Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 tại trường THCS quang trung, TP thanh hóa

MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 2 2.1.Cơ sở lí luận SKKN………………………………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Một sớ phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Phương pháp cộng đại số 2.3.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích 2.3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Một số câu hệ phương trình khơng mẫu mực đề thi HSG toán tỉnh Thanh Hóa …………………………… 2.4 Hiệu SKKN đối với hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận 3.2 Kiến nghị 5 10 12 13 15 15 15 16 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Phương trình, hệ phương trình nội dung quan trọng bậc học phổ thông đặc biệt cấp THCS, tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác chương trình toán học, vật lí học, hoá học bậc học Trong chương trình toán bậc học phổ thơng, từ lớp học sinh được học hệ phương trình, bắt đầu hệ hai phương trình bậc hai ẩn Cùng với học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương hệ phương trình “Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số” Lớp lớp học sinh được học khá đầy đủ phương trình ẩn như: phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đới, phương trình bậc hai, phương trình vơ tỷ Thơng qua việc học các dạng phương trình học sinh được trang bị tương đối đầy đủ các phương pháp giải các phương trình đại sớ, điều đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình khơng phải hệ hai phương trình bậc hai ẩn Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng hệ, khơng có đường lới chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình khơng mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phương pháp biến đổi tương đương hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương phương trình, đặc biệt học sinh phải tinh ý phát đặc điểm riêng từng hệ từ có cách biến đổi hợp lí nhờ giải được hệ Trong nội dung chương trình toán lớp lớp đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức phương trình hệ phương trình đại sớ các phương pháp giải Nhưng việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực hầu không được đề cập tới sách giáo khoa, kể hệ thớng sách tham khảo có dành cho học sinh trung học sở Việc giải được các hệ phương trình khơng mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đới với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều đánh giá được trình độ kiến thức tư linh hoạt học sinh Chính vậy, nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa, thường xuất các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình khơng mẫu mực, với mục đích phân loại đới tượng học sinh Khơng Thanh Hóa mà nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội môn toán vòng 1, vòng xuất các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ phương trình khơng mẫu mực Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình khơng mẫu mực khơng có, giáo viên dạy gặp nhiều khó khăn lúng túng dạy đến chuyên đề Vì vậy, dạy đến nội dung giáo viên thường dạy lướt qua bằng sớ ví dụ minh hoạ, chưa làm rõ được đường lối chung để giải các hệ phương trình khơng mẫu mực Chính lí mang tính lí luận thực tiễn mà chọn “Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp trường THCS Quang Trung – Thành phố Thanh Hóa” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp cấp trung học sở Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ được kiến thức hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực - Đưa hệ thớng các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực có sắp xếp hợp lơgíc mặt tư kiến thức môn - Xây dựng được hệ thống các tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống tập minh hoạ phong phú cho từng phương pháp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực, điểm học sinh cần lưu ý tiến hành giải các hệ phương trình loại 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật biện chứng vật lịch sử - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Đưa hệ thớng các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực có sắp xếp hợp lơgíc mặt tư kiến thức môn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận kiến kinh nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa: (SGK – Toán Tập 2) (1) ax + by = c Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng:  a ' x + b ' y = c ' (2) a, b, c, a’, b’, c’ các số cho trước,trong đó: a '2 + b '2 ≠ a + b ≠ Nghiệm hệ phương trình cặp sớ ( x; y ) thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) (2) hệ Giải hệ phương trình tức tìm tất các nghiệm hệ Cách giải: Trong chương trình toán trung học sở để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: - Phương pháp nhờ sử dụng quy tắc thế; - Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số Để minh hoạ cho hai phương pháp ta xét ví dụ sau: x + y = Ví dụ: Giải hệ phương trình:  2 x − y = −3 Lời giải: Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế) x = − y x = 1− y  x = −1 x + y = ⇔ ⇔ ⇔  2 x − y = −3 y =1 2 ( − y ) − y = −3 5 y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số) Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + y = 2 x + y =  x = −1 ⇔ ⇔  2 x − y = −3 2 x − y = −3  y = Vậy hệ có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( −1;1) Hệ phương trình đối xứng loại Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi hệ phương trình đới xứng loại mỡi phương trình hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x y (nghĩa mỡi phương trình hệ khơng thay đổi ta đổi vai trò x y cho nhau) Tính chất: Nếu (x0; y0) nghiệm hệ (y0; x0) nghiệm hệ Cách giải thường dùng: Đặt S = x + y P = xy , với điều kiện S2 − 4P ≥ đưa hệ đã cho hệ đơn giản đã biết cách giải Ví dụ:  x + xy + y = Giải hệ phương trình:   x + xy + = Lời giải: Đặt: S = x + y P = xy , hệ đã cho có dạng:  S − P =  S + S − =  S = −3 ⇔ ⇔ Hoặc  S + P = P = − S P =   S =  P = S = Ta nhận  thỏa mãn điều kiện S2 − 4P ≥ ta được P = x = x = hay  nghiệm hệ phương trình là:  y = y = Hệ phương trình đối xứng loại hai Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi hệ phương trình đới xứng loại hai hệ phương trình, đổi vai trò x y cho phương trình trở thành phương trình Tính chất: Nếu (x0; y0) nghiệm hệ (y0; x0) nghiệm hệ Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng hai phương trình x − y = nhận được phương trình tích dạng ( x − y ) f ( x, y ) = ⇔   f ( x, y ) = Từ hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản giải được  x + y =  x2 Ví dụ Giải hệ phương trình:  2 y + x = 32 y  2 x + x y = ĐK: x, y ≠ 0.Hệ phương trình đã cho ⇔  2 y + xy = Trừ vế với vế hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) = ⇔ 2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = ⇔ (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = (*)   2 Vì 2x + 3xy +y =  x + y ÷ + y > với ∀ x, y ≠   Nên (*) ⇔ x – y = ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình đầu ta được 3x3 = ⇔ x3 = ⇔ x = (TM ĐK) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ;y) = (1 ;1) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình có dạng: ax + bxy + cy = d  , , , , a x + b xy + c y = d Để giải hệ phương trình ta phải xét hai trường hợp: - Tìm xem hệ PT có nghiệm x = y = hay khơng bằng cách kiểm tra nghiệm - Xét trường hợp hệ có nghiệm x khác y khác đăt x = ky ( hay y=kx), thay vào hệ để tìm cách loại y (hoặc x) đưa đến phương trình bậc hai theo k, từ suy nghiệm x, y 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Để có kết đới chứng trước tiến hành áp dụng sáng kiến đối với học sinh đối với học sinh, đã tiến hành cho 30 học sinh đội tuyển Toán lớp trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018 làm kiểm tra tiền thực nghiệm với nội dung đề sau: ĐỀ BÀI: Giải các hệ phương trình sau: 2 2  x + y + xy + = y ( x + y )( x − y ) = 45  2  2 ( x + 1)( x + y − 2) = y ( x − y )( x + y ) = 85 xy  2  x3 − 3x = y x + y + = 16   x+ y   y − y = z  x + 12 + x + y = 3x + x +  z − 3z = − x   BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TIỀN THỰC NGHIỆM Điểm 0–2 3-4 5–6 7–8 – 10 Số lượng Tỉ lệ % 16 53% 27% 13% 7% 0% Dưới trung bình 24 80% Trên trung bình 20% 2.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 2.3.1 Phương pháp Ví dụ 2 x − y + xy + y − x + = Giải hệ phương trình sau:  2  x + y + x + y − = Lời giải: 2 2 x + xy − y − x + y − = (1) Giải hệ:  2 (2)  x + y + x + y − = 2 Từ (1) ⇔ 2x + (y - 5)x - y + y + = ∆ x = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = 9( y − 1) − y − 3( y − 1)  x = =2− y  ⇒  x = − y + 3( y − 1) = y +  * Với: x = - y, ta có hệ : x = − y x = − y ⇔ ⇔ x = y =1   2 x + y + x + y − = y − y + =   y +1 *Với x = , ta có hệ: x = y =1  y +1   x = −  y = 2x −1 x = ⇔ ⇔    5 x − x − =   x2 + y + x + y − =   13   y = −    13  Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1;1)  − ; − ÷  5 Nhận xét: - Ta xem phương trình (1) hệ phương trình bậc đới với ẩn x cịn ẩn y tham số tiến hành giải -Ngồi Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trình (1) dạng tích.Việc phân tích đa thức vế trái phương trình thứ nhất hệ, giáo viên dạy nên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tiến hành biến đổi vì đa thức bậc hai đối với hai ẩn x − y + = Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:  2  x − y + xy − =  x = y − x − y + = ⇔ Lời giải:Ta có:   2  x − y + xy − = ( y − 1) − y + y ( y − 1) − = x = y −1 x = y −1  x = y −  x = −1 x = ⇔ ⇔ ⇔ Hoặc  Hoặc   y −1 = y = y =1 5 y ( y − 1) =  y = Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: ( −1; ) ; ( 1; 1) Nhận xét: Phương trình thứ nhất hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình lại hệ, theo quy tắc thế ta nhận được một hệ tương đương Trong hệ nhận được có mợt phương trình phương trình mợt ẩn, nhờ ta đã giải được hệ Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai Ta cũng tính y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai hệ, nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất hiện phân số  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:   xy + x + = x Lời giải: (1) (2) Nhận thấy x = không thoả mãn phương trình (1) hệ nên hệ khơng có nghiệm ( 0; y ) x2 − Khi x ≠ từ phương trình (2) ta có y + = thay vào phương trình (1) ta x   x −  x2 −  2 x  ÷ x + ÷ = 3x − x + ( x − 1)(2 x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1) x  x    ⇔ được:   x2 − x −1  y +1 = x y + =   x 2 x( x − 1) ( x + 2) = x =  x = −2    ⇔ ⇔ x − Hoặc  x2 − x2 − y +1= x y +1 = x y +1=   x  x = ⇔ Hoặc  y = −1  x = −2   y = −  5  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( 1; − 1) ;  −2; − ÷ 2  Nhận xét: Phương trình (2) hệ phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rời thế vào phương trình (1) hệ Tuy nhiên việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét x2 − ( 0; y ) không nghiệm hệ để từ với x ≠ ta tính y + = x hệ nhận được tương đương với hệ đã cho 2.3.2 Phương pháp cộng đại số:  x + y − 10 x = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2  x + y + x − y − 20 = Lời giải: Lấy phương trình thứ trừ cho phương trình thứ hai ta được y = x − 10 Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:  x + y − 10 x =  x + (7 x − 10) − 10 x =  x + 3x + = ⇔ ⇔ ⇔   y = x − 10  y = x − 10  y = x − 10  x = −1  x = −2 Hoặc    y = −17  y = −24 Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( −1; − 17 ) ; ( −2; − 24 ) Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình hệ khơng có phương trình phương trình bậc nhất đối với một ẩn, bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình hệ ta được một phương trình phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ ta đã giải được hệ  x + y + xy ( x + y ) = xy Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau   x + y + xy ( 3x − y ) = xy HD giải: Để giải hệ phương trình ta biến đổi nhờ quy tắc cợng đại số sau:  x + y + xy (2 x + y ) = xy ( x + y + xy (3 x − y )) − ( x + y + xy (2 x + y ) = − xy ⇔   x + y + xy (3 x − y ) = xy  x + y + xy (3x − y ) = xy  xy ( x − y + 1) = ⇔  x + y + xy (3x − y ) = xy Nhận xét: Đến việc giải hệ ban đầu được đưa việc giải hệ phương trình đơn giản Cách biến đổi khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu, đặc biệt học sinh lớp 2.3.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích  x − xy + y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 2 x + y = Lời giải: 2 ( x − y )( x − y ) =  x = y x = 3y  x − xy + y = Hoặc  ⇔ ⇔    2 2 2 2 x + y = 2 x + y = 9 y = 19 y =   2 19 19   x = x = − x = x = −       3 9 ⇔ hoặc  hoặc  hoặc  y = y = −1  y = 19  y = − 19     3 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm: 19   −3 19 − 19     −2 −1   19 ; ; ÷;  ÷  ; ÷;  ; ÷;  3 3 19 19 19 19         Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất phương trình đẳng cấp bậc hai, nhiên đối với học sinh lớp không nên giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải học sinh rất khó hiểu tại lại nghi cách đặt Chính vì vậy, dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất dạng tích biến đổi tiếp cách giải  x2 + y2 = Ví dụ Giải hệ phương trình sau  4 xy + x + y = Lời giải: Cộng vế với vế hai phương trình hệ ta được: (x + xy + y ) + ( x + y ) = 12 ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − 12 = ⇔ ( x + 2y + 4) ( x + 2y − 3) = ⇔ x + 2y = −4 h c x + 2y =   x + y = −4 (a)  xy + x + y =  x2 + y2 =  ⇔ Do ta có:   x + y = 4 xy + x + y =  (b)  4 xy + x + y = Giải hệ (a):  x = −2 y −  x = −2 y −  x + y = −4 ⇔ ⇔    4 xy + x + y = 8 y + 16 y + 11 = 4 y ( −2 y − ) + ( −2 y − ) + y = Vì phương trình y + 16 y + 11 = có ∆ ' = −24 < nên vơ nghiệm Do hệ (a) vô nghiệm x = − y x + y = ⇔  4 xy + x + y = 4 y ( − y ) + ( − y ) + y = x = − y x = y =1 Giải hệ (b):   x = − y  y = x=2 ⇔ ⇔  ⇔    2 y − y + =  y = y=     2   1 Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( 1; 1) ;  2; ÷  2 Nhận xét: Trong hệ chưa có phương trình hệ đưa dạng tích, nhiên bằng việc cợng vế với vế hai phương trình hệ theo quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, hệ có mợt phương trình đưa được dạng tích  x + xy + y = y + x (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (2)  y x − y + + x = Giải: ĐK: x − y + ≥ Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất nhân tử chung (3) x = y (1) ⇔ x − y + xy − y + y − x = ⇔ ( x − y )( x + y − 2) = ⇔   x = − y (4)  y = 0; x =  x = − y ⇔ Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có  y = − ;x =  y − y = y 3  Kết luận : Hệ có nghiệm (1 ; 1) ; (2 ; 0) ; ( 8/3 ; -1/3) 2.3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ * Điểm mấu chốt phương pháp phải phát hiện ẩn phụ u = f ( x; y ) ; v = g ( x; y ) từng phương trình hệ hoặc sau một số phép biến đổi hệ đã cho * Thông thường việc biến đổi hệ xoay quanh việc cộng, trừ phương trình hệ theo vế hoặc chia cả hai vế một phương trình hay cả hai phương trình hệ cho một đại lượng khác đã các phương trình, nhờ nhận việc phải chọn ẩn phụ thế cho hợp lí  x( y − 3) − y = Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:  2 ( x − 1) y + y = −1 Giải −3 x = Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ đã cho trở thành  vô lý 0 = −1  x (1 − ) − =  y y Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT ⇔  ( x − 1) + = −  y y2  x + t + 3xt = Đặt t = − , ta có hệ phương trình :  2 y  x + t − 2( x + t ) = −1 S = x + t ( S ≥ P ) , ta có hệ phương trình; Đặt   P = xt  S = −   S + 3P =  S + 3P = S = 3 ⇔ ⇔ hoặc  (loại)  32  S − S − P = −1 3S − 4S − 15 =  P = P =  x = S = x + t = x = x = x =  ⇔ ⇔ hoặc  ⇔  hoặc   P =  xt = t = t =  y = −1  y = − Hệ phương trình có hai nghiệm: (1; − );(2; −1)  x − x + y − y + = Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  x y + x + y − 22 =  Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 ( x − 2) + ( y − 3) = ( x − 2) + ( y − 3) = ⇔  2 ( x + 2) y + x − 22 =  ( x − + 4)( y − + 3) + x − − 20 = 10  x2 − = u Đặt  y − = v u + v = hệ phương trình trở thành:  u.v + 4(u + v) = u = u = Giải hệ ta được  hoặc  v = v = Thế vào cách đặt ta được các nghiệm hệ là:  x =  x = −2  x =  x = − ; ; ;   y =  y =  y =  y = Nhận xét: Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ khá dễ nhận việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất hệ  x + + − y = Ví dụ Giải hệ phương trình sau:   y + + − x = 3 Lời giải: Đk: − ≤ x ≤ 4; − ≤ y ≤ 2 Đặt − y = u (u ≥ 0) − x = v(v ≥ 0) suy : y = 4- u2 x= 4-v2 thay vào hệ ta có :  11 − 2v + u = 11 − 2v = (4 − u ) =>   2 11 − 2u = (4 − v)  11 − 2u + v = Trừ từng vế các phương trình hệ ta được : 2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = => u= v u+v+8 >0 Khi đó: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + =0 Đưa dạng tích ta có v = hoặc v = (thoả mãn ) 11 +) Nếu v = x = y =3(TM) +) Nếu v = x = y = (TM) 11 11 Vậy nghiệm hệ (x ; y) = (3,3) hoặc (x ; y) = ( , ) 9 Ví dụ  x y + + y x + = xy Giải hệ phương trình sau:   x x + + y y + = + x + y Lời giải: Dễ thấy x = y = nghiệm hệ Xét x ≠ y ≠ 0, hệ được biến đổi dạng: 11  x2 + y2 + + =7   x2 + y2 + x y  + =7   x y ⇔  + =  x x2 + − x + y y2 + − y =  y2 +   x + +1 +1  x y u + v =  y2 + x2 + Đặt u = , ta được hệ:  ; v= x y  u + + v + =    15 30  ; Vậy hệ có nghiệm là:  1; ÷;  ÷ 15     15 2 (1)  x + y + xy + = y Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  y ( x + y ) = x + y + (2) ( ) ( ) Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế  x2 + +x+ y=4 a = x + y   y  (1) (2) cho y ta được:  Đặt  x + ta được ( x + y ) = x + + b = y   y   a = −5, b = a + b = b = − a b = − a ⇔ ⇔ ⇔   a = 3, b = a = 2b + a = 2(4 − a) + a + 2a-15=0 Từ ta tìm được x y 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  x + + y + + z + =   x + y + z = Giải: Điều kiện: x, y, x ≥ −1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: ( ) x + + y + + z + ≤ 3.( x + y + z + 3) = 3.12 = 36 ⇒ x +1 + y + + z + ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = (thỏa mãn phương trình 2) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3) 12 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  2x  x2 + = y   y3 =z  y + y +   4z =x   z + z4 + z2 + HD giải: 2x = y ≥ nên xảy hai trường hợp sau: Vì x +1 Với y = 0, x = y =z = Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) nghiệm hệ phương trình Với y > 0, x > 0, z > 2x 2x 2 x +1≥ ≥ 2x nên ≤ x hay y ≤ x x +1 x +1 3y2 ≤y Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: y + y + ≥ y y = y ⇒ y + y2 + hay z ≤ y Tương tự từ phương trình thứ hệ ⇒ x ≤ z Vậy x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z Thay vào phương trình đầu ta được x = y = z =1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0; 0; 0) ; (1; 1; 1) MỘT SỐ CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN TỈNH THANH HĨA  + x =  y3 1) Giải hệ phương trình :  (Năm học 2012 – 2013) x − =  y 4 2 2 + x = z HD giải: Điều kiện y ≠ 0.Đặt z = ta được hệ :  Trừ vế với vế y 2 + z = x hai phương trình ta đươc ( x − z )( x + xz + z + 3) = z 3z ⇔ x − z = (vì x2 + xz + z2 +3 = (x + ) + + > với x, z) Thay x = z vào phương trình (1) hệ ta được : x3 – 3x – = ⇔ (x+1)2(x - 2) = ⇔ x = -1 hoặc x = Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (−1; −2) Với x = z = ⇒ y = ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (2;1) Vậy nghiệm (x ; y ) hệ (−1; −2) (2;1) 13 x + y + z = 2) Giải hệ phương trình  (Năm học 2013 – 2014) 4 x + y + z = xyz  HD giải: x4 + y y + z z + x4 2 2 2 Ta có: x + y + z = + + ≥x y +y z +z x = 2 2 2 2 2 2 2 x y +y z y z +z x z x +x y = + + ≥ xyyz + yzzx + zxxy 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( x + y + z = 1) x = y = z ⇔x= y=z= Dấu bằng xảy ⇔  x + y + z = 1 1  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x = ; y = ; z = ÷ 3 3   x + y = x y 3) Giải hệ phương trình  (Năm học 2014 - 2015) 2 ( x + y )(1 + xy ) = x y HD giải: Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x ≠ y ≠ ngược lại Xét x ≠ ; y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 1 (1) + = +  x y  x y = ⇔  (2) 1 ( + )(1 + ) = ( + )(2 + ) =  x y  x y xy xy 1  x + y = 1 ⇒ x = y = Thay (1) vào (2) ta được ( + ) = ⇒  x y  =1  xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Bài tập: Giải các hệ phương trình sau :  1 1  x2 + x =  x + x + 1 + ÷ = y y y   a)  ( 2011 – 2012) b)  ( 2010 – 2011) x x  y + y =  x3 + + + =  x  y y y3  y (3x + y ) = 10 ( x + 1)( y + 1) = 10 c)  ( 2009 – 2010) d)  ( 2008- 2009) 4 x = − xy ( x + y )( xy − 1) = 14    2 x 1 + ÷= x + y    f)  (2016 – 2017)   2 y −  x + y ÷=     2.4 Hiệu quả SKKN hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp nhà trường Sau tiến hành triển khai nội dung sáng kiến với chuyên đề “ Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực” đới với 30 học sinh lớp nhóm thực nghiệm (Đội tuyển Toán) trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018, tiến hành cho nhóm học sinh làm kiểm tra sau thực nghiệm với nội dung đề sau: 6( x + y ) = xy  e) 12( y + z ) = yz ( 2007- 2008) 4( z + x) = 3zx  Giải các hệ phương trình sau:  x + xy + y + x = 1)   xy + y + y + =  x3 = x + y 2)   y = y + x  x3 (6 + y ) =   x( y − 6) = 3) 3) 2 4)  x + xy + y =   x + xy − x − y + = BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM Điểm Số lượng 0-2 3-4 5–6 7–8 Dưới Trên – 10 trung trung bình bình 24 Tỉ lệ % 0% 20% 30% 27% 23% 20% 80% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Giải hệ phương trình khơng mẫu mực ln u cầu khó các đề thi, để kiểm tra Để giải được hệ loại đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương trình hệ phương trình, học sinh phải linh hoạt cách giải cho từng hệ khác Với đặc điểm mà ta đánh giá được tính mềm dẻo, tính linh hoạt tư học sinh, khả phát tình h́ng có vấn đề tớt người học Đây lí mà nội dung các đề thi chọn học sinh giỏi bậc THCS bậc THPT đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hầu thiếu được yêu cầu Sáng kiến kinh nghiệm kết sau nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp thành phố, cấp tỉnh đặc biệt ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các trường chuyên, lớp chọn ngồi tỉnh Tơi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu 15 ích cho các đồng nghiệp giảng dạy toán, góp phần giúp cho nâng cao chất lượng giáo dục đại trà đặc biệt chất lượng học sinh giỏi bậc trung học Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết nhằm mục đích phục vụ cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi đối với học sinh lớp cấp THCS ôn tập thi vào các trường chuyên, lớp chọn bậc THPT Những nội dung sáng kiến làm tài liệu cho học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn tập thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp môn Toán bậc THCS THPT 3.2 Kiến nghị Để triển khai nội dung sáng kiến đạt kết tốt đối với học sinh, đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh các kiến thức về: các phương pháp giải phương trình đại sớ; phương pháp giải hệ phương trình đới xứng, hệ phương trình đẳng cấp; các kiến thức bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Đối với học sinh lớp bậc THCS, nên áp dụng sáng kiến học sinh đã được học công thức nghiệm phương trình bậc hai, ch̉n bị ơn thi học sinh giỏi vào cuối năm, ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn bậc THPT XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2018 Người thực Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Vi Linh 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Toán học tuổi thơ; Toán học tuổi trẻ Đề thi HSG mơn Toán TP Thanh Hóa, tỉnh Thanh Hóa các năm gần Giải đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề đại số Đề thi HSG môn toán Thành phớ Thanh Hóa Toán nâng cao & các chun đề đại số Các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Phương pháp giải toán Đại số Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THCS môn toán ... Kết luận Giải hệ phương trình khơng mẫu mực ln u cầu khó các đề thi, để kiểm tra Để giải được hệ loại đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương trình hệ phương trình, học sinh phải... được sử dụng để giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp cấp trung học sở Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ được kiến thức hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm... đương hệ phương trình “Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số” Lớp lớp học sinh được học khá đầy đủ phương trình ẩn như: phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, phương