Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Chuyên đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC TÁCH, THÊM BỚT,ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, QUY TAÉC HORNER... Phân tích đa thức thành nhân tử...[r]

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức và đa thức  Phân tích đa thức thành nhân tử các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung) - Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử  Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt cùng hạng tử - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số) - Duøng phöông phaùp heä baát ñònh - Tìm nghiệm đa thức - Quy taét HORNER (Hoùt - Nô) B MỘT SỐ BAØI TOÁN VAØ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: I PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG ( ĐẶT NTC, DÙNG HĐT, NHÓM HẠNG TỬ) : Bài : PT đa thức thành nhân tử: a/ (xy + 4)2– (2x + 2y)2 c/ 4a2b2– ( a2+b2 – 1)2 b/ ab( x2+y2) + xy (a2+b2) d/ (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC (TÁCH, THÊM BỚT,ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, QUY TAÉC HORNER ) 1/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ : Đa thức dạng P(x) =ax2+ bx + c Phöông phaùp: Nhaåm tìm soá m,n cho : m.n = a.c vaø m+ n = b Tách P(x)= ax2+ mx + nx+ c nhóm hạng tử Bài 2: PT đa thức thành nhân tử: a/ 2x2 + 3x – b/ 3x2 –7x +2 c/ x2 – 4xy + 3y2 d/ x2 + 3xy + 2y2 Bài 3: PT đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – Caùch 1: Taùch soá haïng -7x thaønh – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – = x3 – x – 6x – = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Caùch 2: Taùch soá haïng – = – 14 ,ta coù: X3 – 7x – = x3 + – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 2/ PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ : Bài : PT đa thức thành nhân tử: a/ x4 + b/ x4y4 + c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) Phöông phaùp giaûi: a/ x4 + b/ x4y4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 = x4y4 + +4x2y2– 4x2y2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2y2 + 2)2 –(2xy)2 = (x2 + 2x +2) (x2 – 2x +2) = (x2y2 + 2xy +2) (x2y2 – 2xy +2) c/ Cách 1: Trong hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn hạng tử thông qua hạng tử còn lại cách thêm bớt hạng tử: Chaúng haïn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a ) sau đó nhóm cặp có nhân tử chung là kết quả: c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = a2[– (a– b) – ( c – a )] + b2(c – a)+ c2(a – b) = - a2(a– b) – a2( c – a ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = c2(a – b) – a2(a– b) +b2(c – a)– a2( c – a ) = (a – b) ( c2 – a2) + (c – a)( b2– a2) = (a – b) (c – a)(c + a – a – b) =(a – b) (c – a)(c– b) Cách : Nhân hạng tử bất kì, biến đổi để xuất NTC với hạng tử còn lại a2(b – c ) + b2(c – a = a2b – a2c + b2c – b2 a + c2(a – b) = (a2b – b2 a) – (a2c – b2c) + c2(a – b) = ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c2(a – b) = (a – b)( ab – ca – cb +c2) = (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)] =(a – b) (b – c) (a – c) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm các số hạng làm xuất thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) ] = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz) Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN) a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) b/ x – y – x3(1 – y) + y3 ( – x) ( áp dụng cách bài trên ) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, không thể nhóm các số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt cùng hạng tử để có thể vận dụng các phương pháp phân tích đã biết a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Cách Biểu diễn hạng tử thông qua hạng tử còn lại Ta coù (y – z) = (y – x) + (x – z) neân (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)3 = 3(y – x)(x – z)(y– z) Cách 2: Nhóm hạng tử , biến đổi xuất NTC với hạng tử còn lại : Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = Khi đó theo câu a ta coù: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ)  Daïng : (Daïng truøng phöông) P(x) = ax4+ bx2+ c Phöông phaùp: Ñaët y = x2 ñöa veà daïng :P(y) = ay2+ by + c áp dụng phương pháp tách hạng tử Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ P(x) = x4 + 7x2 +6 b/ Q(x) = 2x4 + x2 – Giaûi : a/ Đặt y = x2 đó P(x) trở thành: b/ Đặt y = x2 đó Q(x)trở thành: P(y) = y2 + 7y + Q(y) = 2y2 + 5y – = y2 + 6y + y + = 2y2 + 7y – 2y – = y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7) Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi =(y+6)(y+1) Vaäy P(x) = (x2 +6)( x2 +1) = ( 2y + 7) (y 1) Vaäy P(x) = (x2 +7)( x2– 1) = (x2 +7)( x– 1)(x+1)  Dạng : Đa thức dạng P(x) = (ax2 + bx + c)(ax2 +bx + d)+ e Phương pháp : Đặt y = ax2 + bx + c y = ax2 +bx + d , biến đổi đưa daïng : a’y2 + b’y + c’ áp dụng phương pháp tách hạng tử : Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaûi: a) Ñaët x2 + x + = y ta coù x2 + x + =y +1 Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) 2 Do đó: (x + x + 1)(x + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Ñaët: x2 + xy + xz = m, ta coù 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Baøi 10: Dạng : Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Phöông phaùp : Ñaët bieán phuï y = (x + a)(x + b) coù theå y = (x + c)(x + d) y2 = x2 + (a + b) x Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = thì a + b = =c + d Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Do doù P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến đổi nhö treân Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi  Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Bài 11 : Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử Giaûi: Deã thaáy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaø a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) –24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10)  Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) dạng a’y2 + b’xy +c’ áp dụng tách hạng tử Bài 12: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử Giaûi: Ñaët y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doù , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2+ b’xy +c’ áp dụng tách hạng tử Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử Giaûi: Deã thaáy b = 1, d = 2, e =4 ñaët y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n cho m.n = - 6x2 vaø m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2) * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên  Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Caùch giaûi: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) dạng trùng phương mx4 + nx2 + p Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thành nhân tử Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1) BAØI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ 6x4 + 19x2 + 15 2/ (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16 4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 6/ (a+2)(a+3)(a2+a+6) + 4a2 7/ (x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 8/ (7 – x)4 + ( – x)4 – 9/ x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 10/ x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + IV PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giaûi: a) Keát quaû tìm phaûi coù daïng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, đó a, c là ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 đó b = - thoả mãn hệ trên Đó là số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ Như nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng đa thức này với đa thức đã cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc = Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi bd =1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = , c = Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC  Nếu đa thức P(x) có nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích hai thừa số là (x – a) và Q(x) P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a)  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng phép chia chính là Q(x)  Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Theá naøo laø nghieäm soá keùp? Giả sử P(x) có nghiệm là x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) laïi coù nghieäm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x) Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm là x = Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt là -1 và Vì P(-1) = vaø P(2) = Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương đúng cuûa pheùp chia laø: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) VI QUY TAÉT HOÙT – NÔ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh đa thức cho nhị thức bậc Bài toán: Giả sử chúng ta chia đa thức P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia nhị thức x - a Lop8.net Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn - Soá dö r laø moät haèng soá vì baä r < baäc (x – a) Ta coù: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) + r Caân baèng caùc heä soá, ta coù: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 Ta saép xeáp thaønh baûng sau: a a0 b0 = a a1 b1 = a1 +ab0 b3 = a3 + ab2 ………………………… bn – = an – + abn - r = an + abn -1 a2 b2 = a2 +ab1 ……… an - bn – = an -1 + abn - an r = an + abn -1 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử Giaûi: Ta coù P(1) = – + = Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xaùc ñònh Q1(x) baèng quy taét Hoùt – Nô 3 -4 -1 -1 -1 r = p(1) =0 Do đó Q1(x) = 3x3 – x2 – x – Nhaän xeùt raèng Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác định Q2(x) cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ: -1 -1 -1 2 Suy ra: Q2(x) = 3x + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1) Luyeän taäp theâm : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = x  x3  x  13x  Lop8.net