SKKN Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho học sinh lớp 8

1 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp I)Tên đề tài: RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH - MƠN ĐẠI SỐ II) Đặt vấn đề: Tốn học môn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “ Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh - môn đại số ” Giới hạn nghiên cứu đề tài: - Nội dung nghiên cứu: Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử -Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8/3, 8/4 trường THCS Võ Thị Sáu, qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình SGK, SBT Toán hành - Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh III) Cơ sở lý luận : Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn quan trọng mơn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập môn tốt IV) Cơ sở thực tiễn : Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà V) Nội dung nghiên cứu: Những giải pháp đề tài * Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử b) Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp c) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu hai phương pháp) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử Các phương pháp thường gặp Củng cố kiến thức bản: Các phương pháp bản: 2.1) Phương pháp Đặt nhân tử chung: Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c)-SGK- tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e)-SGK- tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (y – x)2 tích –10(y – x)2 (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích  Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2.2) Phương pháp Dùng đẳng thức : Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y + x – y)(x + y – x – y) (thiếu dấu ngoặc) = (2x).0 = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) + (x - y)].[(x + y) - (x – y)] = (x + y + x - y)(x + y - x + y) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp = 2x.2y = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu  Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp 2.3) Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử: Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực a) Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a)-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0)(kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) b) Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) c) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU (đặt dấu sai) 10 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại * Vận dụng phát triển kỹ 2.4) Phối hợp phương pháp thông thường : Phương pháp chung Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét tốn cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 12 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z)  Khai thác toán: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) * Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = ⇔ x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 –3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6) * Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có khơng thể áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán ` Phát triển tư Giới thiệu hai phương pháp phân tích khác: (Nâng cao) 2.5) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác : Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức sau thành nhân tử: x +4x+3, với ba phương pháp biết toán , ta bắt đầu đặt câu hỏi : Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 13 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp 1) Các hạng tử đa thức có nhân tử chung hay khơng ? Câu trả lời thật đơn giản không, điều có nghĩa khơng thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung 2) Các hạng tử đa thức có tạo đẳng thức hay khơng ? trả lời khơng , điều có nghĩa khơng thể sử dụng phương pháp dùng đẳng thức 3) Có thể sử dụng phương pháp nhóm hạng tử hay khơng? Khơng; điều có nghĩa khơng thể sử dụng phương pháp nhóm hạng tử Như cần có thêm phương pháp khác để tạo nhân tử chung Ý tưởng rút từ việc đánh giá theo chiều ngược lại công việc: (x+ 1)(x+ 3) = x (x+3) + (x +3) = x2 +3x +x + = x2 +4x+3 ( Tách 4x = 3x+x ) Từ ta có tổng quát sơ sau: ” Cho đa thức : Ax2 + Bx +C Nếu khơng thể sử dụng phương pháp thử với ( A +B 1)và ( C +B2), B= B1 +B2 ( Phương pháp mở rộng thay vai trò B A C)” Từ ta thực phân tích đa thức theo cách: Cách 1: ( Sử dụng phép tách theo B): Ta có: x2 +4x+3 = x2 +x +3x +3 = ( x2 +x) + (3x+ 3) = x (x+1) +3 (x +1) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 2: ( Sử dụng phép tách theo A): Ta có: x2 +4x+3 = 4x2 – 3x2 +4x+3 = ( 4x2 +4x) - (3x2 - 3) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 14 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp = 4x(x+1) – 3(x2 -1) = 4x(x+1) – 3(x+1)(x -1) = ( x+1) (4x – 3x +3) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 3: ( Sử dụng phép tách theo C): Ta có: x2 +4x+3 = x2 +4x +4 -1= ( x2 -1) + (4x+ 4)= (x-1)(x +1)+ 4(x+1) = (x+ 1)(x-1+4) = (x+ 1)(x+ 3) Cách 4: ( Sử dụng phép tách tạo đẳng thức): Ta có: x +4x+3 = x2 +2.2x +22 -1=( x+2)2 – = (x+2-1)(x +2+1) = (x+ 1)(x+ 3) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất nhân tử chung (x +1) (cách 1) - Làm xuất nhân tử chung đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 2) - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (cách 3) - Tách tạo đẳng thức (cách ) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 15 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thừa số : n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 16 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) 2.6) Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp: Để đặt vấn đề, bắt đầu với việc khai triển đa thức : (x2 + 2x +2) (x2 - 2x +2) = (x2 + +2x) (x2 + -2x) = (x2+2)2 – 4x2 =x4 +4 +4x2 – 4x2= x4+4 (Thêm 4x2 bớt 4x2) Khi với yêu cầu ngược lại “Hãy phân tích đa thức x + thành nhân tử” cần thực theo chiều ngược lại bước có xuất hạng tử 4x2 - 4x2 Cách làm gọi phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử thích hợp Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 17 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 15: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + )  Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1, ….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 16: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x)  Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 18 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải mắc mứu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử * Biện pháp: Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét:  Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến)  Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp)  Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán  Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích tốn thành nhân tử  Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 19 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức  Chý ý: Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 20 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác VI) Kết nghiên cứu : Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thơng kê qua giai đoạn hai lớp 8/3, 8/4 năm học 2011 – 2012 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Thời gian TS Chưa áp dụng giải pháp 61 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 26 42,6% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lung tung b) Áp dụng giải pháp Thời gian TS Kết áp dụng giải pháp 61 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 49 80,3% * Nhận xét: - Học sinh nắm vững kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh q yếu, chưa thực tốt Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 21 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn  Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học tốn VII) Kết luận : Thơng qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau:  Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 22 Rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác tốn khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho trình tự nghiên cứu em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh, Trong trình thực đề tài hẳn không tránh khỏi hạn chế Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 23 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp thiếu sót định, mong góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn hảo VIII/ Đề nghị: Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi có số đề nghị sau: - Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác giảng dạy - Đề nghị hội phụ huynh học sinh quan tâm việc học tập em Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 24 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp X/ Tài liệu tham khảo: 1/ Vũ Hữu Bình- Trần Đình Châu-Ngô Hữu Dũng- Phạm Gia Đức- Nguyễn Duy Thuận : Toán –Tập – NXBGD- 2004 2/ Ts Lê Đức : Các dạng tốn điển hình 8- Tập 1- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội- 2010 3/ Lê văn Hồng-Phạm Đức Quang- Nguyễn Thế Thạch- Nguyễn Duy Thuận: Tài liệu BDTX cho giáo viên THCS Chu kì III ( 2004 - 2007) 4/ Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng Khanh: Tuyển tập tốn hay khó – NXB Đà Nẵng-2004 Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 25 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp IX/ MỤC LỤC: Trang I/ Tên đề tài: Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 26 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh-Môn Đại số II/ Đặt vấn đề : III/ Cơ sở lý luận: IV/ Cơ sở thực tiễn: V/ Nội dung nghiên cứu: 1/ Những giải phấp đề tài 2/ Các phương pháp thường gặp VI/ Kết nghiên cứu: 14 VII/ Kết luận: 15 VIII/ Đề nghị: 16 IX/ Tài liệu tham khảo: 17 Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU ... nghiệm phân tích tốn thành nhân tử  Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Hữu Long - THCS VÕ THỊ SÁU 19 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp -... THỊ SÁU 18 Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn Đại số cho họcsinh lớp Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải mắc mứu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử * Biện... SÁU Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số cho họcsinh lớp Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e)-SGK- tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử