Đề tài phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán THCS

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS PHẦN CHUNG 1 Lí do chọn đề tài 1.1 Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng 1.2 Cơ sở lý luận Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm 1.3 Cơ sở thực tiễn Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này 2 Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài - Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu 3 Giới hạn của đề tài Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trường: Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9 4 Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Dân tộc nội trú và Trường THCS Nguyễn Thái Học 5 Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát 1 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 6 Thời gian nghiên cứu Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 7 Tài liệu tham khảo Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9 - Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn) - “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH) NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1 Nội dung thực hiện 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy: a a a anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( n xn + n −1 xn – 1 + … + 0 ) ( với c ≠ 0, c ≠ 1 ) c c c b) Định nghĩa 2 Giả sử P(x) ∈ P [ x ] là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x) Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P 1.1.2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” b) Định lý 2 Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức ∆ < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với ∆ < 0” c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an ≠ 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a n nhưng p là ước của các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q 1.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử 1.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược) Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) 2 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6 Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 Phương pháp nhóm các hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng Sau đây là một số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) 3 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x 4 + x 2 + 1 Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + 1 – y2 Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xm + 4 + x m + 3 – x - 1 Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) 4 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác Các hằng đẳng thức thường dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 5 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) 6 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 – 28 Giải: Ta có : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4 Phương pháp thực hiện phép chia: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x) Sau đây là một số ví dụ cụ thể: Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2 Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau : -2 1 1 6 4 13 5 14 4 12 4 8 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : -2 1 1 4 2 5 2 4 2 7 4 0 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau : -2 1 1 2 0 2 1 2 0 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta được : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 1.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) 2 Thay: y = (x + x + 1) vào (*) ta được : A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 8 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS B = x12 – 3x6 + 1 Giải: B = x12 – 3x6 + 1 Đặt y = x6 (y ≥ 0 ) Đa thức đã cho trở thành : B = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + 1 – y = (y – 1)2 – y = (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) được : B = (x6 – 1 - x 6 )( y + 1 + x 6 ) = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2 Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2 A = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - 2 vào (*), được : A = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2) Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử 9 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải: Giả sử x ≠ 0 , ta viết đa thức dưới dạng : 1 1 A = x2((x2 + 2 ) + 6( x - ) + 7 ) x x 1 1 Đặt y = x thì x2 + 2 = y2 + 2 x x Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) 2 1 Thay y = x , ta được x 2 1   A =  x( x − ) + 3x x   2 2 = (x + 3x – 1) Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 Nhận xét : Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay : a a a A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an + n −1 +… + n1 1 + 0 − x x xn 1 Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập x trên Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta được : A = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 10 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS b = xy + yz + zx vào (*) ta được : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có : A + B + C = 0 Nên A+B=-C Lập phương hai vế : (A + B)3 = - C3 ↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 ↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) ↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 1.2.6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ Sau đây là một số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 11 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 8 : A = x2 – 6x + 5 Đặt f(x) = x2 – 6x + 5 Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c ≠ 0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau : Bước 1 : lấy tích a.c = t Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - 3 Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 – x2+ 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 + 3x2 – x2– 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) 12 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x 2 + 1 Giải: Cách 1 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 2 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 3 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 3 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 4 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) Cách 5 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) Cách 6 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) Cách 7 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 13 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : P = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81 Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5 = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 – x2 – x - 2 Giải: Ta có : A = x3 – x2 – x - 2 = x3 – 1 – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1 – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + x 2 – x + 2 Giải: Ta có : B = x3 + x2 – x + 2 = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 – 6x2 – x + 30 Giải: Ta có : C = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 14 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS 1.2.7 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp Sau đây là một số ví dụ : Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện : a + c = −16 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = 3  Xét bd = 3 với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = 1 Hệ điều kiện trở thành :  a + c = −6  ac = 8 a + 3c = −14  Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện : ad = 3 a 3   =  +bd = 22  = ae b 1     ag c 5  +cd =11  = ⇒   be d 1  =7  =  +ce = 37  = bg e 7    =10  =2 cg g   2 Vậy A = 3x + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 ) Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 – 8x + 63 Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng : B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 15 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS a 4 a + c = 0  =− ac + b + d = 0  = b 7   ⇔  Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:  c ad + bc = −8  =4 bd = 63  = d 9   4 2 2 Vậy : B = x – 8x + 63 = (x - 4x + 7)(x + 4x + 9) 1.2.8 Phương pháp xét giá trị riêng Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại Sau đây là một số ví dụ : Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0 Như vậy P chứa thừa số x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x – y) (y – z)(z – x) ≠ 0 Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Giải: Thay x = y thì P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0 Như vậy P chứa thừa số x – y Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là : P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0 Do đó A (a – b) 16 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Suy ra A (b – c) và A (c – a) Từ đó : A (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là : A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1 A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0 Do đó : P  (y – z) Suy ra P  (z – x) và P  (x – y) Từ đó : P  (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được : 2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2) - 6 = - 2k k=3 Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi Thay a = 0 vào M ta có : M = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0 Do đó M  a Suy ra M  b và M  c Từ đó : M  abc Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thương là hằng số k, nghĩa là : M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta được : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 Vậy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc 2 Kết quả Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính tại Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú Kết quả mà tôi đã thu được như sau: - Cấp Huyện: Có 11 học sinh tham dự Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải khuyến khích - Cấp Tỉnh: Có 9 học sinh tham dự Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải khuyến khích - Cấp Quốc gia: Có 3 học sinh tham dự Kết quả: 1 giải khuyến khích 3 Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 17 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiện việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện như sau: - Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một cách thành thạo Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh - Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại - Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra - Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng cần hết sức tránh cho học sinh những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bại khi tham dự những cuộc thi lớn Chính vì vậy, giáo viên cần luôn có những bài toán khó, những yêu cầu cao để các em thấy được quá trình học bồi dưỡng học sinh giỏi là một quá trình không thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bài toán khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình 4 Kết luận Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ Bởi vì các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán Để có được những học sinh giỏi, chúng ta cần phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6 Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự về bộ môn Toán Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân tôi tham gia việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất trọng tâm của chương trình toán Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này 5 Kiến nghị đề xuất - Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 vì thời gian một tuần 2 buổi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dưỡng - Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ NHÀ TRƯỜNG 18 Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS 19 ... 36, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Tốn THCS Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4... 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Tốn THCS B = x12 – 3x6 + Giải: B = x12 – 3x6 + Đặt y = x6 (y ≥ ) Đa thức cho trở thành : B =... tích đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức