiêu Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương

Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng tương đối nhiều Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm rất nhiều lĩnh vực khác Vậy

tại sao chúng ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình

4, 5 triệu mỗi tháng.

Điều này là có thể? Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó Tất nhiên mọi thứ đều có giá của nó Để quý thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút Vậy thực chất của việc này là việc gì và làm như thế nào? Quý thầy cô và các bạn hãy đọc bài viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc ngay thôi

Thầy cô chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn là

có Tuy nhiên trên internet hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín ( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao ) Nếu

là web nước ngoài thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những web trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng ta hãy nhận những gì tương xứng với công lao của chúng ta, đó là sự thật