Chuyen de 1 Phan tích da thuc thanh nhan tu

Chuyên đề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( a n n a n −1 n – a x + x + … + ) ( với c ≠ 0, c ≠ ) c c c b) Định nghĩa Giả sử P(x) ∈ P [ x ] đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trường P khơng thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trường hợp trái lại P(x) gọi khả quy phân tích P Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức ∆ < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích thành tích đa thức bậc bậc hai với ∆ < 0” c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an ≠ 0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ước a n p ước hệ số lại p2 ước số hạng tự a Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 3.Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết , cịn thực hành khó khăn nhiều , địi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 3.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 3.2 Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x + x4 + x2 + Giải: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x m + + xm + – x - Giải: Ta có : A = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a 2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 3.3 Phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 – 28 Giải: Ta có : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 3.4 Phương pháp thực phép chia: Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau lại phân tích tiếp g(x) Sau số ví dụ cụ thể: Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + có g(-2) = Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta có: h(-2) = Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia nhanh Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) sau : -2 13 14 12 4 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) sau : -2 4 2 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) sau : -2 2 1 Vậy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ước 36 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = Nên chia Q cho (x + 2), ta : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 3.5 Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta : A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 – 3x6 + Giải: B = x12 – 3x6 + Đặt y = x6 (y ≥ ) Đa thức cho trở thành : B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y = (y – - y )(y + + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) : B = (x6 – - x )( y + + x ) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) 10 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 - x2 + 3x + - Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + A = (y + )3 - (y + )2 + 3(y + ) + - = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - (y2 + 2 y + 2) + 3(y + ) + - = y3 - 3y – = y3 - y – 2y – = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - vào (*), : A = (x - + 1)2(x - - 2) Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải tốn ta giải tốn tổng qt sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) 11 Bằng cách biến đổi tương tự 36, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x ≠ , ta viết đa thức dạng : A = x2((x2 + 1 )+7) ) + 6( x x x Đặt y = x - 1 x2 + = y2 + x x Do : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x - , ta x   A =  x( x − ) + 3x x   = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích với x = Nhận xét : Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử A, hay : A = xn(a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + Sau đặt y = x + a n −1 a a +… + n1−1 + x x xn ta phân tích A thành nhân tử cách dễ dàng x tập Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thành : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta : 12 A = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có : A + B + C = Nên A+B=-C Lập phương hai vế : (A + B)3 = - C3 ↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 ↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) ↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 3.6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ phương pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đưa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + Giải: Ta giải toán số cách sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Đặt : 13 Cách : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c ≠ 0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : 14 Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) 15 Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x + x2 + Giải: Cách : A = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : A = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : A = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) 16 = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) Cách : F = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : P = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 17 P = 4x4 + 81 Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 – x2 – x - Giải: Ta có : A = x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + x2 – x + Giải: Ta có : B = x3 + x2 – x + = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 – 6x2 – x + 30 Giải: Ta có : C = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 3.7 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn địi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp 18 Sau số ví dụ : Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : a + c = −16 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd =  Xét bd = với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :  a + c = −6  ac = a + 3c = −14  Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : ad =   +bd = 22 ae   +cd =11 ag   be  =7  +ce = 37 bg   =10 cg  ⇒ a  =  = b   = c   d  =  =7 e   =2 g  Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 – 8x + 63 19 Giải: Ta biểu diễn B dạng : B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = ac + b + d =  Đồng hai đa thức ta hệ điều kiện:  ad + bc = −8 bd = 63  ⇔ a   b   c   d  =− =7 =4 = Vậy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 3.8 Phương pháp xét giá trị riêng Đây phương pháp khó, áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phương pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại Sau số ví dụ : Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y P = y2(y – z) + y2(z – y) = Như P chứa thừa số x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( ta nói đa thức P hốn vị vòng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Giải: Thay x = y P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Như P chứa thừa số x – y 20 Ta thấy đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) thương số k, nghĩa : P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, A khơng thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do A  (a – b) Suy A  (b – c) A  (c – a) Từ : A  (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thương số k, nghĩa : A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P không thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do : P  (y – z) Suy P  (z – x) P  (x – y) Từ : P  (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)được thương số k, nghĩa : 21 P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, M khơng thay đổi Thay a = vào M ta có : M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do M  a Suy M  b M  c Từ : M  abc Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc thương số k, nghĩa : M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 Vậy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc 3.9 Phương pháp thêm bớt hạng tử: Mục đích: Thêm, bớt hạng tử để nhóm với hạng tử có đa thức nhằm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức, đặc biệt xuất hiệu hai bình phương 1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) CÁC BÀI TỐN Bài 1: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử: 1, x + 2, x + 64 3, 64x + 4, 81x + 5, 4x + 81 6, 64x + y 7, x + y 8, x + x + 2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung CÁC BÀI TOÁN 22 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x + x + 2, x + x + 3, x + x + 4, x + x + 5, x8 + x + 6, x − x − 7, x5 + x − 8, x11 + x + Đáp án 1, x + x + x − x + 2, x + x + x − x + 3, x + x + x − x + 4, x − x + x + x + 5, x8 − x + x − x + x + x + 6, x − x + x − x − 7, x5 − x + x + x − x + x − x + x − 8, x11 − x + x + x + CÁC BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC Bài tốn rút gọn biểu thức a) Ví dụ: Cho A = ( 2− x 3− x 2−x − + ) x + x + x + 5x + a) Rút gọn A b) Tính giá trị A với x = 998 c) Tìm giá trị x để A > b) Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh Bài tốn giải phương trình: a) Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B = b) Ví dụ: +) Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = Giải : áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng 8(2x – 1)( x+ 2) = ⇒ x = 1/2 x = -2 23 +) Giải phương trình: 3x2 + 5x - = Giải: áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng ( 3x – 1)( x + 2) = ⇒ x = 1/3 x = -2 Bài tốn giải bất phương trình a) Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích ( A.B < 0) A.B > 0) hay bất phương trình thường b) Ví dụ: Giải bất phương trình x − >1 x−2 x−3 −2 >0 ( x − 2)( x − x- 2)(x- 3) < ⇒ < x< 3x3 – 10x – > ⇒ ( 3x + 2)( x – 4) > lập bảng xét dấu tích ⇒ x < - 2/3 hoạc x > 4 Bài toán chứng minh chia hết a) Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết b) Ví dụ: * Chứng minh ∀ x ∈ Z ta có biểu thức: P = ( 4x + 3) – 25 chia hết cho Phân tích P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hết cho * Chứng minh rằng: ∀ n ∈ Z biểu thức Vì - < ⇒( n n n3 + + số nguyên Biến đổi biểu thức dạng 2n + 3n + n Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết cho 2n + 3n2 + n3 = n( n+ 1)( n +2) tích số ngun liên tiếp có thừa số chia hết cho chia hết cho mà (2;3) = nên tích chia hết cho Vậy ∀n ∈ Z biểu thức n n n3 + + 24 số nguyên ... số Cho : x = 1; y = -1; z = ta : 12 .( -1) 2.(-2) + ( -1) 2.0.(0 + 1) + 02 .12 . (1 – 0) = k 2.( -1) .( -1) -2 = 2k k = -1 Vậy P = -1( x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 56: Phân tích đa thức... b, c nên phép chia M cho abc thương số k, nghĩa : M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta : 1. 12 + 1. 12 + 1. 12 + 1. 1 .1 = k .1. 1 .1 k=4 Vậy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b... 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1) (x + 1) 15 Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1) (x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1) (3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 +